高等數(shù)學(xué)-第六章-定積分的應(yīng)用教學(xué)教材

1、高等數(shù)學(xué)-第六章-定積分的應(yīng)用表示為niiixfU10)(lim一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;二二 、如何應(yīng)用定積分解決問題、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfb

2、ad)(這種分析方法稱為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)

3、()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍圖形的面積 . 解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1Oxy224 xyxy例例2. 計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有42Ayyydab例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對

4、稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxxdxyO2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO對應(yīng) 從 0 變例例5. 計算阿基米德螺線解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積

5、. a2xOxa2Ottadcos82042例例6. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令223a二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnM當(dāng)折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱OAByxsdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元

6、素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)例例11. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (

7、22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例12. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),Oxy)(yx特別 , 當(dāng)考

8、慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例13. 計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1

9、02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOxa2xyO例例14. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 . 0 t 2解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2

10、yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注分部積分對稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226例例16. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂

11、直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .ORxyxORx),(yxyR思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程21d)()(

12、tttttAd)(212A3. 已知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :2)(xyA繞 y 軸 :)(xyy 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 作業(yè)作業(yè) P284 3; 12; 18第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章

13、 一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到,bx 力的方向與運(yùn)動方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(例例1.一個單求電場力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時,由庫侖定律庫侖定律電場力為2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷

14、a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, S例例2.體, 求移動過程中氣體壓力所Ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 m3m5例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖.Oxxxxd在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層

15、水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wdxxgd9故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hgph當(dāng)平板與水面平行時, ApP 當(dāng)平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xgp332Rg例例4. 的液體 , 求桶的一個端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRx

16、gd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 說明說明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時,),(xRg小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd三、三、 引力問題引力問題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體物體對質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .例例5. 設(shè)有一長度為 l,

17、線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,M該棒對質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖.y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在試計算FdxFdyFdxxd利用對稱性利用對稱性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒對質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對質(zhì)點(diǎn)的引力的鉛直分力為 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd2lOy2laxxxdx說

18、明說明:amk22) 若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd則有22412llmkFaalOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正負(fù)號3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線上時, 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用元素法求出它的微分表

19、達(dá)式 dQ一般元素的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力, 轉(zhuǎn)動慣量等.條條、段段、環(huán)環(huán)、帶帶、作業(yè)作業(yè): P291 3 , 9 , 12習(xí)題課1. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用幾何方面幾何方面 : 面積、 體積、弧長、 表面積 .物理方面物理方面 : 質(zhì)量、作功、 側(cè)壓力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形狀 : 條、段、 帶、 片、扇、環(huán)、殼 等.定積分的應(yīng)用 第六六章 表示為niiixfU10)(lim一、什么問題可以用定積

20、分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;二二 、如何應(yīng)用定積分解決問題、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法稱為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的幾何形狀常

21、取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,Oxbay)(xfy xxdx2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnM當(dāng)折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1ni 10lims則稱OAByxsdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素