高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品12空間中的夾角和距離

1、第12講 空間中的夾角和距離一【課標(biāo)要求】1掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理；（對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離）。2掌握點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角；3掌握平行平面間的距離，會(huì)求二面角及其平面角；二【命題走向】高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題。預(yù)測(cè)2010年高考試題：（1）單獨(dú)求夾角和距離的題

2、目多為選擇題、填空題，分值大約5分左右；解答題中的分步設(shè)問(wèn)中一定有求夾角、距離的問(wèn)題，分值為6分左右；（2）選擇、填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提三【要點(diǎn)精講】1距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離

3、可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度（2）點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)P 在該平面上的射影為P，則線段PP的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。等體積法。（3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。求距離的一般方法

4、和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有關(guān)距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個(gè)三角形若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA的長(zhǎng)度為d ，在a 上有線段AE m ，b 上有線段AF n ，那么EF （“±”符號(hào)由實(shí)際情況選定）2夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為0°，90°、0°

5、，90°和0°，180°。（1）兩條異面直線所成的角求法：先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角（2）直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”（3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：

6、（）定義法；（）利用三垂線定理或逆定理；（）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cos q ，其中S 為斜面面積，S為射影面積，q 為斜面與射影面所成的二面角3等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。四【典例解析】題型1：直線間的距離問(wèn)題例1已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求直線DA'與AC的距離。解法1：如圖1連結(jié)A'C'，則AC面A'C'D'，

7、連結(jié)DA'、DC'、DO'，過(guò)O作OEDO'于E因?yàn)锳'C'面BB'D'D，所以A'C'OE。又O'DOE，所以O(shè)E面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離在RtOO'D中，可求得點(diǎn)評(píng)：此題是異面直線的距離問(wèn)題：可作出異面直線的公垂線。圖2解法2：如圖2連接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分別包含DA'和AC的兩個(gè)平面A'C'D和平面AB'C，又因?yàn)锳'C'AC，A

8、'DB'C，所以面A'C'D面AB'C。故DA'與AC的距離就是平面A'C'D和平面AB'C的距離，連BD'分別交兩平面于兩點(diǎn)，易證是兩平行平面距離不難算出，所以，所以異面直線BD與之間的距離為。點(diǎn)評(píng)：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過(guò)兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離題型2：線線夾角例2如圖1，在三棱錐SABC中，求異面直線SC與AB所成角的余弦值。圖1解法1：用公式當(dāng)直線平面，AB與所成的角為，l是內(nèi)的一條直線，l與AB在內(nèi)的射影所成的角為，則異面直線l與AB所成的角滿足。以此

9、為據(jù)求解由題意，知平面ABC，由三垂線定理，知，所以平面SAC。因?yàn)?，由勾股定理，得。在中，在中，。設(shè)SC與AB所成角為，則，解法2：平移過(guò)點(diǎn)C作CD/BA，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CD于D，連結(jié)SD，則是異面直線SC與AB所成的角，如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。由勾股定理，得：。圖2在中，由余弦定理，得：。點(diǎn)評(píng)：若不垂直，可經(jīng)過(guò)如下幾個(gè)步驟求解：（1）恰當(dāng)選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角；（2）證明這個(gè)角（或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角的度數(shù)題型3：點(diǎn)線距離例3（2009天津卷理）（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A

10、 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大?。?II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分12分.方法一：（）解：由題設(shè)知，BF/CE，所以CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕EAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABC

11、D內(nèi),故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（II）證明：因?yàn)椋↖II）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得（I）所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為題型4：點(diǎn)面距離例4（2009重慶卷理）（本小題滿分12分，（）問(wèn)5分，（）問(wèn)7分）如題（19）圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點(diǎn)，求：（）點(diǎn)到平面的距離；（）二面角的大?。?9）（本小題12分）解法一：（）

12、因?yàn)锳D/BC,且所以從而A點(diǎn)到平面的距離等于D點(diǎn)到平面的距離。因?yàn)槠矫婀?從而，由AD/BC，得,又由知，從而為點(diǎn)A到平面的距離，因此在中()如答（19）圖1，過(guò)E電作交于點(diǎn)G，又過(guò)G點(diǎn)作,交AB于H，故為二面角的平面角，記為，過(guò)E點(diǎn)作EF/BC,交于點(diǎn)F,連結(jié)GF,因平面,故.由于E為BS邊中點(diǎn)，故,在中，,因，又故由三垂線定理的逆定理得,從而又可得因此而在中，在中，可得，故所求二面角的大小為解法二：（）如答（19）圖2，以S(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OD,OC分別為x軸，y軸正向，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，因平面即點(diǎn)A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS與平面yOx重合，

13、從而點(diǎn)A到平面BCS的距離為.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E為BS的中點(diǎn).BCS為直角三角形 ,知 設(shè)B(0,2, )，0，則2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取點(diǎn)G，設(shè)G（），使GECD .由故又點(diǎn)G在直線CD上，即，由=（），則有聯(lián)立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角為向量與向量所成的角，記此角為 .因?yàn)?，,所以故所求的二面角的大小為 .點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力題型5：線面距離例5（2009重慶卷文）（本小題滿分13分，（

14、）問(wèn)7分，（）問(wèn)6分）如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值解法一:（）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過(guò)點(diǎn)A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二: （）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè)可

15、得,由.即,解得，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而,此即 解得,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有 聯(lián)立,解得,為直線AB到面的距離. 而 所以（）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以點(diǎn)評(píng)：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來(lái)處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。題型6：線面夾角例62009湖南卷文）（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面;（）求直線AD和平面所成角的正弦值解:（）如圖所示，由正

16、三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE平面，故平面平面. （）解法 1: 過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。因?yàn)镈E，所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因?yàn)椋訣= 4, , .即直線AD和平面所成角的正弦值為解法2 : 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設(shè)是平面的一個(gè)

17、法向量，則解得.故可取.于是=由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力題型7：面面距離例7在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如圖：（1）求證：平面A1BC1平面ACD1；（2）求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；（3）求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。（1）證明：由于BC1AD1，則BC1平面ACD1，同理，A1B平面ACD1，則平面A1BC1平面ACD1。（2）解：設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離。易求A1C1

18、=5，A1B=2，BC1=，則cosA1BC1=，則sinA1BC1=，則S=。由于，則S·d=·BB1，代入求得d=，即兩平行平面間的距離為。（3）解：由于線段B1D1被平面A1BC1所平分，則B1、D1到平面A1BC1的距離相等，則由（2）知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于。點(diǎn)評(píng)：立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來(lái)。在具體的問(wèn)題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過(guò)對(duì)這個(gè)平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問(wèn)題就迎刃而解了。題型8：面面角例8如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中

19、點(diǎn)，。（）求證：面；（）求二面角的大小。（）求三棱錐的體積。解析：（）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)分別為的中點(diǎn)，面，面面面面（）設(shè)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn) 面作，交于，連結(jié)，則由三垂線定理得。從而為二面角的平面角在中，從而。在中，故二面角的正切值為。（），作，交于，由面得，面，在中，。點(diǎn)評(píng)：求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過(guò)程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過(guò)程的延續(xù)。如求二面角，只有根據(jù)推理過(guò)程找到二面角后，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，才能求出。因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。五【思維總結(jié)】空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射

20、影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決1空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角(0，)，直線與平面所成的角，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角(0，)。對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過(guò)空間角的

21、計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力（1）求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過(guò)空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角，構(gòu)造一個(gè)含的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角。（2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角（3）求二面角，一

22、般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來(lái)解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根據(jù)定義作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面上的圖形面積為S，它在另一個(gè)平面上的投影面積為S，這兩個(gè)平面的夾角為，則S=Scos。如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角alb的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過(guò)棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)gaOA，gbOB，則AOBq(圖1)；(3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則ACBq或ACBpq(圖2)；(4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，ABa，垂足為B，ACb，垂足為C，則BACq或BACpq(圖3)；(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F