二次函數(shù)數(shù)學(xué)題拔高

1、二次函數(shù)綜合性訓(xùn)練題 1、如圖1，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0)，直線 與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4)，B點(diǎn)在軸上. （1）求的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）P為線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；xyO3 911AB圖2（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.EBACP圖1OxyD2、如圖

2、2，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A和 點(diǎn)B（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖像上（其中m0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點(diǎn)Q 到x軸的距離3、如圖3，已知拋物線經(jīng)過O(0,0)，A(4,0),B(3,)三點(diǎn)，連結(jié)AB，過點(diǎn)B作BC軸交該拋物線于點(diǎn)C. （1） 求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.（2） 兩個動點(diǎn)P、Q分別從O、A兩點(diǎn)同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動. 其中，點(diǎn)P沿著線段0A向A點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q沿著折線ABC的路線向C點(diǎn)運(yùn)動. 設(shè)這兩個動點(diǎn)運(yùn)動的時間為（秒) (04)，PQA的面積記為S. 求S與的函數(shù)關(guān)系

3、式； 當(dāng)為何值時，S有最大值，最大值是多少？并指出此時PQA的形狀； 是否存在這樣的值，使得PQA是直角三角形?若存在，請直接寫出此時P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. PBACOQ圖3-30-1-21234S(萬元)圖41 2 3 4 5 6 t(月)4、某公司推出了一種高效環(huán)保型除草劑，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程. 圖4的二次函數(shù)圖象（部分）刻車了該公司年初以來累積利潤S（萬元）與時間（月）之間的關(guān)系（即前個月的利潤總和S與之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供信息，解答下列問題：（1）公司從第幾個月末開始扭虧為盈；（2）累積利潤S與時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）求截止到幾月末公司累

4、積利潤可達(dá)30萬元；（4）求第8個月公司所獲利是多少元？5、如圖5，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（1,0），與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式.（2）A、B是軸上兩個動點(diǎn)，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過A作AD軸交拋物線于D，過B作BC軸交拋物線于C. 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0），四邊形ABCD的面積為S. 求S與之間的函數(shù)關(guān)系式. 求四邊形ABCD的最小面積，此時四邊形ABCD是什么四邊形？ 當(dāng)四邊形ABCD面積最小時，在對角線BD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PAE的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時PAE的周長；若不存在，說明理由.EO1備用圖D圖5EBAC

5、O16)如圖6，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。（1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是線段AC上的一個動點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；圖7（3）點(diǎn)G拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。圖67、如圖7，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、和點(diǎn).（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，求四邊形的面積；（3）有兩動點(diǎn)、同時從點(diǎn)

6、出發(fā)，其中點(diǎn)以每秒個單位長度的速度沿折線 按的路線運(yùn)動，點(diǎn)以每秒個單位長度的速度沿折線按的路線運(yùn)動，當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時，它們都停止運(yùn)動.設(shè)、同時從點(diǎn)出發(fā)秒時，的面積為S .請問、兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在，若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由；請求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；設(shè)是中函數(shù)S的最大值，那么 = . 圖88、如圖8，拋物線與軸交于A(-1,0),B(3,0) 兩點(diǎn).(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足SPAB=8,并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)(1)中拋物線交y 軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上

7、是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.x經(jīng)y經(jīng)0經(jīng)1經(jīng)2經(jīng)3經(jīng)4經(jīng)-1經(jīng)-1經(jīng)-2經(jīng)-3經(jīng)1經(jīng)2經(jīng)ABCD圖99、如圖9、已知拋物線y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n為常數(shù)).(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作ABx軸于B，DCx軸于C.當(dāng)BC=1時，求矩形ABCD的周長；試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.1

8、0、如圖10，已知點(diǎn)A(0,8)，在ABCDOyx圖10拋物線上，以A為頂點(diǎn)的四邊形ABCD是平行四邊形，且項點(diǎn)B，C，D在拋物線上，ADx軸，點(diǎn)D在第一象限.(1)求BC的長；(2)若點(diǎn)P是線段CD上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何位置時，DAP的面積是7.(3)連結(jié)AC，E為AC上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到何位置時，直線OE將o ABCD分成面積相等的兩部分？并求此時E點(diǎn)的坐標(biāo)及直線OE的函數(shù)關(guān)系式.11、MN10米20米6米5米圖11-1圖11-2DEOxABCy一座拱橋的截面輪廓為拋物線型(如圖11-1),拱高6米,跨度20米,相鄰兩支柱間的距離均為5米.（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖11

9、-2所示)，其表達(dá)式是的形式. 請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出的值.（2）求支柱MN的長度.（3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間DE是一條寬2米的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2米、高3米的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說說你的理由.二次函數(shù)綜合題訓(xùn)練題型集合答案1、 (1) 點(diǎn)A(3,4)在直線y=x+m上， 4=3+m. （1分） m=1. （2分） 設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x-1)2. （3分） 點(diǎn)A(3,4)在二次函數(shù)y=a(x-1)2的圖象上， 4=a(3-1)2, a=1. （4分） 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1. （5分）(2)

10、設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yP和yE . PE=h=yP-yE （6分） =(x+1)-(x2-2x+1) （7分） =-x2+3x. （8分） 即h=-x2+3x (0x3). （9分）(3) 存在. （10分）解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC. （11分） 點(diǎn)D在直線y=x+1上, 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2), -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . （12分）解之，得 x1=2，x2=1 (不合題意，舍去) （13分） 當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形. （14分）解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BPCE. （11分）設(shè)直線C

11、E的函數(shù)關(guān)系式為y=x+b. 直線CE 經(jīng)過點(diǎn)C(1,0), 0=1+b, b=-1 . 直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x-1 . 得x2-3x+2=0. （12分）解之，得 x1=2，x2=1 (不合題意，舍去) （13分） 當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3)時，四邊形DCEP是平行四邊形. （14分）2、解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入得解得 二次函數(shù)的表達(dá)式為 （2）對稱軸為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-10）（3）將（m，m）代入，得 ，解得m0，不合題意，舍去 m=6點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)Q到x軸的距離為63、（1） 拋物線經(jīng)過O(0,0)，A(4,0),B(3,)，

12、 .解得 . （2分） 所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為. （3分）(注：用其它方法求拋物線的函數(shù)關(guān)系式參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)（2） 過點(diǎn)B作BE軸于E，則BE=，AE=1，AB=2. 由tanBAE=，得BAE =60°. （4分）EFPBACOQ圖13 （）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動，即02時，QA=t，PA=4-.過點(diǎn)Q作QF軸于F，則QF=， S=PA·QF. （6分） （）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動，即24時，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，PA=4-.這時，S=. （8分）（）當(dāng)02時，. ， 當(dāng)=2時，S有最大值，最大值S=. （9分）（）當(dāng)24時， ， S隨著的增大而減小. 當(dāng)=2時，S有最

13、大值，最大值. 綜合（）（），當(dāng)=2時，S有最大值，最大值為. PQA是等邊三角形. 存在. 當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動時，要使得PQA是直角三角形，必須使得PQA =90°，這時PA=2QA，即4-=2， . P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(,0)，Q1(,). （13分）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動時，Q、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為5-和，要使得PQA是直角三角形，則必須5-=， P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P2(,0)，Q2(,). （14分）(注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)4、（1）由圖象可知公司從第4個月末以后開始扭虧為盈. （1分） （2）由圖象可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)，故可設(shè)其函數(shù)關(guān)

14、系式為：y=a(t-2)2-2. （2分 所求函數(shù)關(guān)系式的圖象過(0,0)，于是得 a(t-2)2-2=0，解得a= . （4分） 所求函數(shù)關(guān)系式為：S=t-2)2-2或S=t2-2t. （6分） （3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30. （7分） 解得t1=10，t2=-6（舍去）. （8分） 答：截止到10月末公司累積利潤可達(dá)30萬元. （9分） （4）把t=7代入關(guān)系式，得S=×72-2×7=10.5 （10分） 把t=8代入關(guān)系式，得S=×82-2×8=16 16-10.5=5.5 （11 答：第8個月公司所獲利是5.5萬

15、元. （12分）EO1DBACP5、（1） 拋物線頂點(diǎn)為F（1,0） （1分） 該拋線經(jīng)過點(diǎn)E（0,1） ， 即所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為. （3分）（2） A點(diǎn)的坐標(biāo)為（,0）, AB=4，且點(diǎn)C、D在拋物線上， B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). （5分） .（7分） . （8分） 當(dāng)=-1時，四邊形ABCD的最小面積為16， （9分） 此時AD=BC=AB=DC=4，四邊形ABCD是正方形. （10分） 當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD上存在點(diǎn)P, 使得PAE的周長最小. （11分）AE=4（定值），要使PAE

16、的周長最小，只需PA+PE最小. 此時四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD所在直線對稱,由幾何知識可知，P是直線CE與正方形ABCD對角線BD的交點(diǎn). 點(diǎn)E、B、C、D的坐標(biāo)分別為（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4） 直線BD，EC的函數(shù)關(guān)系式分別為：y=-x+3, y=2x-2. P(,) （13分） 在RtCEB中，CE=, PAE的最小周長=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. （14分）6、解：（1）令y=0，解得或（1分）A（1，0）B（3，0）；（1分）將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入得y=3，C（2，3）（1分）直線AC的函數(shù)解析式是y=x1（2）設(shè)P點(diǎn)的橫

17、坐標(biāo)為x（1x2）（注：x的范圍不寫不扣分）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，x1），（1分）E（1分）P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（2分）當(dāng)時，PE的最大值=（1分）（3）存在4個這樣的點(diǎn)F，分別是7、解：（1）令，則；令則.、二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為 1分又該函數(shù)圖象過點(diǎn)、2分解之，得，所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 3分（2）=頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 4分過點(diǎn)M作MF軸于F=四邊形AOCM的面積為10 6分（3）不存在DEOC 7分若DEOC，則點(diǎn)D、E應(yīng)分別在線段OA、CA上，此時 1<t<2,在RtAOC中，AC=5.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為， DEOC， 8分>2，不滿足1<

18、;t<2.不存在DEOC. 9分根據(jù)題意得D、E兩點(diǎn)相遇的時間為（秒） 10分現(xiàn)分情況討論如下：當(dāng)0 < 1時，；11分當(dāng)1<2時，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為， 12分當(dāng)2 <<時，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，類似可得設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，= 13分 14分 10、（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC. A(0,8), 設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,8), 代入中， 得x1=±4. 又D點(diǎn)在第一象限，ABCDOyxE x1=4， BC=4. （2）C(2,2)，D(4,8)， 直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=3x-4. 設(shè)點(diǎn)P在線段CD上，P(x2,y2)，y2=3x2-4.AD=BC=4,

19、×4(8-y2)=7， y2=. 3x2-4=， x2=. P(,), 即當(dāng)點(diǎn)P在(,)的位置時，DAP的面積是7. （3）連接AC，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AC的中點(diǎn)（或AC與BD的交點(diǎn)）時，即E點(diǎn)為o ABCD的中心，其坐標(biāo)為E（1,5）,直線OE將o ABCD分成面積相等的兩部分. 設(shè)直線OE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx, k=5，直線OE的函數(shù)關(guān)系式為y=5x. 11、(1) 根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0). GH圖12-2DEOxABCy將B、C的坐標(biāo)代入，得 解得. 拋物線的表達(dá)式是. (2) 可設(shè)N(5,)，于是. 從而支柱MN的長度是10-

20、4.5=5.5米. (3) 設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點(diǎn)坐標(biāo)是(7,0)(7=2÷22×3). 過G點(diǎn)作GH垂直AB交拋物線于H，則. 根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車. 報童賣報問題1某報亭從報社買進(jìn)某種日報的價格是每份0.30元，賣出價格的每份0.50元，賣不出的報紙可以按每份0.10元的價格退還給報社，經(jīng)驗表面，在一個月內(nèi)（30天）里。有20天只能賣出150份報紙，其余10天每天可以賣出200份，該報亭每天從報社買進(jìn)報紙的份數(shù)相同。這個報亭每天買進(jìn)多少份報紙才能使每月所獲利潤最大？最大利潤是多少？解：設(shè)該報亭每天從報社買進(jìn)報

21、紙x份，所獲利潤為y元， 根據(jù)題意得 y=20×(0.50-0.30)×150+20×(0.10-0.30)(x-150)+10×(0.50-0.30)x. 即y = - 2x + 1 200(150 x 200). 由k， = - 2 < 0可知，當(dāng)150 x 200時，y隨x的增大而減小 所以當(dāng)x = 150時，y有最大值. 其最大值為 - 2×150 + 1 200 = 900(元).2如圖,雙曲線y=k/x經(jīng)過RtOMN斜邊上的點(diǎn)A,與直角邊MN相交于點(diǎn)B,已知OA=2AN,OAB 的面積為5，則k的值是？ 解答：方法一：過A點(diǎn)作X軸的垂線，垂足為C點(diǎn)，設(shè)OC=2a，則由比例關(guān)系得：CM=a，OM=3a，A、B兩點(diǎn)都在雙曲線y=kx上，AC=k2a，BM=k3a，OAB面積=OAC面積梯形ACMB面積OBM面積 =½×2a×k2a½×k2ak3a×a½×3a×k3a=5解得：k=12方法