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1、蜜蜂周報 第九期蜜 蜂 周 報第 9 期(2020 年 5 月 11 日-5 月 17 日)蜜蜂周報 第九期關(guān)于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的幾個關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題都將成為一個范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分的探討總結(jié),總會有點滴的發(fā)現(xiàn),總能改進這個解答,而且在任何情況下,我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類,能讓你的解題經(jīng)驗更加有序,更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里記憶,便于你解題時進行檢索,確定解題方法。沃茲基碩德蜜蜂周報 第九期2020 年第 9 期目錄1.也許有趣,也許無聊換個角度看一元
2、二次方程的判別式.12.這個題等和線不好使-向量系數(shù)和一題(續(xù)).33.連用兩次三點共線.44.四邊形能創(chuàng)造的向量問題是無窮盡的 .65.不翻折你就不知道啥叫立體幾何?。ɡm(xù)) .66.二次方程根的分布.107.換元,求導(dǎo)這樣看此題不難.118.一個看似很復(fù)雜的自變量個數(shù)最值問題 .119.與斯特瓦爾特定理有關(guān)的一道題 .1310.導(dǎo)是王道,算得天下北大自招不等式一題.1411.橢圓內(nèi)部已經(jīng)放不下動點了焦點三角形的旁心.1712.從軌跡角度去解決這些問題 .1913.唐山一模的選擇壓軸(極值點與零點) .2414.旋轉(zhuǎn)的燈管,很妙的一個立體問題情境 .2615.最值也是定值又是三點共線.30蜜蜂
3、周報1-8 合訂本下載.40附錄:.41蜜蜂周報 第九期1.也許有趣,也許無聊換個角度看一元二次方程的判別式題目來自公眾號“鄒生書數(shù)學(xué)”這個題的函數(shù)結(jié)構(gòu)看起來非常復(fù)雜,公眾號給出的嚴格解法構(gòu)造了 6 個函數(shù)來求解!我看不懂。估計能堅持看到底的人極少,所以就不再貼解答了,鏈接在這里,大家有興趣可以點開去看:deebec75e3a61c037fec2158310&chksm=fc447a8ccb33f39ad4d2635697420465d42f4801b89218601e155e8519a1a752a2380a11a06d&mpshare=1&scene=1&sr
4、cid=&sharer_sharetime=1589084597191&sharer_shareid=36a227456ade880763ec9ab2d44eba17&key=14ed3836f8067fda40573f093e2aa02abb638f98ce3b07e20e8ff86d84656b02b5bd3eb6eddb2d369b581cd36c1c086d632890886cefd1d5c37f6bb02db01d8f89afebcdcaa04e5bf0ef3c48bee2723b&ascene=1&uin=ODIxNzQ4NjU%3D&
5、;devicetype=Windows+10+x64&version=62090070&lang=zh_CN&exportkey=Ac050HgDBblmu6XGyJm%2Blos%3D&pass_ticket=U2GYIbW61CypEe6yfieUBrUJNz9ViayRu6eF423%2FDrY%3D我比較感興趣的是,在微信群“高中數(shù)學(xué)解題交流二群”,老師們在討論的時候,深圳的楊俊老師發(fā)的一個觀點,讓我們從圖形視角來認識這個問題:蜜蜂周報 第 9 期 1 / 46蜜蜂周報 第九期把原方程分成左右兩個函數(shù),把方程有解問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的公共點問題。這種方
6、法在處理函數(shù)零點時經(jīng)常使用,本身并不稀奇,不過這個題有點特殊的地方在于:(1) 兩個函數(shù)都比較復(fù)雜,尤其函數(shù) g(x)的圖像更復(fù)雜,二次復(fù)合的,比較少見;(2) 兩個公共點中有一個是兩個函數(shù)圖像的切點,在這個點處兩個函數(shù)有相同的切線。這個切點也是公共點的現(xiàn)象,我覺得有點意思。我就聯(lián)想了一下,從最簡單的、最熟悉的問題入手,把我們最熟悉的問題重新用導(dǎo)數(shù)的視角審視一下說了半天其實說的就是二次方程的判別式問題。ax2 + bx + c = 0(a > 0) ,判別式: D=b2 - 4ac ,這里要忽略二次方程的簡單性、熟悉性,就假設(shè)我們只知道對方是一個單峰開口向上的曲線,要從導(dǎo)數(shù)角度討論它和直
7、線的公共點問題(即不存在什么聯(lián)立解方程組的方法)。第 9 期 2 / 46蜜蜂周報 第九期2.這個題等和線不好使-向量系數(shù)和一題(續(xù))第 8 期選的下面這個題,那期標題的含義,是我希望用等和線解法,從圖形上直接確定最值的位置,再稍加計算來求出最值。但是按此思路,這個題是不行的。(等和線的優(yōu)勢在于幾何方法,幾何分析為主,計算為輔。但這個題動態(tài)關(guān)系復(fù)雜,無法直觀確定最值的狀態(tài))第 8 期發(fā)布后,鄭州劉登成老師提供了一個解法,比較簡單!當然它不算純粹的等和線方法,就是說沒有直接確定最值的位置,屬于部分使用等和線原理。所以,有的時候,并非是“不存在”,而是我們“沒找到”。多想一點,還是有好處的。蜜蜂周
8、報 第 9 期 3 / 46蜜蜂周報 第九期3.連用兩次三點共線5 月 11 日早上我還在床上的時候,看到了這個題:蜜蜂周報 第 9 期 4 / 46蜜蜂周報 第九期看過文章,我就想,最大值可以用三點共線來解決,最小值能不能呢?試了下,可以。我的解法如下:第一次三點共線,用恒成立來解釋,OC右邊的最大值,連寫不太合適。蜜蜂周報 第 9 期 5 / 46蜜蜂周報 第九期4.四邊形能創(chuàng)造的向量問題是無窮盡的如題,四邊形,是這么好的一個載體,總是被命題人翻來覆去的研究使用,創(chuàng)造出??汲P碌念}目。答案有誤,應(yīng)該為 3.我的解法如下:5.不翻折你就不知道啥叫立體幾何?。ɡm(xù))蜜蜂周報 第 9 期 6 /
9、46蜜蜂周報 第九期這是第七期 11 題。我在那期做出的是 A,當時認為 CD 是錯的。本周在群里繼續(xù)研討本題。糾正一下,答案應(yīng)為:ACD。這個題,我還沒有靜下心來用自己的腦子好好琢磨,先把看到的解答收集。(1)選項 A,這個的解法不變,這樣考慮比較簡單:因為 SE 始終垂直 SA,所以,只要 SEAB,就可推知 SE平面 SAB,則 SESB。而 SEAB,是肯定可以辦到的,只要 S 在翻折過程中,使 SEAB(S為 S 在平面 ABC 內(nèi)的射影)即可,這個位置肯定存在(在平面 ABC 內(nèi)過 E 作與 AB 垂直的線,只要 S 的射影在其上即可)。而且在這種思路下,我們還可以得到一個副產(chǎn)品:
10、只要 E 在 CD 上,不論 E 在什么位置,在翻折過程中,總存在一個位置滿足 SESB?。?)選項 B,顯然錯誤;(3)選項 C,(4)選項 D,下面的解答由山東劉金老師提供:蜜蜂周報 第 9 期 7 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 8 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 9 / 46蜜蜂周報 第九期6.二次方程根的分布這里,很重要,充分考慮到正整數(shù)的性質(zhì),進一步縮小范圍。蜜蜂周報 第 9 期 10 / 46蜜蜂周報 第九期7.換元,求導(dǎo)這樣看此題不難8.一個看似很復(fù)雜的自變量個數(shù)最值問題下面的解法由黑龍江的盧軍老師提供:我的解法和他一樣。這個題的思路,讓我聯(lián)系到前一
11、陣遇到的那個??碱}:出現(xiàn)在第二期:蜜蜂周報 第 9 期 11 / 46蜜蜂周報 第九期19.下標你能否看懂?這是一個考理解的題這個題很重要的一個考查點是對數(shù)學(xué)符號的理解:當直線 y=t 與函數(shù)圖像有兩個交點時,這兩個交點分別在直線 x=e 左右兩側(cè),題干中說的那些x x x 是指的在左側(cè)的那些點的橫坐標,他們的大小范圍是2,e)1, 2. n蜜蜂周報 第 9 期 12 / 46蜜蜂周報 第九期9.與斯特瓦爾特定理有關(guān)的一道題題目來自南京最近的模擬題。開始看到的時候,沒有頭緒,主要是不能很好地處理 48那個式子,后來有老師提供了解法,我一看,咦,這不是和前一陣看到的那個什么瓦爾特定理有關(guān)嗎?蜜蜂
12、周報 第 9 期 13 / 46蜜蜂周報 第九期10.導(dǎo)是王道,算得天下北大自招不等式一題這是 2018 北大自招的一道題。首先來看葉超杰老師的解答。蜜蜂周報 第 9 期 14 / 46蜜蜂周報 第九期恰好帥琪也寫了幾個解答。蜜蜂周報 第 9 期 15 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 16 / 46蜜蜂周報 第九期我比較贊同帥琪在小結(jié)中的觀點。有些“巧解”是依賴數(shù)據(jù),依賴結(jié)構(gòu)的,有一定局限性。還是應(yīng)該掌握“通性通法”。11.橢圓內(nèi)部已經(jīng)放不下動點了焦點三角形的旁心蜜蜂周報 第 9 期 17 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 18 / 46蜜蜂周報 第九期12.從軌跡角
13、度去解決這些問題有很多問題的解決過程中,會用到軌跡的思想,比如最近很火的,阿氏圓,但是阿氏圓這個比較特殊,一般能用阿氏圓解決的問題,標志比較明顯,看到所求就知道要用阿氏圓。所以本文所說的“軌跡”,并不包括阿氏圓。那指的是什么呢?我想表達的是,在問題的解法中,包含的軌跡,是不明顯的,甚至只是多種解法中的一種解法,用到了軌跡,如圓,橢圓,雙曲線等等。正好,從這個角度,把最近遇到的幾個問題匯集一下。第一題 軌跡是雙曲線收錄在第六期蜜蜂周報 第 9 期 19 / 46蜜蜂周報 第九期第二題 軌跡是圓第三題 軌跡是橢圓蜜蜂周報 第 9 期 20 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 21 / 4
14、6蜜蜂周報 第九期本題的基本解法,也就是林琳老師的解法如下:蜜蜂周報 第 9 期 22 / 46蜜蜂周報 第九期第四題 軌跡是圓從這里引申出一個問題:現(xiàn)在解題技術(shù)里有個詞叫“隱圓”,對這個東西,我還在學(xué)習(xí)、收蜜蜂周報 第 9 期 23 / 46蜜蜂周報 第九期集素材中,先把一個文章放在附錄。13.唐山一模的選擇壓軸(極值點與零點)這個題不錯,有高考題的風(fēng)格:條件簡約,入口寬,解答方法多。嗯,這就是一個好題的標準了。還沒有進行深入的理解,先把看到的幾個解答記錄下來。蜜蜂周報 第 9 期 24 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 25 / 46蜜蜂周報 第九期14.旋轉(zhuǎn)的燈管,很妙的一個
15、立體問題情境蜜蜂周報 第 9 期 26 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 27 / 46蜜蜂周報 第九期這個小題不錯,透著一股靈動。立體幾何試題里,好像很久沒遇到這樣的,能和現(xiàn)實生活場景結(jié)合的如此之好的。我猜是命題人坐在燈下編題,冥思苦想這立體幾何題咋出呢?這時來了一陣妖風(fēng),把燈管吹歪了,哈哈,就你了?。ㄎ覀€人是很喜歡這個題,不過后來想了想,現(xiàn)在的學(xué)生有多少見過這種“老式”的燈管呢?)原以為這是個新題,沒想到一搜索,是個老題,而且很老。題目出處:蜜蜂周報 第 9 期 28 / 46蜜蜂周報 第九期這是我搜到的最早的出處,之后就廣泛見于各種考試題中了,直到 2020 年有些高三模擬題
16、中也有用的。搜題軟件中有類似題蜜蜂周報 第 9 期 29 / 46蜜蜂周報 第九期15.最值也是定值又是三點共線答案 B注意,這個不是焦點三角形的內(nèi)切圓。從結(jié)果來看,是當 AB 經(jīng)過右焦點的時候取得最值。此時,F(xiàn)1P 也是定值 2a。定值即最值。蜜蜂周報 第 9 期 30 / 46蜜蜂周報 第九期相關(guān)試題蜜蜂周報 第 9 期 31 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 32 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 33 / 46蜜蜂周報 第九期結(jié)論證明中用到了圓的切線的定理,在上面題目中也用到了,這也是處理內(nèi)切圓的常用做法,如果一條過焦點的直線與雙曲線的同一支交于兩點,那么這個大的三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)有哪些?蜜蜂周報 第 9 期 34 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 35 / 46蜜蜂周報 第九期上述證明中有三點結(jié)論,第一是內(nèi)切圓與 AB 的切點是右焦點,這在上面第一個題目中就出現(xiàn)了,證明過程也很簡單,第二是內(nèi)切圓的圓心在準線上,且可用 AB 傾斜角表示出圓心的橫縱坐標,第三,可用 AB 的傾斜角表示出內(nèi)切圓的半徑,證明過程用到了焦點弦的弦長公式。蜜蜂周報 第 9 期 36 / 46蜜蜂周報 第九期蜜蜂周報 第 9 期 37 / 46蜜蜂周報 第九期第一問有不同的問法,在高考中曾經(jīng)以此考查過讓求證直線 PA 和直線 PB 的斜率之和為定值,還考查過兩個內(nèi)
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