2020高考數(shù)學(xué)四海八荒易錯集專題16圓錐曲線的綜合問題文

1、教學(xué)資料范本2020高考數(shù)學(xué)四海八荒易錯集專題16圓錐曲線的綜合問題文編輯:【最新】20xx年高考數(shù)學(xué)四海八荒易錯集專題16圓錐曲線的綜合問題文1.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任 意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM| = 2|MF|,則直線OM勺斜率的 最大值為()A. B. C. D.1答案C解析如圖，2.直線3x 4y + 4=0與拋物線x2 = 4y和圓x2+(y 1)2 = 1從左 到右的交點(diǎn)依次為 A B、C D,則的值為.答案今解析由得x23x4= 0, xA= - 1, xD= 4, . yA= , yD= 4.直線3x 4y + 4=0

2、恰過拋物線的焦點(diǎn)F(0,1),.|AF|=yA+ 1 = , |DF| =yD+ 1 = 5,* .3.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A,左 焦點(diǎn)為F1( 2,0)，點(diǎn)B(2,)在橢圓C上,直線y=kx(k?0)與橢 圓C交于E, F兩點(diǎn)，直線AE, AF分別與y軸交于點(diǎn)M N.(1)求橢圓C的方程；(2)在x軸上是否存在點(diǎn) 巳 使得無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有 /MP時(shí)直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理 由.解(1)設(shè)橢圓C的方程為+= 1(a>b>0),因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為F1( 2,0),所以a2 b2 = 4.因?yàn)辄c(diǎn)B(2,)在橢圓C上,所以

3、+= 1.由解得，a=2, b=2.所以橢圓C的方程為+= 1.(2)方法一因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2, 0).因?yàn)橹本€y=kx(k #0)與橢圓+ = 1交于兩點(diǎn)E, F,設(shè)點(diǎn)E(x0 , y0)(不妨設(shè) x0>0),則點(diǎn) F(x0, y0).假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P(t,0),使得/ MP防直角，則 = 0.即 t2 + X = 0,即 t2 4= 0,解得 t = 2 或 t = 2.故存在點(diǎn)P(2,0)或P( 2,0),無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有 /MP加直角.方法二 因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2, 0). 因?yàn)橹本€y=kx(k #0)與橢圓+ =

4、 1交于兩點(diǎn)E, F,設(shè)點(diǎn)E(x0 , y0),則點(diǎn) F( x0, y0).所以直線AE的方程為y = (x+2).因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M,W *81 VP V"檔U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a3 / 18令x=0得y=, 即點(diǎn)M.同理可得點(diǎn)N.假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P(t,0),使得/ MP防直角，則 = 0.故存在點(diǎn)P(2,0)或P( 2,0),無論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有 /MPNfe直角.4.設(shè)圓x2 + y2 + 2x15 = 0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x 軸不重合，l交圓A于C, D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)

5、E. 證明|EA| 十|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M, N兩點(diǎn)，過B且與 l垂直的直線與圓A交于P, Q兩點(diǎn)，求四邊形MPN®積的取值范 圍.解 (1)因?yàn)?|AD| =|AC| , EB/ZAC故/ EB氏 / ACD= / ADC 所以 |EB| = |ED| , 故 |EA| +|EB| =|EA| +|ED| =|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA| 十 |EB| =4.由題設(shè)得A( 1,0) , B(1,0) , |AB| =2,由橢圓定義可得點(diǎn) E的軌 跡方程為：+= 1(y#0

6、). 當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k #0), M(x1, y1) , N(x2, y2).由得(4k2 +3)x2 8k2x + 4k2 12 = 0.貝U x1 +x2= , x1x2=,所以 |MN| = |x1 x2| =.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=1, |MN| = 3, |PQ|=8,四邊形 MPNQ)面積為12.綜上，四邊形MPN幽積的取彳1范圍為12,8).5.已知橢圓C1: + =1(a>0)與拋物線C2: y2=2ax相交于A, B兩 點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合.(1)求C1, C2的方程;(2)若過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M Q兩點(diǎn)，與拋

7、物線分別 交于P, N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k?0)的直線l ,使得=2?若 存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.解(1)因?yàn)镃1, C2的焦點(diǎn)重合，所以=,所以a2 = 4.又a>0,所以a=2.于是橢圓C1的方程為+= 1, 拋物線C2的方程為y2 = 4x.(2)假設(shè)存在直線l使得=2,則可設(shè)直線 l 的方程為 y = k(x -1) , P(x1 , y1), Q(x2, y2), M(x3, y3) , N(x4, y4).由可得 k2x2 (2k2+4)x+k2 = 0,則 x1 +x4= , x1x4= 1, 所以 |PN| = =.由可得(3 + 4k2)x2 8k

8、2x + 4k2-12=0,W *81 .f VP V"檔U 方M -la 同« -.« 迎收如u a5 / 18則 x2 + x3=, x2x3=,易錯起源1、范圍、最值問題例1、如圖，橢圓+ = 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2的直線交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，且POL PF1.(1)若|PF1| =2+, |PF2|=2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 若|PQ| =入|PF1| ,且w入 < ,試確定橢圓離心率 e的取值范 圍.解(1)由橢圓的定義，2a= |PF1| 十|PF2| =(2 +) +(2)=4,故 a=2.設(shè)橢圓的半焦距

9、為c,由已知PF1, PF2,因止匕 2c=|F1F2| =>/|PF1|2+|PF2|2=2,即c=,從而b=1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+ y2=1.如圖，由 PF1,PQ |PQ| =入 |PF1| ,得|QF1| =|PF1|.由橢圓的定義，|PF1| 十|PF2| =2a, |QF1| 十|QF2| =2a,進(jìn)而 |PF1| +|PQ|+|QF1|=4a,于是(1 + 入 + )|PF1| =4a,解得 |PF1| =,故 |PF2| =2a-|PF1| =.由勾股定理得|PF1|2 +|PF2|2 =|F1F2|2 = (2c)2 =4c2,進(jìn)而< e2< ,即&l

10、t; ew .【變式探究】如圖，已知橢圓：+ y2=1,點(diǎn)A, B是它的兩個(gè)頂 點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D,且與橢圓相 交于E, F兩點(diǎn).(1)若=6,求k的值；求四邊形AEBF0積的最大值.解(1)依題設(shè)得橢圓的頂點(diǎn)A(2,0) , B(0,1),則直線AB的方程為x + 2y 2=0.設(shè)直線EF的方程為y = kx(k>0).由點(diǎn)D在線段AB上，知x0+2kx0 2=0,得x0 =,所以=,化簡，得 24k225k+ 6=0,解得 k=或 k=. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知點(diǎn) A, B到線段EF的距離分別為 h1=, h2=,又 |EF| =,所以四邊形AEBF

11、勺面積為2 14 2kS=|EF|(h1 +h2)=zr【名師點(diǎn)睛】解決范圍問題的常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù) 形結(jié)合求解.(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為 元的不等式求解.W *81“專"> 檔U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a7 / 18 構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求 其值域.【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】圓錐曲線中的范圍、最值問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解.易錯起源2、定點(diǎn)、定值問題例2、橢圓C

12、: + = 1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的 距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l : y = kx + m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)(A, B不是左， 右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過 定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)由 e= = ,得 a = 2c,. a2=b2 + c2, .b2=3c2,則橢圓方程變?yōu)?= 1.又由題意知=,解得c2 = 1,故 a2=4, b2=3,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+= 1.y = kx + m,設(shè)A(x1 , y1) , B(x2, y2),聯(lián)立 起 返 4+3 = 1，得(3 +4k

13、2)x2 +8mkx+ 4(m23) = 0.則又 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m)=k2x1x2 + mk(x1 + x2) + m2 橢圓的右頂點(diǎn)為 A2(2,0) , AA21 BAZ .(x1 2)(x2 2) +y1y2 = 0, .y1y2 + x1x22(x1 +x2)+4=0,HIH 4=0,7ma 16m®4k2 = 0,解得 m1= 2k, m2= ,由，得3+4k2 m2>0當(dāng)m1= 一 2k時(shí)，l的方程為y=k(x2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已 知矛盾.當(dāng)m2= 時(shí)，l的方程為y=k,直線過定點(diǎn)，且滿足，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【變

14、式探究】已知拋物線：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F在雙曲線：一=1的右準(zhǔn)線上，拋物線與直線l : y = k (x -2)(k>0)交于A, B兩 點(diǎn)，AF, BF的延長線與拋物線交于C, D兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程； 若4AFB的面積等于3,求k的值； 記直線CD的斜率為kCQ證明：為定值，并求出該定值.解(1)雙曲線：一=1的右準(zhǔn)線方程為：x=1,所以F(1,0),則拋物線的方程為：y2=4x.設(shè) A(, y1), B(, y2),由得 ky2 4y8k=0,A = 16+ 32k2>Q y1+y2=, y1y2=8.S；AAFB= X 1 X |y1 y2| =2V

15、y1 + y2 2-4y1y2W *81 .f VP V"檔U 方M -la 同« -.« 迎收如u a9 / 18= 2 = 3,解得 k=2.設(shè) C(, y3),則=(1, y1), =( 1, y3),【名師點(diǎn)睛】(1)動線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法動直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y=kx + t ,由題設(shè)條件將t用k表示為t =m1彳# y = k(x +m),故動直 線過定點(diǎn)(m,0).動曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).(2)求解定值問題的兩大途徑一先將式子用動點(diǎn)坐

16、標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束 條件使其絕對值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1 .由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y-y0 =k(xx0),則直線必過定點(diǎn)(x0, y0);若得到了直線方程的斜截 式：y=kx+m則直線必過定點(diǎn)(0, m).2 .解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面 積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與 題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的 值.易錯起源3、探索性問題例3、如圖，拋物線C: y2=2px的焦點(diǎn)為F,拋物線上一定點(diǎn) Q(1,2).W *81“專&

17、quot;> 檔U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a# / 18(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程；(2)過焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過Q點(diǎn))與拋物線交于A, B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線 l交于點(diǎn)M記QA QB QM勺斜率分別為k1, k2, k3,問是否存在 常數(shù)入，使得k1 + k2=入k3成立，若存在，求出 入的值；若不存 在，請說明理由.解(1)把 Q(1,2)代入 y2=2px,彳# 2p= 4,設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2),由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1 + x2=, x1x2= 1.又 Q(1,2),則 k1 = , k2 = .因?yàn)锳, F, B共

18、線，所以kAF= kBF= k, 即=k.所以 k1+k2= + 2clI|1 x22 x1+x2 2=H L -7x1x2 x1+x2 +1= 2k= 2k+2, 即 k1 + k2=2k+2.又 k3=k+ 1,可得 k1 + k2=2k3.即存在常數(shù) 入=2,使得k1 +k2=入k3成立.【變式探究】如圖，橢圓E： + = 1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且 = 1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A, B兩點(diǎn).是否 存在常數(shù)入，使得 +入為定值？若存在，求 入的值；若不存 在，請說明理由. W *81 VP V&q

19、uot;檔U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a 11 / 18聯(lián)立普十號=1， y = kx + 1,得(2k2 + 1)x2 +4kx 2 = 0,其判別式 A = (4k)2 +8(2k2 + 1)>0,所以 x1 +x2= , x1x2=,從而， 十入 PB= x1x2 + y1y2+ 入x1x2 +(y1 -1)(y2 -1)=(1 + 入)(1 +k2)x1x2 +k(x1 +x2) +1一 2 入 一 4 k2 十 一 2 入 一 12k2+ 1=入 - 2.【名師點(diǎn)睛】解決探索性問題的注意事項(xiàng)：存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若

20、結(jié)論正確則存 在，若結(jié)論不正確則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放， 采取另外的途徑.【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1 .解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相 關(guān)題型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明 朗化.其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存 在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí) 數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在；否則，元素（點(diǎn)、直線、 曲線或參數(shù)）不存在.2 .反證法與驗(yàn)證法也

21、是求解存在性問題常用的方法.1.若曲線ax2 + by2=1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a, b滿 足（）1A. a2>b2.< 1bC. 0<a<b. 0<b<a答案 C2 .已知橢圓十 = 1（0<b<2）的左,右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過F1的 直線l交橢圓于A, B兩點(diǎn)，若|BF2| 十|AF2|的最大值為5,則b的值 是（）A. 1 B. C. D. ；3答案 D解析 由橢圓的方程，可知長半軸長 a=2;由橢圓的定義，可知 |AF2| 十|BF2| +|AB| =4a= 8,所以 |AB| =8（|AF2| 十|BF2|） >3

22、.由 橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即= 3,可求得b2 = 3,即 b=.3 .已知直線AB與拋物線y2=2x交于A, B兩點(diǎn)，M是AB的中 點(diǎn)，C是拋物線上的點(diǎn)，且使得取最小值，拋物線在點(diǎn)C處的切線為l ,則（）A. CMLABB. CML CBC. CML CAD. CML1W *81“專"> 檔U 方M -la 同« -.« 迎收如on U a13 / 18答案 D解析如圖所示,CA , = ( -) , ( -) =2(+) , + , =2 2, 當(dāng)直線AB一定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)|取得最小值時(shí)，使得取最小值，只有當(dāng)CML1時(shí)，|取得最小值

23、，故選D.4.已知拋物線y2=2px(p>0), ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) ABC三條邊AB, BQ AC的中點(diǎn)分別為 M, N, Q,且 M N, Q的縱坐標(biāo)分別為y1, y2, y3.若直線AR BQ AC的斜率之和 為1,則+ +的值為()1A.-B. -1P - 1C.%p答案 B_p_ = yA yB yxA xBkABp _ yB - yC y2=xB xCkBCp 二 yA yC 二 y3-xA-xC-kAC所以+ + = .5.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+ = 1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A. 2B. 3C. 6D. 8答案

24、 C14 /18解析 由題意得F( 1,0),設(shè)點(diǎn)P(x0, y0),則 y=3(1 -)( -2<x0<2).OP - = x0(x0 + 1)+y = x+x0 + y0= x + x0 + 3(1 -) =(x0 +2)2 + 2.又因?yàn)?Wx0W2,所以當(dāng)x0 = 2時(shí)，取得最大值，最大值為 6,故選C.6.已知雙曲線C: =1(a>0, b>0)的離心率為，A, B為左，右 頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 直線PA PB, PO的斜率分別為k1, k2, k3,記m k1k2k3,則m的取 值范圍為.答案(0,2).0<k

25、3<, .0<m= k1k2k3<2.7 .已知A(1,2) , B( 1,2),動點(diǎn)P滿足，.若雙曲線一=1(a>0, b>0)的漸近線與動點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范 圍是.答案(1,2)解析 設(shè)P(x, y),由題設(shè)條件，得動點(diǎn) P 的軌跡為(x 1) (x +1)+(y 2)(y 2) = 0, 即x2 + (y 2)2 = 1,它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線=1(a>0, b>0)的漸近線方程為y=±x,即bx士ay= 0,由題意，可得>1,即>1,所以e=<2,又 e>1,故

26、 1<e<2.8 .在直線y= 2上任取一點(diǎn)Q過Q作拋物線x2 = 4y的切線，切點(diǎn)分別為A B,則直線AB恒過定點(diǎn).答案(0,2)解析 設(shè)Q(t, 2), A(x1, y1), B(x2, y2),拋物線方程變?yōu)閥= x2,則y' =x,則在點(diǎn)A處的切線方程為廠M二品(工一工辦化簡得二會1LJL同理，在點(diǎn)方處的切線方程為尸&X一羥又點(diǎn)如，一2)的 坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代人得；一2號廣川 7二步 則說明/ 9 見如 為闈滿足方程一工 =%一力即直緝必的方程為尸2=界 因此直線小恒過定點(diǎn)(。分9 .已知橢圓 C: + = 1(a>b>0)的離心率為，A(a,0) , B(0, b), O(0,0) , OAB勺面積為 1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P