高中數(shù)學(xué) 教學(xué)教研(名師研討 教學(xué)設(shè)計 數(shù)學(xué)解題 反思 總結(jié)) 蜜蜂周報 第18期

1、蜜蜂周報第 18 期 1 / 59蜜 蜂 周 報第 18 期（2020 年 7 月 13 日-7 月 19 日）蜜蜂周報第 18 期 2 / 59關(guān)于數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的 6個關(guān)鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題都將成為一個范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類，能讓你的解題經(jīng)驗更加有序，更有結(jié)構(gòu)化地在大腦里存儲，便于你解題時進行檢索，確定解題思路。蜜蜂周報第 18 期 5 / 592020 年第

2、 18 期目錄第 1 題 7 月 13 日 2020 高考山東卷若干試題分析.1第 2 題 7 月 14 日 是數(shù)列問題也是代數(shù)問題.2第 3 題 7 月 14 日 三角形內(nèi)心向量問題.5第 4 題 7 月 15 日 2020 高考北京卷若干試題分析.6第 5 題 7 月 15 日 2020 高考浙江卷若干試題分析.10第 6 題 7 月 16 日 2020 高考江蘇卷若干試題分析.16第 7 題 7 月 16 日 臺灣教材對二面角的定義.27第 8 題 7 月 17 日 三角形三線合一問題.30第 9 題 7 月 17 日 更像是初中平面幾何的一個最值問題.33第 10 題 7 月 17 日

3、 兩道 2020 高考不等式試題.36第 11 題 7 月 17 日 橢圓中的軌跡問題（這不是重點）.42第 12 題 7 月 18 日 這個比較大小問題有點新意.46第 13 題 7 月 18 日 一道中考題 .48第 14 題 7 月 18 日 一道三角函數(shù)最值問題.50蜜蜂周報第 1-17 期合訂本下載.53附錄.53蜜蜂周報第 18 期 1 / 59第 1 題 7 月 13 日 2020 高考山東卷若干試題分析最后我看了一下標題，寫的是“若干”，設(shè)計上我只收錄了一道題，我還沒有仔細看過山東卷，目前只看到這個題我比較有興趣。也可能以后會陸續(xù)再續(xù)。這個日晷的題，應(yīng)該是和今年的金字塔、天壇屬

4、于一個系列，即“數(shù)學(xué)文化”的。我對日晷比較感興趣，就去搜索了一下。原來日晷也是有兩種的。我以前在電視上看到過日晷面與地面平行的。蜜蜂周報 第 18 期 1 / 59蜜蜂周報第 18 期 2 / 59從我搜索得到的信息來看，日晷，這個情境，對大多數(shù)學(xué)生應(yīng)該不會造成很大的理解困難，即使在數(shù)學(xué)試題里沒遇到過，那在地理學(xué)科里也是不陌生的。第 2 題 7 月 14 日 是數(shù)列問題也是代數(shù)問題一、題目二、解法兩位老師給出了下面的解答：蜜蜂周報 第 18 期 2 / 59蜜蜂周報第 18 期 3 / 59很巧妙，但似乎 a2 的出現(xiàn)比較突然?？梢钥闯?，引入 a2 和 d 后，條件和目標都用他們倆來表示，而且

5、條件化簡后形式比較簡單，系數(shù)相同，沒有交叉項。如果用 a1 和 d，條件化簡后，兩個變量的系數(shù)就不會相同了，而且出現(xiàn)交叉相乘的項?？赡芸挛鲿?。這個題我剛看到的時候，沒想到上述方法，我采取了比較笨的轉(zhuǎn)化代數(shù)問題的方式，即萬能設(shè) k 大法：蜜蜂周報 第 18 期 3 / 59蜜蜂周報第 18 期 4 / 59后來我看到上述柯西不等式的方法后就想，如果一開始設(shè)的是 a1 和 d，盡管條件變得稍微復(fù)雜了些，但能否用柯西來做呢？試一試才知道！其實也是可以的：后來我接著想，那不用 a1 和 d，用別的項行不行呢，比如再用 a5 和 d 試試：蜜蜂周報 第 18 期 4 / 59蜜蜂周報第 18 期 5

6、 / 59你看，用 a5 和 d 也可以！到這里，我們就可以大膽地說，這個題用任何兩組基本量都可以用柯西解決！這是不是有點出人意料。（當然，計算量會有些許差別）就像我在前面幾期提到的，數(shù)學(xué)老師自己在平時解題時應(yīng)該是有所追求的，追求“更多”（多種解法），追求“更簡”（方法的簡介）。有時候我們沒找到這兩個“更”，也許是因為“沒找到”，而不是“不存在”。這些都需要我們在得到一個解法后不斷地反思才行。簡單說不滿足得到答案！第 3 題 7 月 14 日 三角形內(nèi)心向量問題這個題，有的老師說可以用“等差線”來做，我沒學(xué)過“等差線”這個技術(shù)，所以用了下面的方法。這個方法的操作特點是等式兩側(cè)同乘一個向量，制造

7、數(shù)量積。蜜蜂周報 第 18 期 5 / 59蜜蜂周報第 18 期 6 / 59第 4 題 7 月 15 日 2020 高考北京卷若干試題分析這個題，如果把它當成“套路題”，即一般的 asinx+bcosx 型函數(shù)來做，當然可以，甚至過程中還是有一定難度的，因為用到了“輔助角公式的高級應(yīng)用”。如下：蜜蜂周報 第 18 期 6 / 59蜜蜂周報第 18 期 7 / 59如果注意到了已知條件中的“2”這個數(shù)據(jù)，應(yīng)該有足夠的敏感，想到正余弦函數(shù)的有界性，那樣解法就非常簡單了。正如單墫老師寫的：蜜蜂周報 第 18 期 7 / 59蜜蜂周報第 18 期 8 / 59只看第二問因為第二問是一個純代數(shù)最值問題

8、，所以方法還是比較多的，基本的，高級的都可以上，比如：蜜蜂周報 第 18 期 8 / 59蜜蜂周報第 18 期 9 / 59再比如這個公眾號的大招：（當然學(xué)生不大可能這么做，這里只是作為方法呈現(xiàn)）蜜蜂周報 第 18 期 9 / 59蜜蜂周報第 18 期 10 / 59第 5 題 7 月 15 日 2020 高考浙江卷若干試題分析來自楊蒼洲老師的公眾號。蜜蜂周報 第 18 期 10 / 59蜜蜂周報第 18 期 11 / 59蜜蜂周報 第 18 期 11 / 59蜜蜂周報第 18 期 12 / 59蜜蜂周報 第 18 期 12 / 59蜜蜂周報第 18 期 13 / 59蜜蜂周報 第 18 期

9、13 / 59蜜蜂周報第 18 期 14 / 59蜜蜂周報 第 18 期 14 / 59蜜蜂周報第 18 期 15 / 59蜜蜂周報 第 18 期 15 / 59蜜蜂周報第 18 期 16 / 59第 6 題 7 月 16 日 2020 高考江蘇卷若干試題分析蜜蜂周報 第 18 期 16 / 59蜜蜂周報第 18 期 17 / 59蜜蜂周報 第 18 期 17 / 59蜜蜂周報第 18 期 18 / 59蜜蜂周報 第 18 期 18 / 59蜜蜂周報第 18 期 19 / 59以下解答來自公眾號“高中數(shù)學(xué)教師 JQ”.蜜蜂周報 第 18 期 19 / 59蜜蜂周報第 18 期 20 / 59蜜

10、蜂周報 第 18 期 20 / 59蜜蜂周報第 18 期 21 / 59蜜蜂周報 第 18 期 21 / 59蜜蜂周報第 18 期 22 / 59蜜蜂周報 第 18 期 22 / 59蜜蜂周報第 18 期 23 / 59蜜蜂周報 第 18 期 23 / 59蜜蜂周報第 18 期 24 / 59蜜蜂周報 第 18 期 24 / 59蜜蜂周報第 18 期 25 / 59蜜蜂周報 第 18 期 25 / 59蜜蜂周報第 18 期 26 / 59蜜蜂周報 第 18 期 26 / 59蜜蜂周報第 18 期 27 / 59第 7 題 7 月 16 日 臺灣教材對二面角的定義在“中國數(shù)學(xué)解題研究會”QQ 群

11、，有一位來自寶島臺灣的洪老師，這幾天他給我們提供了今年臺灣省（這三個字必須強調(diào)哈哈）的高考題；另外，在討論新教材對二面角問題的描述時，洪老師也把臺灣教材截圖給我們大陸的老師看了一下：上圖是新版人教高中數(shù)學(xué)教材對二面角的處理。和以前老版教材不同的是，這次新引入了一個概念，“兩個平面的夾角”。下面是臺灣教材。蜜蜂周報 第 18 期 27 / 59蜜蜂周報第 18 期 28 / 59蜜蜂周報 第 18 期 28 / 59蜜蜂周報第 18 期 29 / 59蜜蜂周報 第 18 期 29 / 59蜜蜂周報第 18 期 30 / 59第 8 題 7 月 17 日 三角形三線合一問題這個題的條件比較特別，我

12、還沒有仔細看，先收錄進來。蜜蜂周報 第 18 期 30 / 59蜜蜂周報第 18 期 31 / 59蜜蜂周報 第 18 期 31 / 59蜜蜂周報第 18 期 32 / 59蜜蜂周報 第 18 期 32 / 59蜜蜂周報第 18 期 33 / 59第 9 題 7 月 17 日 更像是初中平面幾何的一個最值問題來自王遠征老師的公眾號。蜜蜂周報 第 18 期 33 / 59蜜蜂周報第 18 期 34 / 59蜜蜂周報 第 18 期 34 / 59蜜蜂周報第 18 期 35 / 59我看這個題應(yīng)該不是很難，本著對“更多”的追求，就想了一下還有無其他方法，關(guān)注到那個垂直，可以聯(lián)想到圓，所以產(chǎn)生了下面的

13、解法，雖然并不是很快捷，不失為一種方法。用到切割線定理。蜜蜂周報 第 18 期 35 / 59蜜蜂周報第 18 期 36 / 59第一個等式如果不用切割線定理，就用勾股定理也可以， DC2 + OD2 = OC2 ?；蛘撸旅孢@樣，cos與相似結(jié)合構(gòu)造方程組；第 10 題 7 月 17 日 兩道 2020 高考不等式試題第一題一、下面的解答來自公眾號“鄒生書數(shù)學(xué)”蜜蜂周報 第 18 期 36 / 59蜜蜂周報第 18 期 37 / 59蜜蜂周報 第 18 期 37 / 59蜜蜂周報第 18 期 38 / 59蜜蜂周報 第 18 期 38 / 59蜜蜂周報第 18 期 39 / 59二、我的思考

14、本題實際上是所謂“雙重最值”，或者叫“嵌套最值”，即求 maxminf(x),g(x) 或minmaxf(x),g(x)，我知道這種問題有一種方法是構(gòu)造同向不等式，相乘或者相加，例如：蜜蜂周報 第 18 期 39 / 59蜜蜂周報第 18 期 40 / 59那么這個高考題行不行呢？下面是我的嘗試過程：蜜蜂周報 第 18 期 40 / 59蜜蜂周報第 18 期 41 / 59第三個嘗試成功了。第二題蜜蜂周報 第 18 期 41 / 59蜜蜂周報第 18 期 42 / 59第 11 題 7 月 17 日 橢圓中的軌跡問題（這不是重點）一、題目（目前我對圓錐曲線解答題還沒有仔細研究，所以只是在“外圍

15、”做一些工作）蜜蜂周報 第 18 期 42 / 59蜜蜂周報第 18 期 43 / 59二、解答蜜蜂周報 第 18 期 43 / 59蜜蜂周報第 18 期 44 / 59蜜蜂周報 第 18 期 44 / 59蜜蜂周報第 18 期 45 / 59以上解答均來自微信群“高中數(shù)學(xué)解題交流二群”。其實我收錄這個題的主要原因，并不是看中這個題有什么特殊之處，而是因為我是在搜索研究另外一個問題時，無意中發(fā)現(xiàn)了一個文獻和本題有關(guān)，實在是有趣！既然多做了一些工作就收錄了吧。我的發(fā)現(xiàn)其實就是本題在圓中的版本，也是前面解法中有老師提到的“把此問題變換到圓中”。我無意中發(fā)現(xiàn)專門有一篇論文專門研究此題，作為附錄放在第

16、 18 期后面了。蜜蜂周報 第 18 期 45 / 59蜜蜂周報第 18 期 46 / 59（看截圖，我本來是在搜索“雙重最值”問題的相關(guān)文獻時，無意中看到這個題的，它與我要找的東西恰好在同一個頁面內(nèi)。所以我經(jīng)常說，搜索經(jīng)常會有意外發(fā)現(xiàn)）第 12 題 7 月 18 日 這個比較大小問題有點新意看到一個比較大小的題比較有新意就收錄了：蜜蜂周報 第 18 期 46 / 59蜜蜂周報第 18 期 47 / 59看完這個題后，我就又本著“更多”（這次實際上是“多變”）的原則，把它變式了一下，如下：解法是類似的：XY，這個簡單；與根號 10 比較的話，仍然是把二者相乘，會產(chǎn)生六項，分組處理，用到均值不等式，相當于放縮了。蜜蜂周報 第 18 期 47 / 59蜜蜂周報第 18 期 48 / 59第 13 題 7 月 18 日 一道中考題一、題目（以后我要多做點初中題目了，畢竟，我的兒子要參加中考哇！）二、解法蜜蜂周報 第 18 期 48 / 59蜜蜂周報第 18 期 49 / 59有個老師一下提供了 4 種解法，圖上的數(shù)據(jù)不是很清楚，但應(yīng)該可以看出思路。（最后一種就是上面的初中做法）蜜蜂周報 第 18 期 49 / 59蜜蜂周報第 18 期 50 / 59第 14 題 7 月 18 日 一道三角函數(shù)最值問題一、題目二、解答二蜜蜂周報 第 18 期 50 / 59蜜