2020高考數(shù)學(xué)三角形中的最值問題解題指導(dǎo)（一）

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上【2020年高考數(shù)學(xué)】三角形中的最值問題解題指導(dǎo)（一） 第一篇 三角函數(shù)與解三角形專題06 三角形中的最值問題 類型對(duì)應(yīng)典例求三角形中角相關(guān)的最值問題典例1求三角形中邊相關(guān)的最值問題典例2求三角形中面積相關(guān)的最值問題典例3求三角形中周長(zhǎng)相關(guān)的最值問題典例4平面圖形中三角形面積的最值問題典例5求三角形中相關(guān)的混合型的最值問題典例6求三角形中線段的最值問題典例7【典例1】【湖南省益陽市、湘潭市2020屆高三9月調(diào)研考試】已知銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大?。?）求函數(shù)的值域【思路引導(dǎo)】（1）由利用正弦定理得，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得，可求出的值

2、；（2）對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個(gè)角正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用定義域求出函數(shù)的值域.【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】在中，角，所對(duì)的邊分別是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【典例3】【山西省平遙中學(xué)2020屆高三上學(xué)期11月質(zhì)檢】已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足（1）求角A；（2）若ABC的

3、外接圓半徑為1，求ABC的面積S的最大值【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理將角化為邊可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，從而由可得解.【典例4】【2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末】已知的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，設(shè)，.（1）若，求與的夾角；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）將代入可求得.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得,由數(shù)量積的定義即可求得,進(jìn)而得夾角.（2）根據(jù)及向量模的坐標(biāo)表示,可求得.再由余弦定理可得.結(jié)合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周長(zhǎng)的最大值;或由正弦定理,用角表示出,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍,即可求得的取值范圍,進(jìn)

4、而求得周長(zhǎng)的最大值.【典例5】【2020屆吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面積的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和即可；（2）由條件知，然后根據(jù)的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值.【典例6】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（一)】已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）設(shè)，的面積為S，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把邊用角表示，即，這樣，又，就表示為的三角函數(shù)，由三

5、角函數(shù)恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值【典例7】【福建省寧德市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查（期末)】的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，（1）求；（2）若為銳角三角形，為中點(diǎn)，求的取值范圍【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理，將式子中的邊化成角得到，從而求得的值；（2）由（1）知，可得的范圍，再將表示成關(guān)于的函數(shù)，從而求得的取值范圍. 【針對(duì)訓(xùn)練】1. 【陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在中，、分別是角、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.2. 【遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月月考】分別為的

6、內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).3. 【2019年云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】在中，角、所對(duì)的邊分別為、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.4. 【2020屆湖南省常德市高三上學(xué)期期末】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.5. 【2020屆江西省吉安市高三上學(xué)期期末】在中，分別是角，的對(duì)邊，已知向量，且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.6. 【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（二)】如圖，在四邊形ABCD中，A為銳角，.（1）求；（2）設(shè)、的外接圓半徑分別為，

7、若恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.7. 在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)證明：ab2c；(2)求cos C的最小值8. 【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)求角；(2)若，求的最小值9. 【吉林省吉林市普通中學(xué)2019-2020學(xué)年度高三第二次調(diào)研測(cè)】已知中，角，所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.10. 【湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第六次月考】已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面積為，

8、設(shè)D為邊AC的中點(diǎn)，求線段BD長(zhǎng)的最小值11. 中，的面積為.（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，分別為邊上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且，求面積的最小值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品 【參考答案部分】【典例1】【湖南省益陽市、湘潭市2020屆高三9月調(diào)研考試】已知銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大?。?）求函數(shù)的值域【思路引導(dǎo)】（1）由利用正弦定理得，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得，可求出的值；（2）對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個(gè)角正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用定義域求出函數(shù)的值域.解：（1）由，利用正弦定理可

9、得，可化為，.（2），.【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】在中，角，所對(duì)的邊分別是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.解：（1）由正弦定理可得： 即 （2）由（1）知： ， ，即的取值范圍為【典例3】【山西省平遙中學(xué)2020屆高三上學(xué)期11月質(zhì)檢】已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足（1）求角A；（2）若ABC的外接圓半徑為1，求ABC的面積S的最大值【思路引

10、導(dǎo)】（1）利用正弦定理將角化為邊可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，從而由可得解.解：（1）設(shè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，根據(jù)，可得，所以，又因?yàn)?，所以?），所以，所以（時(shí)取等號(hào)）【典例4】【2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末】已知的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，設(shè)，.（1）若，求與的夾角；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）將代入可求得.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得,由數(shù)量積的定義即可求得,進(jìn)而得夾角.（2）根據(jù)及向量模的坐標(biāo)表示,可求得.再由余弦定理可得.結(jié)合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周長(zhǎng)的最大值;或由正弦定理,用角表示出,結(jié)合輔

11、助角公式及角的取值范圍,即可求得的取值范圍,進(jìn)而求得周長(zhǎng)的最大值.解：（1）,所以,因?yàn)?又,（2）因?yàn)?即,所以,方法1.由余弦定理,得.,即,即,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以周長(zhǎng)的最大值為.方法2.由正弦定理可知,所以,又,所以當(dāng)時(shí),取最大值.所以周長(zhǎng)的最大值為.【典例5】【2020屆吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面積的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和即可；（2）由條件知，然后根據(jù)的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值.解：（1）在中，所以，在中，；（2），因?yàn)?，?/p>

12、以，即，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值.【典例6】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（一)】已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）設(shè)，的面積為S，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把邊用角表示，即，這樣，又，就表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值解：（1）由正弦定理，由余弦定理，；（2）由正弦定理，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最大值為.【典例7】【福建省寧德市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查（期末)】的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，（1）求；（2

13、）若為銳角三角形，為中點(diǎn)，求的取值范圍【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理，將式子中的邊化成角得到，從而求得的值；（2）由（1）知，可得的范圍，再將表示成關(guān)于的函數(shù)，從而求得的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?（2）由（1）知，根據(jù)題意得 解得. 在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所?因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀? 【針對(duì)訓(xùn)練】1. 【陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在中，、分別是角、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）

14、由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)為銳角三角形，求得，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.解：（1）由題意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又為銳角三角形，即，則，所以，綜上的取值范圍為.2. 【遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月月考】分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，最大，結(jié)合（1）中條件，即可求出最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)解：（1

15、）由，得，即.因?yàn)?，所?由，得.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，則，所以的周長(zhǎng)為.3. 【2019年云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】在中，角、所對(duì)的邊分別為、，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理邊角互化思想得出，再利用兩角差的余弦公式可得出的值，結(jié)合角的范圍可得出角的大??；（2）由中線向量得出，將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義，并結(jié)合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出面積的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡(jiǎn)得，.又，因此，；

16、（2）如下圖，由，又為的中點(diǎn)，則，等式兩邊平方得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，的面積最大值為.4. 【2020屆湖南省常德市高三上學(xué)期期末】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)正弦定理即正弦的和角公式,將表達(dá)式化為角的表達(dá)式.即可求得.（2）利用正弦定理,表示出,結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式及角的取值范圍,即可求得的最大值.解：（1）,由正弦定理得從而有,；（2）由正弦定理得：,則,當(dāng)時(shí),取得最大值；5. 【2020屆江西省吉安市高三上學(xué)期期末】在中，分別是角，的對(duì)邊，已知向量，且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）

17、根據(jù)向量平行列出方程，再利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，然后求出角的大?。唬?）根據(jù)余弦定理求出的取值范圍，再根據(jù)三角形邊的幾何性質(zhì)求出周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由得，由正弦定理，得，即，因?yàn)樵谌切沃?，則，又，故；（2）在中，因，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，又由三角形性質(zhì)得，故，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.6. 【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（二)】如圖，在四邊形ABCD中，A為銳角，.（1）求；（2）設(shè)、的外接圓半徑分別為，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)三角函數(shù)的和差角公式與三角函數(shù)值求解即可.(2)根據(jù)正弦定理參變分離,再利用的取值范圍求解解：（

18、1）由題, ,即,因?yàn)?故.所以.（2）,因?yàn)?故當(dāng)時(shí)有最大值所以,即實(shí)數(shù)m的最小值為7. 在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)證明：ab2c；(2)求cos C的最小值【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡(jiǎn)得，再根據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.解：（1）由題意知，化簡(jiǎn)得：即，因?yàn)?，所以，從而，由正弦定理?（2）由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.8. 【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知(1)求角；(2)若，求的最小值【思路引導(dǎo)】（）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值解：(1) 中，由正弦定理知，(2) 由 (1)及得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9. 【吉林省吉林市普通中學(xué)2019-2020學(xué)年度高三第二次調(diào)研測(cè)】已知中，角，所對(duì)的邊分別為，且滿足.（1）求的面積；（