初二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點(diǎn)和典型例題總結(jié)

1、全等三角形類型一：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1如圖， ABDAACE AB=AC寫出圖中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角思路點(diǎn)撥：AB=AC, AB和AC是對應(yīng)邊，/ A是公共角，/ A和/ A是對應(yīng)角, 按對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊可求解解析：AB和 AC是對應(yīng)邊，AD和AE BD和CE是對應(yīng)邊，/ A和/ A是對應(yīng) 角，/ B和/C,Z AEC和/ADB是對應(yīng)角.總結(jié)升華：已知兩對對應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角，第三對角是對應(yīng)角；再由對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，可找到對應(yīng)邊已知兩對對應(yīng)邊，第三對邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角.舉一反三：【變式1】如圖， ABCA DBE問線

2、段AE和 CD相等嗎？為什么？【答案】證明：由厶ABCADBE得AB=DB,BC=BE 貝U AB-BE=DB-BC 即 AE=CD【變式2】如右圖，丄二衛(wèi)三丄工&，匸二：匚二。求證：AE/ CF證明；AQE 三 ACBF, AD=BC【答案】 ._一_ 一一一 AE/ CF2、如圖，已知 ABCA DEF / A=30°,Z B=50° , BF=2 求/ DFE的度數(shù)與EC的長。思路點(diǎn)撥：由全等三角形性質(zhì)可知：/DFE玄 ACB EC+CF=BF+FC所以只第3頁共16頁第#頁共16頁需求/ ACB的度數(shù)與BF的長即可解析：在A ABC中,/ ACB=180 -

3、 / A- / B, 又/ A=30°，/ B=50°, 所以/ ACB=100 .又因?yàn)锳 ABCA DEF 所以/ ACBM DFEBC=EF（全等三角形對應(yīng)角相等，對 應(yīng)邊相等）。所以/ DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2總結(jié)升華：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相舉一反三：【變式 1】如圖所示，A ACDA ECD A CEFA BEF，/ ACB=90 求證：(1) CD! AB ( 2) EF/ AC.【答案】(1 )因?yàn)?A AC墜 A ECD所以/ ADCM EDC(全等三角形的對 應(yīng)角相等)因?yàn)? ADC# EDC=180，所以/ADCM

4、EDC=90 .所以CDLAB.(2 )因?yàn)?A CEFA BEF,所以/ CFE# BFE(全等三角形的對 應(yīng)角相等)因?yàn)? CFE# BFE=180，所以/ CFE# BFE=90 .因?yàn)? ACB=90 ,所以/ ACB# BFE. 所以EF/ AC.類型二：全等三角形的證明3、如圖，AO BD, DF= CE / ECB=Z FDA 求證： ADFA BCE思路點(diǎn)撥：欲證 ADFA BCE由已知可知已具備一邊一角，由公理的條 件判斷還缺少這角的另一邊，可通過 AO BD而得解析：t AC= BD（已知） AB-BD= AB-AC等式性質(zhì)） 即 AD=BC 在厶ADF與 BCE中AD =

5、 BC （己證）己知DF二 CE （己知） ADFA BCE（SAS）總結(jié)升華：利用全等三角形證明線段（角）相等的一般方法和步驟如下： 找到以待證角（線段）為內(nèi)角（邊）的兩個三角形，（2）證明這兩個三角形全等；（3）由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角（線段）相等. 舉一反三：【變式1】如圖，已知 AB/ DC AB= DC 求證：AD/ BC【答案】 AB/ CDi/ 3=/ 4在厶 ABD?3 CDB中已知），4占（已證）甜=皿已知） ABDA CDB（SAS）/ 1 = / 2（全等三角形對應(yīng)角相等） AD/ BC（內(nèi)錯角相等兩直線平行）【變式2】如圖，已知 EB丄AD于 B，F(xiàn)C丄AD于

6、C,且EB= FC, A吐CD求證AF = DE【答案】；EB丄AD（已知）/ EBB 90° （垂直定義） 同理可證/ FCA= 90°/ EBD=/ FCAt AB= CD BC= BCAC= AB+BC=BC+CD在厶 ACFm DBE中'AC = DB己 12）彳 Zfca=Zeed （己證）FC = EB （己知） ACFA DBE（S A. S） AF= DE（全等三角形對應(yīng)邊相等 類型三：綜合應(yīng)用4、如圖，ADA ABC的中線。求證：AB+AC>2AD.思路點(diǎn)撥：要證AB+AO2AD由圖想至U： AB+BD>ADAC+CD>AD所以

7、AB+AC+BO2AD所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD即倍 長中線。解析：延長AD至E,使DE=AD連接BE因?yàn)锳D為A ABC的中線，所以BD=CD.在 A ACDffiA EBD中, 弓0二仞（己證） 弋zTBDE = ZADC對頂甬相等 3二ED （己作）所以 A ACDA EBD（SAS）.所以BE=CA.在 A ABE中, AB+BE>AE所以 AB+AC>2AD.總結(jié)升華：通過構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個三角形中 舉一反三：【變式1】已知：如圖，在 Rt A ABC中, AB=ACZ BAC=90 , /仁/ 2, CE 丄BD的延長線于E

8、,求證：BD=2CE.【答案】分別延長CE BA交于F. 因?yàn)锽E! CF,所以/ BEF玄BEC=90 .在 A BEF和 A BEC中,Z1 = Z2,已知）* BE = BE,公共邊） 己證）所以 BEFA BEC（ASA）.丄所以 CE=FE= CF.又因?yàn)? BAC=90 ,BE丄CF.所以/ BACK CAF=90，/ 1+Z BDA=90，/ 1 + Z BFC=90 所以/ BDAK BFC.在 A ABD和 A ACF中,ZMC = ZCAP垂直定義） ABDA =倔C, C 已證）話E二TC，C己知）所以 A ABDA ACF(AAS) 所以 BD=CF所以 BD=2CE.

9、5、如圖，A吐CD BE= DF, / B=Z D,求證:(1)AE = CF, (2)AE / CF,(3) / AFE=Z CEF思路點(diǎn)撥：（1）直接通過厶ABEA CDF而得，（2）先證明/ AEB=Z CFD 由（2）可證明 AEFACFE而得，總之，欲證兩邊（角）相等，找這兩邊（角）所在的兩個三角形然后證明它們?nèi)?解析:（1）在厶 ABE與 CDF中 rAL=CD己知） 弋ZB=ZD己證） EE 二DF （已知 J ABEA CDF（SAS） AE= CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）vZ AEB=Z CFD全等三角形對應(yīng)角相等） AE/ CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）在厶AEF與 CF

10、E中 竝=CF己證）ZAEP = ZCTE （已證）EP = FE （公共邊） AEFA CFE（SAS）/ AFE=Z CEF（全等三角形對應(yīng)角相等）總結(jié)升華：在復(fù)雜問題中，常將已知全等三角形的對應(yīng)角（迦作為判定另 一對三角形全等的條件.舉一反三：【變式1】如圖，在 ABC中，延長AC邊上的中線BD到F,使DF= BD,延 長AB邊上的中線CE到G 使EG= CE求證AF = AGGA匚【答案】在厶AGEW BCE中=BE （己知）* ZAEG = ZBEC對頂角相等GE 二 CE己知） AGEA BCE（SAS） AG= BC（全等三角形對應(yīng)邊相等）在厶 AFD與 CBD中虹二6己知）ZA

11、DF = ZCDB （對頂角相等）FD = BD （己知） AFDA CBD（SAS） AF= CB（全等三角形對應(yīng)邊相等） AF= AG（等量代換）6 如圖 AB = AC, BD丄AC于 D, CE!AB于 E, BD CE相交于 F.求證：AF平分/ BAC思路點(diǎn)撥：若能證得得AD=AE由于/ ADB / AEC都是直角，可證得Rt ADF Rt AEF,而要證AD=AE就應(yīng)先考慮 Rt ABD與 Rt AEC由題意已知 AB=ACZ BAC是公共角，可證得 Rt AB醫(yī) Rt ACE解析：在 Rt ABD與 Rt ACE中rZBAD-ZCAE公共角）二 ZADB = ZAEC = 90

12、e （垂直的定義 Rt AB醫(yī) Rt ACE（AAS） AD=AE全等三角形對應(yīng)邊相等）在 Rt ADF與 Rt AEF中（公共邊AJD = A£ （己證） Rt AD磴 Rt AEF（HL）/ DAF2 EAF（全等三角形對應(yīng)角相等） AF平分/ BAC角平分線的定義）總結(jié)升華：條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時需要通過多次三角形全等得出待求的 結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等.【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證.第10頁共16頁第#頁共16頁證明:（HL）角相等）/ B=Z B '（全等三角形對應(yīng)已知：如圖，在 ABC與 A B

13、' C 中.AB=A B', BC=B C', AD丄BC 于 D, A D'丄 B ' C'于 D '且 AD=A D '求證： ABCAA B ' C'在 Rt ABD與 Rt A B ' D 中rAB-Ay （己知）AP=A; D?（己知） Rt ABD也 Rt A ' B ' D '在厶 ABC與 A ' B ' C'中'AB = AJ B ?己知）己證）BC二B丿C，（己知）k ABCA A B' C （SAS）【變式2】已知，如圖，

14、AC BD相交于 O, AC=BDZ C=Z D= 90° 求證:OC=OD【答案I：/ C=Z D=90o ABD ACB為直角三角形在 Rt ABD和 Rt ABC中Jab=ab （公用）|bD = AC （已知； Rt AB醫(yī) Rt ABC（HL） AD=BC在厶 AODF3 BOC中 Zd= zc （己知） ZAOD -zboc （對頂角相等）AD 二 BC （己證） AOD BOC（AAS） OD=OC7、/ ABC中, AB=AC D 是底邊 BC上任意一點(diǎn)，DEI AB DF丄 AC, CGL AB 垂足分別是E、F、G.試判斷：猜測線段DE、DF CG的數(shù)量有何關(guān)系？

15、并證明你的猜想。思路點(diǎn)撥：尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：結(jié)論：DE+DF=CG方法一：（截長法）板書此種方法（3分鐘）作 DML CG于 M：DEL AB CGI AB DML CG四邊形EDM(是矩形DE=GMDM/AB/ MDC/B AB=AC/ B=Z FCD/ MDCM FCD 而DMLCG DF丄AC / DMC/CFD 在/MD(R/FCD 中乙DW陽D；ZMDC=FCDDC CD/ MD©/FCD（ AASMC=DF DE+DF=GM+MC=CG總結(jié)升華：總結(jié)：截長補(bǔ)短的一般思路，并由此可以引申到截長法有兩種截長的想法 方法三（面積法）使用等積轉(zhuǎn)化引申：如

16、果將條件方法二（補(bǔ)短法）作CML ED交ED的延長線于M （證明過程略）上任意一點(diǎn)”，此時圖形如何？ DE DF和CG會有怎樣的關(guān)系？畫出圖形，寫 出你的猜想并加以證明舉一反三：【變式1】三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩個腰上的距離和等于腰上的高?！敬鸢浮孔C明的過程使用三種證明方法，包括：（1）截長法（2）補(bǔ)短法 （3）面積法軸對稱考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識44半圓，其中一定是軸對稱圖典例1 .下列幾何圖形中，O1線段 ？角 色直角三角形形的有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個2 正n邊形有條對稱軸，圓有 條對稱軸考點(diǎn)二、軸對稱變換及用坐標(biāo)表示軸對稱典例：1、如圖，RtK

17、BC ZC=90°, ZB=30°,BC=8，D為 AB中點(diǎn),P為BC上一動點(diǎn)，連接 AP DP,貝V AP+DP勺最小值是2、已知等邊 ABC E在BC的延長線上，CF平分ZDCE P為射BC上一點(diǎn)，Q為圖（2）CF上一點(diǎn)，連接 AP、PQ若AP=PQ求證/ APQ是多少度考點(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到的性質(zhì)相等歸類回憶角平分線角是軸對稱圖形，其對稱軸是 角平分線上的點(diǎn)到相等 典例1、如圖， ABC中，/ A=90°,BD為/ABC平分線，DEL BC, E是BC的中點(diǎn)，求/ C 的度數(shù)。C2、如圖，AABC

18、中，AB=AC PB=PC連AP并延長交 BC于 D,求證：AD垂直平分 BC第15頁共16頁第#頁共16頁3、如圖，DE是厶ABC中AC邊的垂直平分線，若 BC=8厘米，AB=10厘米，貝V厶EBC 的 周長為（）A.16厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、如圖，/ BAC=30 , P是/BAC平分線上一點(diǎn)，PM /AC PD丄AC PD=28 ,貝V AM= 5、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB = 90° , / BAC的平分線交 BC于D. 過C點(diǎn)作第#頁共16頁C BCGL AB于G,交AD于E.過D點(diǎn)作DFL AB于F.下列結(jié)論：/CED/ CD

19、E S AEC : S aeg 二 AC : AG ；/ AE=2 /ECS.CED二S.dfb :CE=DE.其中正確結(jié)論的序號是（）A B C D 考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識別典例 1、如圖， ABC中,AB=AC=8D在BC上，過D作DEIIA交AC于 E,DF IIAC交AB于F,則四邊形AFDE的周長為。A2、如圖， ABC 中，BD、 CD 分別平分/ ABC 與 Z ACB, EEF 過 D. f Bl C且 EF/BC 若 AB = 7 , BC = 8 , AC = 6，則AEF周長為（）CEMA. 15 B . 14 C. 13 D. 183、如圖,點(diǎn)B D F在AN上,

20、C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EZA=20°,則 Z FEB=度.4、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的一個底角的度數(shù)是5、mBC中，DF是AB的垂直平分線，交 BC于D, EG是AC的垂直平分線，交 BC于E,若 ZDAE=20 ° 則ZBAC等于°6、從一個等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于7、已知，在 ABC中，ZACB=90，點(diǎn)D E在直線 AB上，且 AD=AC BE=BC 貝UZDCE = 度第16頁共16頁9、如圖,E在ABC的AC邊的延長線上,DF=EF

21、 BD=CE.求證： ABC是等腰三角形.D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F,AB=AC AD丄BC, DE丄AB于點(diǎn)E, DF丄AC于點(diǎn)F。試第17頁共16頁第#頁共16頁考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識別等邊三角形的各相等，各相等并且每一個角都等于三個角相等的三角形是三角形有一個角是60°白三角形是等邊三角形第#頁共16頁特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線典例1、下列推理中，錯誤的是（）A.vZ A=Z B=Z C,.A ABC是等邊三角形 B . v AB= AC,且/ B=Z C,.A ABC 是等邊三角形C.vZ A= 60°,/ B= 60°,.仏 A

22、BC 是等邊三角形 D . v AB= AC, / B= 60°,仏ABC是等邊三角形2、如圖，等邊三角形 ABC中, D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且 CE= CD, DM丄BC,垂足為M求證：M是BE的中點(diǎn)C考點(diǎn)七、30°所對的直角邊是斜邊的一半 典例1、如圖，是屋架設(shè)計圖的一部分，點(diǎn)于橫梁 AC AB=8m / A=30°,則A. 1mB . 2m C2、如圖： ADC中, /A = 15 ° ,垂直平分線上，AB =34,D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BCDE等于（）.3mD . 4m/D=90 , B 在 AC的則 CD =（）A. 15 B . 17C. 16 D.以上全不對3、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AO=BO=40cmC0=D0=30 cm現(xiàn)將AD第4題圖桌子放平，兩條桌腿叉開的角度/ AOB剛好為120°, 求桌面到地面的距離是多少？甲4、如圖，AB=AC DEL AB于 E, DF丄 AC于 F, Z BAC=120, BC=6 貝V DE+DF=5、在厶ABC中，AB=AC, . A =120 , AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E 如果DE =1，求BC的長實(shí)數(shù)例1、（ 1）下列各數(shù)是否有平方根，請說明理由（-3）2 0 2 -0.01