中值定理、羅必塔法則

1、第三章中值定理、羅必塔法則、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-、學(xué)習(xí)目的與要求1、加深理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式2、會(huì)應(yīng)用中值定理做一些證明題.3、熟練掌握用羅必塔法則求未定式的極限4、理解函數(shù)的極值概念.5、掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)6、能描繪函數(shù)的圖形(包括水平與鉛直漸近線)7、會(huì)解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問題.&知道曲率及曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)中值定理的應(yīng)用函數(shù)最值的求法及函數(shù)圖形的描繪三、內(nèi)容提要1、微分中值定理名稱定理簡(jiǎn)圖幾何意義羅爾(Rolle)定理若函數(shù)f(x)滿足(i) 在閉區(qū)間a,b

2、上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)f(a)=f(b)，則求(a,b)，使得f(£)=0)、丿若聯(lián)結(jié)曲線端點(diǎn)的弦是水平的，則曲線上必有一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線是水平的.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)f(x)滿足;(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則宛e(a,b)，使得f(b)f(a)=f(C)(ba);或者f(a+h)f(a)=f'(a+6h)h(0<日<1,h=ba)曲線上總存在一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線與連結(jié)曲線端點(diǎn)的直線平行.推論1在定理?xiàng)l件下，若f(x)=0,則f(x)=常數(shù)推論2若f(x)、g(x)都滿足定理?xiàng)l

3、件，且f"(x)=g"(x),則f(x)=g(x)+c(c為常數(shù))柯西(Cauchy)定理若函數(shù)f(x),g(x)滿足；(i) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，(ii) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(iii)gx)芒0,則乂(a,b),使得f(b)-f(a)f徉)g(b)g(a)gV)同上，只是曲線由參數(shù)方程；x=g(t)(a<t<f(t)b)2、羅必達(dá)法則(L'Hospital)注1將結(jié)論中的Xra換成Xra一或Xra,Xr八，X)-:，且其它條件亦作相應(yīng)變類型條件結(jié)論0型0與-型QO設(shè)當(dāng)xta4時(shí)f(x)與g(x)均為無窮小(或均為無窮大)，且存在b，使f(x)

4、、g(x)在(a,b)內(nèi)可微且g"(x)H0,limf(X)=L(L為有限或土°o)T+gx)rf(x)fx)lim=lim=LT+g(x)Ja+g"(x)動(dòng)，結(jié)論仍成立注2其它未定型轉(zhuǎn)化為0型蘭型的形式0旳3、泰勒(Taylor)定理設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的某開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直至n1階導(dǎo)數(shù)，則有f"(x0)2f(n)(x0)nf(x)二f(X。)f(x°)(x-X。)-(X-X°)-(X-X°)Rn(x)2!n!f(nO(&其中Rn(X)二一-'(X-Xo)n1在X與X。之間，Rn(x)稱為f(X)在

5、X-處的拉格朗日余(n+1)!項(xiàng)特別，在上式中令x0=0,得f(x)=f(0)f(0)號(hào)“f(x)=f(0)f(0)號(hào)“*0)嚴(yán)4)八(n+1)!O門：1.f(n)n!(X0)(X-X°)no(x-X°)n)o(xn),稱為帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林f(n)(0)n!此公式稱為麥克勞林公式”f(X0)2f(x)二f(x°)f(x°)(x-X0)丄(X-X0)2!稱為帶有皮亞諾(Peano)余項(xiàng)的泰勒公式f(x)=f(0)f(0)f-(0)x22卷2!公式注在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意上述四個(gè)定理之間的關(guān)系4、函數(shù)的性質(zhì)(I)單調(diào)性定理設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,

6、b)內(nèi)可微(i)f(x)在a,b上單調(diào)增(單調(diào)減)的充要條件是在(a,b)內(nèi)f(x)_0(f(x)_0)(ii)f(x)在a,b上嚴(yán)格單調(diào)增(嚴(yán)格單調(diào)減)的充要條件是在(a,b)內(nèi)f(x)0(f(x).0)，且使f(x)=0的點(diǎn)x不充滿(a,b)的任何子區(qū)間.(II)極值(1)極值的概念設(shè)f(x)在點(diǎn)X。及其鄰域有定義，對(duì)于充分接近X。的所有x,若f(x)<f(xo)則稱函數(shù)f(x)在x=x。處取得極大值；若f(x)>f(x。)，則稱函數(shù)f(x)在x=xo處取得極小值函數(shù)f(x)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值;使f(x)取得極值的點(diǎn)xo稱為函數(shù)的極值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可微

7、，且f(x)=0，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)(駐點(diǎn)).(2)基本定理定理1(必要條件)一個(gè)函數(shù)只能在它的穩(wěn)定點(diǎn)及不可微點(diǎn)處取得極值定理2(第一判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，在Xo的附近可微(點(diǎn)xo可除夕卜)，當(dāng)點(diǎn)x漸增經(jīng)過點(diǎn)xo時(shí)，(X)的符號(hào)由正(負(fù))變負(fù)(正)，貝yf(x)在點(diǎn)Xo處取得極大(小)值定理3(第二判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處具有二階導(dǎo)數(shù)，且(x)=o,f”(x)=o，則當(dāng)f”(x)：o(f(x)o)時(shí)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處取得極大值(極小值)(III)函數(shù)最大值、最小值的求法因?yàn)橛砷]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知：在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最

8、小值所以若f(x)在a,b上可微，則可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由極值的判定定理，求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，然后比較函數(shù)在所有極值點(diǎn)處的值與函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值若所考慮的區(qū)間為開區(qū)間或無窮區(qū)間，只要有辦法斷定最大值(最小值)是存在的，那么從所有極大值(極小值)中選取最大(最小)的就是最大值(最小值)特別地，若在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)時(shí)，最大值(最小值)則就在這個(gè)駐點(diǎn)處取得(IV)函數(shù)的凸性及曲線的拐點(diǎn)定義1若連續(xù)曲線y=f(x)上任意兩點(diǎn)A,B的弦AB恒在曲線段AB的上側(cè)(下側(cè)),則稱f(x)為下凸(上凸)函數(shù)，簡(jiǎn)稱凸(凹)函數(shù)，而稱曲線y二f(

9、x)為下凸(上凸)曲線.若對(duì)于任給：l"a,b(二.-)與r(0,1),有f(1t):ttf()則稱f(x)為在a,b上的凸函數(shù)，若將上式中的"w”換成"<”，則相應(yīng)地改稱為“凸函數(shù)”為“嚴(yán)格凸函數(shù)”若-f(x)為凸(嚴(yán)格凸)函數(shù)，則稱f(x)為凹(嚴(yán)格凹)函數(shù)定義2連續(xù)曲線上凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).定理設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)二次可微，f(x)在a,b上連續(xù)f(x)在a,b上的凸(凹)函數(shù)的充要條件是在(a,b)內(nèi)f”(x)_O(f”(x)O)(i) f(x)在a,b上嚴(yán)格凸(凹)的充要條件是在(a,b)內(nèi)f”(x)_O(f”(x)乞0)，且使f(x

10、)=0的點(diǎn)x不充滿(a,b)的任何子區(qū)間.(V) 曲線的漸近線定義當(dāng)曲線無限伸展時(shí)，若曲線上的點(diǎn)與某一直線的距離趨于0,則稱該直線為曲線的漸近線.漸近線的求法：鉛直漸近線若對(duì)于x，有l(wèi)imf(x)-：，則x=x0就是y=f(x)的鉛直漸近線.水平漸近線若limf(x)二y0，貝Vy=y0為y=f(x)的水平漸近線.x_)：:斜漸近線若a-limf(x)及b=limf(x)-ax都存在，則y=axb為y=f(x)xxHf«的斜漸近線.(VI) 曲線的曲率設(shè)M為曲線y=f(x)上一點(diǎn)，Mi為曲線y=f(x)上異于M的任一點(diǎn)，弧MM1的長(zhǎng)記為As，過M與M1的兩切線間的夾角為，當(dāng)M1沿曲線

11、y=f(x)趨近于M時(shí)，(即r0時(shí))若lim°|.存在，則稱這個(gè)極限為曲線y=f(X)在點(diǎn)M的曲率，記為線y=f(X)在點(diǎn)M的曲率，記為K，即；而R=稱為曲線Ky=f(x)在M點(diǎn)的曲率半徑.在曲線凹方的一側(cè)，半徑為曲率半徑的圓稱為曲率圓，其圓心稱為曲率中心.曲率的計(jì)算公式：若曲線的方程為y=f(x)，則曲線在點(diǎn)(x,y)處的曲率為d®yds1+(y?232d®yds1+(y?232曲率中心為yy,y,1 y=yyy"若曲線的方程為xx(t)丄'"則曲線在(x,y)處的曲率為K=-xy；/,2丄，232(x；+y；)=y(t).(VII)

12、函數(shù)的作圖步驟:第一步，求出函數(shù)的定義域;第二步，考察函數(shù)的奇、偶性，周期性;第三步，求出方程f(x)=0的根，列表判別函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn);第四步，求出方程f“(X)=0的根，列表確定函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn)；第五步，求出函數(shù)的漸近線；第六步，計(jì)算幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，畫出圖形四、思考題1、當(dāng)羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件不滿足時(shí)，定理的結(jié)論還成立嗎？試舉例(或用圖舉例)說明232、當(dāng)柯西中值定理的條件不滿足時(shí)，定理的結(jié)論還成立嗎？試以f(x)=X，F(xiàn)(X)=X為例在-1，1上討論3、對(duì)函數(shù)f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得f(b)-f(a)=f(J(b-a),a：b再對(duì)函數(shù)F(x)應(yīng)用拉格朗日中值

13、定理，可得F(b)-F(a)=F)(b-a),a：b二式相除，即證明了柯西中值定理丄©血這樣證法對(duì)嗎？為什么？F(b)F(a)F徉)4、你能說明四個(gè)中值定理之間的關(guān)系嗎？5、是否任何函數(shù)都能在它的定義域內(nèi)任一點(diǎn)展開為它的n階Taylor公式？6、f(x)0,(a:x:b)是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加的充分條件還是必要條件，或充要條件？7、若對(duì)任意x均有f(X)>g(x)，則對(duì)任意x必有f(x)>g(x)對(duì)嗎？為什么？8、若f(x)在Xo至少二階可導(dǎo)，且f(x)_f(X。)=_1,則函數(shù)f(x)在x=x°處取lim2X說(x-x0)得極大值還是極小值，為什么?

14、9、已知函數(shù)y=f(x)對(duì)一切x滿足xf(x)=3xf(x)2=1-e，若f(x)在某一點(diǎn)X0豐0處有極值，問f(x0)是極大值還是極小值？為什么?10、若(x°)=0，則點(diǎn)(X0,f(X0)必為函數(shù)曲線y二f(X)的拐點(diǎn)，對(duì)嗎？為什么?典型例題分析試問下面的運(yùn)算正確嗎？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)指出錯(cuò)誤，并且給出正確解法分析(1)limxyx+sinx上式等號(hào)是錯(cuò)誤的=lim-Xr1COSX，因?yàn)?一：時(shí)1cosx的極限不存在(振蕩)不能使用羅必塔法則分析limxxsinx(2)limxx+e=lim1xsinx101-121第一個(gè)等號(hào)是正確的，第二個(gè)等號(hào)疋旦錯(cuò)誤的因?yàn)楸绢}應(yīng)考慮不同的極限過程，

15、分兩種情況考慮1=-2x嗎宀;呱1D"1=-2x嗎宀;呱1D"x-xe-elim-X-e-XX»：exe2xe2x=lime2x1-1所以當(dāng)X時(shí)極限不存在分析分析(3)設(shè)g(0)=g(0)=0,g(0)=2,上式第一個(gè)等號(hào)是正確的因?yàn)楫?dāng)X>腫)g(x)2=limx7xx22xg(x)=limx>020時(shí)，g(x)-0,x20，所以g(x)2X2是型未0定式又因?yàn)間”(0)=2，在x=0的某鄰域內(nèi)g(x)存在，可以用羅必塔法則第二個(gè)等號(hào)是錯(cuò)誤的.雖然X>0時(shí)，2x7g(x)7緩是0未定式，但g(02,僅代表f(x)在點(diǎn)x=0處二階導(dǎo)數(shù)存在而g(x)

16、在x=0的鄰域內(nèi)是否存在沒有說明,不滿足羅必塔法則中的條件2，故不能用羅必塔法則，應(yīng)該按導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算叫Hx叫HxX2.(Xgg(x)2xJmg(x)-g(°)2x“x-012gg(4)(4)limJim皿Jim1-n-nn:：(n)n-.門分析分析上述運(yùn)算是錯(cuò)誤的因?yàn)閚為自然數(shù)，數(shù)列的定義域是離散點(diǎn)集，對(duì)自變量n而言數(shù)列不存在導(dǎo)數(shù)，不能直接用羅必塔法則計(jì)算時(shí)，可先將n擴(kuò)充為連續(xù)變量x，寫出相應(yīng)的函數(shù).當(dāng)x、:時(shí)，是二型未定式，可以使用羅必塔法則求函數(shù)的極限xx顯然，如果函數(shù)的極限存在，數(shù)列的極限也存在且等于函數(shù)的極限但也需注意，如果函數(shù)的極限不存在，數(shù)列的極限可能還存在因lim=li

17、m丄=0，所以，當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)lim|n_n=0xx：xnn(5)求lim(1X)xe1limx)0x1limx)0x1/x1(1x)-yln(1x)xx(1+x)=limX：o1分析分析1=1四(1+x)x-11x=elimx72上述解法是正確的1x(1x)ln(1x)xJi=lim(1x)xlimx)0x0x2(1x)x-(1x)ln(1x)x-e2這是0型未定式，可應(yīng)用羅必塔法則；而且為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，在第二個(gè)0等號(hào)的右端將函數(shù)進(jìn)行了有理運(yùn)算，在第三個(gè)等號(hào)右端將其中含有已知極限的因式提出來單獨(dú)求極限，避免使用羅必塔法則時(shí)的復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算，而僅對(duì)未定式部分使用法則，這樣計(jì)算大大簡(jiǎn)化3112求（1

18、）limx（sin一一sin）;x2x(2)limxcos:(1)屬0:型未定式limx3(sin1xxlimx3(sin1xxIsin2)2x二limx)：:.11.sinsinx2x1x-112cos=lim&xx:122cosxx-3x12121231=limx(coscos)limx2sinsin31£)(丈31£)(丈lim.3j：13xhxx3xh2x2x.3.1sinsin-2x2x1x2(2)屬1:型未定式.令y=(cos.x)x，貝ylny=lnCOs'x,xlimx°ln八!im。Incos、xxlim一sinx.1x>0

19、cosx2、.x所以limWcosJxX>0對(duì)于幕指函數(shù)的未定式10°,：0都可以按上式的方法計(jì)算例3如果a。®,an為滿足a°別旦20的實(shí)數(shù)，證明方程2 3n+1a0-a1x-a2x:(1，anx0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根分析依題意要證明的是a0qa22ann=0,0：1，把它改寫成(aox+印x2+恥x3+anxn卅)'x=廠G)=023n+1x=i；這是羅爾定理結(jié)論的形式，因此可以構(gòu)造輔助函數(shù)anan2f(x)=a0xa1x2x323用羅爾定理證明設(shè)輔助函數(shù)f(x)二a0x別x22f(x)二a0x別x222旦X3-a-3 n1f(x)在0,

20、1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(1)=0.由羅爾定理知在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f)=0,(0<<1),即卩a0-a/a22訐：卜ann=0,所以方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.例4設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上的每個(gè)x都有0vf(x)v1，且f(x)豐1,證明在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)x，使f(x)=x.分析將要證的結(jié)論寫成f(x)-x=0，利用介質(zhì)定理可證方程在0,1內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，是否存在第二個(gè)實(shí)根可用反證法證先證存在性設(shè)F(x)二f(x)-x,F(x)在0,1上的連續(xù)，由于0vf(x)v1,則F(0)=f(0)0,F(1)=f(1)一仁0,由連續(xù)函數(shù)的介值

21、定理可知，至少存在一點(diǎn)(0,1),使得F(xJ=0,即f(x1)=為.再證唯一性，用反證法：假設(shè)在(0,1)內(nèi)除了點(diǎn)X1使f(Xj=X1之外，還有一點(diǎn)X2也使f(X2)=X2.不妨設(shè)X1<X2由于F(x)在X1,X2上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此在(X1,X2)內(nèi)存在一點(diǎn)=1x2-x1x2-X1這與題設(shè)f(x)=1相矛盾，因此方程f(x)=x有唯一的實(shí)根小結(jié)證明方程只有一個(gè)實(shí)根或函數(shù)在某一區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，一般需分別證存在性與唯一性.存在性的證明往往利用連續(xù)函數(shù)的介值定理或羅爾定理，而唯一性經(jīng)常用反證法.例5假設(shè)f(x)是a,b上的正值可微函數(shù)，則有點(diǎn)-()，使分析分析假設(shè)等式成立

22、，把它改寫成j")f()Inf(b)-Inf(a)_f()b-af()'顯然，上式左端是函數(shù)Inf(x)在a,b上增量與區(qū)間長(zhǎng)度之比，右端是Inf(x)在x二點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)因此，可以構(gòu)造輔助函數(shù)Inf(x)，用拉格朗日中值定理證明設(shè)F(x)=lnf(x),F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理的條件，故有l(wèi)nf(b)nf(a)f(b)()(ba)Inf(a)f()設(shè)f(x)在x1,x2上可導(dǎo)，且設(shè)f(x)在x1,x2上可導(dǎo)，且0Vx1<x2，試證明在(x1,x2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)'分析分析XiX2f(X2)由于左端=Xif(X2)-X2f(Xi

23、)%x2f(X2)f(xjX2X111,X2X1這正是函數(shù)f(x)與1在區(qū)間為,xxX2上增量之比,右端f()-f()=(f(x)f(J-f()1因此，可以構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=3,g(x)x用柯西中值定理證明用柯西中值定理證明要證明Xif(X2)-X2f(Xi)=f(.)_(),也就是要證X1f(X2)-x2f(xi)+(X1-X2)f('；)-f(、：)=0,證法1兩端同除以2得把上式寫成Xif(X2).-2X2f(Xi)+(XX2)f(x)iF()工(Xi-X2)(Xif(X2)-X2f(Xi)x_-0,XX這是羅爾定理結(jié)論的形式因此可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)iF(x)=(Xi-X

24、2)(Xif(X2)-X2f(Xi)，用羅爾定理證明.XX用柯西中值定理f(x)i設(shè)F(x),G(x)二，因OvXivX2，故在(Xi,X2)內(nèi)G(x)二XX-i2=0x-i2=0xf(X2)f(Xi)f()-f()X2Xi-1,(Xi:：:X2)即得%-x2f(Xi)f(X2)用羅爾定理設(shè)輔助函數(shù)F(x)=(Xi-X2)()XF(x)在Xi,X2上連續(xù)在(Xi,X2)證法2X2Xi=f()-f()i-(Xif(X2)-x?f(Xi)-X，且F(x)、G(x)在Xi，X2上滿足柯西中值定理的條件，故有F(Xi)訐區(qū))=f(Xi)-f(X2)由羅爾定理得Xif(X2)-X2f(Xi)+(XX2)

25、f()2f()=O,xix2f(Xi)f(X2)=f(f()小結(jié)證明與微分中值有關(guān)的等式問題，可以應(yīng)用微分中值定理如果命題比較復(fù)雜往往要構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)常用的方法之一是將欲證的結(jié)論寫成中值定理結(jié)論的形式例如將等式變形，使含中值的項(xiàng)移到一邊，觀察含的一邊是否為某個(gè)函數(shù)f(x)或某兩個(gè)函數(shù)f(x)、F(x)的導(dǎo)函數(shù)在處的值f()或比.也可以觀察不含的另一端是否為某個(gè)函數(shù)在此區(qū)間的增量與區(qū)間長(zhǎng)度之比，或者是某兩個(gè)函數(shù)f(x)、F(x)在此區(qū)間上增量之比，由此確定應(yīng)該構(gòu)造的輔助函數(shù)及相應(yīng)的區(qū)間例7證明當(dāng)x=0時(shí)，exdxx丄x0e1ee分析將不等式變形為分析將不等式變形為0即0，右端是函數(shù)ex

26、在區(qū)間0，X或X，xx00上函數(shù)的增量與區(qū)間長(zhǎng)度之比于是，可以構(gòu)造輔助函數(shù)ex，選定區(qū)間0，x或x，ex_e00應(yīng)用拉格朗日中值定理.如果將不等式變形為kT0，左端是函數(shù)ex和函數(shù)x1+x在區(qū)間0，x或x，0上增量之比.于是，可以構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=e和F(x)=1+x，選定區(qū)間0，x或x，0應(yīng)用柯西中值定理此外，還可將ex在x=0點(diǎn)展開為一階麥克勞林公式因此，可以用三種方法證明不等式.證法1用拉格朗日中值定理.設(shè)f(x)=ex，ex在(-：)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo).任取x，則f(x)在0，x或x，0上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有ex-e°=e(x-0)，(在0與x之間)所以當(dāng)x>

27、0時(shí)，>0,e>1,xe>x，從而ex>1+x，當(dāng)x<0時(shí)/v0,e<1,xe<x，從而ex>1+x，所以當(dāng)x=0時(shí)，exVx證法2用柯西中值定理.設(shè)f(x)=ex,F(x)=1+x，在(-：:，:)內(nèi)任取x，在0,x或x,0內(nèi)f(x)、F(x)滿足柯西中值定理的條件在0,x或x,0上連續(xù)；在(0,x)(x,0)內(nèi)可導(dǎo)；在(0,x)(x,0)內(nèi)F(x)=1豐0且F(x)-F(0)=x1-1=x=0,x0tx1故有e_e_=乞，(©在0與x之間)；當(dāng)x>0時(shí)，e>1,e->1,(1+x)11xex>1+x，所以xe

28、>1+x；xv0時(shí),x當(dāng)x=0時(shí)，e1x.證法3用泰勒公式.t設(shè)f(x)=ex，將ex在x=0點(diǎn)展開為一階麥克勞林公式e1xx(在0!e與x之間)因?yàn)楫?dāng)x豐0時(shí)x2>0，所以exdx這就證明了x工0時(shí):!ex1x小結(jié)利用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)和選擇適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，使它滿足定理的條件.其次是如何將等式轉(zhuǎn)化成不等式，主要是把f(J適當(dāng)放大或縮小從而得到所要證明的不等式例8設(shè)f(x)在gb上連續(xù)，在(a1,b1)內(nèi)有一階、二階導(dǎo)數(shù)且f(a)二f(b)=Qf(a)0,?。篴：bb,試證在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f)：0分析由f.(a

29、)知在a點(diǎn)的右鄰域內(nèi)存在一點(diǎn)c,使得f(c)0,a-c-b.又f(a)二f(b)=0自然想到將a,b分成a,c,c,b二個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上對(duì)f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，找到f(J,f(2).選定1,2閉區(qū)間，再次應(yīng)用拉格朗日中值定理即可得到結(jié)果又，由于f(x)在a,b內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且研究的結(jié)論是f()”：0,而泰勒公式中包含二階導(dǎo)數(shù)，自然想到也可以用泰勒公式證明證法1用拉格朗日中值定理由f(a)=limXra由f(a)=limXrax-a時(shí)，f(c).0,從而,xaf（c）0,在a,c，c,b上f（x）滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,f(x)-f(a)和m丄兇0可知，存在.

30、0，當(dāng)c(a,a、)xax-a故在a,c上有在c,b上有在c,b上有又f(x)在1,f(c)-f(a)f,.、f(c)f(1)rcaf()f(c)-f(2)-bc(a：:c)c-af(b)-f(c)b-c2上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故在(c：2:b)1,2上有f(2(l)=f()f(i)>0,f(2)V0因?yàn)閒(c)>0,c-a0,b-c0,所以又因1一2>0,f（2）f（1）V0，所以f（）V0.證法2用泰勒公式.由題設(shè)厲心）=訕丄匚他=吠3>0得到，在（a,b）內(nèi)必存一點(diǎn)Hill*ya.vx）axac使得f（c）0,a:c:：b設(shè)f（x）在x0點(diǎn)取得最大值，f（冷

31、）=0,a:xb,哄）f（c）0,廠徉）2蘆亠一f（x）二f（x0）f（X0）（X-X0廠（X-X0）,（在x與X0之間）2!f"（巴）2令x=a，則有f（a）=f（x°）f（x°）（a-x°）（a-x°）2!=f（X。）口）（a-X。）2，即口）（a-X。）2二-f（x°）v0,2!2!因?yàn)椋╝-x°）2>0，所以f”）v0.小結(jié)證明包含二階以上導(dǎo)數(shù)的有關(guān)結(jié)論，如果用拉格朗日中值定理，就要分析題目條件選定二個(gè)以上適合中值定理?xiàng)l件的區(qū)間，多次應(yīng)用拉格朗日中值定理.泰勒公式中含有各階導(dǎo)數(shù)值，也可以用來證明與二階以及以上導(dǎo)

32、數(shù)有關(guān)的命題例9求函數(shù)f(x)=sinxcosx的極值(owx<2二).f(x)=cosx-sinx,f(x)=-sinx-cosx,令f(x)=0,得駐點(diǎn)xi=二-、2:：:0，所以二-、2:：:0，所以二,2為極大值.說明例10又咅2>o.此題為可導(dǎo)函數(shù)且在駐點(diǎn)處2xX,已知函數(shù)f(x)二X+1,f(x)f_(0)所以,所以f”(x)=0,所以找出駐點(diǎn)后，用第二充分條件進(jìn)行判斷方x0,問x為何值時(shí)，f(x)取得極值.x_0,廣2x2x(Ego,當(dāng)x=0時(shí),1,xcO-limf(x)型二lim-1,f(0)=lim-X)0一x-0X】o-x0-2x,2x(1lnx)=limx0_

33、1當(dāng)x=0時(shí)，f(x)不存在x2x-1f(xf(0)mX_0Xo_x當(dāng)xv0時(shí),f(x)<0112f()=()eee11令f(x)=0，即2x2x(1Inx)=0，得駐點(diǎn)x,(將可疑點(diǎn)x=0及x按大小ee順序排列，把函數(shù)的定義域(-：，；)分成三個(gè)部分區(qū)間，討論在各部分區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào).)11f(x)>0；當(dāng)0vxv時(shí)，f(x)>0；當(dāng)X-時(shí),ee1故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值f(0)=1，當(dāng)x時(shí)函數(shù)取得極小值e由此可見，分段函數(shù)求極值的步驟與非分段函數(shù)求極值的步驟一樣，關(guān)鍵是在分段點(diǎn)求導(dǎo)時(shí)，要用導(dǎo)數(shù)定義來求若在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，則分段點(diǎn)為可疑點(diǎn)；若在分段點(diǎn)處導(dǎo)

34、數(shù)存在，但不等于0,則分段點(diǎn)不是可疑點(diǎn)例11設(shè)f(x)=(x-x0)八(x),(n為自然數(shù))，其中(x)是連續(xù)函數(shù)，問當(dāng)(x0)0時(shí)，f(x)在點(diǎn)xo處是否取得極值？為什么？分析題中只知道(x)連續(xù)，因而f(x)也是連續(xù)的，但不知f(x)是否可導(dǎo)，故不能用導(dǎo)數(shù)等于零來求駐點(diǎn)，只能用函數(shù)的極值定義來進(jìn)行判斷此外，題中還有自然數(shù)n，f(x)在x0點(diǎn)是否取極值與n有關(guān).解由于(x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)，且(xo)0，故存在-0.當(dāng)(xo-Xo，)時(shí)，:(x)o,此時(shí)，函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)的符號(hào)完全由因子(X-Xo)n決定，而(X-Xo)n的符號(hào)又與n的奇偶性有關(guān)若n為偶數(shù)，當(dāng)x(xo-、；，xoK)且x

35、o時(shí)f(x)O，而f(xo)=O，所以f(Xo)=O為極小值.(1) 若n為奇數(shù)，當(dāng)x(x-,xo)時(shí)f(x)：O，當(dāng)x(xo,xo，)時(shí)f(x)O，所以f(xO)=O不是極值.小結(jié)求函數(shù)的極值的步驟為：1、找出可疑點(diǎn)可疑點(diǎn)包括：(1)駐點(diǎn)；(2)使一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(但函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù))；(3)函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但不連續(xù).2、判斷.對(duì)(1)、(2)兩類可疑點(diǎn)，利用極值存在的第一或第二充分條件；對(duì)第(3)類可疑點(diǎn)，則利用極值定義3、求出極值.2x例12求函數(shù)f(x)=arcsin2-2arctanx在(-：，；)上的最大值和最小值.1+x2f(x"2(1X)2f(x"2(1X

36、)1-X21_1X20,當(dāng)x：-1時(shí)，f(x)=O,f(x)為常值函數(shù)當(dāng)一1：x：1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)增加,當(dāng)x1時(shí)，f(x)=O,f(x)為常值函數(shù)又因f(x)在(一：:，二)內(nèi)連續(xù)，所以f(-1)=-：為最小值，f(1)=二為最大值例13在y軸上給定一點(diǎn)(0,b),求此點(diǎn)到拋物線4y=x2的最短距離(數(shù)b可以取任何實(shí)數(shù)值)解目標(biāo)函數(shù)d2=f(y)=x2(y-b)2=4y(y-b)2(0三y：)，f(y)=42(y-b)=2y2-b(1) 當(dāng)b乞2時(shí)，f(y)_O,f(y)單調(diào)遞增，所以f(0)為最小值，即d最小=b2，所以，d=b(2) 當(dāng)b2時(shí)，f(y)=2y2-b=0,y=b

37、-2,為f(y)的唯一駐點(diǎn)，又因(y)=20，故f(b-2)為極小值，也是最小值f(b-2)=4(b-2)4二4(b-1)所以，d=2.b-1.說明(1)我們只討論拋物線在第一象限部分，由于對(duì)稱性，第二象限部分同樣可以討論,其結(jié)果相同(2)目標(biāo)函數(shù)也可以用x作為自變量例14例144y/圖5-20如圖5-2所示，半圓0的直徑為24為直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)圖0A=2，B為半圓上任一點(diǎn),以為邊作等邊三角形ABC，問B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大并)出面積的最大值.圖5-1解作BD_0A，則BD=sinx,AB=、122-212cosx=、5-4cosx1LOAB面積S12sinx=sinx2AB

38、C面積S2ABABsin3(5-4cosx)2343四邊形OAC面積為：S(x)S2=sinx(5_4cosx),其中40:x：二，S(x)二cosc、3sinx,5令S(x)=0得ctgx=i.3,x為(0，二)內(nèi)唯一的駐點(diǎn)，又因65 1一35S(x)-sinx3cosx,S(二八-3':0，所以S()為極大值，也是2265最大值，故B在x時(shí)，四邊形OACB的面積最大，最大值為6S(?：)=sin"(54cos(5二)46=25.34小結(jié)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)間上最值一定存在對(duì)于式子題求最值，只須算出函數(shù)可疑點(diǎn)處與端點(diǎn)處的函數(shù)值時(shí)行比較，最大者就是最大值，最小者就是最

39、小值對(duì)于應(yīng)用問題求最值，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值，且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得，在定義區(qū)間內(nèi)部取得，這時(shí)如果方程f(x)=0在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)根x0，那么不必討論f(X°)是否為極值，就可斷言f(X°)是最大值或最小值.例15求函數(shù)y=xe-x的連續(xù)區(qū)間、可導(dǎo)區(qū)間、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)和漸近線.因?yàn)閤i0my-x一xe.xxe,x:0x_0limy-0，所以函數(shù)在0一x=0處連續(xù),故連續(xù)區(qū)間為(-：，；)e=(x_1),x<0于(1_x),x>0y(0)“imf(x)f(0)X_0二limx)0-x-xe八1,xy(0

40、)嘰半亍-xxe二lim.二1，X)0x函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)，在（-：,0）和（0,：；3）可導(dǎo).e(2x)丫_e(x-2)x：0x0令y0，得x=i，令y”=0，得x=2，列表如下:x(-00,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+比)Fy一不存在+0一一一FTy+不存在一一一0+y=f(x)圖形小點(diǎn)極拐極大拐點(diǎn)故單調(diào)增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)減區(qū)間為（一旳，0）,（1,+血）,凸區(qū)間為（0,2）,凹區(qū)間為（一00，0），（2,+）；極小值點(diǎn)為x=0，極大值點(diǎn)x=1，拐點(diǎn)為（0,0），（2，2e°）又limy=limxe=0,故y=0為水平漸近線X.丿x_.21例16描繪函數(shù)y=x2

41、的圖形x解（1）定義域（一:,0）及（0,+：），無奇偶性，無周期性(2)y'=2x-2x2xy、222x22(x1)2x，令y>0得X1x(-°°,T)一1(1,0)（碣嗆）Fy一一一一0+樺y+0一+y=f(x)拐點(diǎn)極小y及y不存在的點(diǎn)沒有）（3）列表（4）漸近線：因四丫=°°，所以x=0為鉛直漸近線令y=0，得x=-1.（在定義域內(nèi),令y=0，得x=-1.（在定義域內(nèi),（5）描圖:11y(-23-,y(-10,y(32)-3322：1.9,y(1)=2,y(2)=4肌丁八；,啊機(jī)y=；小結(jié)描繪函數(shù)圖形是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.描繪函數(shù)y=

42、f（x）的圖形的一般步驟為:1、確定函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性2、求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f(X)及二階導(dǎo)數(shù)f(x)，找出在定義域內(nèi)的下列各點(diǎn)：間斷點(diǎn)、駐點(diǎn)；一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；使二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)等，將這些點(diǎn)按大小順序排列，把函數(shù)的定義域劃成幾個(gè)部分區(qū)間3、列表根據(jù)f(x)，f(x)的符號(hào)，把函數(shù)圖形在各部分區(qū)間的升降和凹凸，極值和拐點(diǎn)等在表中列出4、求漸近線5、描圖例17方程3x44x36x212x20=0有幾個(gè)實(shí)根？解令f(x)=3x4-4x3-6x212x-20,則f(x)=12x3-12x2-12x12=12(x1)(x-1)2令f(x)=0得x-1,X2=1當(dāng)時(shí)，f(x)：0，函數(shù)單調(diào)減?。划?dāng)(-1,1)時(shí)，f(x)0,函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)(1,匸：)時(shí)，f(x)0，函數(shù)單調(diào)增加；所以f(-1)=-31是極小值f(1)=-15不是極值limf(x)