第5-6講應(yīng)力狀態(tài)分析2011

1、材料成形原理材料成形原理CPrinciple of Material Forming C第五講第五講Lesson Five2022-4-92第三章 應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容Main Content 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析 求和約定和應(yīng)力張量求和約定和應(yīng)力張量 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 2022-4-933.1 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產(chǎn)金屬塑性加工是金屬與合金在外力作用下產(chǎn)生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工生塑性變形的過程，所以必須了解塑性加工中工

2、件所受的外力及其在工件內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)中工件所受的外力及其在工件內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。本章講述變形工件內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的分析及變。本章講述變形工件內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的分析及其表示方法。這是塑性加工的力學(xué)基礎(chǔ)。其表示方法。這是塑性加工的力學(xué)基礎(chǔ)。 2022-4-94錘鍛過程錘鍛過程2022-4-95基本假設(shè) 變形體是連續(xù)的，不存在微觀結(jié)構(gòu)，是宏觀變形體是連續(xù)的，不存在微觀結(jié)構(gòu)，是宏觀的，材料是均勻的，各向同性。的，材料是均勻的，各向同性。 變形體性能及變形行為不存在隨機(jī)現(xiàn)象，性變形體性能及變形行為不存在隨機(jī)現(xiàn)象，性能是確定的能是確定的 物體在塑性變形前后的體積不變物體在塑性變形前后的體積不變2022-4-96外力外力體

3、積力體積力表面力表面力重力重力慣性力慣性力電磁力電磁力特點(diǎn)：分布在物體體積的外力，它作特點(diǎn)：分布在物體體積的外力，它作用在物體內(nèi)部的每一個質(zhì)點(diǎn)上用在物體內(nèi)部的每一個質(zhì)點(diǎn)上特點(diǎn)：分布在物特點(diǎn)：分布在物體表面的外力體表面的外力作用力（主動力）作用力（主動力）正壓力正壓力約束反力約束反力摩擦力摩擦力2022-4-97 塑性加工時，由于體積力與加工中的作用力塑性加工時，由于體積力與加工中的作用力比較起來很小，在實(shí)際工程計算中一般可以比較起來很小，在實(shí)際工程計算中一般可以忽略。但在高速加工時，金屬塑性流動的慣忽略。但在高速加工時，金屬塑性流動的慣性力應(yīng)該考慮。性力應(yīng)該考慮。 一般塑性加工只分析作用力、正

4、壓力、摩擦一般塑性加工只分析作用力、正壓力、摩擦力的作用狀態(tài)。力的作用狀態(tài)。2022-4-982022-4-992022-4-910 作用力作用力 塑性加工設(shè)備的可動工具部分對工件所塑性加工設(shè)備的可動工具部分對工件所作用的力。又稱主動力。作用的力。又稱主動力。 可以實(shí)測或理論計算，可以實(shí)測或理論計算，用于驗(yàn)算設(shè)備強(qiáng)度和設(shè)備功率。用于驗(yàn)算設(shè)備強(qiáng)度和設(shè)備功率。 正壓力正壓力 沿工具和工件接觸面法向阻礙工件整體沿工具和工件接觸面法向阻礙工件整體移動或金屬流動的力，其方向垂直于接觸面，移動或金屬流動的力，其方向垂直于接觸面，并指向工件。并指向工件。 摩擦力摩擦力 沿工具和工件接觸面切向阻礙金屬流動沿工

5、具和工件接觸面切向阻礙金屬流動的力，其方向平行于接觸面，并與金屬質(zhì)點(diǎn)流的力，其方向平行于接觸面，并與金屬質(zhì)點(diǎn)流動方向或流動趨勢相反。動方向或流動趨勢相反。2022-4-911內(nèi)力和應(yīng)力 內(nèi)力內(nèi)力 在外力作用下的物體，內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形在外力作用下的物體，內(nèi)部將產(chǎn)生抵抗變形的力稱為內(nèi)力。的力稱為內(nèi)力。 內(nèi)力可以用截面法把它表示出來內(nèi)力可以用截面法把它表示出來。2022-4-912PPPBAdFPdFPSFlim0 應(yīng)力應(yīng)力S稱為作用在面素稱為作用在面素 上的上的全應(yīng)力全應(yīng)力 F2022-4-913全應(yīng)力的分解方式全應(yīng)力的分解方式 一種沿法向、切向分解一種沿法向、切向分解 一種可以沿坐標(biāo)軸分解為一

6、種可以沿坐標(biāo)軸分解為Sx、Sy、Sz 正應(yīng)力：正應(yīng)力： 切應(yīng)力：切應(yīng)力： FNFlim0FTFlim02022-4-914 一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。 2022-4-915 垂直于軸線的橫截面垂直于軸線的橫截面 與軸線成一定角度的截面與軸線成一定角度的截面2022-4-916 如果截面的法向與如果截面的法向與某坐標(biāo)軸重合，則某坐標(biāo)軸重合，則該截面上的切應(yīng)力該截面上的切應(yīng)力還可以沿其余兩坐還可以沿其余兩坐標(biāo)軸分解。標(biāo)軸分解。 2022-4-917 對 于 包 含 某對 于 包 含 某點(diǎn) 的 微 六 面點(diǎn) 的 微

7、 六 面體 體 素 上 ，體 體 素 上 ，每 一 面 素 上每 一 面 素 上作 用 有 三 個作 用 有 三 個應(yīng) 力 分 量 ，應(yīng) 力 分 量 ，其 中 一 個 正其 中 一 個 正應(yīng) 力 ， 兩 個應(yīng) 力 ， 兩 個切應(yīng)力。切應(yīng)力。 2022-4-9182022-4-919切應(yīng)力互等定理zxxzzyyzyxxy2022-4-920 應(yīng)力分量的符號規(guī)定應(yīng)力分量的符號規(guī)定 面素符號面素符號應(yīng)力方向應(yīng)力方向應(yīng)力符號應(yīng)力符號+-+-+2022-4-9213.2 斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析 要想了解一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)必須知道過該點(diǎn)任要想了解一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)必須知道過該點(diǎn)任意截面上

8、的應(yīng)力分布。但是過該點(diǎn)的截面有意截面上的應(yīng)力分布。但是過該點(diǎn)的截面有無窮多個，我們沒有辦法一一列舉。為此必?zé)o窮多個，我們沒有辦法一一列舉。為此必須采用其他方式進(jìn)行描述。須采用其他方式進(jìn)行描述。 2022-4-922 一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該一點(diǎn)的應(yīng)力向量不僅取決于該點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。點(diǎn)的位置，還取決于截面的方位。 2022-4-923 通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截取三個相互垂直的通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截取三個相互垂直的截面和與坐標(biāo)軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面截面和與坐標(biāo)軸成任意角度的傾斜截面，這四個截面構(gòu)成一個四面體素構(gòu)成一個四面體素 2022-4-924zxyo

9、x y z xy yz yx xz zy zxSnnSnxSnySnz n nBACds2022-4-925 該微分斜面面積為該微分斜面面積為dA，外法線方向的方向余弦為：，外法線方向的方向余弦為： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n 三個垂直坐標(biāo)面的面積可以表示為：三個垂直坐標(biāo)面的面積可以表示為：ldAxnSSABCOBC,cosmdAynSSABCOAC,cosndAznSSABCOBA,cos xza ag gn1222nml方向余弦有：方向余弦有：2022-4-926 由于變形體處于平衡狀態(tài)，對于任意體素都有由于變形體處于平衡狀態(tài)，對于任意體素都有三個

10、方向的受力平衡，即三個方向的受力平衡，即 0 xF 0yF 0zF 在在x方向：方向： 在在y方向：方向： 在在z方向：方向： 0ndAmdAldAdASzxyxxx0ndAmdAldAdASzyyxyy0ndAmdAldAdASzyzxzz2022-4-927 整理后可得方程整理后可得方程 用矩陣表示為用矩陣表示為nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxzyx（）2022-4-928 把微分斜面上的合應(yīng)力把微分斜面上的合應(yīng)力S，向法線，向法線n方向投影，便可求出微分斜面上方向投影，便可求出微分斜面上的正應(yīng)力，或?qū)⒌恼龖?yīng)力，或?qū)x

11、、Sy、Sz分別投影到法線分別投影到法線n上，也同樣得到微分斜上，也同樣得到微分斜面上的正應(yīng)力，即面上的正應(yīng)力，即 將將Sx、Sy、Sn帶入上式得帶入上式得 微分面上的剪應(yīng)力為微分面上的剪應(yīng)力為nSmSlSzyxnlmnlmnmlzxyzxyzyx222222222 S2221322232222212lnnmml2022-4-929 綜上可知，變形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通綜上可知，變形體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過該點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的三個微分面上的九個過該點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的三個微分面上的九個應(yīng)力分量來表示。應(yīng)力分量來表示。 或者說，通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直于坐標(biāo)軸所或者說，通過變形體內(nèi)任意點(diǎn)垂直

12、于坐標(biāo)軸所截取的三個相互垂直的微分面上各應(yīng)力截取的三個相互垂直的微分面上各應(yīng)力 已知時，已知時，便可確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。便可確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 xyzyxxyzyyzxzzx ij2022-4-930應(yīng)力邊界條件方程 如果該四面體素的斜面如果該四面體素的斜面恰好為變形體的外表面恰好為變形體的外表面上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此面素單位面積上的作用面素單位面積上的作用力在坐標(biāo)軸方向的分力力在坐標(biāo)軸方向的分力分別為分別為px、py、pz，則，則nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxx2022-4-931 應(yīng)力邊界條件方程的物理意義：應(yīng)力邊界條件方程的物理意義： 建立

13、了過外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過建立了過外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過該點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。該點(diǎn)垂直坐標(biāo)軸截面上應(yīng)力分量的關(guān)系。2022-4-932課堂練習(xí) 已知變形體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，當(dāng)斜面法已知變形體某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，當(dāng)斜面法線方向與三個坐標(biāo)軸夾角余弦線方向與三個坐標(biāo)軸夾角余弦 時，求該斜面上的全應(yīng)力時，求該斜面上的全應(yīng)力S，全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上，全應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量的分量Sx、Sy、Sz， ，及斜面上的法線應(yīng)力，及斜面上的法線應(yīng)力 n和和切應(yīng)力切應(yīng)力 n。 31nml2022-4-933 解：首先確定各應(yīng)力分量解：首先確定各應(yīng)力分量 x=10、 y=10、 z=0、

14、 xy= yx= 5、 xz= zx=5、 yz= zy=0 （單位（單位MPa） 。由。由3531031031531531031103153203153153110nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx3265222zyxSSSS2022-4-93434031)52521010( 222222nlmnlmnmlzxyzxyzyxn143593503403650222nnS2022-4-935 直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量ijzyzxzzyyxyzxyxx T2022-4-936 柱坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量ijrzrrzrzrzz T2022-4-937第三章

15、應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容Main Content 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 2022-4-9383.4 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 3.4.1 主應(yīng)力的概念主應(yīng)力的概念 通過坐標(biāo)變換可以找到只有正應(yīng)力的坐通過坐標(biāo)變換可以找到只有正應(yīng)力的坐標(biāo)面，此坐標(biāo)軸稱為主軸，此應(yīng)力稱為標(biāo)面，此坐標(biāo)軸稱為主軸，此應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力，該坐標(biāo)面為，該坐標(biāo)面為主平面主平面。 2022-4-9392022-4-9402022-4-941主應(yīng)力的求解主應(yīng)力的求解 如果取微分

16、面如果取微分面ABC為主為主微分面，即該微分面上微分面，即該微分面上只有主應(yīng)力而沒有切應(yīng)只有主應(yīng)力而沒有切應(yīng)力。這時，作用在此面力。這時，作用在此面上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。上的全應(yīng)力就是主應(yīng)力。用用 表示主應(yīng)力，則它表示主應(yīng)力，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為在各坐標(biāo)軸上的投影為 nSmSlSzyx2022-4-942 代入到斜面應(yīng)力方程中有代入到斜面應(yīng)力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxzzzyyxyyzxyxxx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2022-4-943 由上面四個方程可求出主應(yīng)力由上面四個方程可求出

17、主應(yīng)力 及其方向余弦及其方向余弦l、m、n。顯然，前三個方程構(gòu)成一個齊次方。顯然，前三個方程構(gòu)成一個齊次方程組，顯然不能有程組，顯然不能有l(wèi) = m = n = 0這樣的解。如這樣的解。如要方程組有其他解時，必須取該方程組的系要方程組有其他解時，必須取該方程組的系數(shù)行列式為零，即數(shù)行列式為零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2022-4-944 展開此行列式，得展開此行列式，得2)(zyx3)(1zyxJ )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxJ22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ則有則有0322

18、13JJJ2022-4-945 三次方程式稱為三次方程式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程應(yīng)力狀態(tài)特征方程。此方程。此方程的三個根就是三個主應(yīng)力，而這三個主應(yīng)力的三個根就是三個主應(yīng)力，而這三個主應(yīng)力均為實(shí)根。由因式分解可知均為實(shí)根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方由代數(shù)學(xué)可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有程，因此該式與應(yīng)力狀態(tài)特征方程全等。有展開后得展開后得2022-4-946應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量zyxJ13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzy

19、xJ321 對同一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)值是一定的，而對同一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，三個主應(yīng)力的數(shù)值是一定的，而與過該點(diǎn)的坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐與過該點(diǎn)的坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，不管應(yīng)力分量怎樣隨坐標(biāo)系改變。那么標(biāo)系改變。那么J1、J2、J3 是不隨坐標(biāo)系改變的，分別是不隨坐標(biāo)系改變的，分別稱為稱為一次、二次和三次應(yīng)力常量一次、二次和三次應(yīng)力常量，或稱為，或稱為應(yīng)力張量不變應(yīng)力張量不變量量。2022-4-947主應(yīng)力的特點(diǎn)主應(yīng)力的特點(diǎn) 三個主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的三個主應(yīng)力所作用的主微分面是相互垂直的 將主應(yīng)力將主應(yīng)力 1代入（代入（*）式中的任何兩個方程，）式中的任何兩個方程，并

20、與（并與（*）式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力）式聯(lián)立，可以求解出主應(yīng)力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主應(yīng)，同理，可以求解出主應(yīng)力力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l(fā)3、m3、n3 。 每兩個主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系每兩個主應(yīng)力的方向余弦之間滿足以下關(guān)系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2022-4-948 三個主應(yīng)力均為實(shí)根三個主應(yīng)力均為實(shí)根 主應(yīng)力具有極值性質(zhì)主應(yīng)力具有極值性質(zhì) 三個主應(yīng)力中的最大值賦給三個主應(yīng)力中的最大值賦給 1，最小值賦給，最小值賦給 3，并按大小順序排列，并按大小順序排列 1

21、 2 3，則過該點(diǎn)，則過該點(diǎn)任意微分斜面上的正應(yīng)力中，任意微分斜面上的正應(yīng)力中， 1為最大值，為最大值， 3為最小值。為最小值。 2022-4-949主坐標(biāo)系主坐標(biāo)系 因?yàn)槿齻€主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標(biāo)軸因?yàn)槿齻€主應(yīng)力兩兩相互垂直，若取坐標(biāo)軸與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成與主應(yīng)力方向一致，則構(gòu)成主坐標(biāo)系主坐標(biāo)系，其坐，其坐標(biāo)軸稱為標(biāo)軸稱為主軸主軸。 2 12(y)3(z)1(x) 32022-4-950 在主坐標(biāo)系下斜面上的應(yīng)力為在主坐標(biāo)系下斜面上的應(yīng)力為nnmlSmnmlSlnmlS333222111000000nmlSSS321321000000或或232221nmln正應(yīng)力正應(yīng)力321000

22、000T為主應(yīng)力張量為主應(yīng)力張量2022-4-951例題物體中某一點(diǎn)的應(yīng)力張量為 解： 2100100100/10010ijMN m試求主應(yīng)力值及 ,(1,2,3)jJj 1()10 xyzJ2222()10 ( 10)( 10) 10 10 10 100200 xyyzzxxyyzzxJ 22232210 10 10( 10) 100 xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 32123320102000JJJ12320,0,10 101010-102022-4-9523.4.2 主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力 主切應(yīng)力主切應(yīng)力 任意微分斜面上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。任意微分斜面

23、上的切應(yīng)力也有極大值和最大值。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。極值切應(yīng)力又稱為主切應(yīng)力。 在主坐標(biāo)系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力在主坐標(biāo)系下，任意微分斜面上的切應(yīng)力 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n與與l、m的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系 2221322232222212lnnmml 2 32322312322322223212 mlml 2022-4-953 當(dāng)微分面轉(zhuǎn)動時，切應(yīng)力隨之變化。我們所求當(dāng)微分面轉(zhuǎn)動時，切應(yīng)力隨之變化。我們所求的是，當(dāng)?shù)氖?，?dāng)l、m、n為何值時，微分面上的切應(yīng)力為何值時，微分面上的切應(yīng)力取極值。由二元函數(shù)取極值。由二元函數(shù)f(x,y)求極值的方法可求得求極值的方法可求得微分面

24、上的切應(yīng)力的極值。微分面上的切應(yīng)力的極值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2022-4-954對此方程組求解分不同情況對此方程組求解分不同情況 當(dāng)當(dāng) 1 2 3時，時，1） ，此解指主微分面上切應(yīng)力為零，此解指主微分面上切應(yīng)力為零2） 時，時， 3） 時，時， 4） 時，此種情況不可能成立。時，此種情況不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，則有，則有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0, 0ml 0 21

25、21 nml2022-4-955l0m0n02022-4-956 當(dāng)當(dāng) 1 2 3時，時，則切應(yīng)力在通過該點(diǎn)的任何則切應(yīng)力在通過該點(diǎn)的任何微分面上為零。微分面上為零。 主切應(yīng)力主切應(yīng)力 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力22112232232311323113max2022-4-957l000m000n000切應(yīng)切應(yīng)力力000正應(yīng)正應(yīng)力力112121123222123112323222123121212121主平面和主切平面上所作用的應(yīng)力主平面和主切平面上所作用的應(yīng)力 2022-4-958練習(xí) 已知變形體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知變形體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 80027060027050T N/mm2 試求該點(diǎn)的主應(yīng)力

26、大小和主應(yīng)力的方向余弦。試求該點(diǎn)的主應(yīng)力大小和主應(yīng)力的方向余弦。2022-4-959 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa為一主應(yīng)為一主應(yīng)力。力。y面面y向向縮減應(yīng)力張量的維數(shù)縮減應(yīng)力張量的維數(shù)80272750T2022-4-960080272750寫出該張量的特征方程寫出該張量的特征方程展開并求解展開并求解027)80)(50(20327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2022-4-961 按大小順序排列后，得到按大小順序排列后，得到 求求 1的方向余弦。將的方向余弦。將 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9

27、.951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl與與 聯(lián)立求解，因聯(lián)立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507. 0nml862. 00507. 0nml或或2022-4-962 同理可求得 2、 3的方向余弦的方向余弦 2 3010nml010nml或或507. 00862. 0nml507. 00862. 0nml或或xz 1 32022-4-963第三章 應(yīng)力狀態(tài)分析主要內(nèi)容Main Content 應(yīng)力狀態(tài)基本概念應(yīng)力狀態(tài)基本概念 斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析斜面上任一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析 求和約定和應(yīng)力張量

28、求和約定和應(yīng)力張量 主應(yīng)力及主切應(yīng)力主應(yīng)力及主切應(yīng)力 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 2022-4-9643.5 球應(yīng)力及偏差應(yīng)力球應(yīng)力及偏差應(yīng)力 3.5.1 球應(yīng)力球應(yīng)力 由應(yīng)力張量第一不變量由應(yīng)力張量第一不變量zyxI1321令令zyxmI3131132131稱稱 為應(yīng)力狀態(tài)的為應(yīng)力狀態(tài)的平均應(yīng)力平均應(yīng)力，其大小也與，其大小也與坐標(biāo)系無關(guān)。坐標(biāo)系無關(guān)。m2022-4-965 在主坐標(biāo)系下，若斜面的方向余弦取在主坐標(biāo)系下，若斜面的方向余弦取31nml則斜面上的正應(yīng)力為則斜面上的正應(yīng)力為32123222131nmlnm這樣的斜面有這樣的斜面有8個，個，構(gòu)成一個正八面體。構(gòu)成一個正八面體。作用

29、在這些面上的應(yīng)作用在這些面上的應(yīng)力稱為力稱為八面體應(yīng)力八面體應(yīng)力 2022-4-966 八面體應(yīng)力可分為八面體正應(yīng)力八面體應(yīng)力可分為八面體正應(yīng)力 和八面體切和八面體切應(yīng)力應(yīng)力 。88132183131Im2132322218312221322232222212lnnmml因因所以所以2022-4-967 作用在八面體面上的正應(yīng)力是與坐標(biāo)軸變換作用在八面體面上的正應(yīng)力是與坐標(biāo)軸變換無關(guān)的常量。若過一點(diǎn)各向受同一符號和同無關(guān)的常量。若過一點(diǎn)各向受同一符號和同樣大小的主應(yīng)力作用，則過該點(diǎn)任意微分斜樣大小的主應(yīng)力作用，則過該點(diǎn)任意微分斜面上的切應(yīng)力為零，因而不會產(chǎn)生塑性變形，面上的切應(yīng)力為零，因而不會

30、產(chǎn)生塑性變形，僅發(fā)生體積的彈性變化。僅發(fā)生體積的彈性變化。 此時我們定義此時我們定義 mp為靜水壓力為靜水壓力 2022-4-968 當(dāng)坐標(biāo)軸取主軸時，斜面上的應(yīng)力有當(dāng)坐標(biāo)軸取主軸時，斜面上的應(yīng)力有 nSmSlSnnn 3322111222nml1232322222121nnnSSS橢球面方程橢球面方程 1222222czbyax222ayx2022-4-969 該橢球面主半徑長該橢球面主半徑長度分別等于主應(yīng)力度分別等于主應(yīng)力 1、 2、 3的值。此橢球的值。此橢球面稱為應(yīng)力橢球面。面稱為應(yīng)力橢球面。由橢球面上任意點(diǎn)由橢球面上任意點(diǎn)向原點(diǎn)連線，此線向原點(diǎn)連線，此線段長度表示任意斜段長度表示任意

31、斜面上的全應(yīng)力面上的全應(yīng)力Sn。 應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面2022-4-970 如果如果 ，則橢球面變成球面。此時，則橢球面變成球面。此時，變形體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為三個主應(yīng)力相同，變形體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為三個主應(yīng)力相同，并等于并等于 ，此點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)可用如下矩陣表示，此點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)可用如下矩陣表示 pm321mmmmsT000000 由于這一點(diǎn)的三個主應(yīng)力相同，通過該點(diǎn)的所有微分由于這一點(diǎn)的三個主應(yīng)力相同，通過該點(diǎn)的所有微分斜面上的應(yīng)力相同，此時應(yīng)力曲面為球形。因此，上述矩斜面上的應(yīng)力相同，此時應(yīng)力曲面為球形。因此，上述矩陣便是球形應(yīng)力張量，簡稱陣便是球形應(yīng)力張量，簡稱球應(yīng)力張量球應(yīng)力張量。 pppT

32、s000000或或2022-4-971 球應(yīng)力分量僅能使物球應(yīng)力分量僅能使物體引起體積脹縮的彈體引起體積脹縮的彈性體積變化，這部分性體積變化，這部分應(yīng)力分量對物體的塑應(yīng)力分量對物體的塑性變形是無貢獻(xiàn)的。性變形是無貢獻(xiàn)的。2022-4-9723.5.2 偏差應(yīng)力偏差應(yīng)力 取任意應(yīng)力張量取任意應(yīng)力張量zyzxzzyyxyzxyxxT從其中去掉球應(yīng)力張量，即從其中去掉球應(yīng)力張量，即mmmzyzxzzyyxyzxyxxsdTTT0000002022-4-973mzyzxzzymyxyzxyxmxdTzyzxzzyyxyzxyxx該應(yīng)力張量稱為該應(yīng)力張量稱為偏差應(yīng)力張量偏差應(yīng)力張量mzzmyymxx 其

33、中其中2022-4-974 偏差應(yīng)力張量也是二階對稱應(yīng)力張量，具有偏差應(yīng)力張量也是二階對稱應(yīng)力張量，具有與應(yīng)力張量類似的性質(zhì)，比如與應(yīng)力張量類似的性質(zhì)，比如zyxI103212222zxyzxyxzzyyxI2132322216122232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI321為偏差應(yīng)力張量一次、二次、三次不變量為偏差應(yīng)力張量一次、二次、三次不變量 2022-4-975偏差應(yīng)力張量不變量的物理意義偏差應(yīng)力張量不變量的物理意義 一次不變量表達(dá)了產(chǎn)生體積不變條件的原因。一次不變量表達(dá)了產(chǎn)生體積不變條件的原因。 二次不變量可以作為變形體由彈性向塑性狀二次不變量可以作為變形體由彈性向塑性狀態(tài)過渡

34、的判據(jù)。態(tài)過渡的判據(jù)。 三次不變量決定了應(yīng)變的類型。三次不變量決定了應(yīng)變的類型。 八面體切應(yīng)力與二次不變量的關(guān)系八面體切應(yīng)力與二次不變量的關(guān)系221323222183231I2022-4-976 也存在偏差主應(yīng)力，并且和相應(yīng)的應(yīng)力主軸也存在偏差主應(yīng)力，并且和相應(yīng)的應(yīng)力主軸保持一致。保持一致。 偏差應(yīng)力張量為從一般應(yīng)力張量中去掉引起偏差應(yīng)力張量為從一般應(yīng)力張量中去掉引起體積改變的球應(yīng)力張量而得到，而一般變形體積改變的球應(yīng)力張量而得到，而一般變形可以看作體積改變和形狀改變的總和，因此可以看作體積改變和形狀改變的總和，因此偏差應(yīng)力張量引起變形體形狀的改變。偏差應(yīng)力張量引起變形體形狀的改變。2022-

35、4-977=+=+z應(yīng)力張量球應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量應(yīng)力張量的分解任意坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系ymmmxxyyzxxzyxyzzxzyxyxzyxyzzxzy123mmm1232022-4-978根據(jù)應(yīng)力偏張根據(jù)應(yīng)力偏張量可以判斷變量可以判斷變形的類型形的類型 擠壓擠壓-8-8-2=222+4-2-2-1-1-1=-6-6-6=-2-24+4-2+-2簡單拉伸簡單拉伸6拉拔拉拔-3-332022-4-9793.5.3 主應(yīng)力圖示主應(yīng)力圖示 表示一點(diǎn)的主應(yīng)力有無和正負(fù)號的應(yīng)力狀態(tài)表示一點(diǎn)的主應(yīng)力有無和正負(fù)號的應(yīng)力狀態(tài)圖示稱為圖示稱為主應(yīng)力圖示主應(yīng)力圖示。 主應(yīng)力圖示有九種：體應(yīng)力狀態(tài)圖示四種、主應(yīng)力圖示有九種：體應(yīng)力狀態(tài)圖示四種、面應(yīng)力狀態(tài)圖示三種、線應(yīng)力狀態(tài)圖示兩種。面應(yīng)力狀態(tài)圖示三種、線應(yīng)力狀態(tài)圖示兩種。 2022-4-980 主偏差應(yīng)力圖示有三種主偏差應(yīng)力圖示有三種 0321原因原因2022-4-9813.5.4 應(yīng)力莫爾圓 321以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，作一斜微分面，其方向?yàn)閘，m，n則有 232221nml232322312322322223212)()()()(mlml1222nml)()()()()()(231323221232213231212322nml通過求解上述三個方程得2022-4-982變換形式得到 232312122232)2()()2(l213123222213)2