第四章-3-穩(wěn)態(tài)導熱

1、1二、導熱微分方程和定解條件二、導熱微分方程和定解條件 即求解導熱物體內的溫度分布即求解導熱物體內的溫度分布溫度場溫度場 t=f(x,y,z, )導熱微分方程導熱微分方程描述一類導熱問題共性的數(shù)學表達式。描述一類導熱問題共性的數(shù)學表達式。定解條件定解條件使微分方程得到定解的條件使微分方程得到定解的條件2v1、寫出導熱微分方程。、寫出導熱微分方程。v根據(jù)實際導熱問題的特點，簡化導熱微分方程。根據(jù)實際導熱問題的特點，簡化導熱微分方程。v2、寫出定解條件、寫出定解條件v必須根據(jù)題目所給已知條件判斷后寫出。必須根據(jù)題目所給已知條件判斷后寫出。v這一步比較重要，尤其是非穩(wěn)態(tài)導熱問題。這一步比較重要，尤其

2、是非穩(wěn)態(tài)導熱問題。v3、求解數(shù)學模型，得到溫度分布規(guī)律。、求解數(shù)學模型，得到溫度分布規(guī)律。v應用高等數(shù)學知識，對數(shù)學模型進行積分求解。應用高等數(shù)學知識，對數(shù)學模型進行積分求解。v對于多維導熱問題，還可借助計算機來近似求解。對于多維導熱問題，還可借助計算機來近似求解。v4、根據(jù)傅里葉定律，求解熱流密度。、根據(jù)傅里葉定律，求解熱流密度。v5、分析討論所得結果。、分析討論所得結果。3導熱的理論基礎導熱的理論基礎v導熱基本定律導熱基本定律v導熱微分方程導熱微分方程v工程中的許多問題，直接利用工程中的許多問題，直接利用三維非穩(wěn)態(tài)三維非穩(wěn)態(tài)的導熱微分方程進行的導熱微分方程進行求解是沒有必要的，可以進行求解

3、是沒有必要的，可以進行適當?shù)暮喕图僭O！適當?shù)暮喕图僭O！v對工程中的某些問題，忽略溫度隨時間變化所造成的影響、誤差不大，而將其簡化為穩(wěn)態(tài)導熱。v穩(wěn)態(tài)導熱是最重要也是最常用的簡化之一穩(wěn)態(tài)導熱是最重要也是最常用的簡化之一v物體在物體在穩(wěn)定運行時穩(wěn)定運行時，可看作處于穩(wěn)定導熱狀態(tài)。，可看作處于穩(wěn)定導熱狀態(tài)。v穩(wěn)態(tài)的特征：穩(wěn)態(tài)的特征：物體內各位置處的溫度不隨時間變化物體內各位置處的溫度不隨時間變化v根據(jù)導熱物體的根據(jù)導熱物體的幾何特點和物理過程幾何特點和物理過程從空間上做進一步簡化。從空間上做進一步簡化。v主要闡述工程上主要闡述工程上常見的典型幾何形狀物體的一維穩(wěn)態(tài)導熱。常見的典型幾何形狀物體的一維

4、穩(wěn)態(tài)導熱。4v典型幾何形狀：典型幾何形狀：v 無限大平壁、無限長圓筒壁、等截面直肋等無限大平壁、無限長圓筒壁、等截面直肋等v分析目的：分析目的：v 確定物體內的溫度分布；確定物體內的溫度分布；v 計算導熱量。計算導熱量。 v分析方法：分析方法：v 理論分析方法理論分析方法三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算5v不是幾何意義上的，而是物理意義上的！不是幾何意義上的，而是物理意義上的！v對實際物體的一種抽象和簡化處理。對實際物體的一種抽象和簡化處理。v傳熱特征：傳熱特征：v（1 1）壁面兩側表面分別維持均勻的溫度）壁面兩側表面分別維持均勻的溫度v溫度梯度為零，無熱量傳遞；溫度梯度為零，無熱量傳遞；v（2 2）溫

5、度僅在厚度方向上變化）溫度僅在厚度方向上變化v熱量僅沿厚度方向傳遞。熱量僅沿厚度方向傳遞。v工程計算中：工程計算中：v 平壁：平壁：其長度和寬度遠比厚度大（其長度和寬度遠比厚度大（1010倍以上），或倍以上），或有限大小的平壁其厚度四周絕熱良好；有限大小的平壁其厚度四周絕熱良好；v 圓筒壁：圓筒壁：其長度遠大于直徑時，或有限長的圓筒壁其長度遠大于直徑時，或有限長的圓筒壁兩端絕熱良好。兩端絕熱良好。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維導熱問題一維導熱問題忽略邊緣與四周環(huán)境的熱量交換忽略邊緣與四周環(huán)境的熱量交換6 工程實例：工程實例： 鍋爐爐墻和保溫層、鍋爐爐墻和保溫層、 冷庫墻壁和隔熱層、冷

6、庫墻壁和隔熱層、 房屋墻壁等。房屋墻壁等。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算7v厚度為厚度為 、側表面積為、側表面積為A的單層大平壁；的單層大平壁；v沒有內熱源，材料熱導率沒有內熱源，材料熱導率 為常數(shù)；為常數(shù)；v平壁兩側分別維持均勻恒定的溫度平壁兩側分別維持均勻恒定的溫度tw1和和tw2。v假設假設tw1tw2，一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算A 8v導熱問題的數(shù)學描述：導熱問題的數(shù)學描述： 0dd22xt邊界條件：邊界條件： w10ttxw2ttx積分兩次，得到積分兩次，得到通解通解： 21cxct代入邊界條件，得到平壁內代入邊界條件，得到平壁內溫度分布：溫度分布：w1w12wtxt

7、tt 常物性、無內熱源時，常物性、無內熱源時，平壁內溫度呈線性分布。平壁內溫度呈線性分布。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算9根據(jù)傅里葉定律，通過平壁的根據(jù)傅里葉定律，通過平壁的熱流密度：熱流密度： ttAAqA熱流量:w1w2ddtqxttt2 K/W mK/WARr導熱熱阻：tr一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算等效熱阻網(wǎng)絡圖等效熱阻網(wǎng)絡圖tR10常物性、無內熱源時：常物性、無內熱源時： w1w2tttARw1w2tttqr 一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算11d: dtqconstx 利用傅里葉定律求解分離變量積分：分離變量積分： ddqxtx從從0 積分，得熱流密度積分，得熱流

8、密度:在在0 x 積分，得溫度分布積分，得溫度分布:21120 d wwxtwtwttxdttqq10 d?wxttxtqxdtt 一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算1213v能量轉移過程：能量轉移過程：在某勢差作用下進行在某勢差作用下進行v 電量轉移電量轉移電勢差電勢差v 質量轉移質量轉移濃度差濃度差v 熱量傳遞熱量傳遞溫溫 差差v遵循的共同規(guī)律：遵循的共同規(guī)律： 過過程程的的阻阻力力過過程程的的動動力力過過程程中中的的轉轉移移量量電阻電阻電壓電壓歐姆定律：電流歐姆定律：電流 熱阻的概念熱阻的概念14v熱量傳遞過程：熱量傳遞過程：v 動力動力溫差溫差v 轉移量轉移量熱流量或熱流密度熱流量或

9、熱流密度v 阻力阻力熱阻。熱阻。 tR溫度差熱流量熱阻補充：熱阻的概念補充：熱阻的概念15大平壁的導熱大平壁的導熱rtttq tttARA K/W AR導熱熱阻：導熱熱阻：單位面積的導熱熱阻單位面積的導熱熱阻K)/W(m 2r補充：熱阻的概念補充：熱阻的概念16hrthtthq11htthA tRhA 1 hRhA對流換熱熱阻：1 hrh補充：熱阻的概念補充：熱阻的概念單位面積上的對流換熱熱阻單位面積上的對流換熱熱阻17Rt補充：熱阻的概念補充：熱阻的概念tqrqr18熱阻網(wǎng)絡圖分析法熱阻網(wǎng)絡圖分析法v傳熱學的傳熱學的一種基本的方法，有利于分析復合傳熱過程。一種基本的方法，有利于分析復合傳熱過

10、程。v畫出等效熱阻網(wǎng)絡圖，借助直流電路圖知識求解。畫出等效熱阻網(wǎng)絡圖，借助直流電路圖知識求解。v能夠正確地分析傳熱過程的組成，并畫出熱路圖；能夠正確地分析傳熱過程的組成，并畫出熱路圖；v能夠記住熱阻表達式。能夠記住熱阻表達式。v（1 1）串聯(lián)熱路串聯(lián)熱路的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱阻之和。的總熱阻等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)的熱阻之和。v在熱流方向上，在熱流方向上，各熱阻引起的溫降與熱阻成正比各熱阻引起的溫降與熱阻成正比。v（2 2）并聯(lián)熱路的并聯(lián)熱路的總熱阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)支路熱阻的總熱阻的倒數(shù)等于各并聯(lián)支路熱阻的倒數(shù)之和。倒數(shù)之和。各支路的熱流與其熱阻成反比。各支路的熱流與其熱阻成反比。v具體應用：具體應

11、用：習題習題4-1（并聯(lián)）（并聯(lián)）補充：熱阻的概念補充：熱阻的概念1920v工程中經常會遇到工程中經常會遇到由幾層不同材由幾層不同材料疊在一起組成的復合平壁。料疊在一起組成的復合平壁。v例：例：采用耐火磚、保溫層和普通采用耐火磚、保溫層和普通磚層疊而成的鍋爐爐墻。磚層疊而成的鍋爐爐墻。v更關心通過平壁的熱流密度。更關心通過平壁的熱流密度。v三層平壁為例：三層平壁為例：v熱量由高溫側向低溫側依次熱量由高溫側向低溫側依次以導熱方式通過各平壁。以導熱方式通過各平壁。v共有共有三個導熱環(huán)節(jié)三個導熱環(huán)節(jié)串聯(lián)串聯(lián)第二節(jié)第二節(jié)/ /三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算常物性、無內熱源常物性、無內熱源

12、q 1 2 321v根據(jù)根據(jù)等效熱阻網(wǎng)絡圖，利用串聯(lián)熱等效熱阻網(wǎng)絡圖，利用串聯(lián)熱阻疊加原則阻疊加原則直接寫出熱流密度：直接寫出熱流密度： 3322114w1wttqv求各層間分界面上的溫度：求各層間分界面上的溫度： w2w3w1w4112233w2w3ttttttq 一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算22v溫度分布曲線為折線溫度分布曲線為折線v各層溫度分布為直線段，各層溫度分布為直線段，其斜率取決于材料的導熱系其斜率取決于材料的導熱系數(shù)值。數(shù)值。v每層溫降與其熱阻有關每層溫降與其熱阻有關v熱阻越大，溫降就越大。熱阻越大，溫降就越大。 122334112233wwwwwwttttttq =常數(shù)

13、常物性、無內熱源常物性、無內熱源常數(shù)dxdtq一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算23vn層平壁層平壁:11w1ww1w11nnnniiiiittttqr,111 iw iwiittqr一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算2425v工程背景工程背景v由于制造和加工方便，圓形通道在工程中應由于制造和加工方便，圓形通道在工程中應用更廣泛。用更廣泛。v 如發(fā)電廠中的蒸汽管道、化工廠的各種液如發(fā)電廠中的蒸汽管道、化工廠的各種液氣輸送管道、供暖熱水管道等；氣輸送管道、供暖熱水管道等；v 如石油工程中的輸油管道、注水管道、輸如石油工程中的輸油管道、注水管道、輸氣管線、油管、套管等。氣管線、油管、套管等。v

14、當圓形通道內、外壁存在溫差時，熱量當圓形通道內、外壁存在溫差時，熱量以導以導熱的方式熱的方式通過管壁。通過管壁。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算26一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算常物性、無內熱源、一維徑向穩(wěn)態(tài)導熱常物性、無內熱源、一維徑向穩(wěn)態(tài)導熱1 dd0ddtrrrr柱坐標系柱坐標系需要需要2個邊界條件個邊界條件27112lntcdtdrrcrc 數(shù)學模型：數(shù)學模型： dd0ddtrrr圓筒壁內、外壁面分圓筒壁內、外壁面分別維持均勻的溫度別維持均勻的溫度tw1和和tw2，且，且tw1tw2。1rr w1tt2rr w2tt圓筒壁的溫度分布圓筒壁的溫度分布： 1w1w1w221lnl

15、nr rttttr r對數(shù)曲線！對數(shù)曲線！非直線段非直線段一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算代入邊界條件，求出積分常數(shù)代入邊界條件，求出積分常數(shù)c1和和c2。28利用傅里葉定律利用傅里葉定律，求得通過圓筒壁的熱流量：，求得通過圓筒壁的熱流量： w1w221dd2ddl2nttttlrrAr rrl w1w2211ln2tttdRld 211ln2dRld整個圓筒壁的導熱熱阻整個圓筒壁的導熱熱阻 一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算29 w1w2212ln( )ttqArlrdfdrw1w2212lnttldd 常數(shù)一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算30v工程上常用工程上常用線熱流量線熱流量

16、 L單位管長的導熱單位管長的導熱熱流量，熱流量，單位是單位是W/m w1w2211ln2lddttl 211ln2LdRd單位管長圓筒壁的導熱熱阻。單位管長圓筒壁的導熱熱阻。 一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算w1w2LttR31圓筒壁的導熱熱阻圓筒壁的導熱熱阻211ln m K/W2LdRd211ln K/W2dRld一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算3233v工程中的許多管道需要工程中的許多管道需要敷設保溫層或隔熱層敷設保溫層或隔熱層以以降低管線的熱損失。降低管線的熱損失。v鍋爐管、注水管線運行一段時間后，會沿管壁鍋爐管、注水管線運行一段時間后，會沿管壁在管內形成在管內形成水垢層。水垢

17、層。v采油或輸油管線會沿管壁形成采油或輸油管線會沿管壁形成蠟沉積層蠟沉積層等。等。v這時的圓筒壁稱為這時的圓筒壁稱為多層圓筒壁。多層圓筒壁。 多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱第二節(jié)第二節(jié)/ /三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算34n層圓筒壁：層圓筒壁： 1n+1111ln2wwniiiittdld 各交界面溫度各交界面溫度: : 多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算1,1111ln2ijw iwjjjdttld35多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導熱v三層圓筒壁三層圓筒壁:v從內向外各層的半徑分別為從內向外各層的半徑分別為r1、r2

18、、r3和和r4；導；導熱系數(shù)熱系數(shù)1、2和和3為常數(shù)；最內層和最外層表面為常數(shù)；最內層和最外層表面維持均勻溫度維持均勻溫度tw1和和tw4（tw1tw4）；）；v各交界面溫度分別為各交界面溫度分別為tw2和和tw3（通常未知）。（通常未知）。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算 L熱阻串聯(lián)熱阻串聯(lián)w1w4324112233111lnlnln222Lttdddddd 3637v對于內外表面維持均勻恒定溫度的空心球壁的導熱，對于內外表面維持均勻恒定溫度的空心球壁的導熱，在球坐標系中是一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。在球坐標系中是一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。2211220)(1wwttrrttrrdrdtrdrdr，數(shù)學模

19、型：)11(11221212rrrrttttwww溫度分布：)(112)(11421212121wwwwttddttrr熱流量：)11(21)11(412121ddrrR導熱熱阻：第二節(jié)第二節(jié)/ /三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算3839v導熱系數(shù)隨溫度變化是更一般、更符合實際的情形。導熱系數(shù)隨溫度變化是更一般、更符合實際的情形。0ddddxtx01 bt線性變化2012 2bttc xc一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算 平壁內的平壁內的溫度分布是二次曲線溫度分布是二次曲線，其，其凹凹凸性主要由溫度系數(shù)凸性主要由溫度系數(shù)b的正負決定的正負決定。第一類邊界條件下第一類邊界條件下無

20、內熱源的平壁無內熱源的平壁400: dd(1)ddttqbtconstxx 傅立葉定律0d(1)dtbtconstx曲線斜率dd(, )0txxtb曲線斜率下凹時第一類邊界條件下第一類邊界條件下無內熱源的平壁無內熱源的平壁dd(, )0txxtb曲線斜率上凸時一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算41v通過平壁的熱流密度：通過平壁的熱流密度： w1w2tttqv無內熱源時，無內熱源時，即使熱導率即使熱導率隨溫度變化，隨溫度變化，通過平壁的通過平壁的熱流密度仍然為常數(shù)！熱流密度仍然為常數(shù)！v計算公式形式不變！計算公式形式不變！第一類邊界條件下第一類邊界條件下無內熱源的平壁無內熱源的平壁012 (

21、)12wwtttfb平均熱導率:算術平均溫度算術平均溫度一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算01bt時，221( )-tt dtt t1t平均熱導率42w1w221t-t W/m1ln2dld 第一類邊界條件下第一類邊界條件下無內熱源的圓筒壁無內熱源的圓筒壁：一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算01221wwttb平均熱率: 導若界面溫度未知，則無法計算平均溫度，采用試算法！若界面溫度未知，則無法計算平均溫度，采用試算法！ 例例4-201bt時，4301221wwttb平均熱率: 導第一類邊界條件下第一類邊界條件下無內熱源的球壁無內熱源的球壁：一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算1212121

22、24 2 ()()1111wwwwttttrrdd 01bt時，44450dd22xt邊界條件：邊界條件： 1f100d|dxxth ttx22fddxxthttx平壁內的溫度分布平壁內的溫度分布: : xhhhtttt1211f2f1f111數(shù)學模型：數(shù)學模型：積分兩次，通解積分兩次，通解利用邊界條件，利用邊界條件，求出積分常數(shù)求出積分常數(shù)c1、c221cxct仍為線性！仍為線性！ 第二節(jié)第二節(jié)/ /三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算三、一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算46利用利用傅里葉定律，傅里葉定律，得到得到通過平壁的熱流密度：通過平壁的熱流密度： 22f11f1dd1tthqhtx w1f11qtthv實際是實

23、際是一個典型的傳熱過程。一個典型的傳熱過程。一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算對流換熱熱阻對流換熱熱阻針對導熱，為第三類針對導熱，為第三類邊界條件。邊界條件。 傳熱熱阻傳熱熱阻22f2whqtt47一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算一維穩(wěn)態(tài)導熱的計算w1f111ttqhf1w211httq第三類第三類第一類第一類qw12 wttq或4849v變截面物體的變截面物體的無內熱源的無內熱源的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題一維穩(wěn)態(tài)導熱問題v例題例題4-4v常物性、常物性、具有內熱源的具有內熱源的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題一維穩(wěn)態(tài)導熱問題v 大平壁大平壁v 邊界條件邊界條件 (對稱性，中心絕熱對稱性，中心絕熱)v例：例：核反應堆中燃料元件散熱；核反應堆中燃料元件散熱；( )A xdtdx 2211( )xtxtA xdxdt 21221112()( )(ttxxxxdtttdxdxA xA xt 220d tdx1()0ddtrr drdr圓柱體圓柱體邊界條件邊界條件鋯錫合金制成的圓管充滿鈾燃料；鋯錫合金制成的圓管充滿鈾燃料；二次曲線二次曲線 拋物線拋物線微波加熱物體；物體內有電流通過；微波加熱物體；物體內有電流通過； 射線對物體的照射加熱等等射線對物體的照射加熱等等。5051v例題例題4-1：v例題例題4-2：v三層平壁穩(wěn)態(tài)導熱，但有兩層