2022年(高考第二輪專題復(fù)習(xí))高考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)數(shù)列與不等式專題(1213143150)

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -數(shù)列與不等式專題一高考說(shuō)明剖析江蘇省 2005 年高考數(shù)學(xué)考試大綱，對(duì)于不等式 一章的考試內(nèi)容及考試要 求為 ： 1）懂得不等式的性質(zhì)及其證明；2把握兩個(gè) 不擴(kuò)展到三個(gè) 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)潔的應(yīng)用；3 把握分析法、綜合法、比較法 證明簡(jiǎn)潔的不等式；4 把握簡(jiǎn)潔不等式的解法；5 懂得不等式a-b a+b a + b；對(duì)于 數(shù)列 一章的考試內(nèi)容及考試要求為： 1懂得數(shù)列的概念，明白數(shù)列通項(xiàng)公式的意義明白遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能依據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的 前幾項(xiàng)； 2 懂得等差數(shù)列的概念

2、，把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題；3 懂得等比數(shù)列的概念，把握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題；這同江蘇省 2004 年高考數(shù)學(xué)考試大綱對(duì)這兩部分內(nèi)容的要求完全一樣； 據(jù)此我們判定： 穩(wěn)固是江蘇省高考自主命題的指導(dǎo)思想之一；傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)高考，重點(diǎn)考查的內(nèi)容有五大塊：函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、直線和平面、圓錐曲線；而新高考，重點(diǎn)考查的內(nèi)容就有八大塊：函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、概率、平面對(duì)量、 圓錐曲線、 直線與平面； 這是總的格局，再細(xì)化一下， 看 2004 年高考關(guān)于不等式、 數(shù)列的試題配置： 江蘇省 2004 年高考數(shù)學(xué)試卷中不等

3、式與數(shù)列所占的權(quán)重都分別考了一個(gè)填空題和一個(gè)解答題數(shù)列為第 20 題，不等式為第22 題；其它省份的數(shù)學(xué)試卷以及全國(guó)數(shù)學(xué)試卷也都在 不同程度上表達(dá)了數(shù)列與不等式的重點(diǎn)位置；由此可以看出， 不等式和數(shù)列是傳統(tǒng)高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是新高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容；仍應(yīng)指出的是：數(shù)列、不 等式也是新課標(biāo)必修模塊5 的內(nèi)容；因此，我們有理由信任：不等式、數(shù)列 內(nèi)容仍將是今年高考考查的重點(diǎn)；二高考試題爭(zhēng)論例 1 2004 年江蘇高考 20 題設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ；如首項(xiàng) a13，公差 d 1，求滿意2Sk 2 Sk2的正整數(shù) k；求全部的無(wú)窮等差數(shù)列a n ，使得對(duì)于一切正整數(shù)k 都有

4、 Sk2 Sk2 成立；同學(xué)正確懂得了有關(guān)符號(hào)， 不難得出此題的正確結(jié)果；其中， 其次句話具有高等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言味道；例 2 2004 年江蘇高考 22 題已知函數(shù) fxx R滿意以下條件：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1、x2，都有 x1x22 x1x2fx 1fx 2和 fx 1fx 2 x1x 2，其中 是大于 0 的常數(shù)；設(shè)實(shí)數(shù) a0、a、b 滿意 fa00 和 b afa； 證明： 1，并且不存在 b0a0，使得 fb 00； 證明： ba02 12aa02； 證明： fb 2 12fa 2；此題具有高等數(shù)學(xué)背景，字母多，函數(shù)抽象，同學(xué)無(wú)從下手，得分度極低，區(qū)分度極差；從某種意義上講，經(jīng)過(guò)直覺(jué)判定后9

5、5同學(xué)可舍棄解答此題；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -例 3 2004 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷二19 題數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1 1， an+1 n2 Snn 1，2，3，；證nn+1nn明：數(shù)列 Sn 是等比數(shù)列； S4a ；解答此題，有兩個(gè)方面的素養(yǎng)必需具備，一是正確懂得符號(hào)是把握項(xiàng)與和的關(guān)系（消項(xiàng)留和） ；例 4 2004 年北京高考 18 題Snn 的意義，二fx 是定義在 0，1上的增函數(shù)，fx=2f x且

6、f1 1，在每個(gè)區(qū)間 1122i，2i-1i=1 ，2， 3，上， y=fx 的圖象都是斜率為同一常數(shù)k 的直線的一部分；111求 f0 及 f 2 、f4 的值，并歸納出f2ii=1 ，2，3，的表達(dá)式；略解答此題必需具有識(shí)別數(shù)列模式的才能；例 52004 年北京高考 20 題給定有限個(gè)正數(shù)滿意條件T：每個(gè)數(shù)都不大于 50 且總和L1275；現(xiàn)將這些數(shù)按以下要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是： 第一，從這些數(shù)中挑選這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得 150 與這組數(shù)之和的差 r1 與全部可能的其它挑選相比是最小的，r1 稱為第一組的余差； 然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按

7、第一組的挑選方式構(gòu)成其次組，這里的余差為 r2；如此連續(xù)構(gòu)成第三組 余差為 r3 、第四組余差為 r4、，直至第 N 組余差為 rN把這些數(shù)全部分完為止；判定 r1， r2， rN 的大小關(guān)系，并指出除第N 組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；當(dāng)構(gòu)成第nn N組后，指出余下每個(gè)數(shù)與的rn 的大小關(guān)系，并證明rn-1150nL n1；對(duì)任何滿意條件T 的有限個(gè)正數(shù)，證明： N11（此題是理科試題最終一題）；閱讀此題要有足夠的耐心；解答此題要會(huì)捕獲有用信息；完整解答此題，需要對(duì)不等式變換特殊是放縮法有較高的技能；第 1 小題多數(shù)同學(xué)可以做出來(lái)， 不難規(guī)律分析出來(lái)，也能夠直覺(jué)猜想出來(lái)；三高考命題展望回憶 20

8、04 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷，并縱觀別的省份的高考數(shù)學(xué)試卷，都有 一個(gè)共同的特點(diǎn)， 就是一改近幾年高考數(shù)學(xué)試卷難度偏大，表達(dá)了對(duì)同學(xué)分層要求（全體同學(xué)的要求，多數(shù)同學(xué)的要求，少數(shù)同學(xué)的要求），讓每個(gè)同學(xué)都有成功感；江蘇省 2004 年高考數(shù)學(xué)試卷與2003 年高考數(shù)學(xué)試卷相比， 難易程度明顯降低，相對(duì)來(lái)說(shuō)是比較平妥的； 但有一點(diǎn)未變， 這就是突出考查主干學(xué)問(wèn)和基本才能；這是由于主干學(xué)問(wèn)和基本才能是支撐學(xué)問(wèn)體系的主要內(nèi)容，高考時(shí)必需保持較高的比例予以考查，并達(dá)到必要的深度，以保證高考目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)；2005 年的高考考試大綱對(duì)于不等式、數(shù)列的要求同2004 年要求完全一樣；依據(jù)上述三點(diǎn)，我們對(duì)2005

9、 年高考數(shù)學(xué)命題展望如下：精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1貼近生活，貼近實(shí)際，更貼近考生的水平貼近生活， 貼近實(shí)際， 更貼近考生的水平， 最終的詮釋是高考試題； 如 2004年北京高考數(shù)學(xué)試題第19 題；例 6某段鐵路線上依次有A 、B、C 三站， AB 5km，BC3km，在列車(chē)運(yùn)行時(shí)刻表上， 規(guī)定列車(chē) 8 點(diǎn)整從 A 站動(dòng)身，8 時(shí) 07 分到達(dá) B 站并停車(chē) 1 分鐘，8 時(shí) 12 分到達(dá) C 站；在實(shí)際運(yùn)行時(shí)，假設(shè)列車(chē)從A

10、站正點(diǎn)動(dòng)身，在 B 站并停留1 分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度vkm/h 勻速行駛，列車(chē)從A 站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上的相應(yīng)時(shí)間之差的肯定值稱為列車(chē)在該站的運(yùn)行誤差；分別寫(xiě)出列車(chē)在B、C 兩站的運(yùn)行誤差；要求列車(chē)在 B、C 兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2 分鐘，求 v 的取值范疇；此題以解不等式等基本學(xué)問(wèn)， 考查同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的才能；此題具有肯定的生活背景和文化背景，而且其數(shù)學(xué)模型是一個(gè)簡(jiǎn)明的肯定值不等式模型，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是確立時(shí)間誤差分別為300v 7和480v11，進(jìn)而得出不等式：300v7和480v11 2；此題作為應(yīng)用題，它的閱讀量較小， 測(cè)試的階梯明顯， 第一問(wèn)檢測(cè)同

11、學(xué)的數(shù)學(xué)建模才能， 其次問(wèn)檢測(cè)同學(xué)的數(shù)學(xué)解模才能； 估量同學(xué)解答此題的第一個(gè)障礙是題意的懂得， 其次個(gè)障礙是用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)、符號(hào)表達(dá)問(wèn)題，極有可能在列表達(dá)式時(shí)顯現(xiàn)單位錯(cuò)誤 , 第三個(gè)障礙是不會(huì)解不等式 ,或解解不等式時(shí)分類不全 ,亂分類；2考查同學(xué)的數(shù)學(xué)探究才能一般高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)是爭(zhēng)論空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)， 是刻畫(huà)自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具；數(shù)學(xué)教學(xué)使同學(xué)把握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本技能、基本思想，使同學(xué)表達(dá)清楚、摸索有條理，使同學(xué)具有實(shí)事求是的態(tài)度、 鍥而不舍的精神， 使同學(xué)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的摸索方式解決問(wèn)題、 熟悉世界；例 72005 北京春季高考第20 題現(xiàn)有一組互不相同

12、且從小到大排列的數(shù)據(jù)：a0，a1，a2， a3，a4，a5，其中 a0 0；為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對(duì)其進(jìn)行如下加工：記 T a0n5 a1 a2 a3 a4a5，xn ， yna0a1 an，作函數(shù)yfx ，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)Pnxn，ynn0，1，2， 5的折線；（ 1）求 f0 和 f1 的值；（2）設(shè) Pn-1Pn 的斜率為 knn1，2，3，4，5，判定 k1，k2，k3， k4，k5 的大小關(guān)系；（3）證明：當(dāng) x 0，1時(shí)， fx x；（4）求由函數(shù) y x 與 yfx 的圖象所圍成圖形的面積S（用 a1，a2，a3，a4， a5 表示）；此題以數(shù)字為爭(zhēng)論對(duì)象

13、， 波及的學(xué)問(wèn)點(diǎn)多， 這點(diǎn)對(duì)于同學(xué)來(lái)說(shuō)， 具有肯定的挑戰(zhàn)性；但更具有值挑戰(zhàn)性的是，同學(xué)要有士氣、毅力和探究才能；3適度綜合由學(xué)習(xí)和教學(xué)的特點(diǎn)， 只能將結(jié)構(gòu)完整的包蘊(yùn)著深刻思想的有著內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)， 人為地加以分割成條、 塊，而后，按肯定的次序， 漸次綻開(kāi)進(jìn)行教學(xué)；但在應(yīng)用中，往往需要將學(xué)問(wèn)綜合，需要數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)，需要數(shù)學(xué)方法支撐，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -才能夠解決問(wèn)題，支離破裂的學(xué)問(wèn)是不行的（有用捕獲，有關(guān)提取，有效整合）

14、；不等式與函數(shù)、數(shù)列、二項(xiàng)式定理、解析幾何等學(xué)問(wèn)的綜合，數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等的綜合，既有自然的因素，也有人工的成份；試題滲透歸納猜想、類比聯(lián)想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類爭(zhēng)論等重要的數(shù)學(xué)思想，試題難度一般均屬中等以上；例如 2004 年上海高考數(shù)學(xué)試卷的第 22 題；例 8 2004 年上海高考 22 題設(shè) P1x1，y1，P2x2，y2， ，Pnxn，ynn3，n N是二次曲線 C 上的點(diǎn)， 且 a1 OP12，a2 OP22， ， an OPn 2 構(gòu)成了一個(gè)公差為 dd 0 的等差數(shù)列，其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)；記 Sna1 a2 an；x2文如 C 的方程為 9 y21， n 3，點(diǎn)

15、P13，0且 S3162，求點(diǎn) P3 的坐標(biāo)； 只需寫(xiě)出一個(gè) 如 C 的方程為 y2 2pxp0，點(diǎn) P10，0，對(duì)于給定的自然數(shù)n，證明：x1p2、x2p2、x3 p2、 xnp2 成等差數(shù)列；x2y2如 C 的方程為 a2 b21ab0，點(diǎn) P1a，0，對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差 d 變化時(shí)，求 Sn 的最小值；此題在二次曲線與數(shù)列的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，題型新奇，解法多樣；四高考復(fù)習(xí)建議關(guān)于數(shù)列與不等式這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)，提幾點(diǎn)建議， 一家之言， 僅供大家參考：1留意雙基，降低難度，突出主干學(xué)問(wèn)；比如數(shù)列中對(duì) an 與 Sn 符號(hào)的懂得： 2004 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷的第20 題，考查了同學(xué)對(duì)

16、符號(hào)Sk 2的懂得；同學(xué)明白 fn 意義標(biāo)準(zhǔn)是：數(shù)列 an第 n 項(xiàng)就是 fn ；數(shù)列 an 第 n 項(xiàng)與其序號(hào) n 的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是f；類似的仍有符號(hào) xi（ i=0， 1， 2，）；關(guān)于 an 與 Sn 之間的關(guān)系，江蘇省近兩年的高考數(shù)學(xué)試題雖均沒(méi)涉及，我們也不能掉以輕心，應(yīng)賜予足夠地重視；在給an 與 Sn 的關(guān)系的前提下，是消an 仍是消 Sn 要敏捷， 比如：上面的例 3，2004 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷二19 題；又比如，已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是正數(shù)，且前n 項(xiàng)和 Sn 滿意 Sn11n，求a n 的通項(xiàng)公式以及前 n 項(xiàng)和公式；2aan對(duì)于遞推數(shù)列， 特殊是遞推數(shù)列與概率的綜合問(wèn)題，

17、我們要賜予重視； 有人玩硬幣走跳棋的嬉戲；棋盤(pán)上有第0 站，第 1 站，第 2 站，第 100 站；一枚棋子開(kāi)頭在第0 站；已知硬幣顯現(xiàn)正反面的概率都是0.5，棋手每擲一次硬幣，如擲出正面，棋子向前跳一站；如擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第 99 站（成功大本營(yíng)）或第100 站（失敗大本營(yíng)）時(shí)，該嬉戲終止；設(shè)棋子跳到第 n 站的概率為 Pn；（ 1）求 P0， P1， P2 ；（2）求證：PnPn 1 1 （Pn1 Pn 2）；2（ 3）求玩該嬉戲獲勝的概率；再如不等式與相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系；不等式與二次函數(shù)： 已知 fx x2b1x c，如 fx 1fx 2 0， x1x21；

18、證明： b22b2c；如精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -實(shí)數(shù) ex1，試比較 e2be c 與 x 1 的大??；不等式與三次函數(shù)：已知函數(shù)fx x313x240x 在區(qū)間 a， 上有反函數(shù)，就 a 的最小值是 A 8B203C13132D 3不等式與抽象函數(shù)：如函數(shù)fx 滿意對(duì)任意的m、n R，都有 fm n fm fn 1，且 x 0 時(shí)恒有 fx 1；證明： fx 在 R 上是增函數(shù)；如f3 4，解不等式 fa2a5 2關(guān)于放縮法， 放縮法雖不是高中教學(xué)的重點(diǎn)， 但它卻是高考的熱點(diǎn)， 這是由于放縮法證明不等式是高等數(shù)學(xué)中比較常用的方法， 它的思想是靠近， 把握幾種簡(jiǎn)潔地放縮技巧是必要的；其實(shí)不等式的好多性質(zhì)就表達(dá)了放縮；2重視挖掘不等式、數(shù)列與新增加內(nèi)容的諸如平面對(duì)量、導(dǎo)數(shù)、概率的聯(lián)系，表達(dá)課改理念；比如，例 82004 年上海高考 22就是挖掘了數(shù)列與解析幾何之間的聯(lián)系而設(shè)計(jì)的一道高考數(shù)學(xué)試題； 我們?nèi)砸獩](méi)要留意從不等式與平面對(duì)量