向量空間的定義教案(50分鐘)

1、 向量空間的定義”教案 50 分鐘) i 教學(xué)目的 1、 使學(xué)生初步掌握向量空間的概念。 2、 使學(xué)生初步了解公理化方法的含義。 3、 使學(xué)生初步嘗試現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的特點(diǎn) II 教學(xué)重點(diǎn) 向量空間的概念。 川教學(xué)方式 既教知識(shí)，又教思想方法。 IV教學(xué)過(guò)程 第六章向量空間 6.1 定義和例子 一、 向量空間概念產(chǎn)生的背景 I : 1) a + 目=0 +a I 數(shù) a+b, ab;2 (-：山)，“，) = I 幾何向量二 ,a- ; 3) 0 ：=： 多項(xiàng)式 f(x)+g(x),af(x); 4) ： ： =0 函數(shù) f(x)+g(x),af(x); 5) : a(卅亠) a： 矩陣 A+

2、B, aA; 6) (a； b)： -at 1 b： I . 7) (ab)：二 a(b： ) : i 8) 1-=- : 二、 向量空間的定義 定義 1 令 F 是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn) 中的元素用小寫(xiě)拉丁字母 a, 個(gè)非空集合，V 中元素用小寫(xiě)希臘字母, -, 來(lái)表示。把 而把 F中的元素叫做數(shù)(標(biāo))量，如果下列條件被滿足，就稱 間：),c,來(lái)表示。令 V 是一 V 中的元素叫做向量， V 是 F 上的向量空 1 在 V 中定義了一個(gè)加法，對(duì)于 V 中任意兩個(gè)向量：，：，有唯一確定的向量與 它們對(duì)應(yīng)，這個(gè)向量叫做二:與:的和，并且記作一：。 即若二三 V J心 V,則（：）_.，: . V。 2 有

3、一個(gè)數(shù)量與向量的乘法，對(duì)于 F 中每一個(gè)數(shù) a 和 v 中每一個(gè)向量有 v 中唯- 確定的向量與它們對(duì)應(yīng)，這個(gè)向量叫做 a 與的積，并且記作。 即a三F,圧三V, （a,用）r ax三V。 3 向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下列算律： 1）二亠- 2） - ； 3） 在 V 中存在一個(gè)零向量，記作 0,它具有以下性質(zhì)：對(duì)于 V 中每一個(gè)向量， 都有 0 * = :； 4） 對(duì)于 V 中每一向量，在 V 中存在一個(gè)向量，使得* =0，這樣的叫做的負(fù) 向量。 5） a（二亠 1）二 a 二 a -； 6） （a b） ： = a t ba ； 7） （ab） ： = a（b ：）； 8） 1：=：

4、。 注 1:定義 1 稱為公理化定義，以公理化定義為基礎(chǔ)進(jìn)行研究的方法稱為公理化 方法。 注 2:數(shù)域 F 稱為基礎(chǔ)域。 三、向量空間的例子 例 1 解析幾何里，V2或 V3對(duì)于向量的加法和實(shí)數(shù)與向量的乘法來(lái)說(shuō)作成實(shí)數(shù)域 上的向量空間。 例 2 Mmn（ F）對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘來(lái)說(shuō)作成 F 上的向量空間。 特別，F(xiàn) n =（印占2,，aj |色 F,i =1,2/ ,n關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘構(gòu)成的 F 上的 向量空間稱為 F 上的 n 元列空間 乙1 F“=* a2E F,i =1,2,，n，關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘構(gòu)成的 F 上的向量空間稱為 F 公理化方法 實(shí)質(zhì)公理化方法 形式以理化方0 丿 ,

5、上的 n 元列空間。 例 3 復(fù)數(shù)域 C 可以看成實(shí)數(shù)域 R 上向量空間 C 二a b ； | a,b R 例 4 任何數(shù)域 F 都可以看成它自身上的向量空間。 例 5 Fx關(guān)于多次式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法來(lái)說(shuō)作為 F 上一個(gè)向量空間。 例 6 Ca,b關(guān)于函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法來(lái)說(shuō)作成實(shí)數(shù)域 R 上的向量空間。 f(x) g(x) af(x) 例 7 R 為實(shí)數(shù)域，V 為全體正實(shí)數(shù)組成的集合，定義 V 中兩個(gè)元素的加法運(yùn)算 為： a 二 b = ab, a, b V 定義 V 中元素與 R 中元素的數(shù)乘運(yùn)算“”為 k a = ak, a v, R p 下面驗(yàn)證 V 對(duì)于這兩種運(yùn)算滿足定

6、義中的八條規(guī)則： 1 a 二 b=ab=ba=b 二 a ； 2 (a 二 b)二 c = (ab)二 c = (ab)c = a 二(b 二 c)； 3 1 二 a=1a=a ； 4 a 的負(fù)元素是 a-1, a - a，=aa =1; 5 k (l a)二 k a二 alk =lk a; 6 (k I) a 二 ak =ak 二 a = (k a)二(l a); 7 k (a 二 b) =(a 二 b)k =(ab)k 二 akbk =ak 二 bk =(k a)二(k b); 8 1 a = a = a; 所以 V 是實(shí)數(shù)域上的向量空間。 向量空間的例子是大量的，僅從以上例子也是可以看出

7、，向量空間的涵義是多么 廣泛！ 四、向量空間的簡(jiǎn)單性質(zhì) 相容性 公理體系獨(dú)立性 完備性 I n 1、 乂芒i =冷2肚-二n有意義且可以任意交換被加項(xiàng)次序。 i 4 證 由于向量空間中的加法適合結(jié)合律和交換律。 2、 在一個(gè)向量空間 V 里，零向量是唯一的；對(duì)于 V 中每一向量,的負(fù)向量是由 唯一確定的。 證 先證零向量的存在性，設(shè) 0 和 0都是 V 的零向量，那么 0=0+0=0 再證負(fù)向量唯一，設(shè)：和:都是的負(fù)向量，那么:=0, = 0 ,于是 屮=0（，+0 =ct*（a+口 ）=（口 ）+口 = 0+口 = 把唯一的負(fù)向量記作-:-，則有 （1） + 了-0. 即有移項(xiàng)變號(hào)法則成立 3、 對(duì)于任意向量和數(shù)域 F 中的數(shù) a,有 （2） o 匚-0,a0 = 0 （3） a（ - ： ） = （-a）： - -a: （4） a 匚-0= a =0或:-0 證： 0 ： = 0 ：亠 O = 0：亠（0 ： - 0 ： ） =（0：亠 0 ： ） - 0- =（o o）： -o ： - 0 ： - 0： =0 同理可證 aO=O a： a（-： ） =a（： （-： ） =aO =0 同理可證 （-a）：二-a:- 設(shè)a二 0 但 a = 0,則 1 1 1 :=1： = （a） （a： ） 0=0 a a