角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理

1、角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 一、 基礎(chǔ)概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握尺規(guī)作圖做角平分線，規(guī)范證明步驟。（1）角平分線的性質(zhì)定理證明：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。證明角平分線的性質(zhì)定理時(shí)，將用到三角形全等的判定公理的推論：推論：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）推導(dǎo)過(guò)程：已知：OC平分MON，P是OC上任意一點(diǎn)，PAOM，PBON，垂足分別為點(diǎn)A、點(diǎn)B求證：PAPB證明：PAOM，PBONPAOPBO90°OC平分MON12在PAO和PBO中，PAOPBOPAPB幾何表達(dá)：（角的平分線上的點(diǎn)到

2、角的兩邊的距離相等）如圖所示，OP平分MON（12），PAOM，PBON，PAPB（2）角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。推導(dǎo)過(guò)程已知：點(diǎn)P是MON內(nèi)一點(diǎn)，PAOM于A，PBON于B，且PAPB求證：點(diǎn)P在MON的平分線上證明：連結(jié)OP在RtPAO和RtPBO中，RtPAORtPBO（HL）12OP平分MON即點(diǎn)P在MON的平分線上幾何表達(dá)：（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）如圖所示，PAOM，PBON，PAPB12（OP平分MON）（3） 角平分線性質(zhì)及判定的應(yīng)用為推導(dǎo)線段相等、角相等提供依據(jù)和思路；實(shí)際生活中的應(yīng)用例：一個(gè)工廠，在公路西側(cè)，到

3、公路的距離與到河岸的距離相等，并且到河上公路橋頭的距離為300米在下圖中標(biāo)出工廠的位置，并說(shuō)明理由（4）角平分線的尺規(guī)作圖活動(dòng)三：觀察與思考： 尺規(guī)作角的平分線觀察下面用尺規(guī)作角的平分線的步驟(如圖)，思考這種作法的依據(jù)。步驟一：以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，弧與角的兩邊分別交于A，B兩點(diǎn)。 由作圖可知： OA = OB 步驟二：分別以點(diǎn)A，B為圓心，以固定長(zhǎng)(大于AB長(zhǎng)的一半)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C。 由作圖可知： AC = BC 步驟三：作射線OC，則OC就是AOB的平分線。由作圖可知： 定理，可得 同學(xué)們，討論交流一下，你能說(shuō)出作圖的每一步驟的依據(jù)是什么嗎？試用證明的方法說(shuō)出作圖的

4、正確性。二、【典型例題】例1. 已知：如圖所示，CC90°，ACAC求證：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定）例2.  如圖所示，已知ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，P是AD上一點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分BAC，并說(shuō)明理由例3.  如圖所示，已知ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，那么AP能否平分BAC？請(qǐng)說(shuō)明理由由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？例4. 如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的P點(diǎn)處，距公路400m，現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立

5、平面直角坐標(biāo)系（1）學(xué)校距鐵路的距離是多少？（2）請(qǐng)寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo)例5. 如圖所示，在ABC中，C90°，ACBC，DA平分CAB交BC于D，問(wèn)能否在AB上確定一點(diǎn)E，使BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)作出點(diǎn)E，并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)一一、 填空題：1.如圖1-31，ABC中，AD是BC的垂直平分線，BE平分ABC交AD于E, EFAB , 則AB = ，BF = ；2.已知：如圖1-32，在RtABC中，C = 90°, AC = BC, BD平分ABC交AC于D, DEAB于E，若BC = 5, 則DEC的周長(zhǎng)為 .二、選擇題：1.如圖1-33，A

6、BC中，B = 42°, ADBC于D，E是BD上一點(diǎn)，EFAB于F，若ED = EF, 則AEC的度數(shù)為（ ）；A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°2.給出下列命題： 垂直于同一條直線的兩直線平行； 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等； 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)； 全等三角形的面積相等；其中原命題和逆命題都是真命題的共有（ ）.A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)三、解答題：如圖1-34，已知：ABC中，BAC = 90°, ADBC于D，AE平分DAC，EFBC交AC于F，連接BF. 求證：BF是A

7、BC的平分線. 【綜合練習(xí)】已知：如圖1-35，ABC中，AB = 2AC, AD平分BAC，且AD = BD. 求證：DCAC. 例題答案例1. 已知：如圖所示，CC90°，ACAC求證：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定）證明：（1）CC90°（已知），ACBC，ACBC（垂直的定義）又ACAC（已知），點(diǎn)A在CBC的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）ABCABC（2）CC，ABCABC，180°（CABC）180°（CABC）（三角形內(nèi)角和定理）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分線上的

8、點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等）例2.  如圖所示，已知ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，P是AD上一點(diǎn)，且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分BAC，并說(shuō)明理由解：AD平分BACD到PE的距離與到PF的距離相等，點(diǎn)D在EPF的平分線上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BAC例3.  如圖所示，已知ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，那么AP能否平分BAC？請(qǐng)說(shuō)明理由由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論？解：AP平分BAC結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等理由：過(guò)點(diǎn)P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E、F、D

9、BM是ABC的角平分線且點(diǎn)P在BM上，PDPE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PFPE，PDPFAP平分BAC（到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上） 例4. 如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的P點(diǎn)處，距公路400m，現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）學(xué)校距鐵路的距離是多少？（2）請(qǐng)寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo)解：（1）點(diǎn)P在公路與鐵路所夾角的平分線上，點(diǎn)P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又點(diǎn)P到公路的距離是400m，點(diǎn)P（學(xué)校）到鐵路的距離是400m（2）學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是（400，400）評(píng)析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過(guò)角相等再結(jié)合垂直證明線段相等 例5. 如圖所示，在ABC中，C90°，ACBC，DA平分CAB交BC于D，問(wèn)能否在AB上確定一點(diǎn)E，使BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)作出點(diǎn)E，并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解：能過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，則BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)理由如下：AD平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE在RtACD和Rt