復(fù)旦趙海濱 大學(xué)物理B 機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩-3

1、12022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.5 10.5 一維諧振動(dòng)的合成一維諧振動(dòng)的合成20 00 00 0旋轉(zhuǎn)矢量合成方法：旋轉(zhuǎn)矢量合成方法： 2121xxxAAA20210120210101020212221coscossinsin)cos(2 AAAAtgAAAAA一一. 同方向同頻率同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合成的簡諧振動(dòng)的合成x1=A1cos( t+ 10)x2=A2cos( t+ 20)x=x1+x2=Acos( t+ 0)3xto2TT23T2T合成合成振動(dòng)振動(dòng)(1) (1) 若兩分振動(dòng)同相，即相位差若兩分振動(dòng)同相，即相位差00 212,0, 1, 2,kk 12AAA 2AA

2、1A00221212212cos()AAAA A x結(jié)論：同相迭加，合振幅最大結(jié)論：同相迭加，合振幅最大。合振動(dòng)的振幅取決于兩分振動(dòng)的相位差合振動(dòng)的振幅取決于兩分振動(dòng)的相位差。40022121221122cos()AAAA AAAto2TT23T2Tx2x1x合成合成振動(dòng)振動(dòng)（2 2）若兩振動(dòng)）若兩振動(dòng)反相，反相，即相位差：即相位差：2010(21) 0, 1, 2,kk 2A1AAx反相迭加，反相迭加，振幅相消，振幅相消，合振幅最小合振幅最小。當(dāng)當(dāng)A1=A2 時(shí)，合振幅時(shí)，合振幅A=0，質(zhì)點(diǎn)一直靜止不動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一直靜止不動(dòng)5（3 3）一般情況）一般情況0021k1212|AAAAA 1A2AA結(jié)

3、論：兩個(gè)振動(dòng)的結(jié)論：兩個(gè)振動(dòng)的相位差相位差對合振動(dòng)起著重要作用。對合振動(dòng)起著重要作用。合成振動(dòng)合成振動(dòng)to2TT23T2Tx1A2AA6333222111coscoscostAxtAxtAxxyyxAAAAAtan22tAxcos332211coscoscosAAAAx332211sinsinsinAAAAy（4） 多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成多個(gè)簡諧振動(dòng)的合成其中：其中：A1A2A3A1237求它們的合振動(dòng)的振幅和初相；求它們的合振動(dòng)的振幅和初相；并證明當(dāng)并證明當(dāng) N N =2k=2k 時(shí)時(shí)的合振幅為零。的合振幅為零。 解解: :采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，從而避開采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問題得到簡化，

4、從而避開煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。 根據(jù)矢量合成法則，根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡諧振動(dòng)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢個(gè)簡諧振動(dòng)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如圖所示：量的合成如圖所示： 例例 N個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，它們的振幅相等，個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為初相分別為0, 0, , 2, 2, ., , ., 依次差一個(gè)恒量依次差一個(gè)恒量，振動(dòng)表，振動(dòng)表達(dá)式可寫成達(dá)式可寫成1cos,xat 2cos(),xat 3cos(2 ),xat cos(1) NxatN 8Ox1a2a3a4a5aC 因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相位差依次恒為且相位差依次恒為 ，圖中，圖

5、中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以以 C為圓心的圓周上，設(shè)半為圓心的圓周上，設(shè)半徑為徑為R R，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系，根據(jù)簡單的幾何關(guān)系可得可得AMNOCM 在三角形在三角形DOCM中中, ,OM 的長度就是合振動(dòng)的振幅的長度就是合振動(dòng)的振幅, ,角度角度 就是合振動(dòng)的初相，據(jù)此合振幅為：就是合振動(dòng)的初相，據(jù)此合振幅為：MOX2sin2NAR 考慮到考慮到2sin2aR R9sinsin22NAa 0MOxCOxCOM 11()()2212NN 2sin,2NAR 2sin2aR Ox1a2a3a4a5aCAM0 202sin1coscossin2NNxAtat 合振動(dòng)可表示為

6、：合振動(dòng)可表示為：10若：若：2 0 1 2NkkkkN ,Ox1a2a3a4a5aCAM0 sinsin22NAa 如果各分振動(dòng)的初相滿足：如果各分振動(dòng)的初相滿足： ,.kk 2012即各分振動(dòng)振幅矢量在同一條即各分振動(dòng)振幅矢量在同一條線上，同相疊加，合振幅最大線上，同相疊加，合振幅最大A=Na。 各分振動(dòng)矢量依次相接后構(gòu)成閉合的正多邊形，各分振動(dòng)矢量依次相接后構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動(dòng)的振幅為零。合振動(dòng)的振幅為零。11二二. . 同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成 拍拍 當(dāng)兩個(gè)同方向簡諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量當(dāng)兩個(gè)同方向簡諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩

7、個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差位差與時(shí)間有關(guān)與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長度和角速度都將隨時(shí)間變合矢量的長度和角速度都將隨時(shí)間變化化。考慮頻率相近、振幅相等的兩個(gè)振動(dòng)的合成?？紤]頻率相近、振幅相等的兩個(gè)振動(dòng)的合成。設(shè)兩個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率設(shè)兩個(gè)簡諧振動(dòng)的頻率 和和 很接近，且很接近，且1212110220cos(),cos()xAtxAt 兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成得：兩個(gè)簡諧振動(dòng)合成得：212102cos()cos()22xAtt x = x1+ x212因因,21112或或,2 在兩個(gè)簡諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中，第一項(xiàng)隨在兩個(gè)簡諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中

8、，第一項(xiàng)隨時(shí)間作緩慢變化時(shí)間作緩慢變化, , 第二項(xiàng)是角頻率近于第二項(xiàng)是角頻率近于 的簡諧的簡諧函數(shù)。合振動(dòng)可視為是角頻率為函數(shù)。合振動(dòng)可視為是角頻率為 、振幅為、振幅為 的簡諧振動(dòng)，即的簡諧振動(dòng)，即振幅作低頻變化振幅作低頻變化的簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng)。1或或22)(21212cos2At 212102cos()cos()22xAtt 隨隨t 緩變，緩變，2122( )cosA tAt 212coscostt 隨隨t 變化比較快。變化比較快。2112213t1xt2xtx14 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱（振幅周期性變化）的現(xiàn)象稱為合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱（振幅周期性變化）的現(xiàn)象稱為拍拍。合振幅變化的頻率（即單位時(shí)間內(nèi)振

9、動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次合振幅變化的頻率（即單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)）叫數(shù)）叫拍頻拍頻。由于振幅總是正值，振幅變化的頻率是由。由于振幅總是正值，振幅變化的頻率是由余弦函數(shù)絕對值余弦函數(shù)絕對值 的變化頻率的變化頻率來決定，即：來決定，即：21cos()2t 1x2xtox=, 212121211221()222TT 拍拍拍拍拍拍即拍頻等于兩分即拍頻等于兩分振動(dòng)頻率之差振動(dòng)頻率之差152022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)15RLC交流交流電路電路LCR162022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)16純電阻電路純電阻電路 0iuR電阻上的電壓與電流同相位。電阻上的電壓與電流同相位。由歐姆定律，可知電阻

10、等于電壓與電流的比值。由歐姆定律，可知電阻等于電壓與電流的比值。設(shè)電流的初相位為零：設(shè)電流的初相位為零：tUtRIRtitummcoscos)()(tItimcos)(RIUIUZmmR0RRiRuR交流電路中的電阻、電感、電容交流電路中的電阻、電感、電容172022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)17LLitLuttItimcos)(若：dtdiLeL)2cos(sin)(tLItLItemmL純電感電路純電感電路 電感兩端電壓電感兩端電壓: :自感電動(dòng)勢自感電動(dòng)勢: :mmmmmLLIUtUtLItLIeu);2cos()2cos(sin182022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)18感抗感抗

11、電壓超前于電流電壓超前于電流 /2IXLIULfLLXL22iuLLuLLi有效值關(guān)系有效值關(guān)系:f: 交流電頻率交流電頻率tItim cos)()2cos()( tLItum192022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)19cutCcit電流超前于電壓電流超前于電壓 /2CuC純電容電路純電容電路CtquC)(tUtumccos)(若：)2cos()2cos()(tItCUdtdqtimmC則：mmCUICi其中其中2 iuc202022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)20容容抗抗fCCXC211有效值關(guān)系有效值關(guān)系:f: 交流電頻率交流電頻率CXUCUI顯然顯然,對于直流電對于直流電f =0,容

12、抗無窮大容抗無窮大交流電路中的歐姆定律交流電路中的歐姆定律:IZU CXZLXZRZCCLLR1;212022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)21設(shè)電路中電流為設(shè)電路中電流為:電阻上電壓電阻上電壓,總總電壓電壓:tItimcos)(RLCRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路RLuRuLuCuCitUtRIuRmmRcoscos電電感感上電壓上電壓,)2cos()2cos(tUtXIuLmLmL電電容容上電壓上電壓,)2cos()2cos(tUtXIuCmCmC)2cos()2cos(costUtUtUuuuuCmLmRmCLR222022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)22RLC串聯(lián)受迫振蕩電路串聯(lián)受迫振蕩電路

13、RLC串聯(lián)電路的矢量圖解串聯(lián)電路的矢量圖解22)1(CLRIUZ總阻抗的模總阻抗的模RUILUUCUCLUU RXRXXUUUtgCLRCL電抗電抗2222)1()(CLRIUUUUCLR232022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.6 10.6 二維諧振動(dòng)的合成二維諧振動(dòng)的合成24222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A 11cos()0 xAt 22cos()0yAt 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)，即同頻率簡諧振動(dòng)，即消去消去t 得到軌道方程：得到軌道方程： 兩相互垂直同頻率簡諧振

14、動(dòng)的合成振動(dòng)軌跡為兩相互垂直同頻率簡諧振動(dòng)的合成振動(dòng)軌跡為一橢圓一橢圓(又稱又稱“橢圓振動(dòng)橢圓振動(dòng)”)。橢圓軌道不會(huì)超出以。橢圓軌道不會(huì)超出以2 2A1 1 ( x 向向)和和2 2A2 2 ( y 向向)為邊的矩形為邊的矩形范圍。范圍。一、相互垂直的同頻率的簡諧振動(dòng)的合成一、相互垂直的同頻率的簡諧振動(dòng)的合成 251cos()10 xAt 22cos()0yAt 2222212122cossinxyxyAAA A D D D D111coscossinsin00 x Att 222coscossinsin00y Att 212112coscossinsin()0000 xytAA 212112

15、sinsincossin()0000 xytAA 兩式平方后再相加兩式平方后再相加26y 方向的諧振動(dòng)方向的諧振動(dòng)x 方向的諧振動(dòng)方向的諧振動(dòng)橢圓軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)方向取決于振幅和相位差橢圓軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)方向取決于振幅和相位差 20- 10根據(jù)根據(jù)x和和y向振動(dòng)在不同時(shí)刻的對向振動(dòng)在不同時(shí)刻的對應(yīng)點(diǎn)，可以做出合運(yùn)動(dòng)的軌跡應(yīng)點(diǎn)，可以做出合運(yùn)動(dòng)的軌跡27幾種特殊情況：幾種特殊情況：(1) 20100, , 兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得兩個(gè)分振動(dòng)同相位，得xAAy12即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條直線。任一時(shí)刻質(zhì)即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一條直線。任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開坐標(biāo)原點(diǎn)（平衡位置）的位移為：點(diǎn)離開坐標(biāo)原點(diǎn)（平衡位置）的位移為：c

16、os()sAAt 22120(2) 2010, 兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，那么兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)反相位，那么質(zhì)點(diǎn)在另一條直線上質(zhì)點(diǎn)在另一條直線上xAAy12所以合運(yùn)動(dòng)也是簡諧振動(dòng)所以合運(yùn)動(dòng)也是簡諧振動(dòng)也作同頻率的簡諧振動(dòng)也作同頻率的簡諧振動(dòng)222222212122cos()sin ()010010 xyxyAAA A xyxy28xy1222212AyAx是是x軸半軸長為軸半軸長為A1，y軸半軸長為軸半軸長為A2的的橢圓方程橢圓方程，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針，質(zhì)點(diǎn)的軌跡是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)。(3) 2010/2，得，得1222212AyAx與與33相同，只是質(zhì)點(diǎn)軌跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。相同，只是質(zhì)點(diǎn)軌跡沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(4)

17、 2010/2，仍然得，仍然得xy當(dāng)振幅相等且相位差為當(dāng)振幅相等且相位差為/2時(shí)時(shí)，橢圓軌跡變?yōu)閳A，橢圓軌跡變?yōu)閳A29 相互垂直的同頻率的簡諧振動(dòng)的合成相互垂直的同頻率的簡諧振動(dòng)的合成 30李薩如圖李薩如圖111cos()xAt 222cos()yAt nm21李薩如圖形李薩如圖形測量振動(dòng)頻率測量振動(dòng)頻率和相位的方法和相位的方法312022年4月9日星期六大學(xué)物理(下)10.6 10.6 振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解 頻譜頻譜32振動(dòng)的分解：振動(dòng)的分解：傅里葉定理傅里葉定理：任何一個(gè)周期振動(dòng)都可以看成是由各種頻率不同：任何一個(gè)周期振動(dòng)都可以看成是由各種頻率不同的諧振動(dòng)的合成。的諧振動(dòng)的合成。即周期即周期 T=2 / 的周期振動(dòng)，可以分解成由一系列簡諧的周期振動(dòng)，可以分解成由一系列簡諧振動(dòng)的疊加，即：振動(dòng)的疊加，即：33012( )coscos2x taatat tbtb2sinsin212201( )TTax t dtT 2212( )cosTTax ttdtT 2212( )sinTTbx ttdtT 222( )cosTTnax tn tdtT 222( )sinTTnbx tn tdtT n= 1 基頻（基頻（ ） n= 2 二次諧頻（二次諧頻（2 ） n = 3 三次諧頻（三次諧頻（3 ）決定音調(diào)決定音調(diào)決定決定音色音色高次高次諧