精品資料（2021-2022年收藏）專題三數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用

1、.專題三 數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用知識(shí)概要我們把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系抽象出來，用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個(gè)近似的反映。初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)模型有：依據(jù)相等（或不等）關(guān)系抽象成方程（或不等式）模型，以解決利息和稅率、百分率、工程及勞力調(diào)配等問題；有依據(jù)平面幾何性質(zhì)抽象成的幾何模型，以解決零件加工、殘輪修復(fù)、工程選點(diǎn)、道路設(shè)計(jì)及飛輪、皮帶、拱橋等計(jì)算的問題；有關(guān)測(cè)量、航海、機(jī)翼、渠壩坡比、燕尾槽、屋架的計(jì)算等應(yīng)用問題可建立三角函數(shù)模型予以解決；還可以建立直角坐標(biāo)系模型，以解決投物、射擊、噴灌等物體運(yùn)動(dòng)的軌跡有某種規(guī)

2、律，或者變量的變化具有某種函數(shù)關(guān)系的實(shí)際問題；在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)大潮中，人們更加注重對(duì)普遍存在的諸如造價(jià)成本最低、產(chǎn)出利潤最大，風(fēng)險(xiǎn)決策、股市、期貨、開源節(jié)流、扭虧增盈、最優(yōu)化等問題的研究，可透過實(shí)際問題的背景，抓住本質(zhì)，挖掘隱含的數(shù)量關(guān)系，抽象成函數(shù)最值模型等。范例解析【例1】在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，某校甲、乙、丙三位同學(xué)一同調(diào)查了高峰時(shí)段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量，三位同學(xué)匯報(bào)高峰時(shí)段的車流量情況如下：甲同學(xué)說：二環(huán)路車流量每小時(shí)為10000輛；乙同學(xué)說：四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時(shí)多2000輛；丙同學(xué)說：三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍。請(qǐng)你根據(jù)他們所提供的信息，求出高

3、峰時(shí)段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？ 【解析】 此題已知三個(gè)常量之間的關(guān)系，通過建立方程模型來解決。在建立方程模型時(shí)，應(yīng)注意尋找問題中的已知量、未知量之間的等量關(guān)系來建立方程。解：設(shè)高峰時(shí)段三環(huán)路的車流量為每小時(shí)x輛，則高峰時(shí)段四環(huán)路的車流量為每小時(shí)(x+2000)輛。根據(jù)題意，得3x-(x+2000)=2×10000。解這個(gè)方程，得x=11000。故x+2000=13000。答：高峰時(shí)段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量分別為每小時(shí)11000輛和13000輛?！纠?】 某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天

4、銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱。（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。QM PA O 4.5米 B小敏 燈柱 小麗55°（3）當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 【解析 】（1）y=903（x50） 化簡，得y=3x240（2）w=（x40）（3x240）= 3x2360x9600（3）w=3x2360x9600= 3（x60）21125a=30拋物線開口向下.當(dāng)x=60時(shí)，w有最大值，又x60，w隨x的增大而增大， 當(dāng)x=55時(shí)

5、， w的最大值為1125元，當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為55元時(shí)，可以獲得最大利潤1125元的最大利潤【例3】如圖點(diǎn)P表示廣場(chǎng)上的一盞照明燈。QE DFM PC A O 4.5米 B小敏 燈柱 小麗55°（1）請(qǐng)你在圖中畫出小敏在照明燈P照射下的影子（用線段表示）；（2）若小麗到燈柱MO的距離為1.5米，小麗目測(cè)照明燈P的仰角為55°，她的目高QB為1.6米，試求照明燈P到地面的距離；結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：tan55 °1.428，sin55°0.819，cos55°0.574?！窘馕觥浚?）如圖，線段AC是小敏的影子。（2）過點(diǎn)Q作

6、QEMO于E，過點(diǎn)P作PFAB于F，交EQ于點(diǎn)D， 則PFEQ。 在RtPDQ中， PQD=55°，DQ=EQED=4.51.5=3（米）。tan55°=,PD=3 tan554.3（米）DF=QB=1.6米 .PF=PDDF=4.31.6=5.9（米）。答：照明燈到地面的距離為5.9米?！纠?】(2006年東營市中考題)某單位欲從內(nèi)部招聘管理人員一名，對(duì)甲、乙、丙三名候選人進(jìn)行了筆試和面試兩項(xiàng)測(cè)試，三人的測(cè)試成績?nèi)缦卤硭荆簻y(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績/分甲乙丙筆試758090面試937068甲：25%丙：35%乙：40%根據(jù)錄用程序，組織200名職工對(duì)三人利用投票推薦的方式進(jìn)行民主

7、評(píng)議，三人得票率（沒有棄權(quán)票，每位職工只能推薦1人）如扇形統(tǒng)計(jì)圖所示，每得一票記作1分 (1) 請(qǐng)算出三人的民主評(píng)議得分； (2) 如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用（精確到0.01分）？ (3) 根據(jù)實(shí)際需要，單位將筆試、面試、民主評(píng)議三項(xiàng)測(cè)試得分按433的比例確定個(gè)人成績，那么誰將被錄用？【解析】（1）甲的民主評(píng)議得分為：200 × 25%=50(分)，乙的民主評(píng)議得分為：200 × 40%=80(分)，丙的民主評(píng)議得分為：200 × 35%=70(分)。（2）甲的平均成績?yōu)椋?分)， 乙的平均成績?yōu)椋?分)，丙的平均成績?yōu)椋?分).由于7

8、6.67>76>72.67, 所以候選人乙將被錄用 （3）如果將理論考試、面試、民主評(píng)議三項(xiàng)測(cè)試得分按433的比例確定個(gè)人成績，那么甲的個(gè)人成績?yōu)椋?分)，乙的個(gè)人成績?yōu)椋?分)，丙的個(gè)人成績?yōu)椋?分).由于丙的個(gè)人成績最高, 所以候選人丙將被錄用【例5】（2006年菏澤市中考題）將編號(hào)依次為，的四個(gè)同樣的小球放進(jìn)一個(gè)不透明的袋子中，搖勻后甲、乙二人做如下游戲：每人從袋子中各摸出一個(gè)球，然后將這兩個(gè)球上的數(shù)字相乘，若積為奇數(shù)，則甲獲勝；若積為偶數(shù)，則乙獲勝請(qǐng)問：這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方公平嗎？請(qǐng)用概率的知識(shí)說明理由【解析】這種游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方不公平理由：不妨設(shè)甲先摸，則甲、乙

9、所摸得球的情況如下，開始23412 3 41 3 41 2 41 2 3甲：乙：（2）（3）（4）（2）（6）（8）（3）（6）（12） （4）（8）（12）積：總共有種情況，每種情況發(fā)生的可能性相同，其中積為奇數(shù)的情況有種，積為偶數(shù)的情況有種，所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為因，所以這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲、乙雙方不公平單元目標(biāo)訓(xùn)練1. 如圖，三條公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，現(xiàn)計(jì)劃修一個(gè)油庫，要求到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有（ ）A、一處 B、二處 C、三處 D、四處2.采石場(chǎng)工人爆破時(shí)，為了確保安全，點(diǎn)燃炸藥導(dǎo)火線后要在炸藥爆破前轉(zhuǎn)移到400米以外的安全區(qū)域；導(dǎo)火線燃燒速度是

10、1厘米/秒，人離開的速度是5米/秒，至少需要導(dǎo)火線的長度是( )A . 70厘米 B. 75厘米 C. 79厘米 D. 80厘米  3.某商店如將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤最大，并求出最大利潤4.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每件單價(jià)是80元，直接生產(chǎn)成本是60元，該工廠每月其它總開支是50000元如果該工廠計(jì)劃每月至少要獲得200000元利潤，假定生產(chǎn)的全部產(chǎn)品都能賣出，問每月的生產(chǎn)量應(yīng)是多少？5.將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每

11、一段鐵絲的長度為周長做成一個(gè)正方形 (1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請(qǐng)說明理由6.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn) C，測(cè)得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度（參考數(shù)值：tan31°，sin31°）7.國家教育部規(guī)定“中小學(xué)生每天在校體育活

12、動(dòng)時(shí)間不低于1小時(shí)”.為此,我州今年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試體育學(xué)科分值提高到40分,成績記入考試總分.某中學(xué)為了了解學(xué)生體育活動(dòng)情況,隨機(jī)調(diào)查了720名畢業(yè)班學(xué)生,調(diào)查內(nèi)容是:“每天鍛煉是否超過1小時(shí)及未超過1小時(shí)的原因”,所得的數(shù)據(jù)制成了如圖9的扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖.根據(jù)圖示,解答下列問題:(1)若在被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)選出一名學(xué)生測(cè)試其體育成績,選出的恰好是“每天鍛煉超過1小時(shí)”的學(xué)生的概率是多少？(2)“沒時(shí)間”的人數(shù)是多少？并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)2008年恩施州初中畢業(yè)生約為4.3萬人,按此調(diào)查,可以估計(jì)2008年全州初中畢業(yè)生中每天鍛煉未超過1小時(shí)的學(xué)生約有多少萬人？(4)請(qǐng)根

13、據(jù)以上結(jié)論談?wù)勀愕目捶?鍛煉未超過1小時(shí)人數(shù)頻數(shù)分布直方圖原因人數(shù)不喜歡沒時(shí)間其它答案與提示1. D 2. D 3. 簡析設(shè)每件售價(jià)提高x元，則每件得利潤(2x)元，每天銷售量變?yōu)?20020x)件，所獲利潤y(2x)(20020x)20(x4)2720故當(dāng)x4時(shí)，即售價(jià)定為14元時(shí)，每天可獲最大利潤720元4.設(shè)每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則總收入為80x，直接生產(chǎn)成本為60x，每月利潤為80x60x5000020x50000問題轉(zhuǎn)化為求不等式20x50000200000的解解得x12500(件)。5. (1) 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm 。（2）不能。6. 過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，設(shè)CDx米，在RtBCD中，CBD45°，BDCDx米在RtACD中，DAC31°，ADAB