222反證法 (2)

1、2.2.2 反證法反證法一反證法一反證法證明命題證明命題“設(shè)設(shè)p為正整數(shù)，如果為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù)是偶數(shù), 則則p也是偶數(shù)也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明，我們可以不去直接證明p是偶數(shù)，而是否定是偶數(shù)，而是否定p是偶數(shù)，然后得到矛盾，是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定從而肯定p是偶數(shù)。具體證明步驟如下：是偶數(shù)。具體證明步驟如下：假設(shè)假設(shè)p不是偶數(shù)，可令不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為整數(shù)。為整數(shù)?？傻每傻?p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇數(shù)，是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，不是偶數(shù)不成立，從而證明從而證明p為偶數(shù)。為偶數(shù)。一般地，由證明

2、一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：轉(zhuǎn)向證明：qrt t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，從與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定而判定 為假，推出為假，推出q為真的方法，為真的方法，叫做叫做反證法反證法。 q例例1證明證明 不是有理數(shù)。不是有理數(shù)。2證明：假定證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè)是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，為互質(zhì)的正整數(shù)，22pq把把 兩邊平方得到，兩邊平方得到，2q2=p2， 2pq式表明式表明p2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于也是偶數(shù)，于是令是令p=2l，l是正整數(shù)，代入是正整數(shù)，代入式，式，得得q2=2l2， 式表明式表明q2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以q也是

3、偶數(shù)，這樣也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)都有公因數(shù)2，這與，這與p，q互質(zhì)矛盾，互質(zhì)矛盾，因此因此 是有理數(shù)不成立，于是是有理數(shù)不成立，于是 是無理是無理數(shù)數(shù).22例例2證明質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。證明質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)，設(shè)全體質(zhì)證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為數(shù)為p1，p2，p3，pn，令令p= p1p2p3pn+1，顯然，顯然p不含因數(shù)不含因數(shù)p1，p2，p3，pn，p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除除p1，p2，p3，pn之外的質(zhì)因數(shù)。之外的質(zhì)因數(shù)。因此質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)不成立，于是質(zhì)數(shù)因此質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)不成立，于是質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。有無窮多個(gè)。 從上述兩

4、例看出，反證法不是直接去證從上述兩例看出，反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性?？隙ńY(jié)論的真實(shí)性。二反證法的主要步驟二反證法的主要步驟(1) 反設(shè)反設(shè)： 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是式是有必要的，例如：是/不是；存在不是；存在/不不存在；平行于存在；平行于/不平行于；垂直于不平行于；垂直于/不垂直不垂直于；等于于；等于/不

5、等于；大不等于；大(小小)于于/不大不大(小小)于；于；都是都是/不都是；至少有一個(gè)不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；一個(gè)也沒有；至少有至少有n個(gè)個(gè)/至多有至多有(n一一1)個(gè)；至多有一個(gè)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。至少有兩個(gè)。 (2) 歸謬：歸謬： 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定

6、義、與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。(3) 結(jié)論：結(jié)論：由前兩步，得到正確的結(jié)論，一由前兩步，得到正確的結(jié)論，一點(diǎn)要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實(shí)性。點(diǎn)要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實(shí)性。 例例3證明證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。的三項(xiàng)。3證明：假設(shè)證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的是某一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則，則31= md，2= nd，其中，其中m，n為某為某兩個(gè)正整數(shù)，兩個(gè)正整數(shù)，33由上兩式中消去由上兩式中消去d，得到，得到n+

7、2m=(n+m) ,因?yàn)橐驗(yàn)閚+2m為有理數(shù)，為有理數(shù)，(m+n) 為無理數(shù)為無理數(shù),33所以所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).3例例4平面上有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證平面上有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形。角三角形。證明：假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形證明：假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D， 考慮考慮ABC，點(diǎn)，點(diǎn)D在在ABC之內(nèi)或之外之內(nèi)或之外兩種情況。兩種情況。（

8、1）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)D在在ABC之內(nèi)，根之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，圍繞點(diǎn)據(jù)假設(shè)，圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是的三個(gè)角都是銳角，其和小于銳角，其和小于270，這與一，這與一個(gè)周角等于個(gè)周角等于360矛盾；矛盾；（2）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)D在在ABC之外，根之外，根據(jù)假設(shè)四邊形據(jù)假設(shè)四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的四個(gè)內(nèi)角分別是某銳角三角形的內(nèi)角，分別是某銳角三角形的內(nèi)角，即即A，B，C，D都小于都小于90，這和，這和四邊形內(nèi)角和等于四邊形內(nèi)角和等于360矛盾，矛盾， D C B A D C B A綜上所述，原題的結(jié)論正確。綜上所述，原題的結(jié)論正確。例例5、設(shè)、設(shè)a3+b3=2，求證，求證a+b2證明：假設(shè)證明：假設(shè)a+b2，則有，則有a2b，從而，從而 a3812b+6b2b3， a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因?yàn)橐驗(yàn)?(b1)2+22，所以，所以a3+b32，這與題，這與題設(shè)條件設(shè)條件a3+b3=2矛盾，矛盾，所以，原不等式所以，原不等式a+b2成立。成立。例例6、設(shè)、設(shè)0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414則三式相乘：則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 164又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘以