高中數(shù)學 教學教研(名師研討 教學設計 數(shù)學解題 反思 總結) 蜜蜂周報 第4期

1、蜜 蜂 周 報第 4 期（2020 年 4 月 6 日-4 月 12 日）關于數(shù)學解題學習的幾個關鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題將成為一個范例,以用于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類，能讓你的解題經(jīng)驗更加有序，更有結構化地在大腦里記憶，便于你解題時進行檢索，確定解題方法。沃茲基碩德2020 年第 4 期目錄1.奔馳定理一題.12.虛晃一槍，別被晃到二元條件最值 .23.恒等式放縮處理“給值求最

2、值”問題的利器.84.來者不善線段倒數(shù)和最值問題 .145.“超級”了反而簡單了一個數(shù)列小題.206.多解一小題三角形中帶系數(shù)的線段和.217.等差數(shù)列前 n 項和與通項公式的函數(shù)圖像關系.238.有點怪的數(shù)列問題.269.一道錯題（三角形內(nèi)求角條件是角構成的不等式）.2710.一道錯題（二元條件最值） .2711.這題很難的sinx+sin2x+sin3x 的上界 .2912.原來你也在這里隱藏在雙曲線里的米勒問題.3713.一個很小巧的向量題 .3914.同構一題.4015.二元最值問題.4116.橢圓中四邊形面積問題 .4317.二次函數(shù)系數(shù)構成的最值問題 .4718.待定系數(shù)法是個好東

3、西二元無理函數(shù)最值.5219.基底意識消元意識正方形頂點模長問題.5520.又一個向量最值問題 .561.奔馳定理一題奔馳定理的介紹網(wǎng)上到處都是，我就不在貼了，只是看到一個題收集一下：附：奔馳定理12.虛晃一槍，別被晃到二元條件最值這個題你要把 2a-1 和 b-1 帶進函數(shù)式就麻煩了，那是命題人給你挖的坑。你要觀察，顯然（對，就是目測都能看出來），f (-x) + f (x) = 0，就是說這個函數(shù)是個奇函數(shù)，立即可得 (2a -1) + (b -1) = 0 Þ 2a + b = 2 ，然后就是一個比較常規(guī)的條件最值問題了。2看到這個題后，我不禁多想了點：二元的條件最值學生們見得

4、忒多了，各種各樣的，層出不窮，其實我們要“窮”它，也不是不可以，那就是從命題方式角度進行一下總結：不外乎設置一個情境，也就是一個馬甲，然后設計一個目標函數(shù)。用一個圖表示吧，我喜歡圖形化展示，情境 a，b的關系求目標函數(shù)g(a,b)的最值情境就多了，可以是一個函數(shù)；函數(shù)的某種性態(tài)；甚至是兩個函數(shù)的關系，代數(shù)，幾何。這些東西都是“包裝”，你要剝離開包裝，找到他們真正的“關系”。舉幾個例子：1,直接給代數(shù)關系32，數(shù)列3.函數(shù)單調(diào)性44，向量55，解析幾何66.立體幾何73.恒等式放縮處理“給值求最值”問題的利器這個內(nèi)容，是我在網(wǎng)上無意中看到的，覺得挺特別的，對某類問題不失為一種解決方法，只不過感覺

5、貌似計算多了些。89101112看到這里，我突然想到，在蜜蜂周報第二期的 15 題：15.主角在哪兒，你找到了嗎輔助角公式的高級運用（五星）當時，褚小光老師也給出了一種解法，這個方法讓人很納悶的就是那個系數(shù)法。74是怎么來的，從恒等式角度，似乎也可以采用這種待定134.來者不善線段倒數(shù)和最值問題下面這個題：看完后，覺得這個題缺少一個長度的條件，沒有任何約束條件不存在最值。搜了一下，發(fā)現(xiàn)這個類似題：這個題問的是線段的倒數(shù)和，于是，我用關鍵詞“1/PB+1/PC 的最大值”、“線段的倒數(shù)和”進行了百度，搜到下面這個題：14這個解法的設變量方法很特別，它有個好處就是，從結果很容易判斷，取得最大值時

6、APBC；在微信群“高中數(shù)學解題交流二群”有人提供了如下鏈接，原來這個題來頭不小，它曾經(jīng)過過張景中院士的手。以下資料來自公眾號“葉軍數(shù)學工作站”：張景中院士初數(shù)結構改革方案(重建三角)：張角定理與兩線段的倒數(shù)和(差)問題(下)1516看到這里，我也突然想到，我一直在追尋的“兩個線段的倒數(shù)和”在幾何上的含義，在那個圖里，線段與面積有關，如果只關注“長度”這視角，會比較窄，如果注意到一條線段可以充當“底”，那就自然和面積掛鉤了。另外，這里提到了“張角定理”，我以前應該是看到過，但是因為這個不怎么用也就忘17記了，恰好當天晚上有人問一個問題，湊巧，用張角定理就可以解決，如下：除了用到張角定理，這個題

7、還用到外心的一個性質(zhì)，就是性質(zhì) 3:這樣結合起來，就可以得到結果了，不過這個結論不怎么好看似乎18順便吧，我把在對這個題搜索過程中一個很有趣的發(fā)現(xiàn)和大家分享。我搜到一個文件，是葉軍老師寫的幾何問題中的線段倒數(shù)關系，很詳細地介紹了在平面幾何中線段倒數(shù)關系這個問題。我的平面幾何很爛，不過有一道題我覺得很有意思： 問題 2：如圖 4，梯形 ABCD 中，AC、BD 相交于點 O，AD、BC 相交于 E，EO交線段 AB 于點 F，求證：AF=BF.本題的證明方法較多，除了上述的方法之外，還可以連續(xù)利用相似形，DH = ED = DC = DO = DH ,得 AF=FB.AF EA AB OB FB

8、 也可以直接在ABE 中使用塞瓦定理獲得證明；還可以用面積方法證明.一個題目負載了眾多不同的解法，且風格迥異，因此成為初等幾何的一道典型問題.更何況它頗有來歷：問題 3：(1978 年全國中學生數(shù)學競賽)在平面上有兩點 A、B 和 平行于 AB 的一條直線，只用直尺(不用圓規(guī))作出線段 AB 的中點.該問題出自于蘇步青先生，華羅庚先生在給出的證明中指出了本 問題包含了仿射幾何的基本原理. 圖 4 其實給出了作法：在 l 上任意取點 C、D，延 長 AD、BC 相交于 E,連接 BD、AC 相交于 O，連 接 EO 交線段 AB 于 F，則 AF=FB 問題2 的解法則證明了作法的正確性.圖 4

9、這個題在我看來是很神奇的，只用到平行就證明了兩條線段相等的證明！195.“超級”了反而簡單了一個數(shù)列小題解答如下:這個小題的解決，發(fā)現(xiàn)規(guī)律不難；比較容易忽視的是 2,2020,2022.。這個數(shù)列，因為它的第二項就是 2020，是不符合前面的思路的。如果從一開始就分類討論就比較好：（1） 第二項是 2020.。（2） 第二項不是 2020.。206.多解一小題三角形中帶系數(shù)的線段和2122三角形兩邊之和大于第三邊+極限想法，最小值大于 237.等差數(shù)列前 n 項和與通項公式的函數(shù)圖像關系這個話題的由來，是我在看一個機構的網(wǎng)課時，老師提到這個公式：23等差數(shù)列中，根據(jù)S 的式子，快速地求出 a

10、，這個公式當然是有價值的，在考場上n n縮短幾秒鐘都是有價值的！不過，我還是覺得公式 a = 2An + (B - A) 還是不夠“自然”，n或者說不太好記憶，這里面是不是有什么東西在隱藏著？當然，我們知道它其實是來自a = S - S - ，它是一個推導后的結果，它長的就是這樣的！n n n 1正好兩個公式放在一起，兩項對比，容易發(fā)現(xiàn) S =A n2 + B n如果對 n 求導得nS '=2An+ B，與 a = 2An + (B - A) ，很像但不完全一樣，為什么不一樣呢，二者有什么n n關系？我們在“中國數(shù)學解題研究會”QQ 群展開了討論：【LV5】重慶 冉洪涌 2020/4/

11、7 22:06:49唐山齊建民那是因為求導后數(shù)列變了，【LV2】四川成都蘇文玉 2020/4/7 22:09:28因為數(shù)列是差分【LV2】四川成都蘇文玉 2020/4/7 22:09:41沒有極限。【LV2】四川成都蘇文玉 2020/4/7 22:10:19直線的差分任何地方斜率都相等，二次函數(shù)差分應該對應兩個點中點的斜率【LV4】河南鄭州劉登成 2020/4/7 22:11:32an 是 n 的一次函數(shù)，求導后 d；Sn 也是 an 的一次函數(shù)，求導后是 d/2，沒什么毛病，因為函數(shù)的表達式不同，求導結果不同【LV4】河南鄭州劉登成 2020/4/7 22:12:57數(shù)列本來就是函數(shù)圖像上的

12、一點離散的點24【LV4】河北正中張書彬 2020/4/7 22:14:30數(shù)列離散函數(shù)，處處不可導【LV2】四川成都蘇文玉 2020/4/7 22:14:38這個問題是一個很好的問題。【LV2】四川成都蘇文玉 2020/4/7 22:14:48我明天問我高一學生最后，我的思考結果是這樣的：258.有點怪的數(shù)列問題（本題來自“極優(yōu)數(shù)學解題研究會”QQ 群，群號 472989459）269.一道錯題（三角形內(nèi)求角條件是角構成的不等式）也不知道是誰這么認真地編輯了一道錯題。這里有人也許會問（其實是我想說）：你們這些老師為什么這么認真地做一道錯題？回答： 我們對每一道遇到的數(shù)學題都是懷著虔誠的心的，

13、都力爭給它一個完美的解答； 潛意識里，我們認為每一道題都應該是科學的，不存在瑕疵的。10.一道錯題（二元條件最值）272 - x xf (x) = x(2 - x) + +2x 2 x2-我用上了新買的小米巨能寫也沒有做出來。下面是我做的幾次嘗試：28圖像顯示，是沒法手工解出這兩個極值點的。也就是說，這個是錯題。11.這題很難的sinx+sin2x+sin3x 的上界（來自公眾號楊志明數(shù)學角）293031323334我興趣特別大的是這個細節(jié)：怎樣把根號去掉，放縮， 2 1 2 5 (1 2 ) 4t -t £ -t + ，開始我以為是切線放縮，但仔細一看4 5 右邊是二次，那肯定不是

14、了，畫出圖形是這樣的：35探索這種放縮怎么來的，已經(jīng)超出了我的能力范圍，所以我決定還是按照切線放縮的方法來嘗試一下：也就是設 2t 1-t2 £ at + b，那么切點選在哪兒就很重要，一個必須便于計算，二要接近極值點（計算可得極值點是 0.7 多）。考慮到左邊求導含根式，而且根號里是1-t2 ，要便于開方，這樣就想到了勾股數(shù)，取t = 0.8，最后計算失敗！這個放縮不行。3612.原來你也在這里隱藏在雙曲線里的米勒問題37直線 x=a 與 x 軸正好垂直，符合上面截 圖里的結論適用條件：則有 2a(a + c) < b 解得e > 33813.一個很小巧的向量題很顯然下

15、面的解法更簡潔。怎么想到這個解法呢？還是回歸到問題的情境中，要積極聯(lián)想。外接圓，直徑。直角。向量數(shù)量積的公式。射影。3914.同構一題同構的題，幾乎每天都能遇到。4015.二元最值問題褚小光老師給出的 2 種解法，不愧是不等式專家，用的都是我學不會的方法 。41另外有老師說三角代換也可以，我沒有做到底。然后我就看到一個類似題，同樣也是換元，把兩個變量求出來，方法有相似之處。解法如下：4216.橢圓中四邊形面積問題（來自公眾號“紹興高中數(shù)學”）文中給出下面的解法一開始我看到這個解法的時候，我是有點詫異的，我有點懷疑的是：這樣的解法能否保住滿足那個條件“ PM = 2MQ ”，作者提供了“特別地。

16、”，是在說明解的存在性。43將問題轉化后，我們要解決的問題是：橢圓上任意兩點與中心構成的三角形面積的最大值，這是一個已有定論的問題，我搜到的信息如下：相關資料橢圓中的中心三角形題目一： y = kx + m 與橢圓x y2 22 + 2 =1交于 A ， B 兩點，則a bb ab2k ×k = - Û k a + b = m Û S =2 22 2 2 2OA OB DOABa 2提示：記憶方式利用直線與橢圓相切的公式特點記憶。ì = +y kx míîb2 x2 + a2 y2 - a2b2 = 0， (b2 + k2a2 )x2

17、 + 2kma2 x + a2 (m2 -b2 ) = 0 ，D = 4a b (k a + b - m ) > 0 ，2 2 2 2 2 2-2kma2x + x =1 1 2 2 + 2k a b，a (m -b )2 2 2x × x =1 1 2 2 2k a + b，b y y b b2 2 2k ×k = - Û × = - Û kx + m × kx + m = - x x1 2 ( ) ( )OA OB 1 2 1 22 2 2a x x a a1 2b b a (m -b ) -2kma2 2 2 2 2 2(

18、k + )x x + km(x + x ) + m = 0 Þ (k + ) + km + m = 02 2 2 2a a k a + b k a + b2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2，化簡得： k2a2 + b2 = 2m2 。+ - 2 2m ab 2m - m m1 1 2ab k a b m ab 2 2 2 22 2 2 2S = AB ×d = 1+ k × × = =2DOAB2 2 k a + b 1+ k 2m 22 2 2 2 2。題目二： y = kx + m 與橢圓x y2 22 2 1+ = 交于 A ， B 兩點

19、，則a babSD £ ，當且僅當k2a2 + b2 = 2m2 時等號成立。 OAB21 1 2 2 2 + 2 - 2 1 2 2 2 + 2 - 2 2ab k a b m m ab k a b m m簡證： = × = + × × = ×S AB d 1 k2 DOAB2 2 2 2 + 2 1+ 2 2 2 2 + 2k a b k k a b1 ab(k a b m m ) ab2 2 + 2 - 2 + 2£ × =2 k a b 22 2 + 2，當且僅當k2a2 +b2 - m2 = m ，即 k2a2 +

20、 b2 = 2m2 時均值不等式中的等號成立。441解法 2：設 A(acosa,bsina), B(acos b,bsin b) ，則 SD = x y - x yOAB 1 2 2 12 1 ab ab= abcosa sin b - absina cos b = sin(a - b) £ 。 2 2 2注意：橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不是極角。題目三： y = kx + m 與橢圓x y2 22 + 2 =1交于 A ， B 兩點，則a b(k +1)a b ab a b ab2 2 2 2 2OA OB Û = m Û d = Û £

21、 S £2DOABa2 b2 a2 b2 a2 b2+ + +2ì = +y kx míîb2 x2 + a2 y2 - a2b2 = 0， (b2 + k2a2 )x2 + 2kma2 x + a2 (m2 -b2 ) = 0 ，D = 4a b (k a + b - m ) > 0 ，2 2 2 2 2 2-2kma2x + x =1 1 2 2 2k a + b，a (m -b )2 2 2x × x =1 1 2 2 2k a + b，OA OB Û (kx + m)×(kx + m) = -x x1 2 1

22、2a (m -b ) -2kma2 2 2 2(k 1)x x km(x x ) m 0 (k 1) km m 02 + + + + 2 = Þ 2 + + + 2 =，1 2 1 2 2 2 2 2 2 2k a + b k a + b化簡得：(k +1)a b =2 2 2a + b2 2m2。4a b (k a +b -m ) (1+ k )(k a +b ) 4a b k a +b +(a +b )k 4a b2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 2 2 2AB = (1+ k )× = × = ×2 2(k a b

23、 ) (k a b ) a b k a b 2a b k a b2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 + 2 4 4 + 4 + 2 2 2 2 + 2(a - b ) k 4a b (a -b ) 4a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= (1+ )× = (1+ )× £ a + b， k a b a b k a b a b4 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2+ + 2 + + b + +k a 2a b2 4 2 2k2當且僅當k= b 時均值不等式中的等號成立。當 k b= 時 ABa a2³4a b2 2a +

24、b2 21 1 ab abSD = AB ×d £ × a + b × =2 2OAB2 2 22 + 2a b。當且僅當kb= 時面積取得最大值。aa b ab2 2£ S £a2 + b2 2DOAB，當 k = 0或 k 不存在時，面積取最小值。解法 2：極坐標法：x y2 22 + 2 =1的極坐標方程為a bcos sin 1a2 a 2+ = ，a b2 2 r 245cosa sina 12 2+ = ，a b r2 2 2Ap pcos(a + 2) sin(a + 2) sin a cos a 12 22 2+ =

25、+ = ，a b a b r2 2 2 2 2B兩邊相加得：1 1 1 1 1 1 2 1 a b + = + = + ³ = Þ S ³2 2a b r r OA OB OA × OB S a +b2 2 2 2 2 22 2 DOABA B DOAB，當且僅當 OA = OB 時，即 k = 0或 k 不存在時，面積取最小值?？梢钥吹?，這個三角形面積取得最大值時，是當 A，B 在長軸、短軸端點的時候，這是取的最值的點，是唯一的。那么看一下，這個時候是否能滿足那個條件“ PM = 2MQ ”。那么 PQ 與 OA 的交點為 M,設 Q 點從 B1 位置

26、逆時針沿著橢圓運動， 則 PM 與 MQ 的比值從 1 開始，逐漸變大，中 間 一 定 會 有 個 位 置 滿 足 二 者 之 比 為 2 ， 甚 至 為 3 ，。從這個題我想說到解題的邏輯，或者說流程，見到一個題，我們往往會把這個題不斷轉化，就是把一個復雜的問題，不斷轉化為一個一個小的，簡單的問題，甚至會把原問題轉化為一個變化比較大的新問題，把這個新問題解決了，再回到原問題。在這個過程里要注意等價。你的轉化一定得是等價的。也就是新問題一定和原問題保持等價，等價轉化，等價變形等。有些解題過程，只是利用了題目的一個必要條件，所謂“必要條件探路”，那這種解題思路，得到結論后，就必須進行檢驗。是否完全符合題意，所謂充分性的滿足。4617.二次函數(shù)系數(shù)構成的最值問題（來自公