連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 1、隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間，不能一一列出。、隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間，不能一一列出。 2 2、隨機(jī)變量取任一值的概率為、隨機(jī)變量取任一值的概率為0 0，即，即P(X=x)=0P(X=x)=0。 用直方圖近似正態(tài)分布的概率密度演示用直方圖近似正態(tài)分布的概率密度演示矩形寬度代表分組個(gè)數(shù)，高度代表落在該區(qū)間樣本的頻率矩形寬度代表分組個(gè)數(shù)，高度代表落在該區(qū)間樣本的頻率高度越大，相應(yīng)區(qū)間的樣本數(shù)越多，分布越密集，反之亦然高度越大，相應(yīng)區(qū)間的樣本數(shù)越多，分布越密集，反之亦然分組越多，則頻率直方圖趨于一光滑曲線：概率密度分組越多，則頻率直方圖趨于一光滑曲線：概

2、率密度例子：例子：1 1、燈泡（電視機(jī)）的壽命；、燈泡（電視機(jī)）的壽命； 2 2、股票的收益率等。、股票的收益率等。背景背景:1、概率密度的定義、概率密度的定義 1. ()0. 2. ()=1. 3. , (), (), : ()(.)bafxfx dxa bRabP aXbfXfxXfxXx dx 設(shè)設(shè)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量, , 如如果果存存在在非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)滿滿足足則則稱稱為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量, ,稱稱為為成成的的概概率率密密度度立立說明：說明：f(x)f(x)、x x軸所圍曲邊梯形面積等于軸所圍曲邊梯形面積等于1 1一、概率密度定義及性質(zhì)一、概率密度定義及性質(zhì)(重點(diǎn)

3、重點(diǎn))PaXbPaXb等于等于 f(x)f(x)、x x軸、直線軸、直線x=ax=a、x=bx=b所圍曲邊梯形面積所圍曲邊梯形面積改變改變f(x)f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值，不影響在個(gè)別點(diǎn)的值，不影響Pa 1 10 00 00 0f f( (x x) )= =求求任任取取 只只 至至少少有有1 1只只壽壽命命大大于于的的概概率率x x0 0 其其它它若若已已知知一一元元件件壽壽命命大大于于1 15 50 00 0小小時(shí)時(shí), ,則則其其 壽壽命命大大于于2 20 00 00 0小小時(shí)時(shí)的的概概率率是是多多少少? ?1500(1,2,3,4) i i解解: : X X為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量,

4、, 設(shè)設(shè)A A第第 個(gè)個(gè)元元件件壽壽命命大大于于iidx1 15 50 01 1+ +0 0( (1 1) ) P P = =P P( (X X 1 15 50 00 0) )f f( (x x) )= = 210001000231500 + +1 15 50 00 0= =xxdx1 14 44 4i i4 42 22 23 3P P( (A A ) ) = =( (2 2) ) P P = =P P P P( (X X 1 15 5A A0 0( (A A) )= =A A0 0) ) A A2441000162381)( ) + +1 15 50 00 0= =( (xdx3 31 12

5、 23 34 4( (3 3) ) P P = =P P( (A AA AA AA A ) )4 44 41 1i i4 4= =1 1- - P P( (A A ) ) = =1 1- - 1 1- -P P( (A A ) ) 1 1- - 1 1- -P P( (X X 1 15 50 00 0) ) = =4 4280280381381=1-1- =1-1- =4 4P P( (X X 2 2( (4 4) ) 所所求求0 00 00 0| |X X 概概1 1率率為為 P P = =5 50 00 0) ) 4 4P P( () )P PP P = =P P X X 1 15 50

6、00 0 X X 1 15 50 00 0 X X 2 20 00 00 0 P P X XX X 2 2 1 10 00 00 0 5 50 00 0 2 2+ +1 10 00 00 0 x x2 20 00 00 0P P X X 1 15 50 00 0 dx1234 2 23 31 12 23 34 41 1- -P P( (A A ) )P P( (A A ) )P P( (A A ) )P P( (A A= =) )1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b10,( ),( , ),( , ).axbXf xbaXa bXU a b設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量具具有有概概率率

7、密密度度其其它它則則稱稱在在區(qū)區(qū)間間區(qū)區(qū)間間上上服服從從均均勻勻分分布布 記記為為 , ( ,)( , ), ()( )clcc lRc cla blP cXclf x dxba 對(duì)對(duì)如如果果 則則說明：說明：X X落在落在(a,b)(a,b)任子區(qū)間的概率只與區(qū)間寬度有關(guān)，與區(qū)間位置無(wú)關(guān)任子區(qū)間的概率只與區(qū)間寬度有關(guān)，與區(qū)間位置無(wú)關(guān)二、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量二、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量 (重點(diǎn)）重點(diǎn)）34,).aa a3 3例例3 3 向向區(qū)區(qū)間間 0 0, ,a a 上上任任意意投投點(diǎn)點(diǎn), , 用用X X表表示示該該點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo). . 設(shè)設(shè)該該點(diǎn)點(diǎn)落落在在( (0 0, ,a a) )中中任任一

8、一子子區(qū)區(qū)間間的的概概率率與與區(qū)區(qū)間間長(zhǎng)長(zhǎng)度度成成正正比比, ,與與區(qū)區(qū)間間位位置置無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). .求求: : ( (1 1) )概概率率密密度度f(wàn) f( (x x) ); ; ( (2 2) )X X落落在在 的的概概率率: , X0, aU解解 根根據(jù)據(jù)題題意意(1) f( )x1 1a a 0 0 x x a a= =0 0 其其它它 ()fx dx3 3a a4 4a a3 3a a3 3a a3 34 4( (2 2) ) P P( (X X ) )= = dx3 3a a4 4a a3 31 11 15 5a a5 5a aa a1 12 21 12 2 例例4 4 隨機(jī)變量隨機(jī)變量

9、X X 服從服從(2(2，5)5)上均勻分布，現(xiàn)對(duì)上均勻分布，現(xiàn)對(duì)X X 進(jìn)行進(jìn)行3 3次獨(dú)次獨(dú)立重復(fù)觀察，試求至少有立重復(fù)觀察，試求至少有2 2次觀測(cè)值大于次觀測(cè)值大于3 3的概率？的概率？解：令解：令A(yù)=A=觀測(cè)值大于觀測(cè)值大于3353()(3)()fx dAP XxP 15-132 2 0 0, , P P X X s s+ +t t| |X X s s = =P P X X t t : 簡(jiǎn)簡(jiǎn)證證P P X X s s+ +t t| |X X s s P P X X s s+ +t t= = P P X X s s （1 1）適用于各種壽命分布，如電子元件壽命、動(dòng)物壽命、通話時(shí)間等）適用

10、于各種壽命分布，如電子元件壽命、動(dòng)物壽命、通話時(shí)間等 ( (s s+ +t t) )t ts s- - - -e ee e= = =P P = =e eX X t t 如如X X表示元件的壽命，即元件對(duì)它已使用過的表示元件的壽命，即元件對(duì)它已使用過的s s小時(shí)沒有記憶小時(shí)沒有記憶( )( )0,( )1f xf xf x dx+ +- -( (2 2) ) 概概率率密密度度滿滿足足: : : , 0,1,2,3,4,5, Yb(5, p)Y解解 根根據(jù)據(jù)題題意意可可能能取取值值251101(1)0.517P YP Ye (10)( )pP Xf x dx+ +1 10 0 52xedxe+ +

11、1 15 51 10 0 2255()() (1) (k=0,1,2,3,4,5)kkkP YkCee 5155() 0( )0 01051.xXexf xxYYP Y 例例考考研研題題目目顧顧客客到到銀銀行行窗窗口口等等待待服服務(wù)務(wù)時(shí)時(shí)間間 服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布, ,其其概概率率密密度度為為某某顧顧客客在在窗窗口口等等待待服服務(wù)務(wù), ,若若超超過過分分鐘鐘, ,他他就就離離開開. .他他一一月月到到銀銀行行 次次, ,以以 表表示示一一月月內(nèi)內(nèi)他他未未等等到到服服務(wù)務(wù)而而離離開開的的次次數(shù)數(shù), , 求求 的的分分布布律律, , 并并求求 /10011006(38,5) (), 0( )

12、(1) 2000 ; (2)3200.xPXexf x例例例例某某種種電電子子元元件件的的壽壽命命以以小小時(shí)時(shí)計(jì)計(jì) 服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布其其概概率率密密度度求求元元件件壽壽命命至至少少為為小小時(shí)時(shí)其其它它的的概概率率將將 只只這這種種元元件件聯(lián)聯(lián)接接成成為為一一系系統(tǒng)統(tǒng), ,設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)工工作作的的方方式式是是至至少少2 2只只元元件件失失效效時(shí)時(shí)系系統(tǒng)統(tǒng)失失效效, ,又又設(shè)設(shè)3 3只只元元件件工工作作相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .求求系系統(tǒng)統(tǒng)壽壽命命至至少少為為小小時(shí)時(shí)的的概概率率:(1) 200( )P Xf x dx2 20 00 0解解(2)20032200系系統(tǒng)統(tǒng)壽壽命命至至少少小小時(shí)時(shí)

13、元元件件中中至至少少有有 只只壽壽命命大大于于小小時(shí)時(shí)223pP YP YP Y/10021100 xedxe2 20 00 03200Y設(shè)設(shè) 為為 元元件件中中壽壽命命大大于于小小時(shí)時(shí)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)2(3, )Ybe則則 222223423() (1)()(32)0.05Ceeeee1 1、例子：、例子： 某大學(xué)男學(xué)生身高的頻率直方圖某大學(xué)男學(xué)生身高的頻率直方圖紅線是擬合的正態(tài)分布概率密度曲線，身高服從正態(tài)分布紅線是擬合的正態(tài)分布概率密度曲線，身高服從正態(tài)分布各人身高不等，但中等身材者占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，各人身高不等，但中等身材者占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，且較高和較矮的人占比

14、大致相近，這正是正態(tài)分布的特點(diǎn)。且較高和較矮的人占比大致相近，這正是正態(tài)分布的特點(diǎn)。（三）正態(tài)分布（重點(diǎn)）（三）正態(tài)分布（重點(diǎn)） （1 1）某零件的測(cè)量誤差、規(guī)格大小重量等；）某零件的測(cè)量誤差、規(guī)格大小重量等；其它例子：其它例子：（2 2）一個(gè)地區(qū)男人、女人的身高、體重）一個(gè)地區(qū)男人、女人的身高、體重, ,學(xué)生的考試成績(jī)；學(xué)生的考試成績(jī)；（3 3）資產(chǎn)（或投資組合）的收益率。）資產(chǎn)（或投資組合）的收益率。22(2)2, , (0), X1 , ( )2xf xeXx 如如果果連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率密密度度為為為為常常數(shù)數(shù)則則稱稱服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布X X( (, ,記記N

15、 N作作: :) ). .2 2、定義：、定義：0, 1, (0,1)XN 時(shí)時(shí) 221: ( )2xxe 概概率率密密度度1dx+ +- -f f( (x x) )滿滿 足足 概概 率率 條條 件件 : : f f( (x x) )0 0, , f f x x) ) ( ( 說明：說明：, , xtxtdxdt - -證證明明( (2 2) ): : 令令則則2222222222, ttuutIedtIedteduedtdu + + + + + +- - - - - -記記則則222rredrd 2 2+ +0 00 022()2221()212txfx dxedtxed + +- -+ +

16、 +- - -222I0, tedt + +- -由由于于()1fx dx + +- -課堂練習(xí)課堂練習(xí).151510.3 3 設(shè)設(shè)公公汽汽車車站站每每分分鐘鐘有有一一輛輛汽汽車車通通過過，乘乘客客在在分分鐘鐘內(nèi)內(nèi)到到車車站站是是等等可可能能的的，乘乘客客候候車車時(shí)時(shí)間間超超過過分分鐘鐘的的概概率率1 各設(shè)備工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是各設(shè)備工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01。一臺(tái)設(shè)備的。一臺(tái)設(shè)備的故障由一人處理。求故障由一人處理。求: (1)3名維修工負(fù)責(zé)名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備，求出現(xiàn)故障不臺(tái)設(shè)備，求出現(xiàn)故障不能及時(shí)修理的概率；能及時(shí)修理的概率；(2)現(xiàn)有現(xiàn)有300臺(tái)設(shè)備，至少應(yīng)配

17、多少維修工，臺(tái)設(shè)備，至少應(yīng)配多少維修工，才保證出現(xiàn)故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于才保證出現(xiàn)故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01？(泊松近似泊松近似). 1000,(10001200).XXPX 2 2 某某型型號(hào)號(hào)電電子子管管的的壽壽命命 服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布, ,如如果果它它的的平平均均壽壽命命小小時(shí)時(shí) 寫寫出出 的的概概率率密密度度 計(jì)計(jì)算算1. 各設(shè)備工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是各設(shè)備工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01。一臺(tái)設(shè)備的。一臺(tái)設(shè)備的故障由一人處理。求故障由一人處理。求: (1)3名維修工負(fù)責(zé)名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備，求出現(xiàn)故障不臺(tái)設(shè)備，求出現(xiàn)故障不能及時(shí)修理的概率；能

18、及時(shí)修理的概率；(2)現(xiàn)有現(xiàn)有300臺(tái)設(shè)備，至少應(yīng)配多少維修工，臺(tái)設(shè)備，至少應(yīng)配多少維修工，才保證出現(xiàn)故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于才保證出現(xiàn)故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解：解：(1)設(shè)設(shè)X為為90設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X b (90, 0.01)3909003130 010 991: ()().* .kkkkCP XP X所所求求概概率率 0 9900 01, ., , .nppn可可用用 = =0 0. .9 9的的泊泊松松分分布布近近似似 0 93003110 98709013.!().kkekP X (2) 設(shè)設(shè)X為為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)

19、，臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，XB(n, p)，n=300, p=0.01設(shè)配備設(shè)配備N個(gè)維修工，所求的是滿足個(gè)維修工，所求的是滿足P(XN) 0.01的最小的的最小的N. 3003000()1()1(0.01) (0.99)NkkkkP XNP XNC 330010.01 330.99!kkNNkkeekk 上上式式n大，大，p小，小，np=3，用，用 =np=3的泊松近似的泊松近似查泊松分布表，最小查泊松分布表，最小N=8。至少配。至少配8名維修工。名維修工。1,015()150 ,xp x其其 它它(0 15) .XXU解解: : 用用表表示示乘乘客客的的候候車車時(shí)時(shí)間間，則則，.1515