北京市高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)精華版專題14推理與證明、新定義(含解析)(一)

1、【備戰(zhàn)2015】（十年高考）北京市高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)精華版專題14推理與證明、新定義（含解析）1.12006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A,B,C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中xi,X2,必分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段Ab,?c,Ca的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則20,30;35,30;55,50()(Ax1x2x3(B) xix3x2(C) x2x3x1(D) x3x2xi【答案】C【解析】依題意，有xi=50+x3-55=x35,xix3,同理，x2=30+xi20=xi+10x1x2,同

2、理，x3=30+x235=x25x3x2故選C2.12009高考北京理第8題】點(diǎn)P在直線l:yx1上，若存在過P的直線交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn),且|PA|AB|,則稱點(diǎn)P為“那點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A.直線l上的所有點(diǎn)都是“.點(diǎn)”B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“"I點(diǎn)”C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“。制點(diǎn)”D.直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“,也點(diǎn)”【答案】A【解析】試題分析：本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖,設(shè)-U出產(chǎn)I二91K工一11,1,；£jt_2打一十一21，r.-T-、L二療丁且2在上,X'"二同一上一1-J用S-；消去胃,整理

3、得關(guān)于工的方程.，J(1),."A-(4陰一D“一4(2k-。=Sk-嗚十二。恒成立.二方程恒有實(shí)數(shù)解，二應(yīng)透著點(diǎn)工創(chuàng)新題型.|3.12014高考北京理第8題】學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人【答案】B【解析】試題分析:用d、B、C分別表示優(yōu)秀、及格和丁*儂題嵩事件.小5。中都最多只有一個(gè)元素，所以只有

4、秘，滿足條件若點(diǎn)；合憎推理，中等題.I4.12005高考北京理第14題】已知n次式項(xiàng)式Pn(x)a0xna1xn1an1xan.如果在一種算法中，計(jì)算Xo(k2,3,4,n)的值需要k1次乘法，計(jì)算P3(xo)的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法，3次加法)，那么計(jì)算P10(xo)的值共需要次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：Po(x)=ao,Pk+i(x)=xPk(x)+ak+i(k=0,1,2,，n1).利用該算法，計(jì)算P3(X。)的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算Pio(X。)的值共需要次運(yùn)算.【答案】+21：一【解析】試題分析:由題意知道4的值需要k-1次運(yùn)算即進(jìn)行t-lrl.V的乘法運(yùn)售可得到丫的

5、結(jié)果對(duì)于二口-工-3困KJ口.M-工這里A'=小>-XX¥*進(jìn)行了?由運(yùn)國(guó)：/上；二/乂豌乂.進(jìn)行了二次運(yùn)算*7.進(jìn)行，次運(yùn)算濟(jì)/.4匕1&£二墨之間的加法運(yùn)算進(jìn)行了3欷這樣臉)總共進(jìn)行了力十2十1十3=7,運(yùn)算對(duì)于耳(丁)=口二工-空尸+-&篦產(chǎn)-行”;口+門-1.-2+.+1=，二，決乘法運(yùn)算及，行欠加法運(yùn)苴所總共進(jìn)行上L,=3-rfcr一a-V由改進(jìn)蕾法可知IW(,£)=%R-1(三)十碘！只/、R；(k：)+%一1£S：)=?*：)-口>？(界J=用運(yùn)算次數(shù)從后往前萼和為；2+】+-2=1印次著點(diǎn)，信息題.5.

6、12007高考北京理第20題】(本小題共13分)已知集合aa1,a2,L,ak(k2),其中aiZ(i1,2,L,k),由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：S(a,b)aA,bA,abA,T(a,b)aA,bA,abA.其中(a,b)是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n.若對(duì)于任意的aA,總有aA,則稱集合A具有性質(zhì)P.(I)檢驗(yàn)集合01,2,3與1,2,3是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T;(II )對(duì)任何具有性質(zhì) P的集合A,證明：nk(k 1)14(III)判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【高考考點(diǎn)】集合語言的理解，反證法，創(chuàng)新怠識(shí)和綜合應(yīng)用藪學(xué)知識(shí)

7、分析問題、解決問題的能力.【試B析】解：集合盤不具有性質(zhì)產(chǎn).集合TL%具有性后P,其相應(yīng)的集合S和7是5:,7=G，-1）.（2,3.（in證明：苜先，由月中元素梅成的有序數(shù)對(duì)目,學(xué)）共有.因?yàn)镺JL所以7（f=bZ->又因?yàn)楫?dāng)之亡且時(shí)e-aAr所以當(dāng)（巴町”丁時(shí)*（日，硝"-8t）.I#0從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為1（產(chǎn)-蜀=竺辿，即匕4民與口.一,（m）解=w=n=證明如下:（1）對(duì)于（G5）wS'”根據(jù)定義，£7edFaJL且04占Ed，從而h）£r.如果（3占）與"，d）是S的不同兀素,那么s=u與占=H中至少有一個(gè)不成立'

8、;從而金-弓=與占二/中也至少有一個(gè)不成立.故I.H-與仁-出力也是的不同元嘉.可見，$中元素的個(gè)數(shù)不麴于中元素的個(gè)散，即巧M管，（2）對(duì)于3乏T*根據(jù)定義，&wa,ficJj_&£T-icAt從而（a-2b）eS.如果（小與與（GW）是了的不局元素，那么4=c與占=4中至少有一個(gè)不成立，從而在b=w-H與3=d中也丕至少有一個(gè)不成立，故S-如拉與s-4吟也是5的不同元素.可見,中元素的個(gè)數(shù)不多于5中元素的個(gè)數(shù)，即五工明，由（1）C2）可知，附=3【易偌提起不能正確理解題總【備考提示】教學(xué)考法大綱提出：“創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn).”命題時(shí)要設(shè)計(jì)“研究型

9、、探索型或開放型的題目，讓考生獨(dú)立思考，自我探索1發(fā)揮主現(xiàn)能動(dòng)性新題型即創(chuàng)新題型有較好的信度和效度.從而有較好的區(qū)分度，能充分考查學(xué)生的將創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造白匕|3因此，在近年高著題中經(jīng)常出現(xiàn).本題屬于新定義熟勰遷移幽，解這關(guān)題的策略是；仔細(xì)閱讀分析材料，捕捉相關(guān)信息，緊扣定義，圍繞定義與條件，結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，通過歸納、探索、推理,發(fā)現(xiàn)解題方法，始后解決問題.6.12008高考北京理第20題】（本小題共13分）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:ai,a2,L,%,定義變換工，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列Ti(A)：n,ai1,a?1,L,an1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B： bi,bm ,定義變換

10、丁2 , 丁2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T2(B)；又定義S(B)2(b12b2Lmbm)b12b2Lb；.設(shè)Ao是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A(yù)iT2(Ti(Ak)(k0,1,2,L).(I)如果數(shù)列A0為5,3,2,寫出數(shù)列A,A2;(n)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明S(T1(A)S(A);(出)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當(dāng)k>K時(shí)，S(Aki)S(Ak).【答案】3)解:電：532,不司=月(匯($)印3,工建孤士)心,2,10,UD證明：設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列3為公七，一，則看Q0尢露g1111r，1

11、t從而SOX4K=2.42(研T)+3Cfl:-1)c+1)(%-DI-+(做-D：+(的一1尸+(4-Dt又SQt)=2(4-2牝m,)i比+電一,-1'1叮二，所以,5工(一切一發(fā)且)=平一一"Si)+x%+口、+-+口)+片一二口-P£7r+-?？凇?+七三一轉(zhuǎn)(犀1)+”-+二-0故5區(qū)(用)=50).(出)證明：設(shè)A是每項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列a1,a2,L,an.當(dāng)存在iWxjW*庚得aWg時(shí)，交換救列a的第1項(xiàng)與第J項(xiàng)得至顧到風(fēng)則s(為5Q。="4+jq-也山)二%力g4)Wo.當(dāng)停在1W陰Ch使得已1t.i二"二二二0時(shí)，可"

12、;S例5，不，.人為C.Br*d-I，則s(G=s(a).所以smc功w"h.從而對(duì)于任意給定的政列.k由±T二40(了E二OIL)可知55jJWS(EQ").又由(II)可知5(2；U)>=SQ、J，所以：W;，即對(duì)于上百"要么有5口一)=乂4，區(qū)必有5(d：_jW5CA)-1.因?yàn)橛?)是大于二的整敷，所以經(jīng)過有限步后，必有義$)=義工j)=S(jy)=一.即存在正整數(shù)K,當(dāng)后三K時(shí)，(.")=$($)7.12010高考北京理第20題】(13分)已知集合$=XX=(xi,X2,，xn),XiC0,1,i=1,2,，n(n>2).

13、對(duì)于A=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn)C&,定義A與B的差為AB=(|aibi|,|a2nb2|,，|an-bn|)；A與B之間的距離為d(A,場(chǎng)=abii(i)證明：Va,B,CCS,有A-BCS,且d(AC,B-C)=d(A,場(chǎng)；(2)證明：Va,B,CCS,d(A,B),d(A,C),d(B,。三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù);(3)設(shè)P=S,P中有m曄2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為mnd(Pl,證明：d(P)2(mi)答案：證明：(i)(理(i),文(2)設(shè)八=(ai,a2,，an),B=(bi,b2,，bn),C=(ci,C2,，Cn)CS.因?yàn)閍i

14、,bie0,i,所以|aibi|0,i(i=i,2,，n).從而A-B=(|ai-bi|,|a2-b2|,，|anbn|)e3.n又d(ACB>-C)=|aq|bjg|,i1由題意知4a,o.E。甘工=1,為.js）.當(dāng)c=o時(shí)，|Srl-b-&.|=|a-£）;當(dāng)4?.=1時(shí),I|a一c|瓦一口11a）一（1一九）|=|配一瓦I.所以d（ACtQ=:卜h廣忒品JjJ.kl設(shè)戶（建，raj*A（B，上,，bj,C=（cjG.，Q£&rfU歷=Jbd（A。=工4J=71.記片（5。.，oe由刃zdA=dAA,F©h或&爪4G三鞏再一備。

15、一用=小&c-）J-d（ff,0=dg羸C=h.所以|匕二比I（尸L2，刀中1的個(gè)數(shù)|w一旬|G=1,2，加中1的個(gè)數(shù)為上談f是使IL盤|二|匚一a1=1成立的J的個(gè)魴則±=升Ji-2t-由此可知，蛇上,力三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即成乩初卜前46成吊口三個(gè)數(shù)中至少有一"b是偶數(shù).、，b3=，仆戶/“動(dòng).其中4,1（尸挑4引表示尸中所有兩個(gè)元就甌自離的總和,U設(shè)F中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有匕個(gè)1,lt個(gè)V則qHEp/（4切=2依一t）.-1R.由千士（khs匕=1",，Jj,所以力團(tuán)W=.4從而牙（與二33第P，（4初H駕=.c；4CJ2舊一1）8.12

16、011高考北京理第20題】若數(shù)列An： a1,a2,，an (n 2)滿足1 aki ak | 1 (k 1 , 2, ,n1）,則稱An為E數(shù)列。記S（An）aia?L4.（1）寫出一個(gè)滿足aa§0,且S（As）0的E數(shù)列A5；（2）若ai12,n2000,證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an2011；（3）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n2）,是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列An,使得S（An）0?如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列An；如果不存在，說明理由。【解析（I）61，21，0是一具滿件的（答案不唯一，如b0,1，0也是一個(gè)滿V條件的E為數(shù)列A'（II）必要性.因?yàn)镋數(shù)列工是

17、圉善數(shù)列，所以/t-2二.二匕,1999）.所以限是苜項(xiàng)為他公差為1的等差數(shù)列.所以立二產(chǎn)12+（20001）Xl=20十）性m由于.：&-：<1,比:一1：二立a：<l3rUAa<19999.即又因1a：=12-4產(chǎn)2011所以比:產(chǎn)比十L909.故&Z4=1>0代=1Tz7以也即&是星增數(shù)切.綜上，絡(luò)亦得證。CIII）令q=/n一%=1>0（4：=LZA：*-1）=則=±L因?yàn)?=q+6+/=勺+心十三4=鼻+g屯+A4GH4;所以鼠4'=31+（m-1）5+（制2乂？十。一3）Gn+A十七時(shí)=一口F拗1）十。PG_2

18、HA71匚QL因?yàn)閝=±L所以1一公為偶藪信=1人/二鱉所以（1一,）（仙-1）+（1-chXw-H*7丁d士用）為偶數(shù)j所以要使S（從J=伉必須使刑：”為偶就即4整除制值一1）二亦即科=4出或孔=4粗41胴jV*）.當(dāng)科=4加十1（切七.V*時(shí)歹山4用頂滿足或=0.%1=1，口#=1<Ar=L21A,吟時(shí)，有二口工5（4）=0;口a=1（九=L1L。"=口時(shí)有,="（4）=0;當(dāng)m=4m-bl（w?WN*附:碣列4的吭藺足，日舉冬才三°上儀墉-2=T,當(dāng)科=4m十2或村=4m+i（jkN時(shí).雙徵一1）不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列心使得=口3（4

19、）=。.9.12012高考北京理第20題】(本小題共13分)設(shè)A是由mn個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1,且所有數(shù)的和為零.記Sm,n為所有這樣的數(shù)表組成的集合.對(duì)于ASm,n,記(A)為A的第i行各數(shù)之和(1領(lǐng)Jim),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1蒯jn);記k(A)為r1(A)2(A),rm(A),|g(A),|q(A),cn(A)中的最小值.(1)對(duì)如下數(shù)表A,求k(A)的值；110.80.10.31(2)設(shè)數(shù)表AS2,3形如11cab1求k(A)的最大值;(3)給定正整數(shù)t,對(duì)于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.【答案】解1由題意可知圖sA|

20、87;1.Lic,|?1r»-1,S二皿=0.7(2)先用反證法證明有工i<ii若力，>iriJ=a-1=-：7-1>1,'.>0同理可知>0由題目所有數(shù)和為0割少一占一七一一1,4二11一匕41與題目條件矛盾-<IW11易知當(dāng)ab0時(shí)，kA1存在kA的最大值為1f-1“）軸揄的最大值為二苜先由造滿是聯(lián)工=的=4；）空=1二二二L二二一|t+_i_r-I口:l=收：='-=aLi=Lal,r-l二q-：='=aL：i-l=-71r -r + 1經(jīng)計(jì)算知.a中管個(gè)元素的絕對(duì)值者阮1、工口所有亓¥_F為:L且小可小丁=

21、二=")1=1>1+-«+Tf-2|匚1（且）口匚1（月）|=1+-=T'，十.，十下面證明三擔(dān)是最大值，若不然則存在一個(gè)數(shù)表Aw5*2+1）,庾得kQ%=x>三二r+?r2由支口）的定義如a的母KJ由個(gè)數(shù)之和由絕對(duì)值都不小于天，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過1的數(shù)的和，具般MB不超過故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的缸同值都在間x中，由于；VA1.故4的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于，道且中有g(shù)列的列和為正，有2列的列印1為員.由飛稱性不虹俄gvL則gVr/3r-L另外，由對(duì)稱性不妨設(shè)A的第一行行和為正，第二行行卡為負(fù).考庵T的第一行，由前面結(jié)詒知月的第

22、一行盧一個(gè)正數(shù)和r：Z于T+1個(gè)負(fù)數(shù)，母?jìng)€(gè)正教的絕忖值不超過1即每個(gè)正數(shù)均不超過L）,每個(gè)負(fù)部白口他對(duì)值不小于K-l1即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過1-工）因此|3（*4）=q（=7+（2上1）（1力=2?+1（r+1>t=x+（2f+-«+2jc）<Xi散H的第一行行和的絕對(duì)值小于工，與假設(shè)才盾一因此利川的最大值為土已（IbyIFQ10.12014高考北京理第20題】（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)萬寸序列P：Mn),(a2,b2),L,(anh),記Ti(P)&bi,Tk(P)bkMaxTki(P)ea?Laj(2kn),其中MaxTk"),4a?Laj表示T-(P)和aa2Lak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序