2008—2017年數(shù)學(xué)周報杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、“數(shù)學(xué)周報杯" 2008年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題班級學(xué)號姓名得分、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號為 A, B,C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填都得0分）1 .已知實數(shù)x, y滿足：2= 3, y4+y2= 3,則力+y4的值為（）x xx1 + J137+J13（A） 7（B） 2（C） 2-（D） 52 .把一枚六個面編號分別為1, 2, 3, 4, 5, 6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲 2次，若 兩個正面朝上的編號分別為 m n,則二次函數(shù)y=x2+mx+ n的圖象與x軸有兩

2、個不同交 點的概率是（）,、5, 、 417, 、 1（A）12舊 9（。36）23 .有兩個同心圓，大圓周上有 4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可確 定的不同直線最少有（）（A） 6 條（B） 8 條（C） 10 條（D） 124,已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且A五a<1,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正 ABC點D為圓O上不同于點A的一點，且D五A五a, DC的延長線交圓O于點E,則AE的長為（）（A）*a（B） 1（C）乎（D） a5 .將1, 2, 3, 4, 5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么滿

3、足要求的排法有（A） 2 種（B） 3 種（C） 4 種（D） 5 種二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1 ,6 .對于頭數(shù)u, v,止義一種運(yùn)算 * 為：u*v = uv+v.右關(guān)于x的方程x* （a*x） = 4有 兩個不同的實數(shù)根，則滿足條件的實數(shù) a的取值范圍是.7 .小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛 來一輛18路公交車.假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔周定時間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時間是 分鐘.8 .如圖，在 ABC中，A五7, AG= 11,點M是BC的中點，ADZ BAC的平分線，MF/ AD則

4、FC的長為.9 . ZXABC中,AB= 7, BC= 8, CA= 9,過4ABC的內(nèi)切圓圓心 I 作 DE / BC,分別與AB, AC相交于點D, E,則DE的長為.10 .關(guān)于x, y的方程x2+ y2=208（x y）的所有正整數(shù)解為 .三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11 .在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y = kx+b （kw0）的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交 于A, B兩點，且使得 OAB勺面積值等于|OA|+ |OB|+3. (1)用b表示k； (2)求4 OAE®積的最小值.12 .是否存在質(zhì)數(shù)p, q,使得關(guān)于x的一元二次方程px2-qx+p =

5、0有有理數(shù)根?13 .是否存在一個三邊長恰是三個連續(xù)正整數(shù)，且其中一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角2倍的ABC證明你的結(jié)論.14 .從1, 2,，9中任取n個數(shù)，其中一定可以找到若干個數(shù)(至少一個， 也可以是全部)， 它們的和能被10整除，求n的最小值.簡答：1. 選擇題ACBBD2. 填空題 6. a > 0 或 a < 1； 7. 4; 8. 9 9. £ 10. x = 48,x =160,y=32;y = 32.2b-b2 . .三.解答題：11. (1) k=b > 2 ;(2)當(dāng) b= 2+10, k= 1 時，2( b -1- 3)OAB積的最小值為7 + 2/

6、；12.存在滿足題設(shè)條件的質(zhì)數(shù)p, q.當(dāng)p= 2, q=5時，、-2一一，一1方程2x 5x+ 2 =0的兩根為乂萬，X2= 2.匕們都是有理數(shù)；13.存在湎足條件的二角形.zABC的邊a= 6,b = 4,c = 5,且/A= 2/B,證明略.14. n的最小值是5,證明略.中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯" 2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號為 A, B, C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里， 不填、多填或錯填都得0分)1 .已知非零實數(shù) a,

7、 b 滿足 |2a4 +|b+2 +J(a3)b2 +4 = 2a ,則 a + b等于().(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2【答】C解：由題設(shè)知a>3,所以，題設(shè)的等式為|b+2+ J(a3)b2 = 0,于是a = 3,b = -2,從而 a +b = 1.2 .如圖，菱形ABCD勺邊長為a,點O是對角線AC上的一點，且穴OA=a, OB= O生O* 1,則a等于.1(A) 1(B)(C) 1(D) 2(第 2題)22【答】A.解：因為ABOCs AAB(C所以史=更_,即AB AC1- ? a a 1所以，a2_a_1=0.由a>0,解得a=t，523.將一枚六個面

8、編號分別為1, 2, 3, 4, 5, 6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為 a,第二次擲出的點數(shù)為b,則使關(guān)于x, y的方程組1 ax by = 3.).32y12,只有正數(shù)解的概率為（1 (A)- 12【答】D.5(C) 518(D) 36解：當(dāng)2a-b=0時，方程組無解.6-2bx 二1當(dāng)2a-b=0時，方程組的解為2 2af2a-3y 二2a -b"6 -2b2a - b > 0, 2a -b < 0,>0,由已知，得 產(chǎn)一b即fa>,或，a<°,2>0 2 I 22a-b, b<3,b>3.由a

9、, b的實際意義為1, 2, 3, 4, 5, 6,可得卜=2,3,4,5,6,共有5x2=10種情況;或卜二1共3種情況.b =1,2,b= 4,5,6,又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共 6X6 = 36種情況，故所求的概率為13 . 364 .如圖1所示，在直角梯形ABCLfr, AB/ DC /B = 90°.動點P從點B出發(fā)，沿梯形的邊由 C-D-A運(yùn)動.設(shè)點P運(yùn)動的路程為x, zABP的面積為y.把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖像如圖2所示，則ABC勺面積為（）.(A) 10(B) 16(C) 18【答】B.(D) 32圖2（第4題）解：根據(jù)圖像可得BC= 4, C*5, DA= 5

10、,進(jìn)而求得AB= 8,故1Sa ab戶一 X8X4= 16.25 .關(guān)于x, y的方程x2 +xy +2y2 =29的整數(shù)解（x, y）的組數(shù)為（）.(A) 2 組(B) 3 組(C) 4 組（D）無窮多組由當(dāng)y= 4時，原方程為2x 4x+3 = 0,止匕時 x3 =1,x4 =3 .必=4;X2- -3,V2 =4;X3 =1, )3 二-4;【答】C.解：可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為22x +yx +(2y -29) =0 .由于該方程有整數(shù)根，則判別式 A>0,且是完全平方數(shù).222 =y -4(2y -29) = -7y +1160,所以，原方程的整數(shù)解為、填空題

11、（共5小題，每小題7分，共35分）6 . 一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000 km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎.如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛km【答】3750.解：設(shè)每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為上,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為上,又設(shè)一對新輪胎交換位置前50003000走了 x km,交換位置后走了 y km.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程，有kx ky5000 3000=k,=k,兩式相加，得則k(x

12、 y) k(x y)50003000=3750 .此上5000 30005000 30007 .已知線段AB的中點為C,以點A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段 AB的延長線上取點D,使得B*AC再以點D為圓心，DA的長為半徑彳圓，與。A分別相交于F, G兩點, AH的值為連接FG交AB于點H,則AB解：如圖，延長AD與OD交于點E,連接AF, EF .11由題設(shè)知 AC= AD, AB=-AE ,在 FHAffi AEFA 中, 33EFA-FHA =90 , FAH 二)EAF 所以 RtAFH/V RtAEFAAH AF .AF AE而AF =AB ,所以 =LAB 38 .已知a，a2

13、,a3,a4,a5是滿足條件a1 + a2+a3+a4+a5 =9的五個不同的整數(shù)，若b是關(guān)于x的方程(xXx-及Xx-a3 Xx-a4Xx-&)= 2009的整數(shù)根，貝 b的值為.【答】10.解：因為(b -ai Xb a? Xb a3 Xb a4b b a5 )= 2009,且 a1，a2, a3 /4 丹5 是五個不同的 整數(shù)，所有b -ab b -a2, b -a3, b -a4, b-a5也是五個不同的整數(shù).又因為2009 = 1«1產(chǎn)7K(-7產(chǎn)41 ,所以b a1 +b a2 +b a3 +b a4 +b a5 = 41 .由 a1+a2+a3+a4+a5 =9

14、 ,可得 b = 10.9 .如圖，在 ABC中,C皿高,CE為/ACB的平分線.若 AO 15, BO20, C512, 則CE的長等于.【答】一7解：如圖，由勾股定理知 AA9, BA 16,所以AB= AN BA25 .故由勾股定理逆定理知 AC助直角三角形，且.ACB = 90 .1作 EF，BC 垂足為 F.設(shè) EF= x,由 NECF = NACB=45"得 C已x,于是 BF= 202x.由于EF/ AC所以EF BFAC - BC即=空21520在” 60 寸一 60.2斛行 x =.所以 CE = 2 x =.7710. 10個人圍成一個圓圈做游戲.游戲的規(guī)則是：

15、0 1 ；每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實地告訴他兩旁的兩93 個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來. 若 報出來的數(shù)如w4圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是.76 $【答】-2 (第10題)解：設(shè)報3的人心里想的數(shù)是x,則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)是8-x.于是報7的人心里想的數(shù)是 12-(8-x) =4+x ,報9的人心里想的數(shù)是 16-(4+x) =12x ,報1的人心里想的數(shù)是 20-(12-x)=8+x ,報3的人心里想的數(shù)是 4 -(8 +x) = -4-x .所以x = -4 - x,解得x = -2 .三、解答題(共4題，每題20分，共80分)11.已知拋

16、物線y=x2與動直線y = (2t-1)x c有公共點(xi,yi),), 且 x12 x2 =t2 2t -3 .(1)求實數(shù)t的取值范圍；(2)當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值.解：(1)聯(lián)立y = x2與y = (2t-1)x c ,消去y得二次方程x2 _(2t-1)x+c = 0有實數(shù)根 x1，x2 ,則 X +x2 =2t -1, x1x2 =c .所以2/ 22、c =取2 =(、x?) 一(xx2)21 2212小= -(2t -1)2 (t2 +2t3) = (3t2 6t + 4).2 25分把式代入方程得212Gx2 -(2t -1)x +-(3t2 -6t

17、+4) = 0 .2 10分t的取值應(yīng)滿足 222t +2t3=x +x2 >0,且使方程有實數(shù)根，即 =(2t 1)2 -2(3t2 -6t +4) = -2t2 +8t -7 >0,解不等式得 t W-3或t >1,解不等式得2-101W2+?.所以，t的取值范圍為2fwt02+g15分1c3 c 1(2)由式知 c= (3t2 6t+4) = (t 1)2+-. 222由于c=3(t-1)2 1在2-2wtW2-，2時是遞增的，所以，當(dāng)t = 2-2 22222時-3(2 一立 _1)2+1J11. 20 分222412.已知正整數(shù)a滿足192 a3+191,且a &l

18、t;2009,求滿足條件的所有可能的正整數(shù) a的和.解：由 192a3+191 可得 192a3-1. 192=3父26,且a3 -1 =(a -1 )Ia(a+1) + 1 =(a-1)a(a+1) + (a-1).5分因為a (a+1)+1是奇數(shù),所以26 a3-1等價于26 a-1，又因為3 (a-1)a(a+1),所以3 a3-1等價于3a-1.因此有192a-1,于是可得a=192k+1.15分又0<a<2009,所以k= 0,1,|”,10.因此，滿足條件的所有可能的正整數(shù) a的和為11 + 192 (1 + 2+ - + 10) = 10571. 20分13 .如圖，

19、給定銳角三角形 AB。BC<CA, AD, BE是它的兩條高，過點C作4ABC的 外接圓的切線I,過點D, E分別作l的垂線，垂足分別為F, G.試比較線段DF和EG的大小， 并證明你的結(jié)論.5分(第13A題)解法1 :結(jié)論是DF =EG .下面給出證明.因為/FCD =/EAB ,所以RtAFCD s Rt AEAEB于是可得CD DF =BE AB同理可得EG = AD CE10分AB20分又因為tan/ACB = 怛=匹，所以有BE CD = AD CE ,于是可得 CD CEDF =EG .解法2:結(jié)論是DF = EG .下面給出證明.連接DE,因為/ADB =/AEB=90所以

20、A, B, D, E四點共圓，故/CED=/ABC .(第 43A10 分又l是。O的過點C的切線，所以NACG=NABC .15分所以，2CED =/ACG ,于是 DE/ FG,故 DF= EG20分14.n個正整數(shù)a1，a2,川，an滿足如下條件：1= a1<a?<出< an =2009 ;且a2,|l|, an中任意n1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求 n的最大值.解：設(shè)a1，a2,|, an中去掉ai后剩下的n 1個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)b ,i =1,2川|,n.即 b=aia2gl二a從而于是,n - 1對于任意的1 & i < j <n

21、,都有a j -aibi bj ，n -1n _1 (aj - ai) b1 -bn =包二電=陋是正整數(shù)，故n -1 n -1n -1 23 M51 .10分an -1 = an - an 4 Kn- Hn /HI ' a2 - 3> (n -1 )+(n -1 )+|+(n -1 )= (n -1)2,所以，(n-1)202008,于是 n <45.結(jié)合 n-1 23M251,所以，n <9.15分另一方面,令 a1 =8M0+1,a2 =8父1+1,23=8父2+1,a8 =87+1 ,a9 =8父251 +1 ,則這9個數(shù)滿足題設(shè)要求.綜上所述，n的最大值為9

22、.20分中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯" 2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案請將正確、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分)1.若 a =20, b =10 ,則 alb的值為(b c21(B) 2111) c11 (A)-21).(C) 11021(D)富(第3題)垂足分別a 1abb120 1210解：D由題設(shè)得=-b一=-=.bcJ11b10代數(shù)式變形，同除b2 .若實數(shù)a, b滿足1 a-ab+b2+2=0,貝U a的取值范圍是 ().2(A)a< -2(B)a &g

23、t;4(C)aw2或a >4(D)-2<a<4解.C因為b是實數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程b2-ab+1a+2 = 02的判別式A=(-a)2 -4M1M(1a +2) >0,解彳3 a< -2或 a >4.2方程思想，未達(dá)定理；要解一元二次不等式CD= 4立,3 .如圖，在四邊形 ABCDK / B= 135° , / C= 120° , AB=2* , BC=4-2>/2 ,則AD邊的長為().(A) 2拆(B) 4n(C) 4+76(D) 2+2%后解：D如圖，過點A, D分別作AE, DF垂直于直線BC 為 E, F.由已知

24、可得BE=AE=, C曰 2五，D曰 2折于是 EF= 4+ -.6 .過點A作AGL DF,垂足為G.在RtAADGt,根據(jù)勾股定理得AA,(4+T6)2 +而2 =4(2 +怎)2 = 2+276 .勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡，補(bǔ)全圖形法4 .在一列數(shù)“，x2, X3,中，已知x=1,且當(dāng)k>2時，人=人+1-4.口-,占匚口 讓4，4J(取整符號目表示不超過實數(shù)a的最大整數(shù)，例如2.6=2, 0.2=0),則x2010等于().(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4解：B由 X1 =1 和 Xk =xj +1 -4產(chǎn)1可得U 4！ 4 Lx1 二 1 , X2 =2 x X

25、3 = 3 , X4 = 4 ,X5 =1 x X6 = 2 , X7 =3 x X = 4 ,因為 2010=4X 502+2,所以 X2010 =2.高斯函數(shù)；找規(guī)律。5 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD勺頂點坐標(biāo)分別為A (1, 1), B (2, 1), C( 2, 1), D( 1, 1). y 軸上一點 P (0, 2)繞點 A旋轉(zhuǎn) 180° 得點 Pi,點 Pi繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2,點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3,旋轉(zhuǎn)180°得點F4,，重復(fù)操作依次得到點Pi,P2,坐標(biāo)是().(A) (2010, 2)(B) (

26、2010, -2)(第5題)解：B由已知可以得到，點R,P2的坐標(biāo)分別為(2, 0), (2, -2).(C) (2012, -2)(D) (0, 2)記 P2& 2)，其中 a2 =2, b2 =-2 .根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：P5(-4-a2, -2-b2), (2+22,4+4), P5(-a2,-2-b2) , P6(4+a2,d).令R包, bz),同樣可以求得，點P0的坐標(biāo)為(4 4a6電),即P10 (4父2 + 22電),由于2010=4父502+2,所以點P2010的坐標(biāo)為(2010, -2).二、填空題6 .已知a= 雜1,則2a3+7a2 2a12的值等于.解

27、：0由已知得(a+1)2=5,所以a2+ 2a=4,于是2a3 + 7a2- 2a 12 = 2a3+ 4a2 + 3a2 2a- 12= 3a2 + 6a- 12=0.7 . 一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時刻,客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了 10分鐘，小轎車追上了貨車; 又過了 5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t =解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為a, b, c (千米/分)，并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得10(a-b)=S,x（bc ）=

28、S.由，得30（b-c） =S,所以，x=30.故 t=30105 = 15 （分）.15 a-c =2S ,8 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCD的頂點坐標(biāo)分別是O (0, 0), A (0, 6),OABCDE如圖，延長BC交x軸于點F;連接OB AF;連接CE DF,且相交于點N.由已知得點M (2, 3)是OB AF的中點，即點M為矩形ABFO勺中心，所以直線l把矩形ABF8成面積相等的兩部分.又因為點 N (5, 2)是矩形CDEF勺中心，所以，過點N (5, 2)的直線把矩形CDE出成面積相等的兩部分.于是，直線MN即為所求的直線l .解得設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y

29、=kx +b ,則12k+b5k b = 2,k3h 11b .、3，故所求直線l的函數(shù)表達(dá)式為y =x+U. 339 .如圖，射線AM BN都垂直于線段AB,點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE, BN于點F, C,過點C作AM的垂線CQ垂足為D.若C* CF,則生AD見題圖，設(shè)FC =m, AF = n .（第9題）因為 RtAAFBRtzXABQ 所以 AB2 = AF AC .又因為 FC= DG= AB,所以 m2=n(n+m),即(-)2+-1 = 0,解得口=近二1,或口 =ML1 （舍去）. m 2 m 2又 RtA AFE sRtz CFB ,所以AE AE A

30、F.5 -1AD BC FC即期二工AD 210 .對于i=2, 3,，k,正整數(shù) n除以i所得的余數(shù)為i 1.若n的最小值ng滿足2000 <ng <3000,則正整數(shù)k的最小值為解：9因為n+1為2, 3 "I, k的倍數(shù)，所以n的最小值.滿足n。1 =12, 3 I", kl,其中12, 3 "I, k】表示2, 3, HI, k的最小公倍數(shù).由于 2 3 III81=840, 12, 3, HI, 91 = 2520,2 3 HI, 10.1-2520, 2, 3, III, 11)-27720,因此滿足2000 <n。<3000的

31、正整數(shù)k的最小值為9 .三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11.如圖， ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是ABDft zACD的外接圓直徑，連接EF求證：tan/PAD =空.BC（第11題）直徑,（第11題）從而所以證明：如圖，連接ED FD因為BE和CF都是所以EDL BC,FD± BC,因此D, E, F三點共線.（5分）連接AE, AF,則/AEF =/ABC =NACB =AFD ,所以， AB必zAEF （ 10分）作AH，EF,垂足為H,則AH=PD由AABR zAEF可得EF AH=, BC APEF PD=，B

32、C AP,PD EF/2 八、tanZPAD =-. （ 20分）12.如圖，拋物線y=ax2+bx (a>0)與雙曲線x4),點B在第三象限內(nèi)，且4AOB的面積為3 (O為坐標(biāo)k 一 、.y=上相父于點A, B.已知點A的坐標(biāo)為(1,(1)求實數(shù)a, b, k的值；(2)過拋物線上點A作直線AC/ x軸，交拋物線點C,求所有滿足 EOCAOB勺點E的坐標(biāo).于另(第12題)解：(1)因為點A (1, 4)在雙曲線所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為k ,y =一上,xy =-.x設(shè)點B (t ,4), t<0, AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為 t4 = m n, "mt n,解

33、得m .于是，直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為0,”二Q j,故 t1 4( t +1)(1t )=3 ,整理得 2t2 +3t -2 = 0 ,解得t=-2,或t = 1 (舍去).所以點B的坐標(biāo)為(2-2,因為點A,B都在拋物線y=ax2+bx (a>0)上,4a +b =4, 4a- b = 2 ,(10 分)(2)如圖，因為AC/ x軸，所以C ( -4, 4),=44萬.又 BO=2*5 ,所以 CO =2.BO設(shè)拋物線y=ax2+bx (a>0)與x軸負(fù)半軸相交則點D的坐標(biāo)為(-3,0).于是COD,因為 / COB /BO也 45°,所以 / COB90©

34、;(i)將 BOA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到 B'OAi.這時，點Br(-2, 2)是CO的中點,點Ai的坐標(biāo)為(4, -1).延長OAi到點Ei,使得0曰=202，這時點Ei (8, -2)是符合條件的點.(ii )作 BOA關(guān)于x軸的對稱圖形 BOA2 ,得到點A (1, -4)；延長OA2到點E2,使得OE2 = 2OA2,這時點E2 (2, -8)是符合條件的點.所以，點E的坐標(biāo)是(8, _2),或(2, -8) . ( 20分)13 .求滿足2p2 + p+8 =m2 -2m的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得p(2p+1) = (m4)(m+2),所以 p (m

35、 -4)(m+2),由于 p 是素數(shù)，故 p (m -4),或 p (m + 2). (5 分)(1)若 p (m -4),令 m-4=kp , k 是正整數(shù)，于是 m + 2 >kp ,3p2 > p(2 p +1) = (m - 4)(m +2) > k2p2 ,故k2 <3 ,從而k =1.所以!m-4=p'解得產(chǎn)5' (10分)m2 = 2p1,m=9.(2)若 p (m+2),令 m +2 = kp , k 是正整數(shù).當(dāng) p >5 時，有 m -4 =kp -6 >kp - p = p(k -1),3p2 > p(2 p +1

36、) = (m -4)(m + 2) > k(k -1)p2 ,故k(k -1)<3,從而 k=1 ,或 2.由于p(2 p +1) = (m -4)(m +2)是奇數(shù)，所以k # 2 ,從而k =1.于是m"=2p 1m 2 = p,這不可能.當(dāng) p=5 時，m22 m=63, m = 9;當(dāng) p=3, m22m=29,無正整數(shù)解；當(dāng) p = 2 時，m2 -2m =18 ,無正整數(shù)解.綜上所述，所求素數(shù)p=5,正整數(shù)m=9.(20 分)14.從1, 2,，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任 意三個數(shù)之和都能被33整除？ 解：首先，如下

37、61個數(shù)：11, 11+33, 11+2x33,，11+60x33 （即1991）滿足題設(shè)條件.（5分）另一方面，設(shè)a1 02 c|<an是從1, 2,，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)a, aj, ak, am,因為33 （a, + ak +am） ,33 +ak +am）,所以33 （aj -a,）.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是 33的倍數(shù).（10分）& ai =a1 +33di , i =1, 2, 3,，n.由 33 (a +a2 +%),得 33 (3a1 + 33d2 +33da),所以33 3a- 11司，即a1>11.(15

38、分)dnan -a1 - 2010-11w3333:二 61 ,故dn060.所以，n061.(20 分)綜上所述，n的最大值為61.2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案題號一二三總分1561011121314得分評卷人復(fù)查人答題時注意:1 .用圓珠筆或鋼筆作答；2 .解答書寫時不要超過裝訂線;3 .草稿紙不上交.一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為 A, B, C, D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不 填、多填或錯填都得0分)1.設(shè)a =J7 _1 ,則代數(shù)式a2+2a12的值為().(A) -6(B) 24(C

39、) 4"+10(D) 4"+12k y =2.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) x(k¥0)與y=kx + k(k¥o)的圖象大致是(A)(B)(C)(D)3、在等邊三角形ABCff在的平面內(nèi)存在點P,使，PAB，PBC /PACffi是等腰三角形.請 指出具有這種性質(zhì)的點P的個數(shù)()(A) 1(B) 7(C) 10(D) 154 .若 x>1, y A0,且滿足 xy =xy,二=x3，則 x + y 的值為().y911(A)1(B)2(C)-(D)-22、一 11115 .設(shè)S =5+l+1十川+，則4s的整數(shù)部分等于().13 23 33993(A

40、) 4(B) 5(C) 6(D) 7二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)6 .若a是一個完全平方數(shù)，則比a大的最小完全平方數(shù)是.7 .若關(guān)于x的方程(x-2)(x2 -4x + m) =0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則 m的取值范圍是.8 . 一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是 1, 2, 2, 3, 3, 4;另一枚質(zhì)地均 勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是 1, 3, 4, 5, 6, 8.同時擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)字之和為奇數(shù)5的概率是 .9 .如圖，點A, B為直線y = x上的兩點，過A, B兩點分別作y軸的平行線交雙曲線y

41、= 1x（x> 0 ）于 C, D 兩點.若 BD=2AC,則 4OC2OD2 的值為 （第10題）（第9題）10 .如圖，在RtABC中，斜邊AB的長為35,正方形CDEF內(nèi)接于 ABC且其邊長為12,則 ABC的周長為.三、解答題（共4題，每題20分，共80分）2kx a x - bk .-=111 .已知：不論k取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程 36（a、b是常數(shù)）的根總是x = 1,試求a、b的值。12 .已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx + a =0的兩個整數(shù)根恰好比方程 x2+ax + b = 0的兩個根都大1,求a+b+c的值.13 .如圖，點A為y軸正半軸上一點，A B兩點關(guān)于

42、x軸對稱，過點A任作直線交拋物小、 2 2 一 線丫 =-x于P , Q兩點.3(1)求證：/ ABP =/ ABQ ;（2）若點A的坐標(biāo)為（0, 1）,且/ PBQ =60o,試求所有滿足條件的直線 PQ的函數(shù)解析式.（第13題）求 ABC的面積.14 如圖，ABg, /BAC=600，AB=2AC .點 P在 4AB加，且 PA = T3, PB = 5, PC = 2 ,2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參一、選擇題1. A. 2 , C. 3, C. 4, C. 5. A二、填空題2_ 一16. （a+1） 7 . 3Vme4. 8 . - . 9 . 6. 10 . 84 9三、解答題1

43、1.解：把x=1代入原方程并整理得（b+4） k=72a七十4 = 0-要使等式（b+4） k = 7 2a不論k取什么實數(shù)均成立，只有 7-2a = 0解之得12.解：設(shè)方程x2 +ax +b =0的兩個根為口，P ,其中a, P為整數(shù)，且a & P ,則方程 x2 +cx +a =0的兩根為a +1, P +1 ,由題意得a + P = -a,（a +1+1 ）=a ,兩式相加得aP +2a+2P+1=0,即（工-2）（ 一： - 2） = 3,所以卜+2：1，或卜+2 = -3,jP+2=3;，B+2 = -1.解得又因為 a = ( ct + P) , b c = (a+1)+

44、(P + 1),所以a=0, b = 1, c = 2;或者 a =8, b=15, c = 6,故a +b+c = 4,或 29.13.解：（1）如圖，分別過點P, Q作y軸的垂線，垂足分別為C, D .設(shè)點A的坐標(biāo)為（0, t ）,則點B的坐標(biāo)為（0, - t ）.設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y = kx + t,并設(shè)P, Q的坐別為（Xp,yp),(xq, yQ).由=kx t,2 2二一 x ,3標(biāo)分于是3,XpXq =t ,22 2.-x - kxT =0 , 32=XpXq .3（第13題）于是BC yP tXp2 t 2xp2 -xPxQ3 P 3又因為BD yQ t22 .222-

45、Xqt -Xq -XpXq333BC PCBD"qdBCP = / BDQ =90 -所以 BCPc/dA2 /、-Xp(Xp -Xq) 。x XQ (XQ - Xp ) 3xpXQ故/ ABP=/ ABQ .(2) 設(shè) PC=a, DQ =b ,不妨設(shè)a > b>0,由（1）可知/ABP=/ ABQ =30 , BC=.3a, BD = . 3b ,所以AC= J3a-2 , AD =2-73b.因為 PC / DQ ,所以 ACPc/dA ADQ .于是PC ACDQ AD '即旦b 2 - . 3b所以 a +b =J3ab .由（1）中 XpXq =-t

46、,即ab = 3 ,所以 ab=E, 222于是可求得a =2b =. 3.將b =近代入y =-x2 ,得到點Q的坐標(biāo)（堂 232再將點Q的坐標(biāo)代入y = kx +1 ,求得k = -.3所以直線PQ的函數(shù)解析式為y=在x+1.3根據(jù)對稱性知，所求直線PQ的函數(shù)解析式為y x + 1 ,或y = 在x+1.3314.解：如圖，作 ABQ使得/QAB =/PAC,/ABQ =/ACP,則AABAACP .由于AB=2AC ,所以相似比為2.于是AQ=2AP=2V3, BQ=2CP=4.（第 14題）QAP = QAB BAP = PAC BAP = BAC = 60 .由 AQ:AP=2:1

47、知，ZAPQ =90°,于是 PQ=V3AP=3.所以 BP2 =25 = BQ2 +PQ2 ,從而 NBQP =90。.于是AB2 = PQ2 （AP BQ）2 = 28 8、3 .八 1.3267r3故S abcAB AC sin 60 = AB =.2822012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題（正題）題號一二三總分1561011121314得分評卷人復(fù)查人答題時注意：1 .用圓珠筆或鋼筆作答；2 .解答書寫時不要超過裝訂線；3 .草稿紙不上交.一、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為 A, B, C, D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項

48、的代號填入題后的括號里，不 填、多填或錯填都得0分)1(甲).如果實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式 五向了+ H 可以化簡為().-iLb a 0 c(第1 (甲)題)(A) 2c a (B) 2a 2b (C) a (D) a3 (乙).如圖，四邊形ABCLfr, AC BD是對角線， ABC是等邊三角形.ZADC = 30口，AD = 3 , BD = 5 ,則CD的長為(第3 (乙)題)(A) 3筏(B) 4 (C) 2君(D) 4.54 (甲).小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給 我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我

49、n元，我的錢數(shù)將是你的2 倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個數(shù)是().(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 44 (乙).如果關(guān)于x的方程= g是正整數(shù))的正根小于3,那么這樣 的方程的個數(shù)是().(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 85 (甲).一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是 1, 2, 3, 4, 5, 6,擲兩 次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是 0, 1, 2, 3的概率為而Pv hh則用h h A 中最大的是().(A)(B) Pl (C) A (D)心1 11.±5 (乙).黑板上寫有5 5 ' ' 1

50、00共100個數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)弧b,然后刪去db,并在黑板上寫上數(shù)a+b+曲,則經(jīng)過99次操作后，黑板上 剩下的數(shù)是().(A) 2012 (B) 101 (C) 100 (D)99二、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)x”到“結(jié)果是否487?6 （甲）.按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個值 為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么 x的取值范圍是_.（第6 （甲）題）11110卜卜6 （乙）.如果a, b, c是正數(shù)，且滿足 "b+c=9 ， a+b b + c c+Q 9 ,那么a b c11A + c c+a i+B 的值為7 （甲）

51、.如圖，正方形 ABCD勺邊長為2后,E, F分別是AB, BC的中點，AF與DEDB分別交于點M N,則DMN勺面積是（第7 （甲）題）（第7 （乙）題）7（乙）.如圖，口。的半徑為20, H是1 0上一點.以必為對角線作矩形。朋C ,且OC =12 . 延長3C,與口。分別交于D £兩點，則的值等于一30113921_8（甲）.如果關(guān)于x的方程x2+kx+彳k2- 3k+2 = 0的兩個實數(shù)根分別為 H 那么留 的值為8 （乙）.設(shè)月為整數(shù)，且1&n&2012.若年一科+3）（“ +月+3）能被5整除，則所有H的個 數(shù)為,9 （甲）.2位八年級同學(xué)和m位九年級同學(xué)

52、一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場.記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為 130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則 m的值 為一9（乙）.如果正數(shù)x, y, z可以是一個三角形的三邊長，那么稱0,乃分是三角形數(shù).若（111）f（褊h t）和ab'c均為三角形數(shù)，且awbwc,則已的取值范圍是二10 （甲）.如圖，四邊形 ABCDW接于。O, AB是直徑，AD = DC分別延長BA CR交 點為E作BF，EC并與EC的延長線交于點F.若AE = AQ BC = 6,則CF的長為（第10 （甲）題）10 （

53、乙）.已知附是偶數(shù),且10月0100.若有唯一的正整數(shù)對（期。使得J二/+H成 立，則這樣的力的個數(shù)為三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11 （甲）.已知二次函數(shù)1y = d+（溺+3） x+那+2,當(dāng)時，何有了0 ；關(guān)于x_ 9_的方程"+（制+3）K+冽+2=。的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于 W .求朋的取值范圍.412 （乙）. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，AO= 8, AB = AC sin /AB8M.CD與y軸交于點E,且Sacoe= Saade.已知經(jīng)過B, C, E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋 物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.（第11 （乙）題）13 （甲）.如圖，口。的直徑為乂3, 口。1過