新人教八年級上冊數(shù)學(xué)：從一道題展開的聯(lián)想

1、通過師生共同探討得到四種答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,由一道題展開的聯(lián)想人教版教材（下簡稱教材）的問題編寫有一個特點，就是講解例題與課后練習(xí)題，單元 習(xí)題，拓廣探索題互相對應(yīng)，互相補充， 內(nèi)容聯(lián)系到初中數(shù)學(xué)各年級教學(xué)。 只要比較不難發(fā) 現(xiàn)其自成一體.在使用過程，筆者根據(jù)對一道題的長期跟蹤教學(xué)， 認識到引導(dǎo)學(xué)生在不同章節(jié)中觀察問題，從結(jié)合新的知識點的學(xué)習(xí)中提問題，在新的知識水平范圍內(nèi)探討問題，對學(xué) 習(xí)興趣的培養(yǎng)，創(chuàng)新意識的滲透大有幫助.原問題：如圖 1,在厶 ABC 中，AB = AC ,點 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD,求厶 ABC 各角的

2、度數(shù).（教材第一版八年級上冊 P142例 1）變式 1 如圖 2,在下列等腰三角形中，圖1 中/A=360,分別求出它們的底角的度數(shù).變式 2 如圖 3, ABC 是等腰直角三角形 AD是底邊 BC 上的高，標出/ B、/ C、/ BAD 圖中有哪些相等的線段？（教材第一版八年級上冊完成以上練習(xí)后可以這樣提醒同學(xué)們：圖 3觀察到什么現(xiàn)象啦？若沒有人發(fā)覺，可以進一步提醒：跟課本例 1 比較一下罷。歸納、概括后可以提出一般性的問題嗎?有人說：“過等要三角形的頂點畫一條直線，可以將三角形分成兩個等腰三角形”。有人補充說：“過等腰三角形的任一個頂點畫一條直線，可以將三角形分成兩個等腰三角形”。又有人說

3、：“滿足結(jié)論的等腰三角形各個角度有限制，應(yīng)該是有限個并且是可求的”等。在此 基礎(chǔ)上，師生共同探討，形成一道比較完整的題目：（2001 年廣東初中數(shù)學(xué)競賽題）如圖4,在厶 ABC 中，AB=AC 若過其中一個頂點的一條直線，將 ABC 分成兩個等腰三角形，問 ABC 的各內(nèi)角的度數(shù)可能是多少？A圖 4通過師生共同探討得到四種答案：（90, 45, 45）、（108, 36 36）、（36,51172, 72）、（ 25）,（ 77 ）,（ 77）777解答如下：如圖 5, ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC 過 A 作 AD 丄 BC,垂足為。，則厶ABMHAADC 均為等腰三角形。此

4、時 ABC 各內(nèi)角的度數(shù)分別為 90, 45, 45如圖 6, AB=AC / BAO 90,過 A 作 AD 與 BC 相交于點 D,要使 ABD 與 ADC 均為1等腰三角形，只有 AD=BD AC=CD 這時，令/ BAC=x 則/ B=ZC=90 X。 由/ CAD=211113/ ADC180 -(90 x )=45 + x,且/BAD=x-( 45+ x)=x 45,2244413由/ B=ZBAD 有 90 x= x 45，得 x=108。對應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為 108 ,36,2436如圖 7, AB=AC / BAGc 90。過 B 作 BD 交 AC 于點 D;要使

5、ABDD BCD 為等腰三角形，可分兩種情形考慮：(i)AD=BD BC=BD 令/ A=x，易求/ A=36 對應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為 36 , 72, 72(ii)如圖 8, AD=BD BC=CD 令/ A=x，則/ BDC 玄 CBD=2x 且/ C=ZABC=3x 有 7x=180 ,51對應(yīng) ABC 各內(nèi)角的度數(shù)為（25）, （ 77 ）77以上問題是在觀察的基礎(chǔ)上，提出問題，師生交流探討得到解答的。問題，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)原題是一類題的特例。同學(xué)們再看看，是否還可以提出其它有獨到見解的問題？隨著今后學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，可供思考挖掘的題材不斷豐富。學(xué)習(xí)了 “四邊形”后，有人由四邊形內(nèi)角和等于360,而 108、108、72、72之和剛好等于 360 ，聯(lián)想到構(gòu)造一個等腰梯形，要求梯形連同它的對角線形成盡可能多的（圖 9、10、11 中各有 4 個等腰三角形）ABD=x5 x= (25 )71,(77 -)7等腰三角