第4章 離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設計3(FIR濾波器設計1)

1、n1、寫出帕塞瓦爾定理n2、N點矩形窗的群延遲a=?n3、給出hd(n)n3、求W(ejw)1ccccjwjwdwwwwwwweeH,0)(210,12121,122)(NnNnNnNNnnw24.4 FIR濾波器設計方法濾波器設計方法nFIR濾波器存在的必要性濾波器存在的必要性n日常生活中，像圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)榷既粘Ｉ钪?，像圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)榷家笮诺谰哂芯€性相位特性要求信道具有線性相位特性nIIR數(shù)字濾波器存在數(shù)字濾波器存在明顯的缺點：相位的非明顯的缺點：相位的非線性線性。若要線性相位，則需采用全通網(wǎng)絡進。若要線性相位，則需采用全通網(wǎng)絡進行相位校正，大大增加系統(tǒng)的復雜度。行相位校

2、正，大大增加系統(tǒng)的復雜度。n最感興趣的是具有線性相位的最感興趣的是具有線性相位的FIR。對相位。對相位不作特殊要求，可以用不作特殊要求，可以用IIR實現(xiàn)實現(xiàn)3n優(yōu)點：優(yōu)點：n具有具有嚴格線性相位嚴格線性相位，同時有，同時有任意的幅度特性任意的幅度特性。n單位沖激響應有限長，濾波器一定是單位沖激響應有限長，濾波器一定是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。n總能用總能用因果因果系統(tǒng)來實現(xiàn)。系統(tǒng)來實現(xiàn)。n可以用可以用FFT算法算法來實現(xiàn)，提高運算效率。來實現(xiàn)，提高運算效率。n缺點：缺點：n取得很好的幅度衰減特性，取得很好的幅度衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)的濾波器系統(tǒng)的階次階次比比IIR濾波器濾波器高高。n IIR濾波器設

3、計法對濾波器設計法對FIR設計不適用設計不適用n因為因為IIR濾波器是利用濾波器是利用有理分式有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)，而而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是多項式多項式FIR濾波器特點4一、一、FIR濾波器濾波器最優(yōu)化準則最優(yōu)化準則n設計設計FIR濾波器主要有兩種最優(yōu)化準則濾波器主要有兩種最優(yōu)化準則n均方誤差最小準則均方誤差最小準則n最大誤差最小化準則最大誤差最小化準則n此處我們主要介紹均方誤差最小準則下此處我們主要介紹均方誤差最小準則下的濾波器設計。的濾波器設計。5均方誤差最小準則均方誤差最小準則n誤差能量最小誤差能量最小n若用若用 ，表示要求的頻率響應，表示要求的頻率響

4、應，n用用 表示設計得到的濾波器頻率響應，表示設計得到的濾波器頻率響應，n以以 表示頻率響應誤差，即表示頻率響應誤差，即n則均方誤差為：則均方誤差為：n設計目的設計目的n選擇一組選擇一組 ，便均方誤差最小。，便均方誤差最小。)(jwdeH)(jweH)(jweE)()()(jwjwdjweHeHeEdweHeHdweEejwjwdjw222)()(21)(21)(nh)(jweHIDTFT6n由于：n用用FIR濾波器來逼近，故濾波器來逼近，故 長度是有限長度是有限長的，可得：長的，可得：njwndjwdenheH)()(10)()(NnjwnjwenheH)(nhnjwndjwnNndjwjw

5、djwenhenhnheHeHeE其他)()()()()()(107n按照帕塞瓦公式有：按照帕塞瓦公式有：n要使要使e2最小，就必須使第一項求和式最最小，就必須使第一項求和式最小，即希望有：小，即希望有：n即：即：ndNndjwnhnhnhdweEe其他221022)()()()(2110 , 0)()(NnnhnhdnNnnhnhd其他, 010),()(8結(jié)論:n最小均方誤差準則所要求的設計結(jié)果為矩形最小均方誤差準則所要求的設計結(jié)果為矩形窗設計法。窗設計法。n矩形窗設計的濾波器過渡帶最窄矩形窗設計的濾波器過渡帶最窄n由于吉布斯（由于吉布斯（Gibbs）效應，窗譜的肩峰過大，效應，窗譜的肩峰

6、過大，造成所設計出的濾波器造成所設計出的濾波器:n通帶起伏不均勻且過大，通帶起伏不均勻且過大，n阻帶衰減不夠小，不能滿足某些工程要求。阻帶衰減不夠小，不能滿足某些工程要求。9n用有限長單位沖激響應用有限長單位沖激響應h(n)的濾波器來的濾波器來逼近理想濾波器頻率響應。逼近理想濾波器頻率響應。n指標是在頻域提出的指標是在頻域提出的n設計是在時域進行的設計是在時域進行的10)()(NnjwjwenheH)(jwdeH)()()(nwnhnhddweeHnHjwnjwdd)(21)(二、二、 窗函數(shù)設計法窗函數(shù)設計法10n我們以一個截止頻率為我們以一個截止頻率為 的線性相位的的線性相位的理想低通濾波

7、器為例來加以討論。理想低通濾波器為例來加以討論。n設濾波器的群延時為設濾波器的群延時為 ,即：即：cwccccjwjwdwwwwwwweeH,0)()()(sin21)(nwnwwdweenhcccjwnwwjwdcc11nhd(n)是中心點在是中心點在的偶對稱無限長非因果序列，的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的要得到有限長的h(n)，一種最簡單的辦法就是，一種最簡單的辦法就是取矩形窗取矩形窗RN(n)，即：，即：n若有線性相位的約束，窗函數(shù)的選擇必須保證若有線性相位的約束，窗函數(shù)的選擇必須保證所截取所截取h(n)是對稱的。是對稱的。)()(nRnwN12n為分析方便，選取為分析方便，選

8、取 ，n所以有：所以有：2/ ) 1 N（其他Nn)N(ncw)N(ncwcwh(n)0102121sin)()()(nwnhnhd13n窗函數(shù)的頻率特性為：窗函數(shù)的頻率特性為：n對矩形窗，則有：對矩形窗，則有：n可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)：可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)：10)()(NnjwnjwenweW)2sin()2sin()()21(10wwNeeeWNjwNnjwnjwRwNjRjwRewWeW)21()()(加窗對濾波器頻率響應的影響加窗對濾波器頻率響應的影響14n n在在 之內(nèi)為一個主瓣，兩側(cè)形成之內(nèi)為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣許多衰減振蕩的旁瓣)2sin()2sin()

9、(wwNWRNw/215Hd(n)及W(n)的頻譜特性16 如果將理想頻率響應也寫成：如果將理想頻率響應也寫成： 其中：其中： 因此，因此，F(xiàn)IRFIR濾波器的頻率響應濾波器的頻率響應 為：為： 顯然，顯然，F(xiàn)IRFIR濾波器的頻率響應也是濾波器的頻率響應也是線性相位線性相位的。的。 wNjdjwdewHeH)21()()(其他01)(cdwH)(jweHdwWHedewWeHeHRdwNjNjRNjdjw)()(21*)()(21)()21()(21()21(矩形窗所設計濾波器的頻率特性17FIRFIR數(shù)字濾波器的幅度函數(shù)數(shù)字濾波器的幅度函數(shù) dwWHwHRd)()(21)(18主瓣帶寬和過

10、渡帶寬的關系19總結(jié)總結(jié):n(1)理想幅度特性不連續(xù)處邊沿加寬，形成一個過理想幅度特性不連續(xù)處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應的主瓣寬度渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應的主瓣寬度n此處過渡帶是指兩個肩峰之間的寬度此處過渡帶是指兩個肩峰之間的寬度 ，與濾波器的真正過渡帶有一些區(qū)別與濾波器的真正過渡帶有一些區(qū)別n濾波器的過渡帶比這個數(shù)值要小濾波器的過渡帶比這個數(shù)值要小n(2)在截止頻率的兩邊在截止頻率的兩邊 的地方出現(xiàn)最大的的地方出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對面積決于旁瓣的相對面積n(3)改變

11、矩形窗的長度改變矩形窗的長度N只能改變窗譜的主瓣寬度、只能改變窗譜的主瓣寬度、濾波器過度帶寬，不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。濾波器過度帶寬，不能改變主瓣與旁瓣的相對比例。n最大肩峰總是最大肩峰總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應。效應。Nw/4Nwwc2xxNwNwwNwwWRsin2)2sin()2sin()2sin()(20n矩形窗截斷造成肩峰為矩形窗截斷造成肩峰為8.95%，則阻帶，則阻帶最小衰減為最小衰減為 n這個衰減量在工程上常常是不夠的。這個衰減量在工程上常常是不夠的。n為了加大阻帶衰減，需要改善窗函數(shù)。為了加大阻帶衰減，需要改善窗函數(shù)。db21

12、%)95. 8(log2010（二）、各種常用窗函數(shù)（二）、各種常用窗函數(shù)21n通常希望窗函數(shù)滿足兩項要求通常希望窗函數(shù)滿足兩項要求:n窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶;n盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對面積，使肩盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對面積，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。n在濾波器在濾波器階數(shù)給定階數(shù)給定的情況下，這兩項要的情況下，這兩項要 求往往不能同時得到滿足的求往往不能同時得到滿足的n通常采用增加主瓣寬度（犧牲過渡帶寬）以通常采用增加主瓣寬度（犧牲過渡帶寬）以換取對旁瓣的抑制，為了得到平坦的通帶幅換取對旁瓣的

13、抑制，為了得到平坦的通帶幅度響應和較小的阻帶波紋。度響應和較小的阻帶波紋。22窗改進的出發(fā)點n若窗函數(shù)在邊沿處若窗函數(shù)在邊沿處(n=0和和n=N-l附近附近)比矩形窗變化要平滑而緩慢：比矩形窗變化要平滑而緩慢：n窗邊沿不再陡峭，則高頻分量減小，阻帶窗邊沿不再陡峭，則高頻分量減小，阻帶衰減增大。衰減增大。n但窗譜的主瓣寬度卻比矩形窗的要寬，造但窗譜的主瓣寬度卻比矩形窗的要寬，造成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。23n1、矩形窗、矩形窗n2、三角形（、三角形（Bartlett）窗窗n n n “ ”在在 時成立；此時主瓣寬度時成立；此時主瓣寬度為為 ,阻帶最小衰減為阻帶最

14、小衰減為25db。 )()(nRnwNwNjRjwRewWeW)21()()(210,12121,122)(NnNnNnNNnnwwNjwNjjwewNwNewwNNeW)21(2212)2sin()4sin(2)2sin()41(sin12)(1NN/8常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù)24n 3、漢寧（、漢寧（Hanning）窗（升余弦窗）窗（升余弦窗）)(12cos121)(nRNnnwN)()()(00wwjnjweXnxe2cos000jnwjnweenwwNjRjwRewWeW)21()()()()(nwDTFTeWjwwNjwNjRRRewWeNwWNwWwW)21()21()()12(1

15、225. 0)(5 . 02526n當當 時，時， ，窗譜的幅度函數(shù)為：，窗譜的幅度函數(shù)為：n主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為即為 ，但是阻帶最小衰減變?yōu)?，但是阻帶最小衰減變?yōu)?4db。1NNN1)2()2(25. 0)(5 . 0)(NwWNwWRWwWRRRN/827n對升余弦改進，可得到旁瓣更小的效果：對升余弦改進，可得到旁瓣更小的效果：n n99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣寬度相同為寬度相同為 ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的小于主瓣峰值的1%，此時阻帶最小衰減為，此

16、時阻帶最小衰減為53db 。)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwR121223. 0)(54. 0)(NwWNwWwWwWRRR) 1( ,)2()2(23. 0)(54. 0NNwWNwWwWRRR當N/84、海明（、海明（Hamming）窗（窗（改進改進的升余弦窗）的升余弦窗）28n為抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，為抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，n主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為為 ，此時，此時，阻帶最小衰減為阻帶最小衰減為74db 。)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN

17、)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)(NwWNwWNwWNwWwWwWRRRRRN125、布拉克曼窗（、布拉克曼窗（Blackman）29n一種適應性強的窗，其窗函數(shù)的表示式為一種適應性強的窗，其窗函數(shù)的表示式為n 是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)， 是一個是一個可自由選擇的參數(shù)，它可以同時調(diào)整主瓣寬度可自由選擇的參數(shù)，它可以同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平與旁瓣電平n 越大，則窗越尖銳，而頻譜的旁瓣相對越小，越大，則窗越尖銳，而頻譜的旁瓣相對越小，但主辯寬度也相應增加。但主辯寬度也相應增加。n主瓣寬度同時也可以由窗口長度調(diào)節(jié)主瓣寬度同時也可以由

18、窗口長度調(diào)節(jié) 0201211)(INnInw 0I44. 55 . 86、凱澤窗（、凱澤窗（Kaiser）30 過渡帶通帶紋波阻帶最小衰減/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00 /N4.46 /N5.86 /N7.24 /N8.64 /N10.0 /N11.4 /N12.8 /N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100 凱澤窗性能一覽表凱澤窗性能一覽表31n當當 =0時時，相當于，相當于矩形矩形窗。窗。n當當 =5.44

19、時時，相當于，相當于海明海明窗，但凱澤窗旁瓣窗，但凱澤窗旁瓣頻譜收斂得更快。頻譜收斂得更快。n海明窗主瓣之外的能量為海明窗主瓣之外的能量為0.037% ，凱澤窗主瓣之，凱澤窗主瓣之外的能量為外的能量為0.012%，能量更加集中在主瓣中。，能量更加集中在主瓣中。n當當 =8.5時時，相當于，相當于布拉克曼窗布拉克曼窗。n凱澤窗函數(shù)是以凱澤窗函數(shù)是以n=（N-1）/2為對稱中心呈偶對為對稱中心呈偶對稱的，即稱的，即n從從n=（N-1）/2這一中點向兩邊變化時逐漸減小，這一中點向兩邊變化時逐漸減小，最邊上兩點最邊上兩點)1()(nNwnw 1)21(00IINw 01) 1()0(INww32窗函數(shù)

20、窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值/Db主瓣寬度/ 過渡帶寬度/（阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-57244463.35.55-21-25-44-53-74-80w)/2N865. 7)/2(N 六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較3334n給定過渡帶寬給定過渡帶寬 ，阻帶衰減，阻帶衰減 ，則可求得凱澤窗則可求得凱澤窗FIR濾波器的濾波器的階數(shù)階數(shù)N（M=N-1)和和形狀參數(shù)形狀參數(shù) ，即，即n最小阻帶衰減最小阻帶衰減只由只由窗形狀窗形狀決定，不受決定，不受N的影響的影響n而而過渡帶的寬度過渡帶的寬度則隨窗寬則隨窗寬N的增加而減小。的增加而減小。 w)(log202102dBwM286. 295. 722dBdBdBdB21, 05021),21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 02224 . 0222凱澤窗經(jīng)驗設計法凱澤窗經(jīng)驗設計法35（1 1）首先是給定所要求的頻率響應函數(shù)）首先是給定所要求的頻率響應函數(shù) ；（2 2）其次，求）其次，求（3 3）再次，