彈塑性力學(xué)試題集錦(很全,有答案)

1、彈塑性力學(xué)2008級試題一 簡述題（60分）1）彈性與塑性 彈性：物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的這一性質(zhì)。 塑性：物體在引起形變的外力被除去以后有部分變形不能恢復(fù)殘留下來的這一性質(zhì)。2）應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力：受力物體某一截面上一點處的內(nèi)力集度。 應(yīng)力狀態(tài)：某點處的9個應(yīng)力分量組成的新的二階張量。3）球張量和偏量 球張量：球形應(yīng)力張量，即，其中 偏量：偏斜應(yīng)力張量，即，其中 5）轉(zhuǎn)動張量：表示剛體位移部分，即6）應(yīng)變張量：表示純變形部分，即7）應(yīng)變協(xié)調(diào)條件：物體變形后必須仍保持其整體性和連續(xù)性，因此各應(yīng)變分量之間，必須要有一定得關(guān)系，即應(yīng)變協(xié)調(diào)條件。8）圣維南原理：如作用在彈性體表面

2、上某一不大的局部面積上的力系，為作用在同一局部面積上的另一靜力等效力所代替，則荷載的這種重新分布，只造離荷載作用處很近的地方，才使應(yīng)力的分布發(fā)生顯著變化，在離荷載較遠(yuǎn)處只有極小的影響。9）屈服函數(shù)：在一般情況下，屈服條件與所考慮的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，或者說，屈服條件是改點6個獨(dú)立的應(yīng)力分量的函數(shù)，即為，即為屈服函數(shù)。10）不可壓縮：對金屬材料而言，在塑性狀態(tài)，物體體積變形為零。11）穩(wěn)定性假設(shè)：即德魯克公社，包括：1.在加載過程中，應(yīng)力增量所做的功恒為正；2.在加載與卸載的整個循環(huán)中，應(yīng)力增量所完成的凈功恒為非負(fù)。12）彈塑性力學(xué)的基本方程：包括平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程。13）邊界條件：邊界條件

3、可能有三種情況：1.在邊界上給定面力稱為應(yīng)力邊界條件；2.在邊界上給定位移稱為位移邊界條件；3. 在邊界上部分給定面力，部分給定位移稱為混合邊界條件。14）標(biāo)量場的梯度：其大小等于場在法向上的導(dǎo)數(shù)，其指向為場值增大的方向并垂直于場的恒值面的一個矢量。17）塑性鉸：斷面所受彎矩達(dá)到極限彎矩后，不增加彎矩，該斷面轉(zhuǎn)角仍不斷增加，稱此斷面形成了塑性鉸。塑性鉸是單向鉸，只能沿彎矩增大方向發(fā)生有限轉(zhuǎn)動。二 求的主值和主方向 （10分） 解：解之得：=0 =1 =-1，即主應(yīng)力分別為=1 =0 =-1當(dāng)=1時，同理可得：主方向2： 主方向3：四 論述（15分）1）本構(gòu)方程遵從的一般原理2）彈塑性本構(gòu)關(guān)系

4、答：1）本構(gòu)方程遵從的一般原理：1.決定性原理，與時間歷程相關(guān)的；2.局部作用原理；3.坐標(biāo)無關(guān)性；4.空間各向同性原理；5.時間平移的無關(guān)性。 2）課本第四章。一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分，共10分。） 1、簡述固體材料彈性變形的主要特點。2、試列出彈塑性力學(xué)中的理想彈塑性力學(xué)模型（又稱彈性完全塑性模型）的應(yīng)力與應(yīng)變表達(dá)式，并繪出應(yīng)力應(yīng)變曲線。二、填空題：（每空2分，共8分） 1、在表征確定一點應(yīng)力狀態(tài)時，只需該點應(yīng)力狀態(tài)的-個獨(dú)立的應(yīng)力分量，它們分別是-。（參照oxyz直角坐標(biāo)系）。 2、在彈塑性力學(xué)應(yīng)力理論中，聯(lián)系應(yīng)力分量與體力分量間關(guān)系的表達(dá)式叫-方程，它的

5、縮寫式為-。三、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小題4分，共16分。） 1、試根據(jù)由脆性材料制成的封閉圓柱形薄壁容器，受均勻內(nèi)壓作用，當(dāng)壓力過大時，容器出現(xiàn)破裂。裂紋展布的方向是：_。A、沿圓柱縱向（軸向）B、沿圓柱橫向（環(huán)向）C、與縱向呈45°角D、與縱向呈30°角2、金屬薄板受單軸向拉伸，板中有一穿透形小圓孔。該板危險點的最大拉應(yīng)力是無孔板最大拉應(yīng)力_倍。A、2B、3C、4D、53、若物體中某一點之位移u、v、w均為零（u、v、w分別為物體內(nèi)一點，沿x、y、z直角坐標(biāo)系三軸線方向上的位移分量。）則在該點處的應(yīng)變_。A、一定不為零B、一定為零C、可能為零

6、D、不能確定4、以下_表示一個二階張量。A、 B、 C、 D、 四、試根據(jù)下標(biāo)記號法和求和約定展開下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、 ；五、計算題（共計64分。） 1、試說明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能存在： ；（ ） 上式中c為已知常數(shù)，且。2、已知一受力物體中某點的應(yīng)力狀態(tài)為：式中a為已知常數(shù)，且a0，試將該應(yīng)力張量分解為球應(yīng)力張量與偏應(yīng)力張量之和。為平均應(yīng)力。并說明這樣分解的物理意義。3、一很長的（沿z軸方向）直角六面體，上表面受均布壓q作用，放置在絕對剛性和光滑的基礎(chǔ)上，如圖所示。若選取ay2做應(yīng)力函數(shù)。試求該物體的應(yīng)力解、應(yīng)變解和位移解。（提示：基礎(chǔ)絕對剛性，

7、則在x0處，u0 ；由于受力和變形的對稱性，在y0處，v0 。）題五、3圖4、已知一半徑為R50mm，厚度為t3mm的薄壁圓管，承受軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。設(shè)管內(nèi)各點處的應(yīng)力狀態(tài)均相同，且設(shè)在加載過程中始終保持，（采用柱坐標(biāo)系，r為徑向，為環(huán)向，z為圓管軸向。）材料的屈服極限為400MPa。試求此圓管材料屈服時（采用Mises屈服條件）的軸向載荷P和軸矩Ms。 （提示：Mises屈服條件： ；）填空題6平衡微分方程 選擇 ABBC1、 解：已知該點為平面應(yīng)變狀態(tài)，且知： k為已知常量。則將應(yīng)變分量函數(shù)代入相容方程得： 2k+0=2k 成立，故知該應(yīng)變狀態(tài)可能存在。2、解： 球應(yīng)力張量作用下，

8、單元體產(chǎn)生體變。體變僅為彈性變形。偏應(yīng)力張量作用下單元體只產(chǎn)生畸變。塑性變形只有在畸變時才可能出現(xiàn)。關(guān)于巖土材料，上述觀點不成立。3、解： ，滿足 ，是應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為：， ， ； 應(yīng)力邊界條件：在x = h處， 將式代入得： ，故知：， ， ； 由本構(gòu)方程和幾何方程得：積分得： 在x=0處u=0，則由式得，f1(y)= 0；在y=0處v=0，則由式得，f2(x)=0；因此，位移解為： 4、解：據(jù)題意知一點應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，如圖示，且知 ，則 ，且 = 0。代入Mises屈服條件得： 即： 解得： 200 MPa；軸力：P= = 2×50×103×

9、3×103×200×106=188.495kN扭矩：M= = 2×502×106×3×103×200×106=9.425 kN· m綜合測試試題二一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分，共10分。） 1、試簡述彈塑性力學(xué)理論中變形諧調(diào)方程（即：相容方程或變形連續(xù)方程）的物理意義。2、簡述Tresea屈服條件的基本觀點和表達(dá)式，并畫出其在平面上的屈服軌跡。二、填空題：（每空2分，共10分） 1、關(guān)于正交各向異性體、橫觀各向同性體和各向同性體，在它們各自的彈性本構(gòu)方程中，獨(dú)立的彈性

10、參數(shù)分別只有-個、-個和-個。 2、判別固體材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)作用下，是否產(chǎn)生屈服的常用屈服條件（或稱屈服準(zhǔn)則）分別是-和-。三、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小題4分，共16分。） 1、受力物體內(nèi)一點處于空間應(yīng)力狀態(tài)（根據(jù)OXYZ坐標(biāo)系），一般確定一點應(yīng)力狀態(tài)需_獨(dú)立的應(yīng)力分量。A、18個B、9個C、6個D、2個2、彈塑性力學(xué)中的幾何方程一般是指聯(lián)系_的關(guān)系式。A、應(yīng)力分量與應(yīng)變分量B、面力分量與應(yīng)力分量C、應(yīng)變分量與位移分量D、位移分量和體力分量3、彈性力學(xué)中簡化應(yīng)力邊界條件的一個重要原理是_。A、圣文南原理B、剪應(yīng)力互等定理C、疊加原理D、能量原理4、一點應(yīng)力狀態(tài)一般

11、有三個主應(yīng)力 。相應(yīng)的三個主應(yīng)力方向彼此_。A、平行B、斜交C、無關(guān)D、正交四、試根據(jù)下標(biāo)記號法和求和約定展開下列各式（式中i、j = x、y、z）：（共10分） ； ；五、計算題（共計54分。） 1、在平面應(yīng)力問題中，若給出一組應(yīng)力解為： ， ， ， 式中a、b、c、d、e和f均為待定常數(shù)。且已知該組應(yīng)力解滿足相容條件。試問：這組應(yīng)力解應(yīng)再滿足什么條件就是某一彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的應(yīng)力解。（15分）2、在物體內(nèi)某點，確定其應(yīng)力狀態(tài)的一組應(yīng)力分量為：=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。試求：（16分）該點應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力、和；主應(yīng)力的主方向；主方向彼此正交；3、如圖所示，楔形體OA、O

12、B邊界不受力。楔形體夾角為2，集中力P與y軸夾角為。試列出楔形體的應(yīng)力邊界條件。（14分）題五、3圖4、一矩形橫截面柱體，如圖所示，在柱體右側(cè)面上作用著均布切向面力q，在柱體頂面作用均布壓力p。試選取：做應(yīng)力函數(shù)。式中A、B、C、D、E為待定常數(shù)。試求： （16分）（1）上述式是否能做應(yīng)力函數(shù)；（2）若可作為應(yīng)力函數(shù)，確定出系數(shù)A、B、C、D、E。（3）寫出應(yīng)力分量表達(dá)式。（不計柱體的體力）題五、4圖5、已知受力物體內(nèi)一點處應(yīng)力狀態(tài)為：（Mpa）且已知該點的一個主應(yīng)力的值為2MPa。試求：（15分）應(yīng)力分量的大小。主應(yīng)力、和 。窗體底端9 5 2 Tresca 屈服條件 Mises屈服條 CC

13、AD1、解：應(yīng)力解應(yīng)再滿足平衡微分方程即為彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題可能的應(yīng)力解，代入平衡微分方程得： 則知，只要滿足條件af，ed，b和c可取任意常數(shù)。若給出一個具體的彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題，則再滿足該問題的應(yīng)力邊界條件，該組應(yīng)力分量函數(shù)即為一個具體的彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的應(yīng)力解。2、解：由式（219）知，各應(yīng)力不變量為、， 代入式（218）得：也即 （1）因式分解得：（2）則求得三個主應(yīng)力分別為。設(shè)主應(yīng)力與xyz三坐標(biāo)軸夾角的方向余弦為、 、 。將 及已知條件代入式（213）得：（3）由式（3）前兩式分別得： （4）將式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（215）得：則知； （

14、5）同理可求得主應(yīng)力的方向余弦、和主應(yīng)力 的方向余弦、，并且考慮到同一個主應(yīng)力方向可表示成兩種形式，則得： 主方向為： ；（6） 主方向為： ；（7） 主方向為： ； （8）若取主方向的一組方向余弦為 ，主方向的一組方向余弦為 ，則由空間兩直線垂直的條件知：（9）由此證得 主方向與主方向彼此正交。同理可證得任意兩主應(yīng)力方向一定彼此正交。3、解：楔形體左右兩邊界的逐點應(yīng)力邊界條件：當(dāng)±時， 0，0；以半徑為r任意截取上半部研究知：4、解：據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即：；由此可知應(yīng)力函數(shù)可取為：（a）將式（a）代入 ，可得：(b)故有：； (c)則有：； (d)略

15、去 中的一次項和常數(shù)項后得：(e)相應(yīng)的應(yīng)力分量為：(f)邊界條件： 處，則 ； (g) 處， 則 ； (h)在y = 0處， ， ，即 由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0處，積分得： （j） ，積分得：（k）由方程(j ) (k)可求得：，投知各應(yīng)力分量為：(l)據(jù)圣文南原理，在距處稍遠(yuǎn)處這一結(jié)果是適用的。5、解：首先將各應(yīng)力分量點數(shù)代入平衡微分方程，則有：得：顯然，桿件左右邊界邊界條件自動滿足，下端邊界的邊界條件為：， ， ， ， 。即： 或： 三一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分，共10分。） 1、簡述彈塑性力學(xué)的研究對象、分析問題解決題的根本

16、思路和基本方法。2、簡述固體材料塑性變形的主要特點。二、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小題4分，共16分。） 1、一點應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力作用截面上，剪應(yīng)力的大小必定等于_。A、主應(yīng)力值B、極大值C、極小值D、零2、橫觀各向同性體獨(dú)立的彈性常數(shù)有_個。A、2B、5 C、9D、213、固體材料的波桑比（即橫向變形系數(shù)）的取值范圍是：_。A、B、 C、D、4、空間軸對稱問題獨(dú)立的未知量是應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，分別_個，再加上_個位移分量，一共_個。A、3B、6C、8D、10三、試據(jù)下標(biāo)記號法和求和約定，展開用張量符號表示的平衡微分方程：（10分） （i，j = x，y，z）式中為體力

17、分量。四、計算題（共計64分。） 1、已知一彈性力學(xué)問題的位移解為：（13分） ； ； ； 式中a為已知常數(shù)。試求應(yīng)變分量，并指出它們能否滿足變形協(xié)調(diào)條件（即相容方程）。2、設(shè)如圖所示三角形懸臂梁，只受自重作用，梁材料的容重為。若采用純?nèi)味囗検剑鹤鲬?yīng)力函數(shù)，式中A、B、C、D為待定常數(shù)。試求此懸臂梁的應(yīng)力解。（15分）題四、2圖 3、試列出下列各題所示問題的邊界條件。（每題10分，共20分。）（1）試列出圖示一變截面薄板梁左端面上的應(yīng)力邊界條件，如圖所示。題四、3、（1）圖題四、3、（2）圖（2）試列出半空間體在邊界上受法向集中P作用Boussinesq問題的應(yīng)力邊界條件，如圖所示。4、一薄

18、壁圓筒，承受軸向拉力及扭矩的作用，筒壁上一點處的軸向拉應(yīng)力為，環(huán)向剪應(yīng)力為，其余應(yīng)力分量為零。若使用Mises屈服條件，試求：（16分）1）材料屈服時的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力應(yīng)為多大？2）材料屈服時塑性應(yīng)變增量之比，即：。已知Mises屈服條件為：選擇DBCD三、1、解：將位移分量代入幾何方程得： ； ； ； 由于應(yīng)變分量是x的線性函數(shù)，固知它們必然滿足變形協(xié)調(diào)條件：2、解：將 式代入 知滿足，可做應(yīng)力函數(shù)，相應(yīng)的應(yīng)力分量為：（已知Fx0，F(xiàn)y=）邊界條件： 上邊界： ， ， ，代入上式得：A B 0， 斜邊界： ， ， ， ，則：得：； 于是應(yīng)力解為：題四、2圖3、解：（1）左端面的應(yīng)力邊界條件為：據(jù)圣

19、文南原理題四、3、（1）圖（2）上邊界：當(dāng) 時 ， ； 當(dāng) 時 ， ； 當(dāng) 時 ， ； 在此邊界上已知：， ， ； 當(dāng)設(shè)想 時，截取一平面，取上半部研究，則由平衡條件知： ，已知： ，對稱性4、解：采用柱坐標(biāo)，則圓筒內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)為：則miss條件知：解得： ；此即為圓筒屈服時，一點橫截面上的剪應(yīng)力。已知： 則：由增量理論知：則：即： 四一、問答題：（簡要回答，必要時可配合圖件答題。每小題5分，共10分。） 1、彈性力學(xué)、彈塑性力學(xué)、材料力學(xué)這幾門課程同屬固體力學(xué)的范疇，它們分析研究問題的基本思路都是相同的。試簡述這一基本思路。2、試畫出理想彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線，即曲線，并列出相應(yīng)的應(yīng)力

20、應(yīng)變關(guān)系式。二、選擇題（每小題有四個答案，請選擇一個正確的結(jié)果。每小題4分，共16分。） 1、極端各向異性體、正交各向異性體、橫觀各向同性體和各向同性體獨(dú)立的彈性常數(shù)分別為： 。A、81、21、15、9；B、21、15、9、6；C、21、9、5、2；D、36、21、9、2；2、主應(yīng)力空間平面上各點的 為零。A、球應(yīng)力狀態(tài)；B、偏斜應(yīng)力狀態(tài)；C、應(yīng)力狀態(tài)；D、球應(yīng)力狀態(tài)不一定；3、若一矩形無限大彈性薄平板，只在左右兩邊受均布拉力q作用，板中有一穿透型圓孔。圓孔孔邊危險點應(yīng)力集中，此點最大的應(yīng)力（環(huán)向正應(yīng)力）是無孔板單向拉應(yīng)力的 。A、1倍B、2倍C、3倍D、4倍4、固體材料的彈性模E和波桑比（即

21、橫向變形系數(shù)）的取值區(qū)間分別是：A、E 0 ， 0 ；B、E 0， 1 1；C、E 0 ， ；D、E 0， 0 ；三、試根據(jù)下標(biāo)記號法和求和約定展開下列各式：（變程取i，j = 1、2、3或x、y、z。）（共10分。） 1、 2、 四、計算題（共計64分。） 1、如圖所示一半圓環(huán)，在外壁只受的法向面力作用，內(nèi)壁不受力作用。A端為固定端，B端自由。試寫出該問題的逐點應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。（15分） 題四、1圖2、已知一點的應(yīng)變狀態(tài)為：，。試將其分解為球應(yīng)變狀態(tài)與偏斜應(yīng)變狀態(tài)。（15分）3、已知受力物體內(nèi)一點處應(yīng)力狀態(tài)為：（Mpa）且已知該點的一個主應(yīng)力的值為2MPa。試求：（18分）應(yīng)力分

22、量的大小 ； 主應(yīng)力、和。4、一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b ，僅承受均勻內(nèi)壓q作用（視為平面應(yīng)變問題）。圓筒材料為理想彈塑性，屈服極限為。試用Tresca屈服條件，分析計算該圓筒開始進(jìn)入塑性狀態(tài)時所能承受的內(nèi)壓力q的值。已知圓筒處于彈性狀態(tài)時的 應(yīng)力解為： ； ； ； ； ； ； 上式中：arb。（16分）選擇 CACD三1、 2、 計算題1、解：逐點應(yīng)力邊界條件： 當(dāng)ra時，0， 0；當(dāng)rb時，qsi， 0； 當(dāng)=時， 0， 0；A端位移邊界條件： 當(dāng)0 ， 時，ur0 ，u0 ，且過A點處徑向微線素不轉(zhuǎn)動，即 0；或環(huán)向微線素不轉(zhuǎn)動，即 =0。2、解：； ； 3、解（1）：；即：，

23、將：代入上式解得：；故知： 由： 又解（2）：代入教材、公式： 代入由： ，且由上式知：2式知 ，由3式 ，故 ，則知： ；（由1式）再由： 展開得：； 則知：；由：即： ； ； 再由：，知：4、解：由題目所給條件知： 則由Tresca條件： 知：則知： 考試科目：彈塑性力學(xué)試題班號 研 班 姓名 成績 一、 概念題（1） 最小勢能原理等價于彈性力學(xué)平衡微分方程和靜力邊界條件，用最小勢能原理求解彈性力學(xué)近似解時，僅要求位移函數(shù)滿足已知位移邊界條件。（2） 最小余能原理等價于 應(yīng)變協(xié)調(diào) 方程和 位移 邊界條件，用最小余能原理求解彈性力學(xué)近似解時，所設(shè)的應(yīng)力分量應(yīng)預(yù)先滿足平衡微分方程 和靜力邊界條

24、件。（3） 彈性力學(xué)問題有位移法和應(yīng)力法兩種基本解法，前者以位移為基本未知量，后者以 應(yīng)力為基本未知量。二、已知軸對稱的平面應(yīng)變問題，應(yīng)力和位移分量的一般解為： abp利用上述解答求厚壁圓筒外面套以絕對剛性的外管，厚壁圓筒承受內(nèi)壓p作用，試求該問題的應(yīng)力和位移分量的解。解：邊界條件為：時：；。時：；。將上述邊界條件代入公式得：解上述方程組得：則該問題的應(yīng)力和位移分量的解分別為：POyx三、已知彈性半平面的o點受集中力時，在直角坐標(biāo)下半平面體內(nèi)的應(yīng)力分量為： 利用上述解答求在彈性半平面上作用著n個集中力構(gòu)成的力系，這些力到所設(shè)原點的距離分別為,試求應(yīng)力的一般表達(dá)式。P1OyxP2PiPny1y2

25、yiyna解：由題設(shè)條件知，第個力在點（x，y）處產(chǎn)生的應(yīng)力將為：故由疊加原理，n個集中力構(gòu)成的力系在點（x，y）處產(chǎn)生的應(yīng)力為：四、一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為，抗彎剛度為常數(shù)，彈簧系數(shù)為,承受分布荷載作用。試用最小勢能原理導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件。解：第一步：全梁總應(yīng)變能為：外力做功為：總勢能為：第二步：由最小勢能原理可知： 等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。 （*）其中 將其代入（*）式并整理可得： 由于當(dāng)時，；所以平衡微分方程為： （） 靜力邊界條件為：五、已知空間球?qū)ΨQ問題的一般解為：abqaqb其中是坐標(biāo)變量，是徑向位移，分別是徑向與切向應(yīng)力。首

26、先求出空心球受均勻內(nèi)外壓時的解答，然后在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時的解答。解：（1）相應(yīng)空心球受均勻內(nèi)外壓時的邊界條件為： ：將上述邊界條件代入得：可解得：故空心球受均勻內(nèi)外壓時的解為：（2）當(dāng)無限大體中有球形孔洞，半徑為，內(nèi)壁受有均勻壓力時，即在上式中令 、，則可得：六、已知推導(dǎo)以位移分量表示的平衡微分方程。解：由得將上述兩式代入，得到代入得而，故平衡方程可寫成由因為；所以以位移分量表示的平衡微分方程的最終形式為：。七、證明彈性力學(xué)功的互等定理（用張量標(biāo)記）。證明：（1）先證可能功原理考慮同一物體的兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)與物體所受的實際荷載和邊界約束沒有必然的

27、聯(lián)系。第一狀態(tài)全用力學(xué)量（、）來描述，它在域內(nèi)滿足平衡方程并在全部邊界條件上滿足力的邊界條件：第二狀態(tài)全用幾何量（）來描述。它在域內(nèi)滿足幾何方程且要求全部邊界位移等于域內(nèi)所選位移場在邊界處的值。從而利用力的邊界條件和高斯積分定理，可得利用平衡方程，式（*）右端第一項可化為第二項利用張量的對稱性和幾何方程可改寫成即式（*）成為式（*）即為可能功原理。（2）考慮同一物體的兩種不同真實狀態(tài)，設(shè)第一狀態(tài)的體力和面力為和，相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)為；第二狀態(tài)則為、和。由于都是真實狀態(tài)，所以兩個狀態(tài)都同時是靜力可能狀態(tài)和變形可能狀態(tài)，且都滿足廣義虎克定律根據(jù)可能功原理（令s=1、k=2）有對于線彈性體，有彈性

28、張量的對稱性得即積分后（a）（b）兩式的右端相等，相應(yīng)地左端也應(yīng)相等，故得到八、證明受均勻內(nèi)壓的厚壁球殼，當(dāng)處于塑性狀態(tài)時，用Mises屈服條件或Tresca屈服條件計算將得到相同的結(jié)果。證明：1、厚壁球殼的彈性應(yīng)力分布（采用球坐標(biāo)系）平衡方程：幾何方程：，物理方程：，特征方程為：解得： 引入邊界條件：，可得：最大周向拉應(yīng)力為：2、塑性分析Mises屈服準(zhǔn)則：Tresca屈服準(zhǔn)則：在球坐標(biāo)下，球?qū)ΨQ厚壁球殼內(nèi)部無剪應(yīng)力，故、即為三個主應(yīng)力，有對稱性可知=，代入兩屈服準(zhǔn)則便可得到相同的形式：，故原結(jié)論得證。中南大學(xué)考試試卷2009 - 2010 學(xué)年 2 學(xué)期 時間100分鐘 彈塑性力學(xué) 課程

29、40 學(xué)時 2.5 學(xué)分 考試形式：閉 卷 專業(yè)年級： 城地0801-0803 總分100分，占總評成績70 %注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上一、 判斷題（本題18分，每小題3分）1、彈性體的應(yīng)力就是一種面力。 （ ×）2、彈性體中任意一點都有 （ ）3、物體是彈性的就是說應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系是直線。 （ ×）4、極坐標(biāo)系下的彈性力學(xué)方程只能用來描述具有軸對稱性的受力物體。 （ ×）5、下圖為線性硬化彈塑性材料。 （ ） 圖1 6、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題的平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同。 （×）二、概念解釋（本題16分，每小題2分）1、塑

30、性；2、屈服準(zhǔn)則；3、外力（即外荷載）；4、均勻性，各向同性； 5、主應(yīng)力和主方向；6、翻譯：主應(yīng)力，剪應(yīng)變，平面應(yīng)變問題三、簡答題（本題17分）1、簡述半逆解法的適用條件及其實施的主要過程。（6分）主要使用條件是常體力平面問題，這時候可以使用基于應(yīng)力函數(shù)的解法。半逆解法的主要實施過程（a）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設(shè)部分或者全部應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（b）根據(jù)應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系以及用應(yīng)力函數(shù)給出的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，確定應(yīng)力函數(shù)的形式；（c）再次利用應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系求出應(yīng)力分量，并讓其滿足邊界條件，對于多聯(lián)通域，還要滿足位移單值條件。2、簡述圣維南原理及其

31、作用 （6分）圣維南原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計。可以推廣為：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計3、在主軸坐標(biāo)系下，線彈性體應(yīng)變能密度是，請將其寫成約定求和的指標(biāo)記法。（5分）解答：四、證明題（本題12分）平面問題中，物體中任意兩條微小線元PB和PC，線段長度如圖2所示，變形以后，變到了PB和PC. 已知P點的為，請證明變形幾何方程（給出推導(dǎo)過程）： 圖2答案要點：五、計算題（本題37分） 1、圖3為某

32、矩形截面墻體，其上面受到向下的堆載作用，右側(cè)受到來自土的作用，且底端壓力為，下端固定，請寫出該擋土墻的全部邊界條件。 （本題8分） b 圖3答案要點：左邊：全部應(yīng)力分量為0；下邊：全部位移為0；2、已知一點處在某直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量為：，求：（1）主應(yīng)力、； （2）主方向；（3）應(yīng)力第一不變量；（4）截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力； （5）求該點的最大剪應(yīng)力。 （本題15）答案要點：（1）（2）（3）（4）或者（5 ）3、試考察應(yīng)力函數(shù)在圖4所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題，不計體力。（本題6分）O 圖 4答案要點：（1）首先檢查該應(yīng)力函數(shù)能否滿足相容性方程，以應(yīng)力函數(shù)表示的常體力情形下的相容方

33、程為，無論a 取何值，顯然都滿足。（2）利用應(yīng)力同應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系a的值分大于或者小于0討論，能解決偏心拉、壓問題。4、如下圖5所示，矩單位寬度形截面梁不計自重，在均布荷載q作用下由材料力學(xué)得到的應(yīng)力分量為：，試檢查一下這表達(dá)式是否滿足平衡方程和邊界條件，并求出的表達(dá)式。 其中，坐標(biāo)原點位于中心點。 （本題8分）圖5qxyOh答案要點：應(yīng)力和可以寫成：(a)其中，本題的平衡方程為：（b）將式(a)代入式(b)，第一式得到滿足，由第二式得： 利用邊界條件，由此得：(c)上式亦滿足邊界條件：另外，由式(a)的第二式可知，它滿足上下兩個表面上的條件。在左側(cè)及右側(cè)表面上，利用圣維南原理其邊界條件也滿足。

34、這就是說，只有由式(c)確定時，材料力學(xué)中的解答才能滿足平衡方程和邊界條件，即是滿足彈性力學(xué)基本方程的解。216彈塑性力學(xué)習(xí)題第二章 應(yīng)力理論·應(yīng)變理論21 試用材料力學(xué)公式計算：直徑為1cm的圓桿，在軸向拉力P = 10KN的作用下桿橫截面上的正應(yīng)力及與橫截面夾角的斜截面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并按彈塑性力學(xué)應(yīng)力符號規(guī)則說明其不同點。22 試用材料力學(xué)公式計算：題22圖所示單元體主應(yīng)力和主平面方位（應(yīng)力單位MPa），并表示在圖上。說明按彈塑性力學(xué)應(yīng)力符號規(guī)則有何不同。 題22圖 題23圖23 求題23圖所示單元體斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa），并說明使用材料力學(xué)求

35、斜截面應(yīng)力的公式應(yīng)用于彈塑性力學(xué)計算時，該式應(yīng)作如何修正。24 已知平面問題單元體的主應(yīng)力如題24圖(a)、(b)、(c)所示，應(yīng)力單位為MPa。試求最大剪應(yīng)力，并分別畫出最大剪應(yīng)力作用面（每組可畫一個面）及面上的應(yīng)力。題24圖25* 如題25圖，剛架ABC在拐角B點處受P力，已知剛架的EJ，求B、C點的轉(zhuǎn)角和位移。（E為彈性模量、J為慣性矩）26 懸掛的等直桿在自重W的作用下如題26圖所示。材料比重為，彈性模量為E，橫截面積為A。試求離固定端z處一點c的應(yīng)變與桿的總伸長。27* 試按材料力學(xué)方法推證各向同性材料三個彈性常數(shù)：彈性模量E、剪切彈性模量G、泊松比v之間的關(guān)系： 題25圖題26圖

36、28 用材料力學(xué)方法試求出如題28圖所示受均布載荷作用簡支梁內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)，并校核所得結(jié)果是否滿足平衡微分方程。題28圖29 已知一點的應(yīng)力張量為：試求外法線n的方向余弦為：，的微斜面上的全應(yīng)力，正應(yīng)力和剪應(yīng)力。210 已知物體的應(yīng)力張量為：試確定外法線的三個方向余弦相等時的微斜面上的總應(yīng)力，正應(yīng)力和剪應(yīng)力。211 試求以主應(yīng)力表示與三個應(yīng)力主軸成等傾斜面（八面體截面）上的應(yīng)力分量，并證明當(dāng)坐標(biāo)變換時它們是不變量。212 試寫出下列情況的應(yīng)力邊界條件。題212圖213 設(shè)題213圖中之短柱體，處于平面受力狀態(tài)，試證明在尖端C處于零應(yīng)力狀態(tài)。 題213圖 題214圖214* 如題214圖所示的

37、變截面桿，受軸向拉伸載荷P作用，試確定桿體兩側(cè)外表面處應(yīng)力（橫截面上正應(yīng)力）和在材料力學(xué)中常常被忽略的應(yīng)力、之間的關(guān)系。215 如題215圖所示三角形截面水壩，材料的比重為，水的比重為，已求得其應(yīng)力解為： ，其它應(yīng)力分量為零。試根據(jù)直邊及斜邊上的邊界條件，確定常數(shù)a、b、c、d。216* 已知矩形截面高為h，寬為b的梁受彎曲時的正應(yīng)力，試求當(dāng)非純彎時橫截面上的剪應(yīng)力公式。（利用彈塑性力學(xué)平衡微分方程） 題215圖217 已知一點處的應(yīng)力張量為：，試求該點的最大主應(yīng)力及其主方向。218* 在物體中某一點，試以和表示主應(yīng)力。219 已知應(yīng)力分量為計算主應(yīng)力、并求的主方向。220 證明下列等式：(1

38、) (2) (3) (4) (5) (6) 221* 證明等式：。222* 試證在坐標(biāo)變換時，為一個不變量。要求：(a) 以普通展開式證明； (b) 用張量計算證明。223 已知下列應(yīng)力狀態(tài)：，試求八面體單元的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。224* 一點的主應(yīng)力為：，試求八面體面上的全應(yīng)力，正應(yīng)力，剪應(yīng)力。225 試求各主剪應(yīng)力、作用面上的正應(yīng)力。226* 用應(yīng)力圓求下列(a)、(b) 圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力，并討論若(b)圖中有虛線所示的剪應(yīng)力時，能否應(yīng)用平面應(yīng)力圓求解。題226圖227* 試求：如(a) 圖所示，ABC微截面與x、y、z軸等傾斜，但試問該截面是否為八面體截面？如圖(b) 所示，

39、八面體各截面上的指向是否垂直棱邊？題227圖228 設(shè)一物體的各點發(fā)生如下的位移：式中為常數(shù)，試證各點的應(yīng)變分量為常數(shù)。229 設(shè)已知下列位移，試求指定點的應(yīng)變狀態(tài)。(1) ，在（0，2）點處。(2) ，在（1，3，4）點處。230 試證在平面問題中下式成立：231 已知應(yīng)變張量試求：（1）應(yīng)變不變量；（2）主應(yīng)變；（3）主應(yīng)變方向；（4）八面體剪應(yīng)變。232 試說明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能存在：（式中a、b、c為常數(shù)）(1) (2) (3) 233* 試證題233圖所示矩形單元在純剪應(yīng)變狀態(tài)時，剪應(yīng)變與對角線應(yīng)變之間的關(guān)系為。（用彈塑性力學(xué)轉(zhuǎn)軸公式來證明）題233圖234 設(shè)一點的應(yīng)變分量為，試

40、計算主應(yīng)變。235* 已知物體中一點的應(yīng)變分量為試確定主應(yīng)變及最大主應(yīng)變的方向。236* 某一應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)變分量和=0，試證明此條件能否表示、中之一為主應(yīng)變？237 已知下列應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時產(chǎn)生的：試求式中各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系式。238* 試求對應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài)（）的位移分量。239* 若位移分量和所對應(yīng)的應(yīng)變相同，試說明這兩組位移有何差別？240* 試導(dǎo)出平面問題的平面應(yīng)變狀態(tài)（）的應(yīng)變分量的不變量及主應(yīng)變的表達(dá)式。241* 已知如題241圖所示的棱柱形桿在自重作用下的應(yīng)變分量為：試求位移分量，式中為桿件單位體積重量，E、為材料的彈性常數(shù)。242 如題242圖所示的圓截面桿扭轉(zhuǎn)時得到的應(yīng)

41、變分量為： 。試檢查該應(yīng)變是否滿足變形連續(xù)性條件，并求位移分量u、v、w。設(shè)在原點處dz在xoz和yoz平面內(nèi)沒有轉(zhuǎn)動，dx在xoy平面內(nèi)沒有轉(zhuǎn)動。 題241圖題242圖第三章 彈性變形·塑性變形·本構(gòu)方程31 試證明在彈性變形時，關(guān)于一點的應(yīng)力狀態(tài)，下式成立。(1) (2) （設(shè)）32* 試以等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)與純剪切應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系，由應(yīng)變能公式證明G、E、之間的關(guān)系為：33* 證明：如泊松比，則，, ，并說明此時上述各彈性常數(shù)的物理意義。34* 如設(shè)材料屈服的原因是形狀改變比能（畸形能）達(dá)到某一極值時發(fā)生，試根據(jù)單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)和純剪切應(yīng)力狀態(tài)確定屈服極限與的關(guān)系。35

42、試依據(jù)物體單向拉伸側(cè)向不會膨脹，三向受拉體積不會縮小的體積應(yīng)變規(guī)律來證明泊松比的上下限為：。36* 試由物體三向等值壓縮的應(yīng)力狀態(tài)來推證：的關(guān)系，并驗證是否與符合。37 已知鋼材彈性常數(shù)= 210Gpa，= 0.3，橡皮的彈性常數(shù)=5MPa，= 0.47，試比較它們的體積彈性常數(shù)（設(shè)K1為鋼材，K2為橡皮的體積彈性模量）。38 有一處于二向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的微分體（），其主應(yīng)變?yōu)?，。已?= 0.3，試求主應(yīng)變。39 如題49圖示尺寸為1×1×1cm的鋁方塊，無間隙地嵌入有槽的鋼塊中。設(shè)鋼塊不變形，試求：在壓力P = 6KN的作用下鋁塊內(nèi)一點應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力及主應(yīng)變，鋁的

43、彈性常數(shù)E=70Gpa，= 0.33。310* 直徑D = 40mm的鋁圓柱體，無間隙地放入厚度為= 2mm的鋼套中，圓柱受軸向壓力P = 40KN。若鋁的彈性常數(shù)E1 = 70GPa， = 0.35，鋼的E = 210GPa，試求筒內(nèi)一點處的周向應(yīng)力。 題39圖 題310圖題311圖311 將橡皮方塊放入相同容積的鐵盒內(nèi)，上面蓋以鐵蓋并承受均勻壓力p，如題311圖示，設(shè)鐵盒與鐵蓋為剛體，橡皮與鐵之間不計摩擦，試求鐵盒內(nèi)側(cè)面所受到橡皮塊的壓力q，以及像皮塊的體積應(yīng)變。若將橡皮塊換塊剛體或不可壓縮體時，其體積應(yīng)變又各為多少？312 已知畸變能，求證。題316圖313* 已知截面為A，體積為V的等

44、直桿，受到軸向力的拉伸，試求此桿的總應(yīng)變能U及體變能UV與畸變能Ud，并求其比值： 隨泊松比的變化。314 試由應(yīng)變能公式根據(jù)純剪應(yīng)力狀態(tài)，證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體積應(yīng)變，且剪切彈性模量。315* 各向同性體承受單向拉伸（ ），試確定只產(chǎn)生剪應(yīng)變的截面位置。316 給定單向拉伸曲線如題316圖所示，、E、均為已知，當(dāng)知道B點的應(yīng)變?yōu)闀r，試求該點的塑性應(yīng)變。317 給定下列的主應(yīng)力，試由Prandtl-Reuss，Levy-Mises理論求：和。由理論求。(a) ， 。 (b) ， 。318* 已知一長封閉圓筒，平均半徑為r，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p的作用，而產(chǎn)生塑性變形，材料是各向同性的，

45、如忽略彈性應(yīng)變，試求周向、徑向和軸向應(yīng)變增量之比。319 已知薄壁圓筒承受軸向拉應(yīng)力及扭矩的作用，若使用Mises條件，試求屈服時剪應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時塑性應(yīng)變增量的比值：。320 薄壁圓筒，平均半徑為r，壁厚為t，承受內(nèi)壓力p作用，設(shè)，且材料是不可壓縮的，討論下列三種情形：（1）管的兩端是自由的；（2）管的兩端是固定的；（3）管的兩端是封閉的。分別對Mises和Tresca兩種屈服條件，討論p多大時管子開始屈服。已知材料單向拉伸試驗值。321* 按題320所述，如已知純剪試驗值，又如何？322 給出以下問題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：（1）如已知，受內(nèi)壓作用的封閉薄壁圓筒。設(shè)內(nèi)壓為q，

46、平均半徑為r，壁厚為t。材料為理想彈塑性。（2）如已知，受拉力p和彎矩M作用的桿。桿為矩形截面，面積b×h。材料為理想彈塑性。323 設(shè)材料為理想彈塑性，當(dāng)材料加載進(jìn)入塑性狀態(tài)，試給出筒單拉伸時的Prandtl-Reuss增量理論與全量理論的本構(gòu)方程以及塑性應(yīng)變增量之間與應(yīng)變分量之間的比值。324 設(shè)已知薄壁圓管受拉伸與扭矩，其應(yīng)力為，其它應(yīng)力為零。若使保持為常數(shù)的情況下進(jìn)入塑性狀態(tài)，試分別用增量理論與全量理論求圓管中的應(yīng)力值。325 已知某材料在純剪時的曲線，問曲線是什么形式？326* 由符合Mises屈服條件的材料制成的圓桿，其體積是不可壓縮的，若首先將桿拉至屈服，保持應(yīng)變不變，

47、再扭至，式中R為圓桿的半徑，K為材料的剪切屈服極限，試求此時圓桿中的應(yīng)力值。第四章 彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立及基本解法41 設(shè)某一體力為零的物體的位移分量為：，試求位移函數(shù)。42* 試證明應(yīng)力分量，是兩端受彎矩M作用的單位厚度狹長矩形板的彈性解，并設(shè)。見題42圖。 題42圖 題44和題45圖43 已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)變分量為： ，試證此應(yīng)變分量能滿足變形諧調(diào)條件。44 題44圖所示的受力結(jié)構(gòu)中，1、2兩桿的長度l和橫截面積F相同，兩桿材料的本構(gòu)關(guān)系為：(a) ；(b) ；試求載荷P與節(jié)點C的位移之間的關(guān)系。45 按上題44的條件，材料為理想彈塑性，并設(shè)，試求該靜定結(jié)構(gòu)的彈性極限載荷與塑性極限載荷。第五章 平面問題的直角坐標(biāo)解答51 已知平面應(yīng)力問題的應(yīng)變分量為： 。試由平衡微分方程求出該