熱傳導(dǎo)和熱輻射 第五章 Laplace 變換方法

1、lLaplace 變換方法廣泛應(yīng)用于求解非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，將對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)消去。方法是簡(jiǎn)單的，但對(duì)變換后得到的解進(jìn)行反變換則相當(dāng)復(fù)雜。l（一） 定義 設(shè)有一個(gè)函數(shù) F(t) 是時(shí)間 t 的函數(shù)，如果該函數(shù)在復(fù)數(shù) S 平面的某一區(qū)域 收斂，稱(chēng)作 F(t) 的像函數(shù)圖（51） 復(fù)變函數(shù)的定義l1，變換是線(xiàn)性的，l其中 C1, C2 為常數(shù)。l2，導(dǎo)數(shù)的Laplace 變換：l3, 積分的Laplace 變換：由導(dǎo)數(shù)的Laplace 變換得到注意到 g(0) = 0 , 有即重復(fù)上述運(yùn)算，可以得到 F(t) 的多重積分的Laplace 變換。l4，比例變換：l已知 是 F(t) 的Laplace 變

2、換， 那么， F(at) 和 (式中 a 是正的實(shí)常數(shù)）的Laplace 變換為l5, 位移定理（替換性質(zhì)）l函數(shù) 的Laplace 變換，其中 a 是常數(shù)，即6， 位移（延遲）函數(shù)的Laplace 變換：l單位階躍函數(shù) U(t) 和 U(t-a) 的定義：圖(52) 單位階躍函數(shù)U(t)和U(t-a)的定義l位移函數(shù)：位移函數(shù)的Laplace 變換：l結(jié)果表明，位移函數(shù) u(t-a)F(t-a) 的Laplace 變換等于函數(shù) F(t) 的Laplace 變換 乘以 .l單位階躍函數(shù) U(t-a) 的Laplace 變換： l（ 因?yàn)?F(t-a) = 1 ) l關(guān)于 函數(shù)的Laplace

3、變換， 卷積的Laplace 變換和廣義卷積的Laplace 變換，請(qǐng)同學(xué)看書(shū)。l 在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，Laplace 變換一般用于對(duì)時(shí)間變量的變換上。因此，最重要的一步是把 Laplace 變換得到的像函數(shù)從Laplace 變量 s 的區(qū)域變換到實(shí)際的時(shí)間變量 t 的區(qū)域的反變換。 為了簡(jiǎn)化這一過(guò)程，根據(jù)Laplace 變換的性質(zhì)，已經(jīng)將許多函數(shù)的Laplace 變換的反變換列成表格。l求解半無(wú)限大物體的溫度場(chǎng)。l控制方程：l邊界條件和初始條件：邊界條件和初始條件：根據(jù)初始條件和邊界條件(4)式的解為l由像函數(shù)反映的原函數(shù)的公式：l上式的意義：1，該積分是在復(fù)平面 s = x+ i y 上 進(jìn)行

4、的；2，且沿著 x = 的無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)進(jìn)行的；3，注意選取常數(shù) 使得 全部奇點(diǎn)都在 x = 的左邊。圖(5-3) 在反變換公式中的積分路徑奇點(diǎn)的種類(lèi)：l1，奇點(diǎn)；l2，孤立奇點(diǎn)；l3，極點(diǎn)；l4，轉(zhuǎn)移點(diǎn)；l像函數(shù)化為原函數(shù)的積分運(yùn)算，需要應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的回路積分法和用留數(shù)定理。現(xiàn)在作一介紹。圖(5-4) 單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域l若在該單連通區(qū)域上， 復(fù)變函數(shù) f(s) 是解析的，利用科希定理，則有： l即圖(5-5) 一個(gè)孤立奇點(diǎn)l羅朗級(jí)數(shù)的 項(xiàng)的系數(shù) 具有特別重要的地位，因而 稱(chēng)作函數(shù) f(s) 在點(diǎn) s 的留數(shù)，記作.圖(5-6) 留數(shù)定理的回路l從原則上說(shuō)，只要在以孤立奇點(diǎn)為圓心的圓環(huán)域上把

5、函數(shù)按羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)，取它負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)即可。若能直接計(jì)算留數(shù)，而不作羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)就方便了。l上述的回路積分和留數(shù)定理可用于下面的反變換的關(guān)系式的積分運(yùn)算。圖(57) 類(lèi)型1所討論的反變換問(wèn)題的回路圖(58) 類(lèi)型2所討論的反變換問(wèn)題的回路l分別討論各段的積分，l直線(xiàn) AB 段積分l Example 1l某一球體，內(nèi)有一小球，由金屬材料構(gòu)成，故可近似視為溫度均勻分布，即 T2只是時(shí)間 t 的函數(shù)；在 r R 的區(qū)域，由另外的材料組成，一般為絕熱材料。l故該區(qū)域的溫度分布是 r 和 t 的函數(shù)。試求： T1 ( r, t ) 和 T2 ( t ) 。l（忽略接觸熱阻）。圖(5-9) 例題的示意圖l（一）控制方程：邊界條件l初始條件l（二）利用Laplace變換求解：l(1)式的Laplace變換：l將 T1 ( r,0 ) = Tc , 代入上式，整理得到：l(2)式的Laplace變換：l(3)式的Laplace變換：l(4)式的Laplace變換：l（三）求原函數(shù) T1