中小學數(shù)學建模競賽

1、；.莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿

2、袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿

3、裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆

4、羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈

5、羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿

6、羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆

7、肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇

8、肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈

9、螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆

10、螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆

11、螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇

12、袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅

13、袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅

14、襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆

15、羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞羈莁芄蟻肅膄薃螀螃羇葿蝿裊膂蒞蝿羈羅莁螈螇芁芇螇袀肄薅螆羂艿蒁螅肄肂莇螄螄芇芃袃袆肀薂袃羈芆蒈袂肁肈蒄袁袀莄莀蕆羃膇芆蕆肅莂薅蒆螅膅蒁蒅袇莁莇薄

16、罿膃芃薃肂羆薁薂螁膂薇薁羄羄蒃薁肆芀荿薀螆肅芅蕿袈羋薄薈羀肁蒀蚇肂芆莆蚆螂聿節(jié)蚅襖芅膈蚅肇肈薆蚄螆莃蒂蚃衿膆莈螞 中小學數(shù)學建模資 料 匯 全國數(shù)學建模工作委員會2010年11月6日編 前 言數(shù)學建模是一個世界性的研究課題，它起源于上世紀七十年代末的英國劍橋大學。 1983 年開始在美國每兩周年舉行一次數(shù)學建模與用模國際會議，與會國家逐步發(fā)展到了歐美、日本、澳大利亞、中國等近百個國家和地區(qū)。1985年美國率先舉辦全美大學生數(shù)學建模聯(lián)賽，使大學生數(shù)學建模競賽活動逐漸成為世界大學生活動的一大潮流。我國的大學生數(shù)學建模競賽活動起步于1992年，雖然起步較晚，但近年來已成燎原之勢。 縱觀世界數(shù)學建模活

17、動，各國均側重于大學，中小學系統(tǒng)開展的還屬鳳毛麟角。盡管我國的九年義務教育數(shù)學課程標準非常重視數(shù)學的建模問題在前沿的第一頁就3次提到了建模問題，3次提到了數(shù)學的用模（工具性）問題，但由于種種原因，中小學數(shù)學建模問題仍然沒有得到應有的重視，在中小學界進行數(shù)學建模教育的更是少之又少。不會建模的就不會科研，不會用模的就不會生活。為了更好地推廣數(shù)學建模思想、提高中小學教師的數(shù)學建模意識、發(fā)展中小學生的數(shù)學建模能力，本刊從本期開始將陸續(xù)刊發(fā)一些有關小學數(shù)學建模的文章，以供大家參考，也歡迎廣大讀者踴躍參與。 注：本匯編均采自山東教育雜志2010年10 12期刊發(fā)文章，全國各省市在關雜志將陸續(xù)刊發(fā)數(shù)學建模文

18、章，望各界人士積極投稿。 目 錄 關于數(shù)學建模的幾個問題 秦荃田 劉景軍（1）淺談小學數(shù)學課堂教學中數(shù)學模型的構建張緒昌（7）立足生活情境 構建數(shù)學模型談整數(shù)四則混合運算的教學“李 紅（10）小學數(shù)學建模教學中的思考 馬世廣 （15）“交換律”建模設計 王希 （17）立體圖形的體積研究 邵瀛婧 （22）在小學數(shù)學建模教學中如何構建數(shù)學模型 賈海娟 （26）小學數(shù)學建模教學模式及其應用 牛玉興 （29）淺談長方形正方形周長計算公式的建模 劉淑芹（31）在小學數(shù)學教學中滲透數(shù)學建模思想 劉永文 （34）對數(shù)學建模的幾點認識郭淑英 （37）常見的中學數(shù)學建模問題分析 周文博 （39）影響初中數(shù)學建模

19、教學的原因分析 馬紅梅 （42） 關于數(shù)學建模的幾個問題秦荃田 劉景軍一、 問題的提出數(shù)學是在人們對現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際應用的需求中產(chǎn)生的，要解決生活及生產(chǎn)實際中的問題就必需建立數(shù)學模型。如：數(shù)的擴大，產(chǎn)生了二進制、五進制、十進制、是二進制、六十進制等進位制模型；土地測量的需要，產(chǎn)生了各種幾何圖形的模型等。從此意義上講，數(shù)學建模和數(shù)學學科一樣有古老歷史，且是數(shù)學學科發(fā)展的重要支柱。今天，數(shù)學以空前的廣度和深度向其他科學技術領域滲透，過去很少應用數(shù)學的領域現(xiàn)在正迅速走向定量化、數(shù)量化、和數(shù)字化，數(shù)學在許多高新技術領域起著十分關鍵的作用。因此，數(shù)學建模被時代賦予更為重要的意義。數(shù)學課程標準的第一頁就

20、3次強調了數(shù)學的“建模與用?！眴栴}：1. 第一段最后一行：“有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，題，直接為 社會服務?！?. 第二段倒數(shù)第三行：“強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問 題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程?！?. 第一頁倒數(shù)第三行：“數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象?！毙抡n標的第一頁也是3次強調了數(shù)學的工具性：1.第一段倒數(shù)第一行：“進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值?！?.第一段倒數(shù)第二行：“數(shù)學作為一種普通使用的技術?！?.第一頁倒數(shù)第一行：“數(shù)學為其他學科提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎?！敝档米⒁獾氖?，數(shù)學的工具性正是體

21、現(xiàn)在數(shù)學的用模上。新課程強調過程與活動，但這里的過程與活動均是建模與用模的活動，新課標著重強調的是數(shù)學建模的過程和用模的活動。上述幾點充分說明一點，新課標最重視的是數(shù)學的建模與用模問題，其他一切，生活化也好、實際問題解決也好、過程與方法也好、活動與思考也好，等等的一切都是為數(shù)學的建模與用模服務的。既然如此，新課程改革開始近十年了，我國的中小學數(shù)學教育界為什么對此很少涉及而只強調過程、活動、合作學習和方法多樣化呢？原因固然是多方面的，但數(shù)學的建模與用模問題畢竟揭露了數(shù)學的本質，與現(xiàn)代科技的發(fā)展息息相關，也是世界數(shù)學教育發(fā)展的主流，因此，重視數(shù)學建模與用模教育的研究是我國中小學數(shù)學甚至大學數(shù)學教育

22、不可忽視的一個重大問題。二、數(shù)學建模的內(nèi)涵1.什么是模型模型是一種科技生產(chǎn)的手段，是隨著產(chǎn)品的批量生產(chǎn)而產(chǎn)生的，它代表了科技的發(fā)展。自古以來，人們制造瓷器、陶器、銅器、金器、銀器、等等，都要首先制作各種“模子”。現(xiàn)代的工廠制造工業(yè)零部件，也需要事先制作“模子”。這種模子，就是模型。說文解字上寫道：“模，法也?！敝袊糯娜藗?，以材料的不同而區(qū)分不同的“模”?！耙阅驹荒?，以金曰镕，以土曰型，以竹曰范，皆法也。”即是說“模”“镕”“型”“范”都是用不同的實物材料做的“模子”。模型盡管可以變化，如，方形的可以變化，發(fā)展為長方形的、橢圓形的、菱形的、組合圖形的等，同一形狀的可以變?yōu)楹竦?、薄的等，但一種

23、形狀的模子一旦固定下來，就是有其專有用途的，是為制造某一類物品服務的，是實物的，是剛性的，是不可改變的，是可以用一定的數(shù)學公式或定義描述的。2.什么是模式 模式是模型概念的一種推廣。辭源上寫道：“?！钡囊饬x有三：模型、規(guī)范；模范、楷式；模仿、效法?！澳Ｐ汀边@一組合詞的本義，即是一種用實物做模的方法。但是，在這里，這個詞的意義已經(jīng)有所拓展已有模范、模仿的意義。再到后來，“模型”一詞，從原來狹義地指實物模型，已發(fā)展為包括非實物的形式模型。最先普遍拓展使用的是“數(shù)學模型”。把一類實際問題抽象為用數(shù)學符號表示的數(shù)學問題，即稱為數(shù)學模型。再后來就發(fā)展、變化為在非實物的形式模型中，除了“數(shù)學模型”之外，還

24、有用文字語言描述的”模型”，通常，人們又不用“模型”而用“模式”。例如，“文化模式”、“教育模式”、“經(jīng)濟模式”、“社會模式”等等。模式是文字敘述的，是描述性的，是不精確與不科學的，只能描述性狀而不能揭示其本質。3.什么是數(shù)學模型通俗地講，數(shù)學模型就是為了解決現(xiàn)實生活與生產(chǎn)勞動實際、科技發(fā)展與社會發(fā)展等一系列問題而建立的一系列數(shù)學概念、公式、定義、定理、法則、體系等等。它可以有變式，如，ab+ac=d,可以寫成a（b+c）=d，可以根據(jù)情景的變化，添加條件，如ab+ac=d，變?yōu)閍b+ac+e=kd，但他們都是為了解決某類問題服務的，一旦確定，就不可更改。4.什么是模型論在數(shù)學領域里，還有在更

25、為狹義的范圍內(nèi)的“模型”，即是在數(shù)理羅技研究領域中的“模型論”。模型論，是研究形式語言與其揭示（模型）之間關系的理論，一個形式語言L的解釋U稱為此語言的一個模型貨結構。這是一種從數(shù)學到數(shù)學的研究，是對數(shù)學模型的數(shù)學解釋。5什么是數(shù)學建?！皵?shù)學建模不是做題，而是干活?！敝袊萍即髮W李尚志教授的這句名言一針見血地指出了數(shù)學建模的本質特點。準確地說，數(shù)學建模就是用數(shù)學語言來描述現(xiàn)實現(xiàn)象的過程。這里的現(xiàn)實現(xiàn)象既包括自然現(xiàn)象（如行星運動），也包括社會現(xiàn)象(如商業(yè)運作)，而描述也不僅僅包括在外形、內(nèi)在機制的描述，還包括預測、實驗和解釋實際現(xiàn)象等內(nèi)容。也就是，實際問題數(shù)學化。它是一個過程，是一個經(jīng)歷觀察、思

26、考、歸類、抽象與總結的過程，也是一個信息捕捉、篩選、整理的過程，更是一個思想與方法的產(chǎn)生與選擇過程。它重視、強調了探究的過程。在這一過程中，許多細想、方法、技能、與技巧都相對伴生。值得注意的是，數(shù)學建模過程，尤其是現(xiàn)代數(shù)學建模過程，一般不是一個人完成的，而是群體智慧的結晶，它強調了合作性。比如，現(xiàn)在的大學生數(shù)學建模一般都是三人一組完成的。同時，在建模過程中需要嘗試各種方法，需要建模策略的多樣探試、比較、綜合與最優(yōu)化。6什么是數(shù)學用模簡單地說就是用數(shù)學模型來解決實際問題，而不在于應用了多少數(shù)學知識于方法。它最核心的部分就是圍繞一類問題建立一個數(shù)學模型來模擬實際問題，然后通過研究這個數(shù)學模型來解決

27、這個實際問題。這里的數(shù)學模型是指用數(shù)學語言描述的實際事物和現(xiàn)象，是實際事物的數(shù)學簡化。因為人們普遍相信大自然是嚴格地演化著，所以為了使描述更具科學性、邏輯性、客觀性與可重復性，人們就用數(shù)學模型來模擬實際現(xiàn)象。建模與用模是一個數(shù)學過程，即是生活問題數(shù)學化與數(shù)學問題生活化的問題。值得注意的是，用模時可以不必了解建模的過程或建模的意義。就想農(nóng)民用拖拉機耕地一樣，他可以不必會制造拖拉機，也不必知道制造拖拉機的原理，會使用、使用好就可以了。也就是說，建模是數(shù)學家或科學家們的事，大多數(shù)實際工作者會用、用好數(shù)學建模就不錯了。7問題解決與數(shù)學建模問題解決提起與上世紀五十年代的美國，流行于七十年代的美國、西歐和

28、日本等國家和地區(qū)。我國則引進于八十年代末，流行于就是年代中期。問題解決包含了亮部分，一是問題，二十解決?！皢栴}是數(shù)學的心臟?！睈垡蛩固乖?jīng)說過“提出問題比解決問題更重要?！?作為問題解決的核心問題，有著各種各樣的分類方法，但大體上可以分成兩類：（1）為了學習、探索數(shù)學知識、復習鞏固所學內(nèi)容而主要由教師或教材編寫者構作的數(shù)學問題，如教科書、復習參考書中的練習題和復習題等。（2）出現(xiàn)于非數(shù)學領域，但需要數(shù)學工具來解決的問題。如來自日常生活中的經(jīng)濟、理化生醫(yī)等學科中的應用數(shù)學問題。（1）類中的問題，往往是以完成數(shù)學抽象和加工的“成品”問題。其指向性單一、條件狹窄、開放性較差；（2）類中的問題，往往還

29、是“原坯”形的問題，怎樣將他抽象、轉化成一個相應數(shù)學問題，這本身還是一個問題。當然，兩類問題是可能有“交集”他們彼此的邊界也是模糊的，如可列方程（組）求解的文字應用題的一部分就在這個“交集”中。在問題解決的過程中，上述兩類問題的解決思路上是較膚淺的、方法是較單一的。需要說明的是（2）中的問題已有數(shù)學模型的雛型，但在中小學教科書中，這類問題涉及的還不多。數(shù)學建模問題的條件更開放、更凌亂、目的性、指向性和策略性更多樣。模型的猜想性、可塑性、驗證性更強，學生的探索性、合作性更強，用模的多樣性更強，它的作用對象更側重于非數(shù)學領域中的問題。較之問題解決，數(shù)學建模更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析、假設、抽象的

30、數(shù)學加工過程，數(shù)學工具、方法和模型的選擇、分析過程，模型的求解、驗證、在分析、修改假設、在求解的迭代過程，它更完整地表現(xiàn)了學數(shù)學和用數(shù)學的關系。它給學生再現(xiàn)了一種“微型的科研過程”。例如：“我們班內(nèi)最美的同學是誰？”這個問題。要解決這個問題，首先要找到它的條件：這就是“我們班內(nèi)”，而“最美的同學”必須有標準。我們知道，人體美學受到種族、社會、個人等方面的影響，牽扯到體型與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一。只有整體和諧、比例協(xié)調，才能稱得上是一種完整的美。人體的美主要由兩類：對稱美和比例美。而比例美中最重要的是黃金分割美。從猿到人的進化過程中，骨骼方面以頭骨和腿骨變化最大，軀體外形由于接近黃金矩形而變

31、化最小。人體結構中有許多比例關系接近0.618，從而使人體美哉幾十萬年的歷史沉淀中固定下來。人類最熟悉自己，勢必將人體美作為最高的審美標準，由物及人，由人及物，推而廣之，凡是與人體相似的物體就喜歡它，就覺得美。于是，黃金分割律作為一種重要的形式美法則，成為世代相傳的審美經(jīng)典規(guī)律，至今不衰！今年來，在研究黃金分割律與人體關系時，人們發(fā)現(xiàn)了人體結構中有14個“黃金點”，12個“黃金矩形”和兩個“黃金指數(shù)”（兩物件間的比例關系為0.618），這就是“最美的同學”的標準。有了這個條件和標準，我們就可以將人體結構中的“黃金分割點”與自身相對照，通過實際測量每個同學身上的具體數(shù)據(jù)，用數(shù)據(jù)說話，來解決“最美

32、的同學”的問題，從而建立本版中最美同學的數(shù)學模型。這一過程是動態(tài)的、開放的，它對學生的各種能力都提出了很高的要求。三、數(shù)學建模的思維過程因為數(shù)學建模主要是培養(yǎng)學生從現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學信息進而建立數(shù)學理論的能力，所以，數(shù)學建模本身是一個尋找、分析、建模、計算與驗證、修訂、應用、總結的完整過程。當我們拿到一些數(shù)學建模信息時，首先就是要查找所需的數(shù)據(jù)，盡量多地把查找數(shù)據(jù)的工作完成。其次是問題的分類分析：題中所給的條件是非常多或非常少的，要根據(jù)建模的要求對這些條件和信息進行加工、分析、并進行歸類比較。第三根據(jù)分析對數(shù)學模型提出初步假設，同一道題目可以有多個不同的模型假設，當應以盡量準確的模型

33、實際為標準。第四是提出模型假設后，要通過計算或計算機編程等對模型假設進行驗證。第五是驗證之后對模型假設進行修改、定型。第六步是應用模型進行解決問題。最后，進行概括總結，寫出研究報告，內(nèi)容包括模型的改進、模型帶來的啟發(fā)與待解決的問題等等。上述數(shù)學建模過程的思維流程大致如下：尋找相關信息提煉有用信息分類比較提出模型假設計算驗證調整定型用模解決問題研究報告四、數(shù)學建模的一般研究領域 一般說來，數(shù)學建模在現(xiàn)實生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和高科技研究領域中的作用無處不在，縱觀數(shù)學建模的研究，它在如下領域正在熱火超調地開展著；1. 在信息產(chǎn)業(yè)領域的軟件生產(chǎn)過程中；2. 經(jīng)濟問題解決過程中；3. 氣象預報中的預報模型與

34、模式；4. 數(shù)學建模在各類評價體系中的作用；5. 數(shù)學建模在國民素質教育中的作用；6. 數(shù)學建模對數(shù)學教學改革的重要啟示；7. 社會科學的數(shù)學化，起核心是建立社會科學中相關學科的數(shù)學模型；8. 航空航天及物理、地理、天文學的研究中；9. 醫(yī)藥衛(wèi)生、生物、化學、農(nóng)林領域的研究；10. 其他相關行業(yè)中。五、數(shù)學建模的歷史發(fā)展及現(xiàn)狀數(shù)學建模研究的發(fā)端是在1978年前后，英國工業(yè)協(xié)會為了生產(chǎn)的需要要求劍橋大學開設一個大學數(shù)學建模班，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。1982年美國開始關注大學生數(shù)學建模問題，并于1985年在美國組織首屆全美大學生數(shù)學建模聯(lián)賽，之后，每兩年舉辦一次，并逐步發(fā)展為世界大學數(shù)學建模聯(lián)賽

35、。1989年再幾位從事數(shù)學建模教育的教師的組織和推動下，我國幾所大學的學生開始參加美國的競賽，而且積極性越來越高，近幾年參賽校數(shù)、隊數(shù)迅速增加加。1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會組織舉辦了我國10個城市的大學生數(shù)學模型聯(lián)賽，74所院校的314隊參加。教育部領導及時發(fā)現(xiàn)并扶植、培育了這一新生事物，決定從1994年起由教育部高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學學會共同主辦全國大學生數(shù)學建模競賽，每年一屆。十幾年來這項競賽的規(guī)模以平均每年增長25%以上的速度發(fā)展。2009年全國有33個省、市、自治區(qū)（包括香港和澳門特區(qū)）1137所院校、15046個隊（其中甲組12276隊、乙組2770隊）4萬5千多名來自各

36、個專業(yè)的大學生參加競賽，是歷年來參加人數(shù)和參賽地區(qū)最多的，其中西藏和澳門是首次參賽。令人遺憾的是，盡管我國大學生數(shù)學建模競賽開展的如火如荼，盡管數(shù)學課程標準早就對數(shù)學建模問題提出了強烈要求，但在中小學階段進行數(shù)學建模研究的還屬鳳毛麟角，這是一個值得關注的問題。六、開展中小學數(shù)學建模教學研究的幾點建議1重讀課標，引起思想重視正如前文所提，數(shù)學課程標準在前言部分的第一頁的3次提到了數(shù)學的建模問題，3次提到了數(shù)學的工具性，即用模問題，在不足1000字的問題中6次提到了數(shù)學的建模與用模問題，且在課標的第一頁。課程標準吧數(shù)學建模用模問題提到了什么高度還不是顯而易見了嗎？課程標準的新理念新在什么地方還不是

37、一清二楚了嗎？為什么多年來我們的數(shù)學教師、數(shù)學研究員們一直在過程與方法、一直在數(shù)學與思考、一直在算法多樣化上下功夫，而獨獨不提數(shù)學建模呢？這是一種舍本逐末的行為，是對新課改、對學生不負責任的行為，現(xiàn)在是回歸課程標準的時候了。我們必須靜下心來，仔細研讀數(shù)學課程標準，從思想上引起對數(shù)學建模的重視。2重視建模教學，確立建模的初步原則在學習數(shù)學課程標準，重視數(shù)學建模教學研究的同時，要逐步確立數(shù)學建模的初步原則。 在小學數(shù)學建模的過程中，要切記小學數(shù)學姓“小”，不姓“中”，更不姓“大”。要從小學生的年齡特征和心理特點入手，從“小”字上做文章。要讓小學生初步感知數(shù)學建模的意義，逐步了解數(shù)學建模的過程；初步

38、了解數(shù)學建模的思想，逐步知道數(shù)學建模的方法。會從簡單的現(xiàn)實生活和生產(chǎn)例中初步抽象出數(shù)學模型，并會用數(shù)學模型解決一些簡單的實際問 題。初中階段則可以在此基礎上做進一步的提高。3. 細研課本，找出建模的立足點中小學階段，尤其是小學階段的數(shù)學建模應盡量從平常的數(shù)學課堂開始，并以課堂教學為主陣地進行。其實，各種數(shù)學課本中都有大量的數(shù)學模型素材可供我們選擇。如，數(shù)1的認識。這是一個最簡單的數(shù)學模型，但也是一個最復雜的數(shù)學模型。1個1的物體可以抽象出數(shù)1，一群一群、一對一對、一排一排的物體也可以抽象出數(shù)1，這些1都一樣嗎？學生們一知半解，大多數(shù)老師也是一知半解。要真正建立好這一模型，那可是不容易的。同樣，

39、3呢？5呢？=號呢？再如，長度單位怎么建立？平方單位、立方單位呢？將課本上的這些知識點尋找出來，仔細研究，你就會發(fā)現(xiàn)，他不僅會幫助你搞好數(shù)學建模的教學，而且會是你的課堂教學多姿多彩。4. 在課堂以外抓建模數(shù)學建模是開放式的，是需要時間的。因此，它既可以與課堂教學相結合，讓學生在課外搜集建模資料，如上同級課前可以讓學生到商店或在家里搜集物品種類和數(shù)量，準備課堂教學用，也可以成立數(shù)學建模興趣小組，提高學生的數(shù)學建模能力。5.用數(shù)學的眼光看世界從中小學數(shù)學的角度說，數(shù)學建模就是生活問題數(shù)學化的過程，而數(shù)學的用模就是數(shù)學問題生活化的問題，二者相輔相成。這是課程標準著力強調的一點，也是廣大老師在教學中著

40、力實踐的一點，知識老師們還沒有把它上升到建模的意識上而已?！叭f物皆數(shù)”，是“生活中處處有數(shù)學”。要培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識與能力，就需要讓學生用數(shù)學的眼光看世界，讓學生時時處處在大自然中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、感悟數(shù)學、體味數(shù)學、應用數(shù)學，這是我們廣大數(shù)學教育工作者應盡的義務。中小學數(shù)學建模的研究工作還剛剛起步，要研究的問題千頭萬緒。限于能力，也限于篇幅， 淺談小學數(shù)學課堂教學中數(shù)學模型的構建濟南市市中區(qū)教研室 張緒昌 數(shù)學模型，從小學課堂教學這一狹義的角度講，就是指解決問題時所用到的一種數(shù)學框架，是對實際問題進行分析、簡化、抽象后所得出的數(shù)學結構，一般是用數(shù)學語言、符號、數(shù)量關系式或圖形等描述。它具有一般性

41、、精確性、直觀性、簡潔性等特點。然而在新課程實施過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，一線教師的數(shù)學模型的構建意識還比較薄弱，不少教師以為構建數(shù)學模型是數(shù)學家的事，只要教材、教參上沒有明確要求，教學也就不再涉及。誠然，數(shù)學模型的建立往往受教師自身模型構建意識與能力、教材 例如,“植樹問題”有三種情況：兩端都不栽（棵樹 = 間隔 +1）；只中端（棵樹 = 間隔數(shù)）；兩端都不栽（棵樹 =間隔數(shù)-1）。在第一遍試教中，教師把教學重點放在三種情況的分類上，一節(jié)課下來，學生在球總棵樹時，往往還是弄不清應該是加1、還是減1或者不加不減。仔細分析一下原因，歸根結底是學生不明白植樹問題的本質 一 一對應。說到底，也就是學生沒能很

42、好地掌握一一對應的數(shù)學模型。教師進行了第二次改進，把教學重點放在了一一對應的數(shù)學模型的建立上，收到了良好的效果。教師在出示題目：一條公路長20米，計劃在公路的一旁栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共可以栽幾棵？學生嘗試獨立解決，出線了三種方法：20÷5=4（棵）；20÷5+1=5（棵）;20÷5+2=6（棵）。在全班交流算式意義的過程中學生通過畫圖，理解到：20米是路的總長，5米市每兩棵樹的距離，20÷5求的事4段路，要求兩端都栽，所以還得加上開頭的一棵。就在全班同學普遍認同這一解釋時，教師提出了本節(jié)課理解的難點，即段數(shù)與棵樹的關系：4表示段數(shù)，1表示

43、左邊的那棵樹。4段 路加上1棵樹等于什么？段數(shù)加上棵樹求出來怎么是棵樹呢？按說應該棵樹加上棵樹才等于棵樹?。侩y道段數(shù)和棵樹之間還有一定的關系嗎？通過大家的討論，學生根據(jù)線段圖找到了一一對應的模型：途中一段路對應著一棵樹，一共有這樣的4段路，4短路就對應著4棵樹，所以20÷5求出的事段數(shù)，根據(jù)一一對應，也可以理解成是4棵樹。1就是指的頭上這棵樹。緊接著教師讓其他同學用手勢比劃段數(shù)與棵樹的對應關系，從而非常扎實地構建出棵樹和段數(shù)一一對應的模型，有效地突破了教學難點。在接下來研究只種一端和兩端都不種的情況時，教師也是僅僅讓學生記住了一一對應的模型，減輕了學生的記憶負擔，教學效果較好。這一學

44、習過程可以概括為“自主嘗試初步建立模型質疑問難一構建完整模型”。 二、在規(guī)律的總結過程中構建合適的數(shù)學模型，深刻理解算式的意義乘法分配律是四年級下冊的內(nèi)容，教材的呈現(xiàn)方式如右圖。多數(shù)教師在教學時往往從計算入手，即出示機組類似（4+2）×25和4×25+2×25的例子，讓學生通過計算發(fā)現(xiàn)兩個獅子相等的關系，從而總結出乘法分配律。課堂上老師雖然費了九牛二虎之力，但教學效果卻不如意，尤其是遇到變式練習，許多學生還是稀里糊涂。原因在哪里？筆者以為主要還是學生對于分配律的理“看”得不清楚，通過計算總結結論過于抽象。因此，不妨創(chuàng)造一個更加直觀的圖示，從而幫助學生理解算式的意義

45、?？梢园牙?改成如下形式：444444LLüý 共25組 222222LLþ讓學生思考：一共是多少？有幾種算法？橫著看：4×25+2×25表示25個4加上25個2。豎著看：（4+2）×25表示25個4加2的和。兩種算法得數(shù)相同，可以用等號連接：4×25+2×25=（4+2）×25，教師可以再強化一組。隨后教師給出算式，讓學生想象圖式，進一步理解算式的意義。這樣幾個回合下來，學生對于乘法分配律的模型建立就非常深刻了。乘法交換了、乘法結合律都可以創(chuàng)造類似的圖式，從而較為容易的突破了對算式意義的理解。三、在計算

46、過程中構建直觀的數(shù)學模型，從而較好地突破對算理的理解 計算教學的基本目的是使學生掌握算法，理解算理，而對于一部分同學來講，理解算理總是較為困難。比如，人教版五年級上冊“小數(shù)處以整數(shù)”一課，不少學生不能理解為什么商的小樹點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。因此教師一恰當?shù)剡x擇面積模型，通過學生的操作來理解這道理。比如計算4.32÷3。教師可以引導學生用下圖表示4.32。如果把4.32平均分為3份，應該先分大正方形。每人分得1個正方形，還剩下1個，以1作單位沒法再分了，所以把1評價分成10份，和3個0.1和起來就是13個0.1，平均分成4份，每份有4個0.1。再把剩下的1個0.1評價分成10份，和

47、2個0.01合起來評價分成3分，每份是0.04。通過直觀的錯做很容易的理解了商的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊的道理。四、在猜想與驗證的過程中構建基本的數(shù)學表達式，從而實現(xiàn)知識的有效構 建猜想是依據(jù)已有的知識或活動經(jīng)驗對研究的數(shù)學對象或數(shù)學問題進行觀察、實驗、比較、歸納等一系列的思維活動，并做出符合一定規(guī)律或事實的推測性想象，進而通過驗證或操作完善或修正自己的猜想，從而提出新的理論假設。猜想是一種帶有一定直覺性的比較高級的思維方式，而在不斷地猜想與驗證過程中，數(shù)學模型也在不斷地構建與調整。比如，學習分數(shù)的大小比較時：教師先出示一組帶有規(guī)律性的題組，比較小，學生先進行猜想，然后驗證發(fā)現(xiàn)：123456

48、、的大23456713456&lt;&lt;&lt;&lt;。學生自然得出：當分數(shù)的分母比24567分子大1時，分母大的分數(shù)大，用字母關系式表示為：ace<<（b-a=d-c=f-ebdf=1）；緊接著教師可以引導學生進一步提出新的猜想：如果當分數(shù)的分子分母相差2、3LL如：,123456剛才的規(guī)律還是否適用？學生繼續(xù)進行猜想、驗證，從而發(fā)現(xiàn)其中的345678帶有規(guī)律性的表達式：ace<<LL（當b-a=d-c=f-eLL）。這個學習過程可以概括為：bdf“實踐操作構建模型提出新猜想動手驗證建立模型”，這個過程是學生不斷發(fā)現(xiàn)、不斷創(chuàng)新的過

49、程。五、在知識的梳理與歸納中構建基本的關系式，從而打通知識間的聯(lián)系著名教育家皮亞杰認為：“對知識的理解是學習者自己主動地建構知識的意義的過程。”因此教師要有意識的引導學生對所學知識經(jīng)?；仡櫯c整理，使零散的知識在學生大腦中主動地進行選擇、加工，這樣學生原來的知識經(jīng)驗系統(tǒng)又會因新信息的進入發(fā)生調整和改變，也就是我們通常所說的知識重組或重構。如何實現(xiàn)這一點，構建基本的關系式模型是一種重要的途徑。比如，學生在學習了平面圖形的面積公式后，為了減輕學生記憶負擔，增強學生的演繹推理能力，教師可以引導學生思考：能否只用一個公式把下面所以圖形的面積公式統(tǒng)一起來？ 學生通過觀察，得出梯形的面積公式（S（梯形）=（

50、a+b）×h÷2）可以解釋其他圖形的面積，然后進一步簡化：中位線×高。再如：學生學習完有關長方體、正方體、圓柱、棱柱的體積后可引導學生再次構建這些例題圖形基本的體積公式，得出：直棱柱的體積=中位面×高。總之，有效的數(shù)學模型是數(shù)學基礎知識與數(shù)學應用之間的橋梁，建立和處理數(shù)學模型的過程，就是將數(shù)學知識應用于實際問題的過程。在建立數(shù)學模型、形成新的數(shù)學知識結構的過程中，學生能更深刻地體會到數(shù)學與生活的聯(lián)系，同時教師自身要具備數(shù)學模型的構建意識和能力，才能指導和要求學生通過主動思維，自主建構有效的數(shù)學模型，從而使課堂更能彰顯數(shù)學的學科魅力。 立足生活情境 構建數(shù)

51、學模型-談整數(shù)四則混合運算的教學濟南市姚家小學 李 紅“能結合現(xiàn)實素材理解運算順序”是小學數(shù)學課程標準的理念。為此，實驗教科書一改原教材的編排體系，而從數(shù)學源于生活的角度，結合符合學生生活實際的現(xiàn)實素材逐步引入混合運算.這樣編排的好處是:1.貼近學生,使抽象的問題變得生動,有趣;2.便于學生結合現(xiàn)實問題初步理解混合運算的意義,體會運算順序;3.混合運算與解決兩三步計算的實際問題緊密結合,有助于提高學生思維水平和解題能力.然而,新教材這種編排也有弊端,如綜合算式的提前出現(xiàn)造成了教師教學的困惑,脫式計算的格式要求形成了教學的空擋,而教材、教參對此只字未提，使教師教學感到無從著手，自行其是?；旌线\算

52、的運算順序作為一個數(shù)學模型來說并沒有在教材中得到很好的體現(xiàn)。為了幫助學生加深對混合運算順序的理解，應該在規(guī)范運算步驟的基礎上促進學生計算能力的提高。數(shù)學課程標準指出，數(shù)學教學應“從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”。而引導學生構建數(shù)學模型，應該從學生所熟悉的符合其年齡特征的生活情景出發(fā)，引導學生通過觀察、操作、分析、比較等思維活動，進而逐步轉化成自己的認識，從而用數(shù)學語言、數(shù)學符號概括出來。正如張奠宙教授所說：“數(shù)學模型就是那些用數(shù)學語言來模擬現(xiàn)實的模型?！币蚨?shù)學模型的過程本身就是一種研究型學習方式。下面是我們教學混合運算的幾點做法：一

53、、教材分析實驗教科書是結合現(xiàn)實素材逐步引入混合運算的。大體可分為3個階段：一是初步滲透模型簡短，二是形成模型階段，三是運算定律的建構與應用。第一階段又分為3個層次：一（上）“6-10的認識和加減法”中安排的“連加”、“連減”和“加減混合”便是混合運算的起始內(nèi)容。這個階段主要是口算，應該結合具體情景，讓學生感悟到先算什么，再算什么，起重點是第一步口算得數(shù)要“暗記”，使學生明白只有求得第一步計算的得數(shù)才能進行第二步計算。第二個層次是二（上）100以內(nèi)的加法和減法（二）中的“連加，連減和加減混合”。 承接上一層次的教學，學生已經(jīng)有了初步的按順序計算的意識，只不過由口算變成了筆算，“暗記”的第一步得數(shù)

54、需要用豎式表示出來。為了幫助學生更深刻認識連加連減和加減混合運算順序，教材依然通過生活情景呈現(xiàn)問題及運算順序，其后結合表內(nèi)乘法引入的乘加、乘減，僅從呈現(xiàn)順序上就能看出先算乘法后算加減法，并不是教學兩級運算的順序。第三個層次是二（下）的含有小括號的加減混合運算。為了幫助學生體會小括號的作用，教材通過一道用兩種方法解答的實際問題說明用綜合算式列式時，應該使用小括號，“計算時先算小括號里面的”可以從分析題目的數(shù)量關系中建立認識。從以上分析可以看出，教材的編排確實體現(xiàn)了數(shù)學源于生活，學生比較容易的將生活情境轉化為自己的認識。但需要說明的一點是，在這個階段已經(jīng)出現(xiàn)了列綜合算式解決實際問題，這就給教師教學

55、造成了些許困惑。怎樣教學列綜合算式：教不教脫式計算的格式和步驟？幸虧，59頁的例4道出了脫式步驟及解法，真是“千呼萬喚始出來。”混合運算教學的第二個階段在四（下）。教材通過四個例題的問題解決，幫助學生建立整數(shù)四則混合運算的運算順序這一數(shù)學模型。由于學生在一、二年紀已具備了很多感性認識， 且能夠初步掌握含有加減兩步計算及含有小括號的混合運算式題的計算步驟，只不過還沒有把這些認識上升為理性認識，即還未形成運算法則這一數(shù)學模型，因此這部分教材主要是引導學生借助于已有的知識經(jīng)驗，在解決問題的過程中，歸納概括出混合運算順序，形成數(shù)學模型，并利用數(shù)學模型進行計算。整數(shù)四則混合運算的第三個階段是研究五大運算

56、定律并進行簡便運算。五大運算定律也是數(shù)學模型，它是運算體系中最有普遍意義的規(guī)律，是運算的基本性質。同時隨著數(shù)的范圍的進一步擴展，這五個運算定律也會進一步應用到后續(xù)知識的學習中。鑒于學生在前面的數(shù)學學習中已經(jīng)接觸到了一些實際例子，因此這一階段的任務主要是引導學生從現(xiàn)實的問題情境中抽象概括出運算定律（建模），并進行簡便運算（用模）。二、創(chuàng)設現(xiàn)實情境，初步滲透“模型”意識如前所述，學生在低年級學習混合運算主要是學習從左到右依次計算的連加、連減和加減混合的運算順序，初步了解小括號的作用。前者滲透的的教學模型就是一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，按照從左到右的順序進行計算。后者所滲透的數(shù)學模型

57、就是在有小括號的算式里，要先算小括號里面的。為了幫助學生更好的理解和掌握這些內(nèi)容，教材提供了豐富的生活情境，旨在于激發(fā)學生的學習興趣，喚起學生的知識儲備，利用現(xiàn)實的素材建立認識。教學中應切實把握好教材的這一編排特點，讓學生結合現(xiàn)實素材進行分析、思考，從而架起生活情境與運算順序之間的橋梁，也就是說在低年級要注意滲透“模型”意識，為四年級的建構四則混合運算順序的數(shù)學模型做好準備。例如，一（上）的連加、連減和加減混合屬于口算內(nèi)容，但其又是兩步式題，分兩步進行口算才能算出結果，特別是第二步計算要用到第一步計算算出的得數(shù)，而學生則由于思維的定勢，往往容易忘掉第一步的得數(shù)或由于看不見第一步的得數(shù)而造成第二

58、步計算的困難。為此，教材呈現(xiàn)了現(xiàn)實素材，用生動的動態(tài)情境反映出計算時應該先算什么，初步滲透了同級運算從左到右的順序。此外，教材在算式中用“線”標明先算什么，并注上第一步計算算出的得數(shù)，從而幫助學生克服前面所提到的計算障礙。為了使學生更好的掌握運算順序，教學“連加”時可用動態(tài)的圖畫呈現(xiàn)p72的“連加”題目，使學生通過觀察，直觀看到5只小雞、2只小雞和1只小雞的呈現(xiàn)順序，列出算式后進而理解連加算式的意義，初步體會到先算什么再算什么，接著用課件顯示第一步計算的得數(shù)“7”，使學生進一步認識到第二步計算是用7來加1。再讓學生試著說一下5+2+1的計算過程后再出幾幅類似的動態(tài)畫面鞏固這一認識，并引導學生結合這幾道題說一說連加計算應該怎么辦?！斑B減”的教學過程基本和連加相同，只不過學生有了連加的基礎，教學中注意引導學生進行知識遷移，即在呈現(xiàn)動態(tài)畫面并列出算式后，讓學生自己說一說，先算什么再算什么，重點放在第二步計算為什么用6減2上?！凹訙p混合”呈現(xiàn)了不2幅情景，與連加、連減相比，不同點是含有加減兩種運算，相同點是依然從左到右計算，但正因為這是兩種運算，動態(tài)情境的出現(xiàn)就更有必要，一方面能克服先加后減的潛在錯誤意識，另一方面可與連加、連減結合起來，達到結合動態(tài)情景構建數(shù)學模型的目的。為此，可在練習中用課件展示不同的加減混合的現(xiàn)實素材，讓學生