淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計）論文（設(shè)計）題目：淺析微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用姓 名 學(xué) 號 院 系 專 業(yè) 年 級 指導(dǎo)教師 2016年04月17日目 錄摘 要1ABSTRACT2第1章 引言3第2章 中學(xué)微積分的基本數(shù)學(xué)思想方法42.1 “極限”思想42.2 化歸思想15第3章 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用73.1 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用73.2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題73.3 函數(shù)的變化形態(tài)及作圖.83.4 微積分在解方程中的應(yīng)用.103.5 不等式的證明.103.6 恒等式的證明.113.7 曲線的切線及求法.12第4章 結(jié)論13參考文獻14致 謝15新鄉(xiāng)學(xué)院?？飘厴I(yè)論文（設(shè)計）摘 要本文

2、對微積分中的思想諸如如函數(shù)的思想、極限的思想、和化歸思想等思想都有深淺不同的探討。我們使用微積分的方法來討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值、函數(shù)的變化形態(tài)及作圖、微積分在解方程中的應(yīng)用、不等式和恒等式的證明、曲線的切線及求法。這樣就簡化了解題思路和步驟，更深層次的體現(xiàn)出微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)間的聯(lián)系。關(guān)鍵詞：微積分；函數(shù)形態(tài)；思想方法 ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the though

3、t of function,and the transforming thought. In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve

4、 and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus; Function form;Math Thought18第1章 引言由古至今數(shù)學(xué)都與人類的生活息息相關(guān)，特別是當今社會，科技迅速的發(fā)展，高科技產(chǎn)物的層出不窮也使得人們對生活質(zhì)量的需要越來越高。數(shù)學(xué)又是高科技發(fā)展的基礎(chǔ)性學(xué)科，所以在越來越重視教育的當今數(shù)學(xué)在教學(xué)中占有的

5、比例也是逐年增大。我們數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生在畢業(yè)后無論從事哪個層次的教育我們的首要目標就是培養(yǎng)社會需要的人才。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，讓學(xué)生掌握良好的思想方法是有效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具和手段。作為教師引導(dǎo)他們熟練的運用數(shù)學(xué)思想方法去找出問題、理解問題和解決問題是緊急而充滿挑戰(zhàn)的任務(wù)。微積分中的許多數(shù)學(xué)思想都是數(shù)學(xué)家們辛苦研究的成果，而我們現(xiàn)在所要進行的就是在前人的肩膀上眺望更遠的遠方。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)史上的美麗的瑰寶值得我們研究與探索。 2在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法是成為創(chuàng)造型人才的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)高科技研究型人才的基石。作為一名即將踏上講臺的教師，深刻了解微積分與中學(xué)數(shù)學(xué)分析問題，解決問題的關(guān)系，掌握微

6、積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，這對提高數(shù)學(xué)教學(xué)的方法是十分重要的。我們有必要好好學(xué)習(xí)并掌握。微積分在解決數(shù)學(xué)問題中有著舉足輕重的作用，在中學(xué)數(shù)學(xué)的教材中對于微積分的介紹和知識比例也越來越多，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法也自然而然的是我們當代數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的基本專業(yè)知識。在如今社會里學(xué)生是社會發(fā)展的希望與未來而教師是學(xué)生學(xué)校教育的領(lǐng)導(dǎo)者和榜樣示范者。由此可見教師自身掌握專業(yè)知識對于學(xué)校教育的重要性。第2章 中學(xué)微積分的基本數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想。而數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)就是人們對于數(shù)學(xué)理論知識和他的本質(zhì)的反映。數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)問題的解決中起著橋梁的作用，數(shù)學(xué)方法既是一種解決數(shù)學(xué)問題的過程，方法和手

7、段。單純的運用一種方法去解決每一個類型的數(shù)學(xué)問題是不可能的。數(shù)學(xué)家們在解決問題時產(chǎn)生得到另一種思想和方法記錄下來并流傳后世才使得數(shù)學(xué)思想方法越來越豐富，眾多的數(shù)學(xué)問題也迎刃而解。微積分近兩年在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比例逐漸升高。而其在大學(xué)數(shù)學(xué)里是許多專業(yè)的基本必修內(nèi)容更是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生要掌握的最近本的解題思路。由此可見我們應(yīng)當更加的重視這個內(nèi)容。2.1 “極限”思想極限思想方法的概念就是用無限的變化過程來研究有限的數(shù)學(xué)問題。具體是說能用有限的數(shù)值方法去探索數(shù)學(xué)問題棘手的繁瑣的無限思想。它是高等數(shù)學(xué)的中心思想是我們要熟練掌握的數(shù)學(xué)思想方法之一。 3 假如我們想要解決求曲邊梯形的面積，但是我們沒有具體的求

8、值公式，這時我們就可以用極限思想來解決。將曲線的面積分為若干個不同的矩形的面積的結(jié)合，并且將矩形越分越細逐漸貼近曲線的面積，由此就可以將諸多個矩形的面積之和視為這個我們需要求值的曲線面積。將矩形分的越精細就會越接近我們所要求的的值。即：(1)化“整”為“零”：將曲邊梯形逐漸的分為n個逐漸接近曲線的小曲邊梯形。如圖2-1圖2-1 圖2-2在 a,b中插入n個點a=x0 <x1<x2<<xn-1<xn=b，把區(qū)間a,b分成個不同長度的小區(qū)間x0,x1x1,x2,xn-1,xn，記為 xi-1,xi,i=1,2,n，它們的長度依次可以分為： x1=x1-x0,x2=x2

9、-x1,xn-xn-1.設(shè)x=maxx1,x2,xn,經(jīng)過每一個分點作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形，第i個小曲邊梯形的面積記作Ai，i=1,2,i.(2)以“直”代“曲”：用分出的諸多個小矩形的面積代替曲邊梯形的面積。如圖2-2在每個小區(qū)間 xi-1,xi上任取一點i，以 xi-1,xi為底， fi為高的小矩形近似替代第i個小曲邊梯形(i=1,2,n)，則有Ai= fixi，i=1,2,n.(3)積“零”為“整”：求n個小矩形面積之和。將諸多個矩形的面積之和視為這個我們需要求值的曲線面積，即A=i-1nAif1x1+f2x2+fnxn=i-1n fixi. (4)取極限：由

10、近似值過渡到精確值，當 x0時，可以求得曲邊梯形的面積A=limx0i-1n fixi。 42.2 化歸思想化歸思想的實質(zhì)是在許多可能的答案進行分析對比，盡量排除錯誤答案或者從另一個方面去解決問題的思想方法。4化歸思想有三個重要分類：化歸對象，化歸目標和化歸途徑。在所學(xué)習(xí)到的心理學(xué)中關(guān)于認知心理學(xué)的描述為人們在認知新的事物理解新的問題都是要以曾經(jīng)的舊的記憶為基礎(chǔ)，形成前攝抑制。有助于加強兩者之間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系就會用到數(shù)學(xué)思想中的化歸思想。在數(shù)學(xué)問題中我們常常會將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點等問題判定轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)的值的問題；將曲邊四邊形面積和旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為定積分問題；5像這種

11、用化歸思想方法解決實際問題從方法論角度說就是“化歸原則”。在數(shù)學(xué)中利用化歸原則解決問題時的一般模式可以歸結(jié)為圖2-3: 圖2-3求曲邊梯形的面積時，“一條曲線邊”影響著問題用以往的知識的解答，是解決問題的矛盾的所在。然而，在將曲線之間進行任意分割為n個小區(qū)間后，得到了n個小矩形。通過對矩形面積的加和得到曲邊梯形的面積的近似值，這樣問題就迎刃而解。省去了諸多麻煩。如圖2-4 圖2-4這樣在解決問題時運用化歸思想可以節(jié)省人力,由此可見其簡潔性。第3章 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性問題上的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)中討論函數(shù)y=fx的單調(diào)性，用的是定義法，即在定義域某區(qū)間上任取x1>x2，

12、若fx1-fx2>0，則y=fx在該區(qū)間單調(diào)遞增，若fx1-fx2<0，則y=fx在該區(qū)間單調(diào)遞減。當我們在運用微積分方法討論函數(shù)的單調(diào)性時，只需求出fx，再考慮f'(x)的正負即可.這個方法簡便易操作，在很多方面都能得到運用。例16 已知函數(shù)fx=xlnx，討論y=fx的單調(diào)性。解 fx的定義域為(0,+)， f'(x)=lnx+1，令f'(x)=0，得x=1e，當x(0,+)時， f'(x)，fx的變化情況如表1：表1 ：x(0, 1e)1e(1e, +)f'(x)-0+fx極小值所以，fx在(0,+)上的最小值是f1e=-1e.當x(0

13、, 1e)，fx單調(diào)遞減且fx的取值范圍是(-1e,0)；當x( 1e,+)，fx單調(diào)遞增且fx的取值范圍是(-1e,+).3.2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題設(shè)fx在點x0連續(xù)，在點x0的某一空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，當x由小增大經(jīng)過x0時，如果：（1）fx由正變負，那么x0是極大值點；（2）fx由負變正，那么x0是極小值點；（3）fx不變號，那么x0不是極值點.注明：(1)駐點不一定是fx的極值點.比如說x=0是函數(shù)fx=x3的駐點，但不是其極值點。(2)極值點還可能是使導(dǎo)數(shù)不存在的點。如函數(shù)fx=x，在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但是x=0是它的極小值點。例2 已知函數(shù)fx=ax3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)圖像分別

14、經(jīng)過點(1,0),(2,1)。在x0取得極小值5，如圖3-1所示，求：(1) x0的值；(2) a,b,c的值；(3)fx的極大值.解 f'(x)=3ax3+2bx2+c(1)觀察圖象，我們可發(fā)現(xiàn)： 圖3-1當x(-,1)時，f'(x)>0，此時fx為增函數(shù)；當x(1,2)時，f'(x)<0，此時fx為減函數(shù)；當x(2,+)時，f'(x)>0，此時fx為增函數(shù).因此在x=2處函數(shù)取得極小值.結(jié)合已知，可得x0=2.(2)由(1)知f2=5，即8a+4b+2c=5，再結(jié)合f'(x)的圖象可知，方程f'(x)=3ax3+2bx2+c

15、=0的兩根分別是,.那么1+2=-2b3a1×2=c3a，即2b=-9ac=6a.聯(lián)立8a+4b+2c=5，得a=52， b=-454，c=15.(3)由(1)知fx在x=1處函數(shù)取得極大值，所以f(x)極大值=f1=a+b+c=52-454+15=2543.3函數(shù)的變化形態(tài)及作圖對于一些非初等函數(shù)的解決，采用描點法非常復(fù)雜而且很容易出現(xiàn)錯誤，有許多的不方便和棘手的問題。7比如說如果點取得不夠多的話，也許就會得到一個錯誤的圖象；造成不必要的麻煩。例如函數(shù)y=11+x2與的正確圖形應(yīng)為圖3-2所示，而用描點法很可能會繪制出圖3-3的錯誤圖形。圖3-3圖3-2 例38 作函數(shù)y=x33-

16、x2+2的圖形.解 該函數(shù)的定義域為 (-,+)，曲線與y軸的交點為(0,2).利用連續(xù)函數(shù)可得到y(tǒng)=x2-2x=x(x-2)， y'=2x-2.令y'=0，得駐點x=0，x=2；令y'=0，得x=1.列表如表2:表2：x(-,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+)fx+0-0+f'(x)-0+fx極大值拐點極小值作圖像如圖3-4：圖3-43.4微積分在解方程中的應(yīng)用由于知識的限制，所討論的相關(guān)方程的問題相對都是比較簡單。但是隨著微積分的介入，對解方程的探討加深了，從而也使微積分的工具性，簡潔性凸顯了出來。在超越方程中討論根的情況大多是采用圖像法，但是采用圖像

17、法對作圖要求很高，往往會由于作圖誤差而出錯。9例410 求方程x3-3x2+6x-1=0在(0,1)內(nèi)是否有實根，若有，請證明并求出它的近似值,使誤差不超過0.01.若沒有，請說明原因。解 設(shè)fx=x3-3x2+6x-1，則f'(x)=3x2-6x+6， f''(x)=6x-6，容易驗證在區(qū)間(0,1)上，f'(x)>0，f''(x)<0， f0=-1， f1=3.因為fx在(0,1)內(nèi)連續(xù)，而且是單調(diào)遞增，兩端點處的函數(shù)值異號，所以此方程在(0,1)內(nèi)只有1個實根.可以看出在(0,1)內(nèi)，曲線是單調(diào)遞增、下凹并從x軸的下方穿過x軸到

18、上方的，曲線與x軸交點的橫坐標x0.就是方程在(0,1)內(nèi)的根，現(xiàn)在用切線法求根的近似值.我們可與在端點A(a,fa)處作切線的方法來求方程實根的近似值，現(xiàn)在a=0，所以x1'=0-f0f'(0)=16 它比a=0更接近于根x0， 繼續(xù)施行這樣的方法，得： x2'=16-f(16)f'(16)0.18，x3'=0.18-f(0.18)f'(0.18)0.18.因為f(0.18)<0，而f(0.19)>0，所以取0.18為根的近似值，它的誤差就不超過0.01.3.5不等式的證明不等式的證明方法雖然多種多樣，各有千秋，但是至今為止都沒有較

19、為實用統(tǒng)一的方法。初等數(shù)學(xué)的解題技巧是通過應(yīng)用已有的基本不等式來證明，用此方法往往先要進行恒等變形才能運用的解題中去，但是對于數(shù)學(xué)知識掌握較少的同學(xué)難以完美的運用這個方法。11在利用微積分的方法和知識進行解題的時候，需要將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進而通過求導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性或者最值來證明不等式，這樣就可以簡化證明不等式的過程，降低解題技巧性從而降低在運算時出錯的幾率達到事半功倍的效果。12例513 證明不等式 ex>1+x,(x>0).證明 設(shè)fx=ex-1-x，則f'(x)=ex-1>0，(x>0)，所以fx遞增，又f0=0，故fx=ex-1-x，即

20、ex>1+x.例614 設(shè)e是自然對數(shù)的底，是圓周率，求證: e>e.證明 因為函數(shù)y=lnx單調(diào)遞增，故e>e等價于lne>lne，即lne>eln，即lnee>ln.令fx=lnxx(xe)，則f'(x)=1-lnxx2.因此，當x>e時，f'(x)<0，于是fx在(e,+)內(nèi)單調(diào)遞減，從而fe>f，即lnee>ln，原命題得證.3.6恒等式的證明組合恒等式就是在數(shù)學(xué)中表示組合數(shù)之間的關(guān)系。在解決組合恒等式的過程中我們經(jīng)常會去應(yīng)用組合數(shù)的定義和概念，雖然這樣也能求的最后正確的答案，但是化歸思想告訴我們要用多個思想去

21、思考問題。由此在其基礎(chǔ)上就探索到解決組合恒等式的另一個方法，微分法。微分法相較于用組合數(shù)的定義去解決問題的優(yōu)點是便于計算但是缺點卻也是沒有使用概念那樣容易所被人理解。例7 求證： Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n2n-1.本題不能用求和公式證明，但是可以用二項式定理求導(dǎo)得證。證明 因為(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+Cnnxn，對等式兩邊求導(dǎo)得：n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+nCnnxn，令x=1即得： Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=n2n-1.3.7曲線的切線及求法曲線是我們學(xué)習(xí)函數(shù)時經(jīng)常碰到啊的問題之一。而函數(shù)的切線則是反映曲

22、線整體屬性的局部個體。在教材中對于曲線在可導(dǎo)點處都有介紹，但對于在不可導(dǎo)點處的切線的文字描述卻是寥寥無幾，所以因為知識的短缺造成了我們在求曲線切線時往往容易發(fā)生遺漏。例8 已知a>0，函數(shù)fx=ln(2-x)+ax.（1）l設(shè)曲線y=fx在點 (1,f1)處的切線為，若l與圓(x+1)2+y2=1相切，求a的值； （2）求函數(shù)fx在0,1上的最小值.解 （1）依題意有x<2， f'(x)=a+1x-2，過點(1,f1)的直線斜率為a-1，所以過點(1,a)的直線方程為y-a=(a-1)(x-1).又已知圓的圓心為(-1,0)，半徑為1.所以1-a+1(a-1)2+1=1，解

23、得a=1.（2）當2-1a0，即0<a12時，fx在0,1上是減函數(shù)，所以fx的最小值為f1=a.當0<2-1a<1，即12<a<1時，fx在 (0,2-1a)上是增函數(shù)，在 (2-1a,1)是減函數(shù).所以需要比較f0=ln2和f1=a兩個值的大小.因為e12<312<2<e，所以12<ln3<ln2<lne=1.所以，當12<a<ln2時最小值為a；當ln2a<1時，最小值為ln2.當2-1a1，即a1時，fx在0,1上是增函數(shù).所以最小值為ln2.綜上，當0<a<ln2時，fx為最小值為a；當a

24、>ln2時，fx的最小值為ln2.第4章 結(jié)論微積分不僅研究了各種函數(shù)和函數(shù)的微分與積分，還由此衍生了許許多多的解題方法。為數(shù)學(xué)工作的研究及開展奠定了不可撼動的基礎(chǔ)。15例如解決函數(shù)的未知性，但是如果我們在知道變量與函數(shù)之間的關(guān)系式的話就可以組成等式關(guān)系式即我們常說的代數(shù)方程。由此就可以通過求出代數(shù)方程根的形式解答出我們需要的未知數(shù)。微積分在數(shù)學(xué)史上留下了不可磨滅的作用，他不僅是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具、方法和手段，也拓寬人們在數(shù)學(xué)問題解決的思路。微積分是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)史上的璀璨的一顆明珠，她為眾多的求學(xué)者指明道路并吸引著越來越多人的前赴后繼。在即將從事的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我明白了微積分的重要性，并且

25、有了更高的思想覺悟。通過對微積分的了解我也理解到向?qū)W生介紹微積分的思想，激發(fā)他們學(xué)習(xí)知識的興趣是很有必要的。用微積分處理中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題會產(chǎn)生事半功倍的效果，對于加強初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，提高教師自身把握教材的能力，開拓教師和學(xué)生的思路都很有幫助。在今后的學(xué)習(xí)中我將繼續(xù)遨游在微積分的海洋里探索這顆明珠帶來的不可思議的世界，以拓展思路加強自身知識素養(yǎng).參考文獻1 丁向前.微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008，27(8):45.2 俞宏毓. 例說微積分知識在解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用J. 高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2006，20(2):3031.3 賢鋒. 淺析微積分理論在中學(xué)數(shù)學(xué)的簡單應(yīng)用J.引進與咨詢，2000(1)：5560.4 魏本成，吳中林.微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J.天中學(xué)刊，2001，16(5)：5455.5 吳向群、莊認訓(xùn). 微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J. 青海師專學(xué)報（自然學(xué)科），2002，22(5):7778. 6 徐岳燦.探索微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的必要性J.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，64（6）：2729.7 包建廷.微積分在不等式中的應(yīng)用J.承德民族師專學(xué)報，2003，23(2):2730.8 肖新義、肖堯. 微積分方