函數(shù)零點問題

1、 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 . xy01xy011|aa變式：（08湖北卷13）方程的實數(shù)解的個數(shù)為 3,212xxgxfxxy031由圖可知，原方程有2個解【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013湖南高考湖南高考) )函數(shù)函數(shù)f(x)=2lnxf(x)=2lnx的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)=xg(x)=x2 2-4x+5-4x+5的圖的圖象的交點個數(shù)為象的交點個數(shù)為( () )A.3 B.2 C.1 D.0A.3 B.2 C.

2、1 D.0【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.因為因為g(x)=g(x)=x x2 2-4x+5=(x-2)-4x+5=(x-2)2 2+1,+1,又當(dāng)又當(dāng)x=2x=2時時, ,f(x)=2ln2=ln41,f(x)=2ln2=ln41,在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)=2lnxf(x)=2lnx與與g(x)=xg(x)=x2 2-4x+5-4x+5的圖象如圖所示的圖象如圖所示, ,可知可知f(x)f(x)與與g(x)g(x)有兩個不同的交點有兩個不同的交點. .1 1.(2014.(2014天津模擬天津模擬) )若函數(shù)若函數(shù)f(x)=|xf(x)=|x2 2-

3、4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三個不同的零點恰有三個不同的零點, ,則實數(shù)則實數(shù)a a的值是的值是( () )A.-1 B.- C.1A.-1 B.- C.1或或 D.-1 D.-1或或- - 343434【解析】解析】選選D.D.函數(shù)函數(shù)f(x)=|xf(x)=|x2 2-4x+3|-x-a-4x+3|-x-a恰有三個不同的零點恰有三個不同的零點, ,即即|x|x2 2-4x+3|=x+a-4x+3|=x+a有三個不同的解有三個不同的解, ,也就是函數(shù)也就是函數(shù)y=|xy=|x2 2-4x+3|,-4x+3|,y=x+ay=x+a的圖象有三個不同的交點的圖象有三個不同的交點. .

4、畫出函數(shù)畫出函數(shù)的圖象的圖象, ,觀察可知觀察可知, ,直線過直線過(1,0)(1,0)或直線與或直線與y=|xy=|x2 2-4x+3|-4x+3|的圖象的圖象相切時相切時, ,符合題意符合題意, ,實數(shù)實數(shù)a a的值是的值是-1-1或或- .- .34(1)(2015(1)(2015廣州模擬廣州模擬) )函數(shù)函數(shù)f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-1x|-1的零點個的零點個數(shù)為數(shù)為( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.函數(shù)函數(shù)f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-

5、1x|-1的零點即的零點即2 2x x|log|log0 0.5.5x|x|-1=0-1=0的解的解, ,即即|log|log0 0.5.5x|= x|= 的解的解, ,作出函數(shù)作出函數(shù)g(x)=|logg(x)=|log0 0.5.5x|x|和函數(shù)和函數(shù)h(x)= h(x)= 的圖象的圖象, ,由圖象可知由圖象可知, ,兩函數(shù)圖象共有兩個交點兩函數(shù)圖象共有兩個交點, ,故函數(shù)故函數(shù)f(x)=2f(x)=2x x|log|log0 0.5.5x|-1x|-1有有2 2個零點個零點. .x1( )2x1( )2函數(shù)函數(shù)f(x)=f(x)=則零點的個數(shù)如何則零點的個數(shù)如何? ?【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)

6、x0 x0時時, ,令令g(x)=ln x,h(x)=xg(x)=ln x,h(x)=x2 2-2x.-2x.畫出畫出g(x)g(x)與與h(x)h(x)的圖象的圖象如圖如圖: :故當(dāng)故當(dāng)x0 x0時時,f(x),f(x)有有2 2個零點個零點. .當(dāng)當(dāng)x0 x0時時, ,由由4x+1=0,4x+1=0,得得x=- ,x=- ,綜上函數(shù)綜上函數(shù)f(x)f(x)的零點個數(shù)為的零點個數(shù)為3.3.142ln x x2x,x 0,4x 1,x 0,4.(12分)(2014鄭州模擬)已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當(dāng)x0,+)時,f(x)=x2-2x.(1)寫出函數(shù)y=f(x)的解析式.(2)若方

7、程f(x)=a恰有3個不同的解,求a的取值范圍.3.(20143.(2014哈爾濱模擬哈爾濱模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)(xR)y=f(x)(xR)滿足滿足f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),且當(dāng)且當(dāng)x(-1,1x(-1,1時時,f(x)=|x|,f(x)=|x|,函數(shù)函數(shù)g(x)= g(x)= 則函數(shù)則函數(shù)h(x)=h(x)=f(x)-g(x)f(x)-g(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,5-5,5上的零點的個數(shù)為上的零點的個數(shù)為( () )A.8A.8B.9B.9C.10C.10D.11D.11sin x, x 0,1, x 0 x，【解析】【解析】選選B.B.函數(shù)函數(shù)y=

8、f(x)(xy=f(x)(xR)R)滿足滿足f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),故故f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),即函數(shù)即函數(shù)f(x)f(x)的周期為的周期為2,2,作出作出x(-1,1x(-1,1時時, ,f(x)=|x|f(x)=|x|的圖象的圖象, ,并利用周期性作出函數(shù)并利用周期性作出函數(shù)f(x)f(x)在在-5,5-5,5上的圖象上的圖象, ,在在同一坐標(biāo)系內(nèi)再作出同一坐標(biāo)系內(nèi)再作出g(x)g(x)在在-5,5-5,5上的圖象上的圖象, ,由圖象可知由圖象可知, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)與與g

9、(x)g(x)的圖象有的圖象有9 9個交點個交點, ,所以函數(shù)所以函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,5-5,5上的零點的個數(shù)為上的零點的個數(shù)為9.9.(2014(2014長春模擬長春模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)的周期的周期為為2,2,當(dāng)當(dāng)x-1,1x-1,1時時f(x)=xf(x)=x2 2, ,那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=|lgx|y=|lgx|的圖象的交點的圖象的交點共有共有( () )A.10A.10個個B.9B.9個個C.8C.8個個D.1D.1個個【解析】【解析】選選A.A.根據(jù)

10、根據(jù)f(x)f(x)的性質(zhì)及的性質(zhì)及f(x)f(x)在在-1,1-1,1上的解析式可作上的解析式可作圖如圖圖如圖: :當(dāng)當(dāng)x=10 x=10時時,|lg10|=1,|lg10|=1,當(dāng)當(dāng)1x101x10時時,|lgx|1,|lgx|1,當(dāng)當(dāng)0 x10 x0,|lgx|0,當(dāng)當(dāng)x10 x10時時,|lgx|1.,|lgx|1.結(jié)合圖象知結(jié)合圖象知y=f(x)y=f(x)與與y=|lgx|y=|lgx|的圖象交點共有的圖象交點共有1010個個. .2.2.直線直線y=1y=1與曲線與曲線y=xy=x2 2-|x|+a-|x|+a有四個交點有四個交點, ,則則a a的取值范圍是的取值范圍是. .【解

11、析】【解析】y= y= 作出圖象作出圖象, ,如圖所示如圖所示. .此曲線與此曲線與y y軸交于軸交于(0,a)(0,a)點點, ,最小值為最小值為a- ,a- ,要使要使y=1y=1與其有四個交點與其有四個交點, ,只需只需a- 1a,a- 1a,所以所以1a .1a0.a0.當(dāng)當(dāng)a2a2時時, ,在在y y軸右側(cè)軸右側(cè), ,兩函數(shù)圖象只有一個公共點兩函數(shù)圖象只有一個公共點, ,此時在此時在y y軸左側(cè)軸左側(cè), ,射線射線y=ax(x0)y=ax(x0)與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-5x-4(-4x-1)-5x-4(-4x-1)需相切需相切. .由由 消去消去y,y,得得x x2

12、2+(5-a)x+4=0.+(5-a)x+4=0.由由=(5-a)=(5-a)2 2-16=0,-16=0,解得解得a=1a=1或或a=9.a=9.a=1a=1與與a2a2矛盾矛盾,a=9,a=9時時, ,切點的橫坐標(biāo)為切點的橫坐標(biāo)為2,2,不符合不符合, ,故故0a2,0a2,此時此時, ,在在y y軸右側(cè)軸右側(cè), ,兩函數(shù)圖象有兩個公共點兩函數(shù)圖象有兩個公共點, ,若滿足條件若滿足條件, ,則則-a-1,-a1,a1,故故1a2.1a x=0, 2f(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0- x=0, 2f(0)=-af(0)=-a為極大值為極大值f(2)=-4-af(2)=-4-a為極小

13、值為極小值當(dāng)當(dāng)f(0)0, f(2)0, f(2)0, -4-a0, -4-a0, 即即-4a0-4a0時，有三個不等實根時，有三個不等實根當(dāng)當(dāng)f(0)=0, f(2)0f(0)=0, f(2)0, f(2)=0f(0)0, f(2)=0時，即時，即a=0,a=0,或或 a=-4 a=-4時，有兩個不等實根時，有兩個不等實根( (其中一個其中一個為為2 2重根）因為重根）因為3 3次方程必至少有一個實根，次方程必至少有一個實根，因此因此a0 a0 或或a-4a0 (1) (1) 求求f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2) (2) 若若f(x)在在x= - -1處取得極值，直線處取得極值，直線 y=m與與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求的圖象有三個不同的交點，求m的的取值范圍取