自動(dòng)控制原理,傳遞函數(shù)

1、4/8/2022 10:56:15 PM1第二節(jié) 傳遞函數(shù)主要內(nèi)容：1.傳遞函數(shù)的定義；2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏變換得到； ii）復(fù)數(shù)阻抗法；3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。4/8/2022 10:56:15 PM2傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換0)()(dtetfsFst)()(tfLsF一個(gè)函數(shù)可以進(jìn)行拉普拉斯變換的充分條件是：1. t=0時(shí)，f(t)分段連續(xù)；3. 0)(dtetfst4/8/2022 10:56:15 PM3控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程iu輸入ou輸出iuouLRCi例2-1：RLC串聯(lián)電路iooou

2、udtduRCdtudLC220)()(dtetfsFst)()()()(0002sUsUsRCsUsULCsi列出微分方程為：兩邊取拉普拉斯變換：11)()(20RCsLCssUsUi4/8/2022 10:56:15 PM4 傳遞函數(shù)的定義： 系統(tǒng)初始條件為零時(shí)，輸出變量的拉普拉斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 記做：)()()( )()()(sUsGsYsGsUsY或U(s)Y(s)G(s)4/8/2022 10:56:15 PM5 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過程。

3、 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的影響 -分析 可以對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對(duì)傳遞函數(shù)的要求-綜合傳遞函數(shù)的基本概念4/8/2022 10:56:16 PM6)()()()()()(0) 1(1)(0) 1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)0,0(,mjnibaji為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasammmmnnnn01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一般的：4/8/2022 10:56:16 P

4、M7傳遞函數(shù)的基本概念 例解已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：muamcdTK uK Mdt(1)( )( )( )muamcT ssK UsKMs方程兩邊求拉氏變換為：令 ，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的傳遞函數(shù)：0)(sMc( )( )( )1uuamKsG sUsT s令 ，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：0)(sUa( )( )( )1mmcmKsGsMsT s最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：)()()()()(sMsGsUsGscmau例1求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。4/8/2022 10:56:16 PM8傳遞函數(shù)的基本概念 例2TsTssUsUsGi111)()()(01RC2iiu1i

5、2ROu0121111iRiRdtiCiuiRiRiR221121OuiR220)()()1(2111sIRsIRCs)()()()(22111sUsIRRsIRi)()(22sUsIRO2121RRCRRT221RRR 例2 求下圖的傳遞函數(shù)：4/8/2022 10:56:16 PM9)()()()(2121sFsFtftfL線性性質(zhì)：)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：ssFdttfL)()(積分定理：（設(shè)初值為零）)()()(0sfedtTtfeTtfLsTst時(shí)滯定理：

6、)(lim)(lim0ssFtfst初值定理：復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換性質(zhì)：性質(zhì)：4/8/2022 10:56:16 PM10)(lim)(lim0ssFtfst終值定理：)()()()(21021sFsFdftfLt卷積定理：ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf常用函數(shù)的拉氏變換：常用函數(shù)的拉氏變換： 單位階躍函數(shù)： 單位脈沖函數(shù)： 單位斜坡函數(shù)： 單位拋物線函數(shù)： 正弦函數(shù)： 其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換4/8/2022 10:56:16 PM11用復(fù)數(shù)阻抗法求

7、電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)n復(fù)數(shù)阻抗：電氣元件兩端的電壓相量與流過元件的電流相量之比，稱為該元件的復(fù)數(shù)阻抗。（1）電阻的復(fù)數(shù)阻抗推導(dǎo)： 假設(shè)電流為： 相量形式： 則電壓是 ； 則相應(yīng)的復(fù)數(shù)阻抗為00.jmeII tItimsin)(tUtRIRtitummsinsin)()(00.jmeUU ReIeUIUZjmjmR00004/8/2022 10:56:16 PM12（2）電感負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗 電流： ， 電壓： 復(fù)數(shù)阻抗為：00.jmeII tItimsin)()90sin(cossin)()(0tUtLIdttdILdttdiLtummm090.jmeUU LjLeeI

8、eUIUZjjmjmR000900904/8/2022 10:56:16 PM13補(bǔ)充：n復(fù)數(shù)的幾種表示形式1. 代數(shù)形式：2. 三角形式： 歐拉公式： 從而有 3. 指數(shù)形式：4. 極坐標(biāo)形式：jb aFsincosjej)sincos( jFFjeFF FF1 , 1 , ,222jjjjeejeje4/8/2022 10:56:16 PM14傳遞函數(shù)的基本概念 例22121RRCRRT221RRR 1RCs1iu2ROu21211RRCsRUUio21121212112)1()1()1(RRCsRRCsRRCsRRRCsRRTsTssRRCRRRRRsRRCRRRRR111)1)()1(

9、21122212112221例2 求下圖的傳遞函數(shù)(復(fù)數(shù)阻抗法)：4/8/2022 10:56:16 PM15三、三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明傳遞函數(shù)的基本概念n傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng).n傳遞函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)一一對(duì)應(yīng),是一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。n傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。n傳遞函數(shù)是s的有理分式. 對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言, 分母的階次n 大于或等于分子的 階次m , 此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。4/8/2022 10:56:16 PM16n傳遞函數(shù)的概

10、念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。n傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。4/8/2022 10:56:16 PM17傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式表示為有理分式形式：011011)()()(asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm式中： 為實(shí)常數(shù)，一般nm上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。jiba ,表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：)()()()()()()(11jnjimignmpszsKsPsQabsXsYsGizjp式中： 稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)， 稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。nmgabK 傳遞系數(shù)或根軌跡增益

11、傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式 ：4/8/2022 10:56:16 PM18傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式寫成時(shí)間常數(shù)形式：njjmiisTsKsPsQabsG1100) 1() 1()()()(jiT,分別稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然： ，,1iiz,1jjpT jnjimigpzKK11若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若 為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：21, pp 222121)(1nnsspsps或121)1)(1(12221TssTsTsT其系數(shù) 由 或 求得；、21pp、21TT、4/8/2022 10:56:16 PM19若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可

12、以寫成：傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式 從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。)2()()2()()(221122112121lllnljnjkkkmkimigspssszssKsG,221mmmnnn212式中：) 12() 1() 12() 1()(221122112121lllnljnjkkkmkimiTsTsTssssKsG或：4/8/2022 10:56:16 PM20比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特

13、征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。 比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動(dòng)等。（一）比例環(huán)節(jié)：0),()(ttkxtyksXsYsG)()()(時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)4/8/2022 10:56:16 PM21積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 有一個(gè)0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“ ”表示，零點(diǎn)用“ ”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時(shí)間常數(shù)。 ttdttxkty00,)()(TssksXsYsG1)()()(時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0)( 1)(ttxkty )(tytRe（二）積分環(huán)節(jié)：

14、4/8/2022 10:56:16 PM22積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例：RCiuouCsoisuRsu1)()(RCssusuio1)()(圖中， 為轉(zhuǎn)角， 為角速度。ikutidttku0)(可見， 為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。iuiu電動(dòng)機(jī)（忽略慣性和摩擦）iu齒輪組4/8/2022 10:56:16 PM23時(shí)域方程：0),()()(ttkxtytTy傳遞函數(shù)：1)()()(TsksXsYsG當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有 ，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。ktytTy)()()1 ()(Ttekty當(dāng)k=1時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),時(shí)域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布圖如下：通過

15、原點(diǎn)的 斜率為1/T，且只有一個(gè)極點(diǎn)（-1/T）。1yt00.632T通過原點(diǎn)切線斜率為1/TjRe0S平面T1慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)（三）慣性環(huán)節(jié)4/8/2022 10:56:16 PM24求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：,1)(,11)()(ssXTssXsY)11() 1()(1TsskTssksY)1 ()()(1TteksYLty 可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)4/8/2022 10:56:16 PM25R2Ciuou-+R1CsRRZRCsRCsRZRZ2222222111,111,而CsRsUsUZUsZsURRio

16、i22011)()(,)()(12RCiuou11)()(,)()(11RCssususuRsuioCsoCsi兩個(gè)實(shí)例：慣性環(huán)節(jié)實(shí)例慣性環(huán)節(jié)實(shí)例4/8/2022 10:56:16 PM26振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)時(shí)域方程：)()()()(001 2txbtyatyatya傳遞函數(shù)：121)(2201220TssTkasasabsG上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng) 時(shí)，可分為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相乘。即：)1(,) 1)(1()(22, 121TTsTsTksG)1(122, 1Tp1傳遞函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：（四）振蕩環(huán)節(jié)4/8/2022 10:56:16 PM27振蕩環(huán)節(jié)分析振蕩環(huán)節(jié)分析y(t)t101mIeR0

17、n21nj21nj單位階躍響應(yīng)曲線極點(diǎn)分布圖分析：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動(dòng)。與 有關(guān)。 反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng) 時(shí)，曲線單調(diào)升，無振蕩。當(dāng) 時(shí)，曲線衰減振蕩。 越小，振蕩越厲害。n110若 ，傳遞函數(shù)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成：2222)(nnnsssG10設(shè)輸入為：ssX1)()2()()()(222nnnssssXsGsY則 0),11sin(11)(2122ttgtetynt4/8/2022 10:56:16 PM28解：當(dāng) 時(shí)，有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以：, FkxfxmxkfsmssFsXsG21)()()(042 mkf

18、,1)(2mksmfsmkksG,2 ,2mfmknn解得：mkfmkn2,例：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的 和 。（見例2-2，p20）n振蕩環(huán)節(jié)例子振蕩環(huán)節(jié)例子4/8/2022 10:56:16 PM29微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：)()(tkxty)()()(txtxkty)()(2)()( 2txtxtxkty相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：kssG)() 1()(sksG) 12()(22ssksG分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)（若 ）。在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。104/8/2022 10:56:17 PM30CsRRRZRZsZsYsZsX1121, 22211,)()()()(1) 1()1 ()()()(212112kTsTskCsRRRRCsRRsXsYsGCRTRRRk1212,式中：y(t)x(t)R1R2C實(shí)例微分環(huán)節(jié)實(shí)例微分環(huán)節(jié)實(shí)例4/8/2022 10:56:17 PM31延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。 如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：)()(txtysesG)(延遲環(huán)節(jié)是一個(gè)非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的