數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-曲線和方程

1、 典型例題一例1 如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是（A）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（B）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)有些在上，有些不在上（C）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上（D）一定有不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程分析：原命題是錯(cuò)誤的，即坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)不一定都在曲線上，易知答案為D典型例題二例2 說(shuō)明過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線和方程所代表的曲線之間的關(guān)系分析：“曲線和方程”的定義中所列的兩個(gè)條件正好組成兩個(gè)集合相等的充要條件，二者缺一不可其中“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，即純粹性；“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)”，即完備性這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不

2、是所給方程的曲線的準(zhǔn)則解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線的方程為，因而在直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足，所以直線上的點(diǎn)都在方程表示的曲線上但是以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不會(huì)都在直線上，因此方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分說(shuō)明：本題中曲線上的每一點(diǎn)都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不都在曲線上，即不滿足完備性典型例題三例3說(shuō)明到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡與方程所表示的直線之間的關(guān)系分析：該題應(yīng)該抓住“純粹性”和“完備性”來(lái)進(jìn)行分析解：方程所表示的曲線上每一個(gè)點(diǎn)都滿足到坐標(biāo)軸距離相等但是“到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡”上的點(diǎn)不都滿足方程，例如點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離均為3，但它不滿足

3、方程因此不能說(shuō)方程就是所有到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡也不能說(shuō)是方程所表示的軌跡說(shuō)明：本題中“以方程的解為坐標(biāo)點(diǎn)都在曲線上”，即滿足完備性，而“軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程”，即不滿足純粹性只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線典型例題四例4 曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍有一個(gè)交點(diǎn)呢？無(wú)交點(diǎn)呢？分析：直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、無(wú)交點(diǎn)，就是由直線與曲線的方程組成的方程組分別有兩個(gè)解、一個(gè)解和無(wú)解，也就是由兩個(gè)方程整理出的關(guān)于的一元二次方程的判別式分別滿足、解：由得當(dāng)即，即時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)即，即或時(shí)，直線與曲線有一

4、個(gè)交點(diǎn)當(dāng)即，即或時(shí)，直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)說(shuō)明：在判斷直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，由于直線與曲線的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與由兩方程聯(lián)立所整理出的關(guān)于(或)的一元方程解的個(gè)數(shù)相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通過(guò)判別式來(lái)判斷直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但如果是兩個(gè)二次曲線相遇，兩曲線的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)與由方程組所整理出的一元方程解的個(gè)數(shù)不一定相同，所以遇到此類問(wèn)題時(shí)，不要盲目套用上例方法，一定要做到具體問(wèn)題具體分析典型例題五例5 若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：將“曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)不同的解”，從而研究一元二次方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題若將兩條曲線的大致形狀現(xiàn)出來(lái)，也許

5、可能得到一些啟發(fā)解法一：由得：，即要使上述方程有兩個(gè)相異的非負(fù)實(shí)根則有：又解之得：所求實(shí)數(shù)的范圍是解法二：的曲線是關(guān)于軸對(duì)稱且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的折線，而表示斜率為1且過(guò)點(diǎn)的直線，由下圖可知，當(dāng)時(shí)，折線的右支與直線不相交所以兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與折線的兩支都相交，所以兩條直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)說(shuō)明：這類題較好的解法是解法二，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)探求若題設(shè)條件中“”改為呢，請(qǐng)自己探求典型例題六例6 已知，其中，則角平分線的方程是(如下圖)，對(duì)嗎？分析：本題主要考查曲線方程概念掌握和理解的程度，關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)角平分線是一條線段解：不對(duì)，因?yàn)閮?nèi)角平分線是一條線段，而方程的圖形是一條直線如點(diǎn)坐標(biāo)

6、適合方程，但點(diǎn)不在內(nèi)角的平分線上綜合上述內(nèi)角平分線為：說(shuō)明：判斷曲線的方程或方程的曲線，要緊扣定義，兩個(gè)條件缺一不可，關(guān)鍵是要搞清楚曲線的范圍典型例題七例7 判斷方程所表示的曲線分析：根據(jù)方程的表面形式，很難判斷方程的曲線的形狀，因此必需先將方程進(jìn)行等價(jià)變形解：由原方程可得：，即方程的曲線是兩條射線，如圖所示：說(shuō)明：判斷方程表示的曲線，在化簡(jiǎn)變形方程時(shí)要注意等價(jià)變形如方程等價(jià)于且，即，原方程的曲線是拋物線一部分典型例題八例8 如圖所示，已知、是兩個(gè)定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離是4，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程分析：本題首先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)滿足的條件(等量關(guān)系)題設(shè)中沒(méi)有

7、明顯給出，要從題意中分析找出等量關(guān)系連結(jié)，則，由此，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之和為常數(shù)解：過(guò)，兩點(diǎn)的直線為軸，兩點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，連結(jié)垂直平分線段，設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)距離公式得，化簡(jiǎn)方程，移項(xiàng)兩邊平方得(移項(xiàng))兩邊再平方移項(xiàng)得：，即為所求點(diǎn)軌跡方程說(shuō)明：通過(guò)分析題意利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)，找出點(diǎn)與兩定點(diǎn)，距離之和為常數(shù)，是解本題的關(guān)鍵方程化簡(jiǎn)過(guò)程也是很重要的，且化簡(jiǎn)過(guò)程也保證了等價(jià)性典型例題九例9過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若交軸于，交軸于，求線段中點(diǎn)的軌跡方程OAxPyB圖M解：連接，設(shè)，則， 為直角三角形由直角三角形性質(zhì)知即化簡(jiǎn)得的軌跡方程為說(shuō)明：本題也可以用勾股定理

8、求解，還可以用斜率關(guān)系求解，因此本題可有三種解法用斜率求解的過(guò)程要麻煩一些 典型例題十例10 求與兩定點(diǎn)、滿足（是常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程分析：按求曲線方程的方法步驟求解解法一：如圖甲，取兩定點(diǎn)和的連線為軸，過(guò)的中點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系設(shè)，則：，據(jù)題意，有得由于是常數(shù)，且，所以為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條平行于軸的直線解法二：如圖乙，取與兩點(diǎn)連線為軸，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系設(shè)，則：，據(jù)題意，有，得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，它是平行于軸的一條直線解法三：如圖丙建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，據(jù)題意，有，整理后得到點(diǎn)的軌跡方程為：，它是一條直線說(shuō)明：由上面介紹的三種解法，可以看到對(duì)于同一條

9、直線，在不同的坐標(biāo)系中，方程不同，適當(dāng)建立坐標(biāo)系如解法一、解法二，得到的方程形式簡(jiǎn)單、特性明顯，一看便知是直線而解法三得到的方程煩瑣、冗長(zhǎng)，若以此為基礎(chǔ)研究其他問(wèn)題，會(huì)引起不必要的麻煩因此，在求曲線方程時(shí)，根據(jù)具體情況適當(dāng)選取坐標(biāo)系十分重要另外，也要注意到本題所求的是軌跡的方程，在作解答表述時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)曲線的方程，而不是曲線典型例題十一例11 兩直線分別繞著定點(diǎn)和()在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持相互垂直，求兩直線的交點(diǎn)的軌跡方程分析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用直角三角形的性質(zhì)，列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的等式解：取直線為軸，取線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則：，屬于集合設(shè)，則，化簡(jiǎn)得這就是兩直線的交點(diǎn)的軌跡方

10、程說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下解答錯(cuò)誤：取直線為軸，取線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則：，交點(diǎn)屬于集合設(shè)，則，故，即()要知道，當(dāng)軸且另一直線與軸重合時(shí)，仍有兩直線互相垂直，此時(shí)兩直線交點(diǎn)為同樣軸重合時(shí)，且另一直線與軸仍有兩直線互相垂直，此時(shí)兩直線交點(diǎn)為因而，與應(yīng)為所求方程的解糾正的方法是：當(dāng)或的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，和也在曲線上，故所求的點(diǎn)的軌跡方程是求出曲線上的點(diǎn)所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對(duì)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)作考察，既要剔除不適合的部分，也不要遺漏滿足條件的部分典型例題十二例12 如圖，的兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，與兩點(diǎn)分別在軸的正半軸和軸的正半軸上滑動(dòng)，求直角頂點(diǎn)的軌跡方程分析：

11、由已知是直角，和兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)時(shí)，也是直角，由平面幾何知識(shí)，、四點(diǎn)共圓，則有，這就是點(diǎn)滿足的幾何條件由此列出頂點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)，由，所以、四點(diǎn)共圓從而由，有，即注意到方程表示的是過(guò)原點(diǎn)、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩坐標(biāo)軸的正半軸上滑動(dòng)，由于、為常數(shù)，故點(diǎn)的軌跡不會(huì)是一條直線，而是直線的一部分我們可考察與兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的極端位置，確定點(diǎn)坐標(biāo)的范圍如下圖，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，所以如下圖，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)由射影定理，即，有由已知，所以故點(diǎn)的軌跡方程為：（）說(shuō)明：求出曲線上的點(diǎn)所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對(duì)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)作考察，剔除不

12、適合的部分典型例題十三例13 過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線、，若交軸于，交軸于，在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程分析：如圖，設(shè)，題中幾何條件是，在解析幾何中要表示垂直關(guān)系的代數(shù)關(guān)系式就是斜率乘積為1，所以要求的軌跡方程即、之間的關(guān)系，首先要把、的斜率用、表示出來(lái)，而表示斜率的關(guān)鍵是用、表示、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由題可知是、的定比分點(diǎn)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式便可找出、坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而表示出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)，在線段上，且分所成的比是，由，得，、又，的斜率，的斜率，化簡(jiǎn)得：說(shuō)明：本題的上述解題過(guò)程并不嚴(yán)密，因?yàn)樾柙跁r(shí)才能成立，而當(dāng)時(shí)，的方程為所以的方程是故，可求得，而也滿足方程故所求軌跡的方程是這類題在解答時(shí)應(yīng)注意考慮完備性和純粹性典型例題十四例14 如圖，已知兩點(diǎn)，以及一直線，設(shè)長(zhǎng)為的線段在直線上移動(dòng)求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程分析1：設(shè)，題中的幾何條件是，所以只需用表示出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，便可求出曲線的方程，而要表示點(diǎn)坐標(biāo)可先找出、兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，顯然、三點(diǎn)共線這樣便可找出、坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而表示出的坐標(biāo)，同理便可表示出的坐標(biāo)，問(wèn)題便可以迎刃而解解法一：設(shè)、由、三點(diǎn)共線可得：（利用與斜率相等得到）由、三點(diǎn)共線可得又由得，化簡(jiǎn)和所求軌跡方程為：分析2：此題也可以先用、三點(diǎn)共線表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用、三點(diǎn)共線也可求