第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析本章主要研究對于本章主要研究對于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)而言，如何而言，如何根據(jù)根據(jù)響應(yīng)和激勵(lì)之間的響應(yīng)和激勵(lì)之間的微分方程求得給定激勵(lì)的微分方程求得給定激勵(lì)的響應(yīng)響應(yīng)。由于分析是在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行的，所以。由于分析是在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行的，所以稱為稱為時(shí)域分析時(shí)域分析。這種方法比較直觀，物理概。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。由于描述線性時(shí)不變的連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由于描述線性時(shí)不變的連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，對這類系統(tǒng)的分析是常系數(shù)線性微分方程，對這類系統(tǒng)的分析就是求解其相應(yīng)的微

2、分方程。就是求解其相應(yīng)的微分方程。2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.3 卷積積分卷積積分2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) +an-1y (n-1)(t) + a1y(1)(t)+a0y (t) =bmf(m)(t) +bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) +b0f (t)微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解：y(t)(完全解完全解) =yh(t)(齊次解齊次解) +yp(t)(特解特解）齊次解齊次解是齊次微分方程是齊次微分

3、方程: :y(n)(t) +an-1y (n-1)(t) + a1y(1)(t)+a0y (t) = 0 的解。的解。yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根確定。確定。特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)例：描述某例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 tftytyty 65求當(dāng)求當(dāng) tetf 2，t 0；y(0)=2，y(0)=-1時(shí)的解。時(shí)的解。解：解： 根據(jù)特征方程求該微分方程的齊次解；根據(jù)特征方程求該微分方程的齊次解；特征方程為：特征方程為：2 +5+ 6=0 1= 2，2

4、= 3。齊次解齊次解：yh(t) =C1e 2t +C2e 3t 由由f(t)求該微分方程的特解；求該微分方程的特解；當(dāng)當(dāng)f(t) =2 e t時(shí)，設(shè)特解為：時(shí)，設(shè)特解為：yp(t) = Pe t代入微分方程得：代入微分方程得：P e t + 5(P e t ) +6P e t =2 e t解得：解得：P = 1特解特解: : yp(t) = e t 全解全解=齊次解齊次解+特解。特解。y(t) =yh(t) +yp(t) = C1e 2t +C2e 3t + e t待定常數(shù)待定常數(shù)C1, C2由初始條件確定由初始條件確定。 y(0)=2，y(0)=-1y(0) = C1 + C2+ 1=2y

5、(0) = 2 C1 3 C2 1= 1C1 = 3 C2 = 2 全解：全解：y(t) = = 3e 2t 2e 3t + e t t0二、關(guān)于二、關(guān)于0+與與0-初始值初始值上題在確定微分方程的解時(shí)，用響應(yīng)即其各階導(dǎo)上題在確定微分方程的解時(shí)，用響應(yīng)即其各階導(dǎo)數(shù)的初始值代入方程求出了待定系數(shù)。數(shù)的初始值代入方程求出了待定系數(shù)。如果系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)是前述討論過的如果系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)是前述討論過的階躍函數(shù)階躍函數(shù)或或沖激函數(shù)沖激函數(shù)，則初值的確定就有所變化。，則初值的確定就有所變化。設(shè)開始時(shí)，開關(guān)設(shè)開始時(shí)，開關(guān)S打到打到1，該電路系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀，該電路系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，則電容上的初始電壓為態(tài)，則電容

6、上的初始電壓為0；若在若在t=0時(shí)刻，開時(shí)刻，開關(guān)打到關(guān)打到2，則在此瞬間，電容上的電壓值將跳變?yōu)閯t在此瞬間，電容上的電壓值將跳變?yōu)閂。即輸入激勵(lì)在。即輸入激勵(lì)在t=0時(shí)刻發(fā)生了躍變。從而使響時(shí)刻發(fā)生了躍變。從而使響應(yīng)的初始狀態(tài)從應(yīng)的初始狀態(tài)從0-到到0+時(shí)刻發(fā)生了突變。時(shí)刻發(fā)生了突變。由電阻由電阻R和電容和電容C構(gòu)成了簡構(gòu)成了簡單的單的RC并聯(lián)電路。設(shè)系統(tǒng)并聯(lián)電路。設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)為電容上的電壓的響應(yīng)為電容上的電壓Uc(t)。激勵(lì)信號(hào)為電源激勵(lì)信號(hào)為電源V。Uc(t)SR12+-V假定激勵(lì)在假定激勵(lì)在t=0時(shí)刻接入，我們可以將初始值分解時(shí)刻接入，我們可以將初始值分解為兩部分：為兩部分：0-時(shí)刻的

7、初值及時(shí)刻的初值及0+時(shí)刻的初值。時(shí)刻的初值。0-時(shí)刻的初值是系統(tǒng)激勵(lì)尚未接入的前一瞬時(shí)，由時(shí)刻的初值是系統(tǒng)激勵(lì)尚未接入的前一瞬時(shí)，由系統(tǒng)的歷史狀況決定的。系統(tǒng)的歷史狀況決定的。起始條件（初始狀態(tài)）起始條件（初始狀態(tài)）0+時(shí)刻的初值是激勵(lì)接入到系統(tǒng)后的一瞬間系統(tǒng)的時(shí)刻的初值是激勵(lì)接入到系統(tǒng)后的一瞬間系統(tǒng)的初值，它包含激勵(lì)對其所起的作用。初值，它包含激勵(lì)對其所起的作用。初始條件初始條件通常，通常，t=0-時(shí)刻的值比較容易求得。則時(shí)刻的值比較容易求得。則t=0+時(shí)刻的時(shí)刻的初值取決于初值取決于0-時(shí)刻的初值以及激勵(lì)的形式。時(shí)刻的初值以及激勵(lì)的形式。如何由系統(tǒng)如何由系統(tǒng)0-時(shí)刻的初值求時(shí)刻的初值求0

8、+時(shí)刻的初值？時(shí)刻的初值？例：描述某例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 tftftytyty6223 已知：已知：y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求：求：y(0+)和和y(0+)?？梢杂每梢杂门袛嗯袛辔⒎址匠虄啥宋⒎址匠虄啥似娈愴?xiàng)系數(shù)是否相等奇異項(xiàng)系數(shù)是否相等的的方法來求解。方法來求解。解解：將輸入：將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得y”(t) +3y(t) +2y(t) =2(t) +6(t)在在0-t0后激勵(lì)又后激勵(lì)又為為0。因此沖激響應(yīng)的作用實(shí)際上是使系統(tǒng)的初始狀。因此沖激響應(yīng)的作用實(shí)際上是使系統(tǒng)的初始狀態(tài)在態(tài)在t=0時(shí)刻發(fā)生了躍變。

9、時(shí)刻發(fā)生了躍變。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)相當(dāng)于求該系統(tǒng)的零輸因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)相當(dāng)于求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。而系統(tǒng)的初始狀態(tài)被沖激函數(shù)改變了入響應(yīng)。而系統(tǒng)的初始狀態(tài)被沖激函數(shù)改變了。(1) 求求h(j)(0+)。用判斷奇異項(xiàng)系數(shù)平衡的方法。用判斷奇異項(xiàng)系數(shù)平衡的方法。(2) 求方程的齊次解，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。求方程的齊次解，即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。(3) 代入初值求出待定系數(shù)。代入初值求出待定系數(shù)。對于對于n階微分方程來說，若方程右端的激勵(lì)形式為階微分方程來說，若方程右端的激勵(lì)形式為f(t)，即：即： tftyatyatynnn 011該方程沖激響應(yīng)的各初值即為：該方程沖激響應(yīng)的各初值即為：

10、 11002, 1 , 000011nnjjhhnjhh 00065hhtththth 對本例：對本例：1=-2， 2=-3 tteCeCth3221 將將h(0+)=1，h(0+)=0代入，即得：代入，即得： tteeth32 (t 0)即：即： teethtt 32 上述求得了系統(tǒng)激勵(lì)形式為上述求得了系統(tǒng)激勵(lì)形式為f(t)時(shí)對應(yīng)的沖激響應(yīng)：時(shí)對應(yīng)的沖激響應(yīng)： tftyatyatynnn 011如何求解以下形式微分方程的沖激響應(yīng)如何求解以下形式微分方程的沖激響應(yīng)？ tyatyatynnn011 tfbtfbtfbmmmm011 thtf thtf thtfmm tfbtfbtfbmmmm01

11、1 thbthbthbmmmm011 例：描述系統(tǒng)的微分方程為例：描述系統(tǒng)的微分方程為 tftftftytyty3265 求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 0006511111hhtththth對于微分方程 teethtt321沖激響應(yīng))(3)(2)()(111thththth 解：解：)(3)(2)()(111thththth teethtt321 teethtt32132 teetthtt32194)( teetththththtt3211163)()(3)(2)()( 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng)一個(gè)一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)

12、所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，用階躍響應(yīng)，用g(t)表示。表示。 tgt 階躍響應(yīng)是激勵(lì)為階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。線性非時(shí)變系統(tǒng)g(t)(0)001tu(t)g(t)0tu(t)由階躍函數(shù)和沖激函數(shù)之間的關(guān)系：由階躍函數(shù)和沖激函數(shù)之間的關(guān)系： dxxtt dxxhtgt 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)之間的關(guān)系為：階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)之間的關(guān)系為：例：如圖所示例：如圖所示LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)。系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)。 +-3212+- tf ty tx tx tx 解：對于左邊加法器輸出：解：對于左邊加法

13、器輸出：)(2)(3)()(txtxtftx )2()(2)()(txtxty) 1 ()()(2)(3)(tftxtxtx 即：即：對于右邊加法器輸出：對于右邊加法器輸出：)(2)()(2)(3)(tftftytyty 由由(1)、(2)得得:考慮考慮)()(2)(3)(tftytyty 假設(shè)其階躍響應(yīng)為假設(shè)其階躍響應(yīng)為)(tgf則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為)(2)()(tgtgtgff分析分析:因此，先求解因此，先求解)(tgf02322, 121120P5 . 00P teCeCtgttf5 . 0)(221)(2)()(2)(3)(tftftytyty 求階躍響應(yīng)求階躍響應(yīng)g(

14、t)0)0()0()()(2)(3)( fffffggttgtgtg即求解方程即求解方程特征根：特征根：特解：特解：對于對于n階微分方程來說，若方程右端的激勵(lì)形式為階微分方程來說，若方程右端的激勵(lì)形式為f(t)，即：即： tftyatyatynnn 011該方程階躍響應(yīng)的各初值即為：該方程階躍響應(yīng)的各初值即為： 1, 1 , 0000njhhjj對本例對本例0)0()0(ffgg teCeCtgttf5 . 0)(221 teetgttf5 . 05 . 0)(2 teetgttf2)( teetgtgtgttff123)(2)()(25 . 0, 121CC代入求得：代入求得：2.3 卷積積

15、分卷積積分前面討論了如何求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。即輸入激前面討論了如何求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。即輸入激勵(lì)為沖激信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。勵(lì)為沖激信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。卷積積分的原理：任意信號(hào)卷積積分的原理：任意信號(hào)f(t)可以分解為一系可以分解為一系列沖激信號(hào)的線性組合，如果已知了某系統(tǒng)的沖列沖激信號(hào)的線性組合，如果已知了某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，利用系統(tǒng)的線性及時(shí)不變性即可求出對激響應(yīng)，利用系統(tǒng)的線性及時(shí)不變性即可求出對應(yīng)于應(yīng)于f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。的零狀態(tài)響應(yīng)。一、卷積積分一、卷積積分前章定義沖激函數(shù)時(shí)定義了面積為前章定義沖激函數(shù)時(shí)定義了面積為1的窄脈沖：的窄脈沖： thtpnn thtpnnnn l

16、imlim t th kf如何建立如何建立f(t)與與pn(t)之間的聯(lián)系？之間的聯(lián)系？第第k個(gè)窄脈沖可以用變換后的個(gè)窄脈沖可以用變換后的pn(t)來表示：來表示： ktpkfn則則f(t)可以表示為無窮多個(gè)這樣的窄脈沖之和：可以表示為無窮多個(gè)這樣的窄脈沖之和： knktpkftf 相應(yīng)的，系統(tǒng)的響應(yīng)可表示為：相應(yīng)的，系統(tǒng)的響應(yīng)可表示為： knfkthkfty knktpkftf knktpkf 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)，可將時(shí)，可將 寫作寫作 d， k寫作寫作并將求和符號(hào)改為積分號(hào)。則并將求和符號(hào)改為積分號(hào)。則f(t)可寫為：可寫為：， knnktpkftf 0lim dtf同理，對同理，對yf(t)來說

17、：來說： knfkthkfty knnkthkf 0lim dthf dtftf dthfty以上形式的運(yùn)算稱為以上形式的運(yùn)算稱為卷積積分卷積積分。(1)式表明式表明f(t)是它本身與沖激函數(shù)的卷積；是它本身與沖激函數(shù)的卷積；(2)表明系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積表明系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與沖激響應(yīng)的卷積。(1)(2)一般地，如有兩個(gè)函數(shù)一般地，如有兩個(gè)函數(shù)f1(t)與與f2(t)，積分：積分： dtfftf21稱為稱為f1(t)與與f2(t)的卷積。記為的卷積。記為 tftftf21 例例: : 已知某線性非時(shí)變已知某線性非時(shí)變( (LTI)LTI)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為 輸

18、入激勵(lì)輸入激勵(lì) , ,試用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀試用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀 態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng) 。 )()(2)(3)(tftytyty )()(tetft)(tyf解解: 先求先求h(t)02322, 121特征根：特征根： tteCeCth221將將h(0+)=1，h(0+)=0代入，即得：代入，即得： teethtt2由于激勵(lì)由于激勵(lì) 和沖激響應(yīng)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函均為因果函數(shù)，因此，在數(shù)，因此，在t0時(shí)，有時(shí)，有 )()(tetft)()()(thtftyftttdeee0)(2)()(ttttdeede020) 1(2ttteete即：即：)()()(2teetetytttfttt

19、eete2 利用卷積求零狀態(tài)響應(yīng)利用卷積求零狀態(tài)響應(yīng)系系 統(tǒng)統(tǒng)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程）建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程）求微分方程的特征根求微分方程的特征根求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng) )()()(tfthtyf求單位沖激響應(yīng)求單位沖激響應(yīng) )(th求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng) )(tyx全響應(yīng)全響應(yīng) tytytyfx問題：如何確定系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)間范圍？問題：如何確定系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時(shí)間范圍？的時(shí)間范圍是多少？則零狀態(tài)響應(yīng)若)()(,)(4321tyttttftttthf分析：分析：)(t21)(tttth的組合可分解為)()(ttf)(3tt 2313)(tttttth)(4tt 2414)(

20、tttttth3231ttttt4241ttttt4231)(ttttttyf卷積積分上、下限的討論：卷積積分上、下限的討論： dtfftftftf2121(1) 若若f1(t)與與f2(t)均為因果信號(hào)，則上、下限可寫為：均為因果信號(hào)，則上、下限可寫為： tdtfftftftf02121 02121dtfftftftf tdtfftftftf2121 dtfftftftf2121(3) 若若f1(t) 為一般無時(shí)限信號(hào)，為一般無時(shí)限信號(hào)，f2(t)為因果信號(hào)，則：為因果信號(hào)，則：(4) 若若f1(t)與與f2(t)均為一般無時(shí)限信號(hào)均為一般無時(shí)限信號(hào)，則上、下限應(yīng)為：則上、下限應(yīng)為：(2)

21、若若f1(t) 為因果信號(hào)，為因果信號(hào)，f2(t)為一般無時(shí)限信號(hào)，則：為一般無時(shí)限信號(hào)，則：例：設(shè)例：設(shè) tetft213 ttf22 223 ttf 求求 tftf21 tftf31 解：解： dtfftftf2121t0 dte232tde026)1 (32te dtfftftf31310t )()1 (3221tetftft dte22322026tde02 t )2(1 3)2(231tetftft0)(, 01 3)2(2te0)2(, 02tt二、卷積的圖示二、卷積的圖示用圖形來計(jì)算函數(shù)的卷積能直觀地表明卷積的含用圖形來計(jì)算函數(shù)的卷積能直觀地表明卷積的含義。義。由卷積的數(shù)學(xué)定義：

22、由卷積的數(shù)學(xué)定義： dtfftf21可得出用作圖法求卷積的步驟：可得出用作圖法求卷積的步驟：(1) 將函數(shù)將函數(shù)f1(t)、f2(t)的自變量用的自變量用代換；代換；(2) 將函數(shù)將函數(shù)f2()沿縱坐標(biāo)反轉(zhuǎn)，并沿橫軸正方向平沿縱坐標(biāo)反轉(zhuǎn)，并沿橫軸正方向平移移t，得到得到f2(t- )；(3)將將f1()與與f2(t- )相乘；然后對乘積后的圖形積分。相乘；然后對乘積后的圖形積分。 dtfftf21)()()()(2222 tftffft平移翻轉(zhuǎn))(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tethttfthtft計(jì)算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtftt

23、t例例1)()1 ()()(1tetettt例2：計(jì)算y(t) = p1(t) p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)1 t y(t)=0練習(xí)1：(t) (t)練習(xí)2：計(jì)算y(t) = f(t) h(t)。)(t

24、ft101)(tht201)(tyt20113tt3= r(t)2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)一、卷積的代數(shù)運(yùn)算一、卷積的代數(shù)運(yùn)算 交換律交換律 tftftftf1221 分配律分配律 tftftftftftftf3121321 物理意義：物理意義：(1) 假如假如f1(t)是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，f2(t)和和f3(t)是是激勵(lì)，上式表示激勵(lì)，上式表示幾個(gè)輸入信號(hào)之和的零狀態(tài)響應(yīng)幾個(gè)輸入信號(hào)之和的零狀態(tài)響應(yīng)將等于每個(gè)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)之和。將等于每個(gè)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)之和。f1(t)f2(t)f3(t)yf(t)+f1(t)f1(t)f2(t)f3(t)yf(t)yf2(t)y

25、f3(t)+(2) 若沖激響應(yīng)為若沖激響應(yīng)為h(t)=f2(t)+f3(t)的系統(tǒng)是由兩的系統(tǒng)是由兩個(gè)子系統(tǒng)個(gè)子系統(tǒng)h2(t)=f2(t)和和h3(t)=f3(t)并聯(lián)而成。則并聯(lián)而成。則激勵(lì)為激勵(lì)為f1(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為f1(t)分別輸入分別輸入到子系統(tǒng)到子系統(tǒng)h2(t)和和h3(t)后的零狀態(tài)響應(yīng)之和。后的零狀態(tài)響應(yīng)之和。h2(t)h3(t)f1(t)+yf(t)h(t)=h2(t)+h3(t)yf1(t)yf2(t) 結(jié)合律結(jié)合律 tftftftftftf321321 物理意義：如果有沖激響應(yīng)分別為物理意義：如果有沖激響應(yīng)分別為h2(t)=f2(t)和和h3(t)=f3(