數(shù)學建模人口增長模型

1、數(shù)學建模人口增長模型摘要:人口的增長是當前世界上引起普遍關注的問題作為世界上人口最多的國家，我國的人口問題是十分突出的由于人口基數(shù)大盡管我國已經(jīng)實行了20多年的計劃生育政策人口的增長依然很快，巨大人口壓力會給我國的社會 政治經(jīng)濟醫(yī)療就業(yè)等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國顯得尤為重要。我們經(jīng)常在報刊上看見關于人口增長預報，說到本世紀，或下世紀中葉，全世界的人口將達到多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數(shù)字商場有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計算出來的結果。人類社會進入20世紀以來，在科學和技術和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時世界人口也以空前的規(guī)模增長。人口每增

2、加十億的時間，有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經(jīng)攜帶著他的60億子民踏入下一個世紀。長期以來，人類的繁殖一直在自然地進行著，只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關系、人口數(shù)量的變化規(guī)律以及如何驚醒人口控制等問題。 本論文中有兩個模型： （1） ：中國人口的指數(shù)增長模型，并用該模型進行預測，與實際人口數(shù)據(jù)進行比較。（2）：中國人口的Logistic圖形，標出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行比較。 而且利用MATLAB圖形 ，標出中國人口的實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并畫出兩種模型的預測曲線。 關鍵字：人口預測；Malthus模型；Logistic模型；MAT

3、LAB軟件1、 問題背景及重述1.1問題的背景中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。我國自1973年全面推行計劃生育以來，生育率迅速下降，取得了舉世矚目的成就，但全面建設小康社會仍面臨著人口的形勢和嚴峻挑戰(zhàn)。隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展、國家人口政策的實施，未來我國人口高峰期到底有多少人口，專家學者們的預測結果不一。因此，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。 1.2 問題的重述下表列出了中國19821998年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，取1982年為起始年(t=0)，1982年的人口101654萬人，人口自然增長率為14，以36億作為我國人口的容納量，試

4、建立一個較好的人口數(shù)學模型并給出相應的算法和程序，并與實際人口進行比較。時間(年)198219831984198519861987人口(萬人)101654103008104357105851107507109300時間(年)198819891990199119921993人口(萬人)111026112704114333115823117171118517時間(年)19941995199619971998人口(萬人)1198501211211223891236261248102、 問題分析對于人口增長的問題，其影響因素有很多，比如：人口基數(shù)，出生率，死亡率，人口男女比例，人口年齡結構的組成，人口

5、的遷入率和遷出率，人口的生育率和生育模式，國家的醫(yī)療發(fā)展情況，國家的政治策略等眾多的因素。如果把這些因素都要考慮進去，則該問題根本無從下手。因此，應該根據(jù)中國人口自身發(fā)展的特點，選取相應的能夠體現(xiàn)我國人口發(fā)展特點的模型。人口發(fā)展模型有連續(xù)形式和離散形式，因為題目所給的 圖1 1790-1980年間美國的人口數(shù)據(jù)圖數(shù)據(jù)是每個年份的具體數(shù)據(jù)，可以將這些數(shù)據(jù)視為連續(xù)的。根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，我們使用MATLAB編程（附錄1）畫出散點圖。圖1中國19821998年的人口數(shù)據(jù)圖從圖中我們可以看到人口數(shù)在 19821998 年是呈增長趨勢的，且增長趨勢類似于指數(shù)型增長，因此，我們可以先建立一個指數(shù)增長模型（M

6、althus模型）。但是，由于地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所需的條件，因此人口不可能無限制增加。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源，環(huán)境條件等對人口再增長的限制作用將越來越顯著。于是我們假設在人口較少時，可以把人口增長率看成常數(shù)，但隨著人口的增加，我們應該把人口增長率視為一個隨著人口增加而減小的量，從而我們可以將模型一（Malthus模型）優(yōu)化為一個阻滯增長模型（Logistic模型）。3、 模型假設（1） Malthus模型假設我國人口的增長符合人口指數(shù)增長的規(guī)律，即滿足Malthus模型的兩個前提：第一， 食物是人類生存所必需的；第二， 兩性間的情欲是必然的，而且?guī)缀鯐３?/p>

7、現(xiàn)狀。從這兩個“人類本性的固定法則” 出發(fā)，可以得出一個最基本的經(jīng)濟比例：食物或生活資料的增長與人口的增殖之間的關系。馬爾薩斯說， 人口的增殖比生活資料增長的要快，人口是按幾何級數(shù)增長的，而生活資料則只按算術級數(shù)增長。但是，馬爾薩斯并不認為這兩個級數(shù)就是人口規(guī)律的反映，他提出，保持兩個級數(shù)平衡的唯一出路就是抑制人口的增長。他把所謂支配人類命運的永恒的人口自然法則， 歸納成以下三個定理。三個定理：第一點是人口的制約原理， 說明人口與生活資料之間必然存在某種正常的比例， 即“人口的增長， 必然要受到生活資料的限制”；第二點是人口的增殖原理， 即“生活資料增加， 人口也常隨著增加”；第三點是馬爾薩斯

8、人口原理的核心， 稱之為人口的均衡原理， 即“占優(yōu)勢的人口繁殖力為貧困和罪惡所抑制，因而使現(xiàn)實的人口得以與生活資料保持平衡”。這個原理與前兩個原理是緊密相連的，它說明人口與生活資料之間最終將實現(xiàn)均衡， 但是這種均衡不是自然實現(xiàn)的，而是種種“抑制”的產(chǎn)物。所以，Malthus模型假設條件如下：1 設P(t)表示t時刻的人口數(shù)，且P(t)連續(xù)可微。2 人口的增長率r是常數(shù)(增長率=出生率-死亡率)。3 人口數(shù)量的變化是封閉，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個體的生育與死亡，且每一個都具有同樣的的生育能力與死亡率。 （二）Logistic模型由于地球上的資源有限，當人口數(shù)量發(fā)展到一定階段后，會產(chǎn)

9、生一系列問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等。另外，隨著人口密度的增加，疾病將會增多，死亡率會上升，因此，人口的增長率不會是Malthus所假設的是一個常數(shù)不改變，而是會隨著人口數(shù)量增加而減少。假設增長率r表示P(t)的函數(shù)r(p)，且r(p)為p的減函數(shù)。1. 設r(p)為p的線性函數(shù)，r(p)=r-kp。2. 自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為Pm，即當P=Pm時，增長率r(p)=0。4、 變量說明符號表示意義P人口數(shù)量t年份r人口自然增長率人口最大容納量起始年人口5、 模型建立與模型求解5.1 Malthus模型由假設一，時刻到時刻人口增量為于是可得 由分離變量法解得模型的解為對該模

10、型兩邊同時取對數(shù)得到一次線性擬合函數(shù)取表中1982到1998年的數(shù)據(jù)在MATLAB中M文件（附錄2）進行線性最小二乘擬合可得出:f =0.013141 t - 14.5121所以可知r=0.013141,p(t)=101654*exp(0.013141*(t-1982)用MATLAB進行指數(shù)擬合得到下圖圖2可以看出擬合曲線基本吻合，但是隨著時間t的增加其誤差逐漸加大，所以需要對其修正。5.2 Logistic模型由假設二可知，記p(t)是第t年的人口數(shù)量，人口增長率r(p)是p的線性函數(shù)，r(p)=r-kp。最大人口容納量為Pm。即當P=Pm時，增長率r(p)=0。所以，(5.2.1)同樣利用

11、分離變量法求得其解(5.2.2)根據(jù)（5.2.1）式作出的曲線圖（圖1）以及由（5.2.2）式作出p-t曲線圖（圖2）O圖1 曲線圖圖2 p-t曲線圖從上述曲線圖以及表達式中，我們可以總結出如下規(guī)律：，它表明不管人口初始狀態(tài)是什么樣，人口總數(shù)最終都將趨于最大人口容納量。當p(t)>pm時，<0；當p(t)<pm時，>0。它表明當人口數(shù)量超過最大人口容納量時，人口數(shù)量將減少，當人口數(shù)量小于最大人口容納量時，人口數(shù)量將增加。人口變化率在時取到最大值，即人口總數(shù)達到極限值一半之前是加速生長的，經(jīng)過此點后，增長率會逐漸減小至0。采用非線性最小二乘估計法對參數(shù)r和pm進行估計，通

12、過使用matlab編寫程序（附錄4）可得：r =0.01137，pm =3.7465e+04用MATLAB擬合圖像如下圖36、 模型檢驗及結果分析經(jīng)過前面模型建立的工作，已建立出Malthus模型和Logisic模型。現(xiàn)在根據(jù)所建立的模型預測相關年份的人口數(shù)量，并與實際人口數(shù)量相比較以檢驗模型的優(yōu)劣性。Malthus模型與Logistic模型對我國人數(shù)據(jù)的擬合結果年份實際人口/萬計算人口P1計算人口P21982101654101650101650198310300810300010250019841043571043601033501985105851105740104201986107507

13、107140105060198710930010856010592019881110261099901067901989112704111450107660199011433311292010853019911158231144201094101992117171115930110290199311851711746011118019941198501190201120701995121121120590112960199612238912219011386019971236261238001147701998124810125440115670對表中數(shù)據(jù)進行分析可知：對于短期預測，這兩個模型

14、基本一致，但使用模型一更簡單；對于中長期預測，模型二要強于模型一。7、 模型評價與推廣1、 優(yōu)點：首先我們采用圖表結合法，比較直觀地表達出題中所給的信息，并據(jù)此得出了人口增長的基本規(guī)律。根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)，對其進行分析得出了人口增長率與人口總數(shù)的線性關系，從而建立了人口阻滯增長模型，對未來人口數(shù)的預測作出了較為準確的判斷。模型一是依據(jù)英國神父T·Malthus的發(fā)現(xiàn)建立了指數(shù)型增長模型，經(jīng)過我們實際數(shù)據(jù)的檢驗，發(fā)現(xiàn)其人口早期的增長情況與Malthus模型的預測基本相符，然而隨著時間的增加，該模型的預測結果明顯出現(xiàn)了不合理性。其原因就是我們將人口增長率視為常數(shù)，因此需要對r進行修正。所以

15、，我們將r表示為p的減函數(shù)，從而推導建立了模型二2、 缺點：本文對模型一中的參數(shù)只做了線性估計，所以其計算結果與實際誤差較大模型二中僅考慮了r與p的關系是線性的，沒有考慮非線性關系8、 參考文獻1.司守奎，孫兆亮，孫璽菁，周剛，仲維杰，康淑瑰.數(shù)學建模算法與應用（第二版）.國防工業(yè)出版社，2016年2.姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）.高等教育出版社·北京.2011年3.儲昌木，沈長春.數(shù)學建模及其應用.西南交通大學出版社·成都.2015年4 胡守信，李柏年.基于MATLAB的數(shù)學實驗M.北京科學出版社.2004年6月5 揚啟帆，康旭升，等.數(shù)學模型M.北京：高等教

16、育出版社.2006年5月6 于學軍.中國人口科學2000年第2期，時間：2000-4-6，中國人口信息網(wǎng).附錄：1) syms x yx0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')2) t=1982:1:1998;y=log(101654) log(10

17、3008) log(104357) log(105851) log(107507) log(109300) log(111026) log(112704) log(114333) log(115823) log(117171) log(118517) log(119850) log(121121) log(122389) log(123626) log(124810)p1=polyfit(t,y,1);f=poly2str(p1,'t')3) syms x y px0=1982:1:1998y0=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810xlabel('x')ylabel('y')plot(x0,y0,'*')hold ont=1982:1:1998p=101654.*exp(0.013141.*(t-1982)plot(x,p,'r','LineWidth',0.5);legend('