學(xué)生成績(jī)分析數(shù)學(xué)建模

1、2012年暑期培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模第二次模擬承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其它公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。我們的參賽報(bào)名號(hào)為： 參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1：隊(duì)員2：隊(duì)員3：2012年暑期培訓(xùn)數(shù)學(xué)

2、建模第二次模擬編 號(hào) 專 用 頁(yè)參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：（請(qǐng)各個(gè)參賽隊(duì)提前填寫好）：競(jìng)賽統(tǒng)一編號(hào)（由競(jìng)賽組委會(huì)送至評(píng)委團(tuán)前編號(hào)）：競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)（由競(jìng)賽評(píng)委團(tuán)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2012年暑期培訓(xùn)數(shù)學(xué)建模第二次模擬題 目 學(xué)生成績(jī)的分析問題摘要本文針對(duì)大學(xué)高數(shù)和線代，概率論成績(jī)進(jìn)行建模分析，主要用到統(tǒng)計(jì)分析的知識(shí)及SPSS軟件，建立了方差分析、單因素分析、相關(guān)性分析等相關(guān)模型，從而分析兩個(gè)專業(yè)、四門課程成績(jī)的顯著性，以及課程之間的相關(guān)性。最后利用分析結(jié)論表明了我們對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的看法。問題一：每門課程兩個(gè)專業(yè)的差異性需要進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，首先應(yīng)該對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，結(jié)論是各個(gè)專業(yè)的

3、分?jǐn)?shù)都服從正態(tài)分布，之后可以根據(jù)Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)（K-S檢驗(yàn)）原理，利用SPSS軟件進(jìn)行單因素方差分析，得出方差分析表，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，最后得出的結(jié)論是高數(shù)1、高數(shù)2、線代和概率這四科成績(jī)?cè)趦蓚€(gè)專業(yè)中沒有顯著性差異。問題二：對(duì)于甲乙兩個(gè)專業(yè)分別分析，應(yīng)用問題一的模型，以每個(gè)專業(yè)不同班級(jí)的高數(shù)一、高數(shù)二、線代和概率平均數(shù)為自變量，同第一問相同的做法，得到兩個(gè)專業(yè)中不同學(xué)科之間沒有顯著差異。 問題三：我們通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行Spss的“雙變量相關(guān)檢驗(yàn)”得出相關(guān)系數(shù)值r、影響程度的P值，從而來(lái)分析出高數(shù)1、高數(shù)2與概率論、現(xiàn)代的相關(guān)性。 問題四：利用上面數(shù)據(jù)，得到各專業(yè)課程的

4、方差和平均值，再通過(guò)對(duì)各門課程的分析，利用分析結(jié)論表明了我們對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的看法。關(guān)鍵詞：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觥?方差分析、 相關(guān)分析、 spss軟件、一、問題重述附件是甲專業(yè)和乙專業(yè)的高等數(shù)學(xué)上冊(cè)、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等三門數(shù)學(xué)課程的成績(jī)數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)分析并回答以下問題： （1）針對(duì)每門課程分析，兩個(gè)專業(yè)的分?jǐn)?shù)是否有明顯差異？ （2）針對(duì)專業(yè)分析，兩個(gè)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平有無(wú)明顯差異？ （3）高等數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)劣，是否影響線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的得分情況？ （4）根據(jù)你所作出的以上分析，面向本科生同學(xué)闡述你對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)方面的看法。二、模型假設(shè)1、假設(shè)兩個(gè)班學(xué)生的整體程

5、度和基礎(chǔ)差異不大。2、學(xué)生和學(xué)生之間的成績(jī)是相互獨(dú)立的，沒有影響的。3、假設(shè)樣本學(xué)生的成績(jī)均來(lái)自于實(shí)際，由此做出的分析是接近實(shí)際，能夠反映實(shí)際狀況的。三、問題分析問題一分析：對(duì)于每門課程，兩個(gè)專業(yè)的分?jǐn)?shù)是否有顯著性差異。首先，應(yīng)該利用SPSS證明其服從正態(tài)分布，之后可以利用SPSS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行單因素分析和方差分析，采用單因素分析法，以專業(yè)為方差分析因素，最后比較顯著性（Sig），如果Sig>0.05，即沒有顯著性差異，若Sig<0.05，即對(duì)于該門課程，兩專業(yè)分?jǐn)?shù)有明顯差異。問題二分析：模型同問題一。針對(duì)專業(yè)分析，兩個(gè)專業(yè)學(xué)生的各科數(shù)學(xué)水平有無(wú)明顯差異。問題三分析：判斷高數(shù)I、高數(shù)和

6、線代、概率論之間成績(jī)的相關(guān)性。首先我們要分別整合出四門學(xué)科的一組綜合指標(biāo)作為樣本，然后求出相關(guān)系數(shù)矩陣。問題四分析：總結(jié)分析。求出各專業(yè)科目的平均值和方差，然后進(jìn)行比較并和前幾問相結(jié)合，提出合理的建議。四、模型建立和求解模型一：?jiǎn)我蛩胤讲罘治瞿Ｐ蛦我蛩胤讲罘治鍪枪潭ㄆ渌蛩?，只考慮某一因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。建立單因素方差分析模型，用以解決針對(duì)每門課程兩個(gè)專業(yè)成績(jī)是否有明顯差異和針對(duì)專業(yè)各科數(shù)學(xué)成績(jī)是否有明顯差異的問題。問題一求解：我們以專業(yè)為方差分析的因子，甲專業(yè)和乙專業(yè)為因子的不同水平，每個(gè)班的成績(jī)是實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)樣本。首先我們需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分析檢驗(yàn)其服從正態(tài)分布。利用SPSS軟件可以進(jìn)行正

7、態(tài)性分析檢驗(yàn)。輸入數(shù)據(jù)后，運(yùn)行：分析非參數(shù)檢驗(yàn)1-樣本 K-S；之后運(yùn)行：分析描述統(tǒng)計(jì)QQ圖，可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)檢驗(yàn)。運(yùn)行結(jié)果如圖：對(duì)每門課程的數(shù)據(jù)進(jìn)行QQ圖檢驗(yàn)如圖：高數(shù)1的QQ圖檢驗(yàn)：上圖中，實(shí)線是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)曲線，散點(diǎn)是實(shí)際的數(shù)據(jù)分布，由圖可知，散點(diǎn)分布和實(shí)線非常接近，即甲乙兩專業(yè)的高數(shù)1成績(jī)服從正態(tài)分布。同樣可知，甲乙兩專業(yè)的高數(shù)2和線代、概率論都服從正態(tài)分布。之后可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行單因素分析，利用SPSS進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：分析比較均值單因素ANOVA，最后得出每門課程的單因素分析如下：1、對(duì)高數(shù)1進(jìn)行單因素分析，分析結(jié)果如下表：ANOVA高數(shù)I平方和df均方F顯著性組間6105.14235

8、174.4331.279.189組內(nèi)9685.84971136.420總數(shù)15790.991106由圖可知，其顯著性Sig=0.189>0.05（顯著性水平為0.05），說(shuō)明兩個(gè)專業(yè)的高數(shù)1的成績(jī)無(wú)明顯差異，出現(xiàn)顯著相同的狀況。2、對(duì)高數(shù)2進(jìn)行單因素分析，分析結(jié)果如下表：ANOVA高數(shù)2平方和df均方F顯著性組間4391.58834129.1641.161.294組內(nèi)7898.97871111.253總數(shù)12290.566105同樣由圖可知，其顯著性水平Sig=0.294>0.05（顯著性水平為0.05），說(shuō)明兩個(gè)專業(yè)的高數(shù)2成績(jī)也顯著相同。3、 對(duì)線代成績(jī)進(jìn)行單因素分析，分析結(jié)果

9、如下表：ANOVA線代平方和df均方F顯著性組間4149.75535118.564.952.553組內(nèi)8841.83371124.533總數(shù)12991.589106由圖可知，其顯著性水平為Sig=0.553>0.05，說(shuō)明兩個(gè)專業(yè)的線代水平?jīng)]有明顯差別，出現(xiàn)基本相同的狀況。4、 對(duì)概率成績(jī)進(jìn)行單因素分析，分析結(jié)果如下表：ANOVA概率平方和df均方F顯著性組間7055.25135201.5791.244.216組內(nèi)11507.21771162.073總數(shù)18562.467106由圖可知，概率成績(jī)的顯著性水平為Sig=0.216>0.05，說(shuō)明兩個(gè)專業(yè)的概率成績(jī)顯著相同，沒有明顯差別

10、。問題二求解：（模型一）求解每個(gè)專業(yè)的學(xué)生各門數(shù)學(xué)成績(jī)之間是否有明顯不同，我們?nèi)匀贿\(yùn)用單因素方差分析的模型，將科目看做對(duì)成績(jī)的影響因素，則有兩個(gè)條件，分別是高數(shù)1，高數(shù)2,線代，概率論。四科數(shù)學(xué)成績(jī)看做隨機(jī)變量，證明其也服從正態(tài)分布（仍然運(yùn)用spss正態(tài)檢驗(yàn)）。每個(gè)變量的樣本值為每個(gè)專業(yè)各班成績(jī)的平均值。在這里我們先證明：在甲乙兩個(gè)專業(yè)內(nèi)。高數(shù)1，高數(shù)2，線代和概率分別成正態(tài)分布在甲乙專業(yè)中分別定義變量名為高數(shù)1，高數(shù)2，線代和概率。運(yùn)行spss軟件：分析-> 描述統(tǒng)計(jì) -> 描述，分析-> 非參數(shù)檢驗(yàn) -> 1-樣本 K-S。運(yùn)行結(jié)果如下：表2.1 甲專業(yè)學(xué)生各科成績(jī)

11、描述統(tǒng)計(jì)量N極小值極大值均值標(biāo)準(zhǔn)差方差高數(shù)一153043373.8832.8751080.767高數(shù)二153409670.1210.226104.570線代15309870.6814.615213.588概率153229775.0914.044197.228有效的 N （列表狀態(tài)）153表2.2 甲專業(yè)學(xué)生各科成績(jī) Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn)高數(shù)一高數(shù)二線代概率N153153153153正態(tài)參數(shù)a,b均值73.8870.1270.6875.09標(biāo)準(zhǔn)差32.87510.22614.61514.044最極端差別絕對(duì)值.284.153.187.082正.257.153.067.059

12、負(fù)-.284-.128-.187-.082Kolmogorov-Smirnov Z3.5151.8972.3101.020漸近顯著性(雙側(cè)).000.001.000.249a. 檢驗(yàn)分布為正態(tài)分布。b. 根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得到。表2.3 乙專業(yè)學(xué)生各科成績(jī)描述統(tǒng)計(jì)量N極小值極大值均值標(biāo)準(zhǔn)差方差高數(shù)一108010069.3413.890192.938高數(shù)二10809765.4314.333205.424線代108010070.1913.159173.167概論10809774.4514.109199.054有效的 N （列表狀態(tài)）108表2.4 乙專業(yè)學(xué)生各科成績(jī) Kolmogorov-Smirnov

13、 檢驗(yàn)高數(shù)一高數(shù)二線代概論N108108108108正態(tài)參數(shù)a,b均值69.3465.4370.1974.45標(biāo)準(zhǔn)差13.89014.33313.15914.109最極端差別絕對(duì)值.204.251.173.116正.123.123.092.059負(fù)-.204-.251-.173-.116Kolmogorov-Smirnov Z2.1232.6051.7971.203漸近顯著性(雙側(cè)).000.000.003.111a. 檢驗(yàn)分布為正態(tài)分布。b. 根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得到。甲專業(yè)ANOVA表2.5 甲專業(yè)學(xué)生各科成績(jī)平方和df均方F顯著性組間68.560322.8531.497.265組內(nèi)183.249

14、1215.271總數(shù)251.80915得, F值落在接受域，所以接受。顯著性為0.265，即由方差分析得到甲專業(yè)四門數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)明顯差異。乙專業(yè)ANOVA表2.6 甲專業(yè)學(xué)生各科成績(jī)平方和df均方F顯著性組間121.301340.4341.872.213組內(nèi)172.758821.595總數(shù)294.05911得, F值落在接受域，所以接受。顯著性為0.213，即由方差分析得到乙專業(yè)四門數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)明顯差異。問題三求解：（模型二）需要解決學(xué)生高等數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)劣，對(duì)線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的成績(jī)是否顯著性相關(guān)。將高數(shù)，高數(shù)，線代，概率論學(xué)科成績(jī)看做四個(gè)總體，分別把甲乙專業(yè)同學(xué)的成績(jī)作為樣本。然后分

15、別對(duì)高數(shù)，高數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析。相關(guān)性分析有很多方法，為簡(jiǎn)便運(yùn)算，本文主要應(yīng)用SPSS軟件的相關(guān)性分析求解：表17 甲專業(yè)相關(guān)性高數(shù)高數(shù)線代概率高數(shù)Pearson 相關(guān)性1.081.092.081顯著性（雙側(cè)）.318.258.318N153153153153高數(shù)Pearson 相關(guān)性.0811.446*.308*顯著性（雙側(cè)）.318.000.000N153153153153線代Pearson 相關(guān)性.092.446*1.441*顯著性（雙側(cè)）.258.000.000N153153153153概率論P(yáng)earson 相關(guān)性.081.308*.441*1顯著性（雙側(cè)）.318.000.000N15

16、3153153153*. 在 .01 水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)。表18 乙專業(yè)相關(guān)性高數(shù)高數(shù)線代概率高數(shù)Pearson 相關(guān)性1.541*.619*.543*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000N108108108108高數(shù)Pearson 相關(guān)性.541*1.680*.556*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000N108108108108線代Pearson 相關(guān)性.619*.680*1.697*顯著性（雙側(cè)）.000.000.000N108108108108概率論P(yáng)earson 相關(guān)性.543*.556*.697*1顯著性（雙側(cè)）.000.000.000N108108108108*. 在 .

17、01 水平（雙側(cè)）上顯著相關(guān)。上表是相關(guān)系數(shù)大小及其顯著性檢驗(yàn)結(jié)果表，從表中可看出：甲專業(yè)：高數(shù)和線代的相關(guān)系數(shù)r=0.446，且顯著性水平為p=0.0000.01，因此相關(guān)性非常顯著，高數(shù)和概率論的相關(guān)系數(shù)r=0.308，且顯著性水平為p=0.0000.01，因此相關(guān)性非常顯著。乙專業(yè)：高數(shù)和線代的相關(guān)系數(shù)r=0.619，且顯著性水平為p=0.0000.01，因此相關(guān)性非常顯著；同理高數(shù)和概率論的相關(guān)系數(shù)r=0.543，且顯著性水平為p=0.0000.01，相關(guān)性非常顯著；高數(shù)和線代的相關(guān)系數(shù)r=0.680，且顯著性水平為p=0.0000.01，因此相關(guān)性非常顯著，高數(shù)和概率論的相關(guān)系數(shù)r=

18、0.556，且顯著性水平為p=0.0000.01，因此相關(guān)性非常顯著。問題四求解：（模型三）求出各專業(yè)各課程的方差以及各課程的平均值：方差甲乙高數(shù)I232.01192.94高數(shù)104.57169.09線代213.58173.17概率論197.23199.05各專業(yè)各課程方差 各課程平均值 科目平均值高數(shù)I70.5高數(shù)69.34線代71.83概率論74.82 由上圖我們可以看出，對(duì)于甲專業(yè)來(lái)說(shuō)，各門課方差起伏較大，高數(shù)方差明顯低于其它3門課；對(duì)于乙專業(yè)來(lái)說(shuō)，各門課方差無(wú)太大變化，高數(shù)略低。總的來(lái)說(shuō)，高數(shù)的平均分最低，概率論最高?？梢钥闯龈邤?shù)課程對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)普遍較難，應(yīng)該更加用心的學(xué)習(xí)，才能更好地

19、掌握知識(shí)。學(xué)好高數(shù)是因?yàn)樗且婚T極能鍛煉思維能力的學(xué)科，更重要的是，它能鍛煉一個(gè)人能的耐心與定力-在如今社會(huì)里，常常能沉下心來(lái)對(duì)幾個(gè)數(shù)學(xué)問題專研幾個(gè)小時(shí)的人，真的不算多了。在現(xiàn)實(shí)世界中，一切事物都發(fā)生變化并遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)代人整體素質(zhì)的意義，對(duì)于社會(huì)與人文科學(xué)的作用，也是逐漸被人們所認(rèn)識(shí)的。恩格斯說(shuō)：要辨證而又唯物的了解自然，就必須掌握數(shù)學(xué)。英國(guó)著名哲學(xué)家培根說(shuō)：數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙?，F(xiàn)在已經(jīng)沒有哪一個(gè)領(lǐng)域能夠抵得住數(shù)學(xué)的滲透。隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的到來(lái)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中許多研究對(duì)象的數(shù)量化趨勢(shì)越發(fā)增強(qiáng)，計(jì)算機(jī)的廣泛普及并深入到人們生活工作的各個(gè)角落。諸如此類現(xiàn)象，向人們提出一個(gè)

20、迫切問題：每個(gè)要想成為有較高文明素養(yǎng)的現(xiàn)代人應(yīng)當(dāng)具備一定的數(shù)學(xué)素質(zhì)。因此對(duì)本科大學(xué)生來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是必不可少的。數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)去分析、解決問題的能力，這種能力不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，更主要的是掌握數(shù)學(xué)的思維推理方法。某些定理或公式可以記憶一時(shí)，而數(shù)學(xué)獨(dú)有的思維與推理方法卻能長(zhǎng)期發(fā)揮作用，甚至受益終生。因?yàn)樗麄兪莿?chuàng)造的源泉，是發(fā)展的基礎(chǔ)。對(duì)人文類學(xué)習(xí)者而言更培養(yǎng)了我們的理性思維能力，使得思考諸多問題時(shí)更加嚴(yán)謹(jǐn)全面。數(shù)學(xué)是觀察世界的一種方式，這種方式有助于精確理解世界的每個(gè)方面。所有的地方都用到數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)無(wú)處不在。沒有數(shù)學(xué)支撐的學(xué)科是無(wú)法想象的。舉一些常見的例子吧，大學(xué)物理的公式很多是用積分形式表達(dá)的，一種無(wú)窮思想。包括牛頓定理。大學(xué)里三大力學(xué)的課程都要運(yùn)用到高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容。最關(guān)鍵是學(xué)數(shù)學(xué)可以鍛煉人的邏輯思維。高等數(shù)學(xué)