高中數(shù)學講義異面直線夾角

1、高中數(shù)學講義異面直線夾角a,ba,b是兩異面直線，在空間中任取是兩異面直線，在空間中任取一點一點O O，過，過O O作兩異面直線的平行作兩異面直線的平行線線a a1 1,b,b1 1, ,則稱則稱a a1 1,b,b1 1所成的所成的銳角或銳角或直角直角為為a ab bO Oa1b1兩異面直線兩異面直線a,ba,b所成的角。所成的角。定義定義練習練習1：每對異面直線所成的角是多少？：每對異面直線所成的角是多少？: A1B與與D1C1: A1B與與C1C: A1B與與CD: A1B與與C1D: B1B與與AD: A1B與與B1C: A1B與與B1D1 45454590609060 A A 1 B

2、 B1 B BA A D D1C C 1D DC C A1D1C1B1ABCDMN例例1已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為 a , M a , M 為為 AB AB 的中點的中點, N , N 為為 BBBB1 1的中點，求的中點，求 A A1 1M M 與與 C C1 1 N N 所所成角的余弦值。成角的余弦值。解：解：EG如圖，取如圖，取A1B1的中點的中點E， 連連BE， 有有BE A A1 1M M 取取CC1的中點的中點G連連BG. 有有BG C C1 1N N 則則EBG即為所求角（或補角）。即為所求角（或補角）。

3、由余弦定理，由余弦定理，cosEBG=2/5F取取EB1的中點的中點F，連，連NF有有BENFA1M則則FNC1為所求角（或補角）為所求角（或補角） 。想一想：想一想：還有其它方法嗎？還有其它方法嗎？BG=BE= a， EG = a2526連連EG，在，在EBG中中為什么？為什么？長方體長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AAAA1 1=c=c， AB=aAB=a，AD=b(ab)AD=b(ab)求異面直線求異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成角所成角的余弦值。的余弦值。取取BBBB1 1的中點的中點M M，連，連O O1 1M M

4、，則，則O O1 1M M D D1 1B B，如圖，連如圖，連B B1 1D D1 1與與A A1 1C C1 1 交于交于O O1 1，于是于是 C C1 1O O1 1M M就是異面直線就是異面直線A A1 1C C1 1與與BDBD1 1所成的角（或其補角）所成的角（或其補角）解：解：DB1A1D1C1ACBMO1方法歸納方法歸納： 平移法即根據(jù)定義，以即根據(jù)定義，以“運動運動”的觀點，的觀點，用用“平移轉化平移轉化”的方法，使之成的方法，使之成為相交直線所成的角。為相交直線所成的角。acb解法二:連接 交 于O，取 中點N，連接ON，則NOB即為異面直線所成角（或補角）1BDONDB

5、1A1D1C1ACB1CA1cc解法三解法三：方法歸納：方法歸納：補形法補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系。方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系。 如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結連結A1E，C1E，則，則 A1C1E為為A1C1與與BD1所成的角所成的角(或補角或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB 1A 1D1C 1ACBC1的長方體的長方體B1F.HEG練習2321323如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形ABC

6、D中，已知中，已知AD=1，BC= ，且，且ADBC，對角線，對角線BD= ，AC= ，求，求AC與與BD所成的角所成的角CABDF方法歸納方法歸納：中位線平移中位線平移在空間圖形中，利用中點在空間圖形中，利用中點連接兩個空間圖形；利用連接兩個空間圖形；利用中位線的平行與長度傳遞中位線的平行與長度傳遞異面直線的長度與方向。異面直線的長度與方向。練習2（解法二）ABDEFCHGR（1）直接平移）直接平移小結：小結：1、求異面直線所成的角是把空間角轉化為平面、求異面直線所成的角是把空間角轉化為平面 角，角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想。體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的 范圍：范圍： （1） 當當 cos 0 時，所成角為時，所成角為 （2） 當當 cos 0 時，所成角為時，所成角為 （3） 當當 cos = 0 時，所成角為時，所成角為 3、當異面直線垂直時，還可應用線面垂直的有、當