等差數(shù)列前n項和

1、 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。案之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100100層層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花

2、了多少寶石嗎？你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)問題呈現(xiàn) 問題問題1問題問題2 一個堆放鉛筆的一個堆放鉛筆的V形架形架的最下面一層放一支的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一比它下面一層多放一支，最上面一層放支，最上面一層放100支支.這個這個V形架上共放著形架上共放著多少支鉛筆？多少支鉛筆？ 問題就是問題就是 求求“1+2+3+4+100=？”探究發(fā)現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)問題問題1：圖案中，第：圖案中，第1層到第層到第21層一共有層一共有多少顆寶石？多少顆寶石？ 這是求奇數(shù)個項和的問題，這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的

3、辦法，需要把中間項辦法，需要把中間項1111看成首、看成首、尾兩項尾兩項1 1和和2121的等差中項。的等差中項。 通過前后比較得出認識：高通過前后比較得出認識：高斯斯“首尾配對首尾配對” ” 的算法還得分的算法還得分奇、偶個項的情況求和。奇、偶個項的情況求和。 有無簡單的方法？有無簡單的方法？ 探究發(fā)現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)問題問題1：圖案中，第：圖案中，第1層到第層到第21層一共有層一共有多少顆寶石？多少顆寶石？ 借助幾何圖形之借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的直觀性，使用熟悉的幾何方法：把幾何方法：把“全等全等三角形三角形”倒置，與原倒置，與原圖補成平行四邊形。圖補成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)探究發(fā)現(xiàn)問題問題

4、1：圖案中，第：圖案中，第1層到第層到第21層一共有層一共有多少顆寶石？多少顆寶石？ 12321212019121(121)212s獲得算法：獲得算法：問題問題3:求和求和:1+2+3+4+n=?記記:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +12) 1(),1(2nnSnnS問題問題4：設等差數(shù)列：設等差數(shù)列 an 的首項的首項為為a1，公差為，公差為d，如何求等差數(shù)列，如何求等差數(shù)列的前的前n項和項和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因為因為a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS兩式左右分別相

5、加，得兩式左右分別相加，得倒序相加倒序相加Sn=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)問題問題5：能否用：能否用a1,n,d表示表示Sn將將an=a1+(n-1)d代入代入2)(: ) 1 (1nnaanS公式dnnnaSn2) 1(: )2(:1公式得【說明說明】推導等差數(shù)列的前推導等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫項和公式的方法叫 ；an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 ，這是一個關于，這是一個關于

6、 的的 沒有沒有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法Sn=an2+bnn常數(shù)項常數(shù)項二次函數(shù)二次函數(shù)（ 注意注意 a 還可以是還可以是 0）等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項和項和公式公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1【公式記憶公式記憶】 用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n n項和公式，項和公式，這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應著等差這里對圖形進行了割、補兩種處理，對應著等差數(shù)列數(shù)列前前n項和的兩個公式項和的兩個公式.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和公式類同于項和公式類同于 ；梯形的面積公式梯形的面積公式n例例1 某長跑運動員某長跑運動員7天里每天的訓天里每天的訓

7、練量（單位：練量（單位：m）是：是： 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500這位運動員這位運動員7天共跑了多少米？天共跑了多少米？解解：這位長跑運動員每天的訓練量成等差數(shù)列，：這位長跑運動員每天的訓練量成等差數(shù)列， 記為記為an, 其中其中 a1=7500, a7=10500. 根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，得項和公式，得77750010500630002()s答：這位長跑運動員答：這位長跑運動員7天共跑了天共跑了63000m.例例2 等差數(shù)列等差數(shù)列-10，-6，-2， 2，前多少項的和是前多少項的和是54？ 本題實質(zhì)是反用公式

8、，解一本題實質(zhì)是反用公式，解一個關于個關于n 的一元二次函數(shù)，的一元二次函數(shù)，注意得到的項數(shù)注意得到的項數(shù)n 必須是正必須是正整數(shù)整數(shù).解解：將題中的等差數(shù)列記為：將題中的等差數(shù)列記為an，sn代表該數(shù)列代表該數(shù)列 的前的前n項和，則有項和，則有a1=10, d=6(10)=4 根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式：項和公式：112()nn nsnad- -= =+ +1104542()有有成成立立n nn- - -+ + = =26270,整整理理后后 得得nn- - -= =解得解得n1=9, n=3(舍去舍去)因此等差數(shù)列因此等差數(shù)列10,6,2,2，前，前9項的和項的和是是54.設該

9、數(shù)列前設該數(shù)列前n 項和為項和為54例例3 求集合求集合M=m|m=7n, n是正整數(shù)是正整數(shù), 且且m100的元素個數(shù)的元素個數(shù), 并求這些元素的和并求這些元素的和.解解:由由7n100得得 n1007,.7214n 由于滿足它的正整數(shù)由于滿足它的正整數(shù)n共有共有14個個, 集合集合M中的元素共有中的元素共有14個個. 即即7, 14, 21, , 91, 98.這是一個等差數(shù)列這是一個等差數(shù)列, 各項的和是各項的和是2)987(1414S答答: 集合集合M中的元素共有中的元素共有14個個, 它們的和為它們的和為735.=735例例4. 求和：求和：701310742 例例5. 等差數(shù)列等差

10、數(shù)列an中，中， a1=-17,d=2,求求S3.隨堂練習隨堂練習:、根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列、根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列an的的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(1010s25502) 150(501005050s5 .6042)325 .14(26267 . 0) 1(5 .1432) 1(1nnsnndnaa所以得先由2、(1)求正整數(shù)列中前求正整數(shù)列中前n個數(shù)的和；個數(shù)的和； (2)求正整數(shù)列中前求正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和個偶數(shù)的和。3、等差數(shù)列、等差數(shù)列5,

11、4,3,2,1,前多少項的和是前多少項的和是30？2)1(nnsn)1(2)22(nnnnsn前前15項項 1.推導等差數(shù)列前推導等差數(shù)列前 n項和公式的方法項和公式的方法小結：小結：2.公式的應用中的數(shù)學思想公式的應用中的數(shù)學思想. -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五個量公式中五個量a1, d, an, n, sn, 已知已知 其中三個量，可以求其余兩個其中三個量，可以求其余兩個-知三求二知三求二習題習題浙江省樂清中學浙江省樂清中學高一數(shù)學備課組高一數(shù)學備課組 已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列1616，1414，1212，1010， (1)(1) 前多少項的和為前多少項的和為0 0？( (2) 2) 前多少項的和最大？前多少項的和最大？課外探索課外探索例例6.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中， (1)已知已知d=3,an=20,Sn=65, 求求a1和和n以及此數(shù)列的后以及此數(shù)列的后6項和；項和； (2) 已知已知an=11-3n,求求Sn. (3)已知已知a11=-1，求，求S21.備用備用:小結小結EX例例6. 已知一個等差數(shù)列的前已知一個等差數(shù)列的前10項的和是項的和是310，前前20項的和是項的和是1220