數(shù)學學習中的聯(lián)結(jié)及導向策略

1、數(shù)學學習中的聯(lián)結(jié)及導向策略數(shù)學學習中的聯(lián)結(jié)及導向策略盛志軍浙江省富陽市郁達夫中學【摘要】學習是一種聯(lián)結(jié)。認為聯(lián)結(jié)是從嘗試錯誤刺激反應(yīng)的發(fā)展到有意義的學習。通過對兩種理論在實踐中進行分析，其特質(zhì)是先進與落后的區(qū)別。數(shù)學學習實際上是尋求“中間變量”，構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程。而目前教學中還眾多停留在嘗試錯誤的低級層次上，與培養(yǎng)發(fā)展型的高素質(zhì)人才不相容。以數(shù)學知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，以學生原有不同的的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點，以學生發(fā)展為目標達到構(gòu)建學生的認知結(jié)構(gòu)，作為促進學生有意義的聯(lián)結(jié)的三大導向策略。 【關(guān)鍵詞】數(shù)學學習 聯(lián)結(jié) 認知結(jié)構(gòu) 導向策略一、引 言全日制義務(wù)教育新數(shù)學課程標準明確指出：“有效的數(shù)學學習

2、活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應(yīng)當幫助學生“在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗?！边@實際上從一個角度要求數(shù)學教師，要重視學生的認知學習。但在實際教學中，還未重視認知結(jié)構(gòu)的研究運用。尤其到了復習階段，連續(xù)不斷的向?qū)W生發(fā)放復習試卷和機械地向?qū)W生布置復習題給予強化，以達到反應(yīng)結(jié)果?；蛘咴谄綍r教學中，讓學生死記一些結(jié)論，不注重“有意義的學習”。學生的學習似乎還停留在“SR”階段。這種簡單的操作方法在短時間內(nèi)能使考試成績上去，但代價是學生沉重的學習負擔，并造成學生思維僵化，不利于培養(yǎng)“發(fā)展型”人才，與素質(zhì)教育背道而馳。如學生對于絕對值

3、概念，只知道a是a絕對值，而不明白它的真正內(nèi)涵。沒有通過學生生活中已建立起來的認知概念與數(shù)學內(nèi)容的新認知結(jié)構(gòu)進行聯(lián)結(jié)。結(jié)果是造成對絕對值概念理解的是似而非。本文就數(shù)學學習的聯(lián)結(jié)問題及導向策略上作一些探索。二、關(guān)于聯(lián)結(jié)理論數(shù)學學習是什么過程？“人類的學習總是以一定的經(jīng)驗和知識為前提，是在聯(lián)想的基礎(chǔ)上，更好地理解和掌握新知的?！?數(shù)學學習也不例外，這里的聯(lián)想即為知識的聯(lián)結(jié)過程。關(guān)于聯(lián)結(jié)，理論上的研究，目前有兩大派別。一是以美國心理學家桑代克為代表的聯(lián)結(jié)主義的行為學習理論。二是以美國心理學家布魯納和奧蘇伯爾為代表的認知學派學習理論。桑代克的主要觀點是，學習就是作嘗試錯誤。如果把當今的學習刺激設(shè)為S，

4、學習反應(yīng)設(shè)為R，學習就是SR的聯(lián)結(jié)過程。它是在動物實驗的基礎(chǔ)上提出的，是一種盲目的嘗試。通過不斷嘗試，出現(xiàn)錯誤，不斷矯正，從中學會知識和技能。而認知學派認為，學習就是知覺的重新組合，這種知覺經(jīng)驗變化過程不是簡單的“SR”過程，而是突然的“頓悟”，強調(diào)“情景的整體關(guān)系”。而以美國心理學家托而曼為代表的觀點進一步認為，在 S與R之間應(yīng)該有一個“中間變量”，即認知和目的，學習是期待，就是對環(huán)境的認知。因而，學習過程是一個SOR的過程。布魯納和奧蘇伯爾還把它進行了發(fā)展為現(xiàn)代認知理論，認為“學習就是類目即及其編碼系統(tǒng)的形成?！彼粌H批評SR直接、機械的聯(lián)結(jié)，而且提出學習存在一個認識過程，是認知結(jié)構(gòu)的重新

5、組合。強調(diào)原有的認知結(jié)構(gòu)的作用，也強調(diào)學習材料本身的內(nèi)在聯(lián)系。把內(nèi)在聯(lián)系的材料和學生原有的認知結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)起來，新舊知識發(fā)生作用，新材料在學生的頭腦中達成“內(nèi)化”，學會了對“SOR”中的“O”的捕捉，成為真正的意義的聯(lián)結(jié)，或者說學生對新材料有了深刻地理解和超越。顯然，在不同的時代，上述理論對數(shù)學教育都有積極的貢獻。但時至今日，在數(shù)學教育中，我們不能不重視，數(shù)學學習重要的應(yīng)該是認知學習，它是一個建立學生心理內(nèi)部學習機制的過程。這里要明白三點：學生學習數(shù)學，一要利用學生原有的認知結(jié)構(gòu)，二要重視學生一定年齡階段的心理發(fā)展水平，三要充分考慮不直接參與的情感、意志、興趣等問題。三、數(shù)學學習的兩種聯(lián)結(jié)思想剖析

6、下面結(jié)合教學實踐，說明“SR”與認知結(jié)構(gòu)連結(jié)之間的各自意義。例：如圖，已知在O內(nèi)接ABC中，D是AB上一點，AD=AC，E是AC的延長線上一點，AE=AB，連結(jié)DE交O于P，延長ED交O于Q.求證：AP=AQ.按“SR”的行為主義聯(lián)結(jié)理論，可以讓學生直接操作。這時，學生可能不去仔細審題。由圖形“先入為主”，不斷嘗試，不斷碰壁，然后再回頭去審題。在點、線、角、三角形、圓的離散圖形中不斷產(chǎn)生錯誤。偶而碰上解題思路，才得到問題的解決。之后，再不去認識、總結(jié)。下次在碰上此題，又重新錯誤嘗試。顯然，這樣的問題解決法，造成精力的極大浪費，所學知識也難以鞏固。平時，我們老師經(jīng)常說：“此題我讓學生解過，還做不

7、出！”原因在于“SR”聯(lián)結(jié)不是“有意義的學習”，沒有找出新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，沒有建立學生的新的認知結(jié)構(gòu)。而利用認知結(jié)構(gòu)理論思考，首先是認真審題，進入“上位學習”，對自己提問：1、見過這個問題嗎？見過與其類似的問題嗎？用到那些基礎(chǔ)知識？（圖類似？還是條件類似？還是結(jié)論類似？）2、見過與之有關(guān)的問題嗎？（能利用它的某些部分嗎？能利用它的條件嗎？能利用它的結(jié)論嗎？引進什么輔助條件，以便利用？）以此，把原建立的認知結(jié)構(gòu)中的全等三角形、圓周角性質(zhì)、等腰三角形的判定等舊知加以調(diào)運。在此基礎(chǔ)上，使學生進入“下位學習”然后，盯住目標始終盯住要證的結(jié)論AP=AQ。就是要明確方向，哪怕中間狀態(tài)不斷變化，但始終

8、與目標比較，及時調(diào)整自己的思路，建立“認知地圖”，以不迷失方向。其基本框架如下：有什么方法能夠達到目標？（1、達到的目標的前提是什么？2、能實現(xiàn)其中的某個前提嗎？3、實現(xiàn)這個前提還應(yīng)該怎么辦？）如上題，我們不妨采用逆向分析進行探索。這是認知策略的其中一條有效途徑：AP=AQ（目標）AQP=APQ（前提）以下為實現(xiàn)前提需找中間量， 即AQP=中間量=APQ.這時, 逆向分析無法進行,此時一般就是添輔助線的時候,轉(zhuǎn)化圓周角AQP,連結(jié)BP,即有AQP=ABP.因此,只要證明ABP=APQ.由于ABP=ABC+PBC,APQ=E+PAC,而PBC=PAC,所以,只要證ABC=E,即證ABCAED.(

9、以下略)這樣，學生在原有的認知結(jié)構(gòu)思維水平基礎(chǔ)上發(fā)展他的聯(lián)想思維，使新舊知識加以聯(lián)結(jié)，找到證題方法，達到解決問題，建立起新的認知結(jié)構(gòu)。因此，我們在教學中，一定要把精力化在建立學生認知結(jié)構(gòu)的工夫上，善始善終加以引導。少用或不用“SR”這種“嘗試錯誤”的機械方法，多用科學成功的嘗試，引導學生認真尋求“中間變量”，努力使學生的新舊知識加以聯(lián)結(jié)，促進學生的數(shù)學素養(yǎng)不斷提高。四、數(shù)學學習聯(lián)結(jié)的教學策略事實上就學習者對數(shù)學問題的解決，無論是數(shù)學概念的形成、數(shù)學技能的掌握，還是數(shù)學能力的培養(yǎng)，都是學習者由未知到已知的聯(lián)結(jié)過程，即“SR”的聯(lián)結(jié)過程，重要的是尋求“中間變量O”，從而構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學認

10、知結(jié)構(gòu)，就是學生通過自己主動的認識而在頭腦里建立起來的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)?？梢赃@樣說，數(shù)學學習的聯(lián)結(jié)過程，就是數(shù)學認知建構(gòu)的過程，學會自覺主動的尋求“中間變量”。最終達到解決問題的目的的過程。那么，在這一過程中數(shù)學學習究竟有那些規(guī)律可循？說具體一點有那些主要途徑，這里談一些粗淺的認識。策略之一：以數(shù)學知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，構(gòu)建學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)學習過程就其本質(zhì)而言是一種認識活動。因此，數(shù)學教學的根本任務(wù)是發(fā)展學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，首先應(yīng)明確：數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的；要建立學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，首先必須以數(shù)學知識結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，進行開發(fā)、利用，從而轉(zhuǎn)化為學生的數(shù)學的認知結(jié)構(gòu)。著重把握以下三個方面：（

11、1）加強數(shù)學知識的整體聯(lián)系。數(shù)學是一個有機整體，各知識相互聯(lián)系，教學中教師對數(shù)學知識的組織應(yīng)能促進學生從前后聯(lián)系上下照應(yīng)的角度對數(shù)學知識進行整體性構(gòu)建從而在頭腦中形成經(jīng)緯交織的知識網(wǎng)絡(luò)，這是一種“情景的整體關(guān)系”。對于一個具體的數(shù)學問題，應(yīng)該感知有效的信息。如在本文第二部分的例題分析中提出的第1、第2個問題，就是尋求有效信息，找其聯(lián)結(jié)點；對于“準類”的一塊知識，要注意縱向聯(lián)結(jié)。如函數(shù)，初一年級學習一次式、一元一次方程、二元一次方程組時，就要向?qū)W生滲透函數(shù)思想，初二學習正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)，要回首前面知識與函數(shù)的聯(lián)系，并在學習一元二次方程時，自然與二次函數(shù)聯(lián)結(jié)作準備。到了初三，初中數(shù)

12、學的“四個二次”（二次式、二次方程、二次不等式、二次函數(shù)）有機地綜合聯(lián)結(jié)；對于一章知識，要讓學生逐步自己小結(jié)，構(gòu)成知識網(wǎng)絡(luò)，輸入大腦，形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。（2）注意揭示數(shù)學思維過程。數(shù)學被稱為“思維的體操”，但是數(shù)學的思維價值和智力價值是潛在的，決不是自然形成的，也不是靠教師下達指令能創(chuàng)造出來的，課堂教學中，教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)問題情景，引導啟發(fā)學生積極思維，其間應(yīng)注意兩個環(huán)節(jié)：制造認知沖突充分揭示學生的思維過程，即使新的需要與學生原有的數(shù)學水平之間產(chǎn)生認知沖突。傳統(tǒng)的教學在教師分析討論解題時，往往思路理想化、技巧化、脫離學生的認知規(guī)律，忽視了學生的思維活動，導致學生一聽就懂，一做即錯。學生無法達到真

13、正的連結(jié)。為此，在引導學生學習中，為了使學生聯(lián)結(jié)中，必須充分估計知識方面的缺陷和學的思維心理障礙，揭示他們的思維過程，從反面和側(cè)面引起學生的注意和思考，使他們在跌到處爬起來，在認知沖突中加強聯(lián)結(jié)。稚化自身思維充分揭示教師的思維過程。即教師啟發(fā)引導要與學生的思維同步，切不可超前引路，越俎代皰。如果教師在教學中，對于各類問題，均能“一想即出，一做就對”，尤其是幾何證明題，輔助線新手拈來，或者把自己的解題過程直接拋給學生，使學生產(chǎn)生思維惰性，遇到新的問題情景，往往束手無策。只有通過教師的多種方式的啟發(fā)，稚化自身，象學生學習新知識的過程一樣展開教學，把自己認識問題的思維過程充分展示，接近學生的認知勢態(tài)

14、，學生才能真正體會、感受到數(shù)學知識所包含的深刻的思維和豐富的智慧。開發(fā)解題內(nèi)涵充分揭示數(shù)學發(fā)展的思維過程。在引導學生學習中，除了學生、教師的思維活動外，還存在著數(shù)學家的思維活動，即數(shù)學的發(fā)展思維過程。這種過程與經(jīng)過邏輯組織的理論體系是不同的。如果將課本內(nèi)容照搬到課堂上學生就無法領(lǐng)略到數(shù)學家精湛的思維過程。學生要吸取更多的營養(yǎng)，必須經(jīng)自身的探索去重新發(fā)現(xiàn)。這就需要教師幫助學生開發(fā)數(shù)學問題的內(nèi)涵，努力使學生的整理性思維方式變?yōu)樘剿餍运季S方式，有效地使學生從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)。（3）有機滲透數(shù)學思想方法。所謂數(shù)學思想方法就是數(shù)學活動的基本觀點，它包括數(shù)學思想和數(shù)學方法。數(shù)學思想是教學

15、思維的“軟件”，是數(shù)學知識發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和提升，是對數(shù)學規(guī)律更一般的認識，它蘊藏在數(shù)學知識之中，需要教師引導學生去挖掘。而挖掘的過程就是數(shù)學認知結(jié)構(gòu)形成的過程，也就是數(shù)學學習的最佳連結(jié)過程。數(shù)學方法是數(shù)學思維的“硬件”，它們是數(shù)學知識不可分割的兩部分。如字母代數(shù)思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、遞推思想、極限思想、參數(shù)思想、變換思想、分類思想等。數(shù)學方法包括一般的科學方法觀察與實驗、類比與聯(lián)想、分析與綜合、歸納與演繹、一般與特殊，還有具有數(shù)學學科特點的具體方法配方法、換元法、屬性結(jié)合法、待定系數(shù)法等等。這就要求在數(shù)學知識教學的同時，必須注重數(shù)學思想，數(shù)學方法的有機滲透，讓學生

16、學會對問題或現(xiàn)象進行分析、歸納、綜合、概括和抽象等。只有這樣，才能有助于學生一個活的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的形成?，F(xiàn)舉一例：例：如圖，在線段AB上有三個點C1，C2，C3，問圖中有多少條線段？若線段AB上有99個點，則有多少條線段？A C1 C2 C3B探索分析：如果一條一條數(shù)，這是一種思想方法；如果AB上有99個點就得另辟溪徑；假如一開始要你對后一種比較復雜的情況作出回答，就必須回到簡單情況去考慮，這就是一般到特殊、簡單到復雜的數(shù)學方法，也就是“以退求進”的變換思想；當有1個點C1時，有線段AC1，AB， C1A，共有2+1=3條；當有2個點C1C2時，有線段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6條；當有3個點C1C2C3時，有線段AC1，AC2，AC3，