2010年數(shù)學建模D題的答案參考

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）D題 對學生宿舍設計方案的評價學生宿舍事關學生在校期間的生活品質, 直接或間接地影響到學生的生活、學習和健康成長。學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理, 同時要考慮成本和收費的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經濟發(fā)展水平有關。因此，學生宿舍的設計必須考慮經濟性、舒適性和安全性等問題。 經濟性：建設成本、運行成本和收費標準等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等。 安全性：人員疏散和防盜等

2、。附件是四種比較典型的學生宿舍的設計方案。請你們用數(shù)學建模的方法就它們的經濟性、舒適性和安全性作出綜合量化評價和比較。對學生宿舍設計方案的評價摘要本文主要從經濟性、舒適性、安全性三個方面對四種學生宿舍的設計方案做出綜合量化和比較。在評價過程中，主要運用了模糊決策和層次分析法，并利用MATLAB軟件進行求解。由于本問題的許多條件比較模糊，具有隱藏性，我們先對附件中的數(shù)據進行預處理，從中提取與評價相關的因素，然后利用層次分析法確定各準則對目標的權重，從而建立學生宿舍設計方案的評價模型。具體結果為：（1）經濟性方面：得出四種學生宿舍設計方案在此方面的的組合權向量為：，根據指標越小，優(yōu)先選擇程度越大的

3、準則得出：方案1是經濟性最優(yōu)的，其次為方案4、方案3，最后為方案2。（2）舒適性方面：得到組合權向量為：，根據指標越大，優(yōu)先選擇程度越大的準則得出：方案2是舒適度最高的，其次為方案4、方案3，最后為方案1。（3）安全性方面：得到組合權向量為：，利用和（2）同樣的準則，得出了方案2是安全性最強的，其次為方案3、方案4，最后為方案1。（4）綜合分析方面：得到組合權向量為：，由此得出方案2是綜合指標最高的，其次為方案3、方案4、最后為方案1。最后，對以上建立的模型進行合理化的評價和深入的探討，分析了模型的優(yōu)缺點，并提出了進一步的改進方向。關鍵詞：評價模型 層次分析法 權重 MATLAB10 / 10

4、1.問題重述現(xiàn)如今的學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理, 同時要考慮成本和收費的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經濟發(fā)展水平有關。因此，學生宿舍的設計必須考慮經濟性、舒適性和安全性等問題。請用數(shù)學建模的方法，從經濟性、舒適性、安全性方面對附件中給出的四種學生宿舍的設計方案作出綜合量化和比較。2.問題分析本問題要解決的問題是對四種典型的學生宿舍設計方案進行評價與比較。題目中的數(shù)據比較模糊，具有隱藏性，而且是用圖表的方式展示給我們的，因而解決這一問題的關鍵點有兩個：（1）如何把附件中四個平面設計圖中所隱藏的數(shù)據量化；（2）在建立評價比較模型時

5、如何確定各個因素之間的權重與影響。因而我們采用模糊決策和層次分析法相結合的方法構架評價模型，來評判各個宿舍設計方案的優(yōu)劣。3.模型假設1) 我們以附件中的四個圖片作為研究的對象；2) Design1、Design2、Design3和Design4分別對應層次結構中的方案層P；3) 假設收集到的數(shù)據與理論根據是準確合理的；4) 不考慮宿舍未住滿、設施損毀等情形；5) 單位面積內的建設成本我們假設為定值。4.符號說明符號含義表示、不同層次結構下的目標層、不同層次結構下的準則層、不同層次結構下的決策層準則層下的經濟性因素準則層下的舒適性因素準則層下的安全性因素子準則層下的建設成本因素子準則層下的運行

6、成本因素子準則層下的收費標準因素子準則層下的人均面積因素子準則層下的使用方便因素子準則層下的互不干擾因素子準則層下的采光通風因素子準則層下的人員疏散因素子準則層下的防盜因素一致性指標隨機一致性指標一致性比率正互反矩陣的特征值建設成本、運行成本、收費標準分別對經濟的權向量經濟情況下四種方案之間的權向量舒適情況下四種方案之間的權向量安全情況下四種方案之間的權向量經濟性、舒適性、安全性分別對綜合評價的權向量四種設計方案之間的權向量表15.模型的建立與求解5.1經濟性方面在這個層面上，把經濟性設為目標層，把建設成本、運行成本、收費標準設為準則層，四種方案設為決策層，層次結構圖如圖2所示。在這里我們的評

7、價準則為：指標越小，優(yōu)先選擇程度越大，也就是說，所需的經費越少。目標層準則層決策層方案1方案2方案3方案4經濟性B1收費標準C3建設成本 C1運行成本 C2圖2得到其相對應的成對比較矩陣如下面所示：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=求得其最大特征根為，經一致性檢驗：查找相應的平均隨機一致性指標（見上表3），計算一致性比率為：說明矩陣的不一致程度是可以接受的，矩陣的權向量為：第三層對第二層的成對比較矩陣為：= = =通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準則下的權向量、最大特征根與一致性指標，具體求解結果見下表4：0.10610.03980.03990.04580.19290.50280

8、.56600.57080.70100.34290.26740.19760.11450.12670.18583.00924.21384.17074.06200.00790.07920.06320.0229表4上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。于是得出，單在經濟性方面上四種設計方案的組合權向量為：作出綜合評價結論為：方案1在經濟性上的權重占0.0440，方案2占0.5627，方案3占0.2265，方案4占0.1668。因而方案1是經濟性最優(yōu)的，其次為方案4、方案3，最后是方案2。5.2 舒適性方面同上面的方法，建立了舒適性方面如圖3所示的層次結構圖。舒適性B2使用方便C5互

9、不干擾C6采光通風C7人均面積 C4方案1方案2方案3方案4目標層準則層決策層圖3在這里我們的評價準則為：指標越大，優(yōu)先選擇程度越大，也就是說，舒適性就越好。從而得到其相對應的成對比較矩陣如下所示：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=第三層對第二層的成對比較矩陣為：=通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準則下的權向量、最大特征根與一致性指標，具體結果見下表：0.47390.05150.05490.50810.12130.31490.54300.60230.15700.68500.11660.15480.12600.27210.13590.09460.25070.21680.06280.

10、05784.06584.18924.12134.04884.17660.02440.07010.04560.01810.0654表5上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。于是得出，單在舒適性方面上四種設計方案的組合權向量為：作出綜合評價結論為：方案1在舒適性上的權重占0.1124，方案2占0.5301，方案3占0.1576，方案4占0.1999。因而方案2是舒適度最高的，其次為方案4、方案3，最后是方案1。5.3 安全性方面此方面僅考慮了人員的疏散與防盜，而不考慮其他的特殊情況。用同5.1中的方法建立了安全性方面的層次結構圖，如圖4所示。在這里我們的評價準則為：指標越大，優(yōu)

11、先選擇程度越大，也就是說，安全性就越高。目標層準則層決策層圖4人員疏散C8方案1方案2方案3方案4安全性B3 防 盜 C9經過分析我們得到了如下的成對比較矩陣：第二層對第一層的成對比較矩陣為：=第三層對第二層的成對比較矩陣為： = =通過MATLAB編程計算可得兩兩判斷矩陣在單一準則下的權向量、最大特征根與一致性指標，具體結果見下表6：0.83330.10220.05010.16670.37030.64310.27200.25050.25550.056324.06884.262700.01580.0973表6于是上述一致性比率均小于0.1，可以判斷矩陣具有滿意的一致性。最后得出，單在安全性方面

12、上四種設計方案的組合權向量為：由此可見，作出綜合評價結論為：方案1在安全性上的權重占0.0935，方案2占0.4158，方案3占0.2684，方案4占0.2223。因而方案2是安全性最強的，其次為方案3、方案4，最后是方案1。5.4 綜合分析綜合考慮經濟性、舒適性、安全性三個方面之間的權重，層次分析結構圖見圖1，我們得到了如下的成對比較矩陣為：=通過MATLAB計算可得兩兩判斷矩陣在單一準則下的權向量為：最大特征根與一致性指標，則說明矩陣不一致程度是可以接受的。于是得到最終的組合權向量為：各層的一致性檢驗及組合一致性檢驗全部通過；上面的組合權向量可以作為四個學生宿舍設計方案評價的依據。由此得出

13、最終的綜合評價為：方案2是綜合指標最高的，其次為方案3、方案4，最后是方案1。6.模型的分析我們所建立的模型是評價模型，對四種典型宿舍設計方案作出了評價與比較。近幾年，隨著我國經濟的發(fā)展，人民生活水平的不斷提高，學生可以根據自己的實際情況選擇宿舍類型，對于不同層次的學生人群，可以根據我們的模型進行選擇。比如對于經濟性要求比較高的學生來說，可以根據模型分解（經濟性方面）進行評價選擇；若對舒適性要求比較高的學生來說，可以根據模型分解（舒適性方面）進行擇優(yōu)選擇。綜合三個指標，方案二是最優(yōu)選擇，它既在一定程度上滿足學生對居住私密性的要求，又能創(chuàng)造一個優(yōu)美舒適，富有文化氣氛的學習、休息和交往的居住環(huán)境，

14、并在一定程度上為學生對宿舍的選擇提供了依據。7.模型的評價與推廣7.1 模型的評價本文主要運用模糊決策和層次分析法，對宿舍的經濟性、舒適性、安全性作出科學合理的決策，克服了主觀定性分析的弊端。在建立模型時所考慮的影響因素全面且符合實際，并對各影響因素進行了合理的量化處理。通過對已知數(shù)據的加工整合，巧妙的構建了成對比較矩陣，并用MATLAB軟件求出模型的結果。此外，模型運用大量的圖表，使得到的結果非常直觀，易于理解，讓問題很明了，思路很清晰。 本模型的弊端是針對附件中的四個設計圖之間的對比，由于受現(xiàn)有資料的限制，無法代表所有學生宿舍的構建情況，這樣大大局限了模型的靈活性。7.2 模型的推廣本文構造的模型，能更準確的評價宿舍的優(yōu)劣，該模型還可以應用到選撥決策中，在日常生活中經常會遇到各式各樣的選撥，比如