數(shù)學(xué)教學(xué)論筆記

1、數(shù)學(xué)教學(xué)論終極筆記1、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（現(xiàn)在叫課程標(biāo)準(zhǔn)）：是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的綱領(lǐng)性文件。它是根據(jù)國(guó)家科技、經(jīng)濟(jì)和教育事業(yè)發(fā)展的需要對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)提出的要求,根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)及發(fā)展的需要，根據(jù)學(xué)生在不同階段的認(rèn)識(shí)水平和心理特征，在總結(jié)、吸收國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)的基礎(chǔ)上，反復(fù)研究和論證而制定出的。我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱由國(guó)家頒發(fā)，全國(guó)統(tǒng)一施行。2、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的：是指通過中學(xué)數(shù)學(xué)教育，學(xué)生在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)能力、個(gè)性發(fā)展、思想情操等方面所應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)。3、原始概念：不能引用別的概念來定義，且又用來定義其它概念的概念,就叫做原始概念。4、確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的依據(jù)(1)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的

2、要依據(jù)黨的教育總目標(biāo)及普通中學(xué)的性質(zhì)和任務(wù)來確定。確定學(xué)科教學(xué)的目的，必須服從于國(guó)家辦教育的總方計(jì),即把青少年培養(yǎng)成為什么樣的人，才能適應(yīng)社會(huì)的需要。普通中學(xué)的教育是屬于基礎(chǔ)教育的性質(zhì),是幫助受教育者打下文化知識(shí)基礎(chǔ)和做好生活準(zhǔn)備的教育。普通中學(xué)的性質(zhì)和任務(wù)決定了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)傳授給學(xué)生的是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本的技能技巧和思想品德教育及美育。(2)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的要依據(jù)數(shù)學(xué)的的特點(diǎn)來確定。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)淪的明確性。雖然數(shù)學(xué)概念與結(jié)論都表現(xiàn)為高度的抽象形式，但它們的形成與發(fā)現(xiàn)以及對(duì)結(jié)論的證明都要運(yùn)用到一系列邏輯思維的形式和方法，所以，數(shù)學(xué)自身就具有向?qū)W生進(jìn)

3、行思維訓(xùn)練、發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的功能。在從具體事物中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)抽象過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。同時(shí)數(shù)學(xué)也是發(fā)展學(xué)生觀察力、注意力、記憶力和想象力的理性材料。數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容必然涉及對(duì)事物形狀、大小、位置關(guān)系的想象，因此，數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。（3）中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的要依據(jù)中學(xué)生地學(xué)習(xí)基礎(chǔ)年齡特征和認(rèn)識(shí)水平來確定。學(xué)生在中學(xué)階段的學(xué)習(xí)以小學(xué)階段的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，同時(shí)也要為進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，所以確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的時(shí)，應(yīng)注意數(shù)學(xué)知識(shí)、能力及學(xué)習(xí)方法與習(xí)慣等方面的銜接。中學(xué)生年齡特征是指青少年各年齡階段身心發(fā)展的不同特點(diǎn)。中學(xué)教育對(duì)象是青少年,他們正處在成長(zhǎng)發(fā)育

4、時(shí)期,認(rèn)知能力與知識(shí)水平均沒有達(dá)到成熟階段,在理解能力上有局限性。數(shù)學(xué)教育與認(rèn)識(shí)過程有非常密切的關(guān)系，而思維是認(rèn)識(shí)過程的核心部分。從思維發(fā)展的特征來看,初中學(xué)生處在以形象思維為主的逐步向經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維過渡階段，高中學(xué)生處在以經(jīng)驗(yàn)型為主的抽象思維向理論型抽象思維過渡階段,高二是思維的初步成熟期。因此,在確定教學(xué)目的時(shí)，必須從這些特點(diǎn)出發(fā)，抽象化程度太高的內(nèi)容與要求對(duì)中學(xué)生是不適合的。5、世界各國(guó)數(shù)學(xué)教育目的共同特點(diǎn)（1）注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用 （2）重視問題解決 （3）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法（4）注重?cái)?shù)學(xué)交流 （5）注重培養(yǎng)能力 （6）重視數(shù)學(xué)美育（7）注重培養(yǎng)自信心 （8）重視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用6、選擇中

5、學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的原則（1）社會(huì)作用的原則。隨著社會(huì)的發(fā)展,社會(huì)各領(lǐng)域都需要用到數(shù)學(xué)，這就要求數(shù)學(xué)課程選取的內(nèi)容是現(xiàn)代社會(huì)人們的生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)普遍需要的數(shù)學(xué)知識(shí)。（2）與科學(xué)技術(shù)的發(fā)展相適應(yīng)的原則?？茖W(xué)技術(shù)越發(fā)展，應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度就越高。高科技本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)，人們通過數(shù)學(xué)才能更好地掌握科學(xué)技術(shù)?？萍紝?duì)人才的數(shù)學(xué)素質(zhì)的需要必然要反映到數(shù)學(xué)教育中，特別地，反映到數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的取舍上，必定要?jiǎng)h去那些不能適應(yīng)科技發(fā)展需要的一些傳統(tǒng)內(nèi)容，增加近代或現(xiàn)代的知識(shí)，為學(xué)生提供應(yīng)用的工具、閱讀科技書籍的基礎(chǔ)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要。（3）基礎(chǔ)性原則。現(xiàn)代數(shù)學(xué)已有了相當(dāng)迅速的發(fā)展，知識(shí)量急劇增加,但其基本的內(nèi)

6、容是相對(duì)穩(wěn)定的，只有掌握了基本原理和基本概念,才能在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)更高深的知識(shí)。同時(shí)中學(xué)的教育是基礎(chǔ)教育,從這一性質(zhì)來看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了提高社會(huì)公民的文化素質(zhì),使學(xué)生具備進(jìn)一步學(xué)習(xí)和參加生產(chǎn)勞動(dòng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(4)教育性原則。選取的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)能力以及形成辯證唯物主義世界觀和良好的個(gè)性品質(zhì)有重要作用。(5)可接受性與發(fā)展性相結(jié)合的原則。所選擇的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)與學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力相適應(yīng),同時(shí)又要有利于最大限度地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。(6)統(tǒng)一性與靈活性結(jié)合的原則。作為一個(gè)國(guó)家、一個(gè)地區(qū),對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)按教學(xué)目的的要求具有統(tǒng)一性,規(guī)定所有中學(xué)生都必須達(dá)到同一的基本要求，否則，

7、提高全民族的文化素質(zhì)和培養(yǎng)合格的建設(shè)人才等設(shè)想就會(huì)落空。同時(shí)，也要考慮到各地區(qū)之間的差異,各地生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和文化教育發(fā)展的不平衡。(7)后繼作用與靈活性相結(jié)合的原則。指內(nèi)容的選擇要考慮學(xué)生進(jìn)一步深造和參加實(shí)際工作的需要，搞好中學(xué)與小學(xué)、大學(xué)、職業(yè)教育的銜接,注意數(shù)學(xué)學(xué)科自身內(nèi)容的銜接以及與其它課程教學(xué)內(nèi)容的銜接，以適應(yīng)不同階段、不同性質(zhì)、不同學(xué)科的需要,使它們?cè)趦?nèi)容上協(xié)調(diào)統(tǒng)一。(8)可行性原則。指選擇的內(nèi)容在中學(xué)教學(xué)計(jì)劃規(guī)定的時(shí)間和進(jìn)度的范圍內(nèi)，經(jīng)過絕大多數(shù)的學(xué)校、教師教學(xué)實(shí)踐的證明是可行的。選擇的內(nèi)容要與學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平、接受能力,教師的知識(shí)水平、教學(xué)能力相適應(yīng)。7、教學(xué)內(nèi)容安排要符合的原則

8、（1）要符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律。遵照學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，在編排知識(shí)體系時(shí)，既不可割斷學(xué)生連續(xù)漸進(jìn)的思維方式，也不能顛倒思維發(fā)展階段的順序。對(duì)內(nèi)容的編排還要注意符合認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易到難，由表及里，循序漸進(jìn),貫穿遷移的訓(xùn)練。要發(fā)揮非智力的心理因素的作用。（2）要符合數(shù)學(xué)知識(shí)的科學(xué)性和系統(tǒng)性應(yīng)以科學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其內(nèi)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律及思想方法為前提，以基本概念、基本原理為主線，展現(xiàn)數(shù)學(xué)感性材料、應(yīng)用材料與基礎(chǔ)知識(shí)的有機(jī)組成。（3）必須遵循理論聯(lián)系實(shí)際的原則理論結(jié)合實(shí)際，要求理論的建立依賴于實(shí)際，又要求已有的理論來解決實(shí)際問題，使原有的知識(shí)在學(xué)習(xí)中得以應(yīng)用和深化，使新的知識(shí)在原有知識(shí)的應(yīng)用中引伸。(

9、4)必須遵循聯(lián)系性和銜接性原則數(shù)學(xué)各分支之間具有廣泛的聯(lián)系，特別是數(shù)學(xué)思想方法的相互滲透。為使學(xué)生更好地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),更全面靈活地掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法，教材體系必須揭示出知識(shí)間的相互聯(lián)系。內(nèi)容的安排還要注意數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、小學(xué)與初中、初中與高中、高中與大學(xué)學(xué)科知識(shí)的銜接。8、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容主要包括以下四個(gè)方面：（1）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)：指符合中學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)科學(xué)中最本質(zhì)的、已定型的、科學(xué)的、系統(tǒng)的初步知識(shí)。數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想：指數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法,它是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法：指研究數(shù)學(xué)的手段和方式,它包括理論研究方法和數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實(shí)際的方

10、法。中學(xué)數(shù)學(xué)方法大體分為發(fā)現(xiàn)方法、邏輯方法和解題方法三類。發(fā)現(xiàn)方法是指發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)、規(guī)律時(shí)常用的方法，如歸納方法、類比方法、猜想方法、聯(lián)想方法等等，但所得的結(jié)果還需進(jìn)行嚴(yán)格論證。邏輯方法是指通過概念、判斷、推理等邏輯程序進(jìn)行嚴(yán)格推理的證明方法，包括形式邏輯方法、數(shù)理邏輯方法和辯證邏輯方法。中學(xué)里主要學(xué)習(xí)形式邏輯方法,如比較法、分析法、綜合法、分析綜合法、歸納法、演繹法、反證法、同一法等。解題方法可分為通法與技巧性較強(qiáng)的巧法，如配方法、換元法、待定系數(shù)法、代入法、消元法、解析法、數(shù)形結(jié)合法、抽屜原則等等通法；如放縮法、錯(cuò)位相消法、分裂項(xiàng)法、割補(bǔ)法等等巧法。數(shù)學(xué)語言和邏輯。數(shù)學(xué)中對(duì)概念的表述、定理

11、的邏輯推理和證明，對(duì)量、量的關(guān)系進(jìn)行比較和運(yùn)算等一系列的活動(dòng),都是在某種有規(guī)則的符號(hào)系統(tǒng)中進(jìn)行的，采用的是一套形式化的數(shù)學(xué)語言。這種數(shù)學(xué)語言的形式簡(jiǎn)明扼要，表達(dá)內(nèi)容深刻、精確。技能、技巧。包括知識(shí)技能（如恒等變換、論證技能等）操作技能（如作圖、測(cè)量、使用計(jì)算工具等)和解題技能。9、教材體系：就是教學(xué)內(nèi)容安排所展現(xiàn)的知識(shí)的序列及各知識(shí)之間的相互聯(lián)系，是數(shù)學(xué)科學(xué)知識(shí)體系經(jīng)教學(xué)法加工而得到的學(xué)科知識(shí)體系。10、螺旋排列式：是針對(duì)學(xué)生的接受能力，按照繁簡(jiǎn)、深淺、難易的不同程度，使一科教材的基本概念和基本原理分層次地重復(fù)出現(xiàn)、逐步擴(kuò)展螺旋上升的排列方式。11、直線排列式：是一科教材內(nèi)容采取環(huán)環(huán)相扣直線推

12、進(jìn)不予重復(fù)的排列方式。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是能避免不必要的前后重復(fù)，節(jié)省時(shí)間，提高效率。12：過渡排列式是為跨入新學(xué)段和升入高年級(jí)的學(xué)生學(xué)好新知識(shí)、掌握新方法而適當(dāng)提前安排有關(guān)奠基內(nèi)容的排列方式。13、教學(xué)原則是指導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)的基本原理，是客觀教學(xué)規(guī)律的主觀反映，是所有教學(xué)規(guī)則的統(tǒng)一整體。14、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)律的聯(lián)系在于：科學(xué)的教學(xué)原則是教學(xué)規(guī)律的反映。我們的教學(xué)原則是根據(jù)不依人們的意志為轉(zhuǎn)移的客觀教學(xué)規(guī)律制定出來的。15、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)律的區(qū)別在于：教學(xué)規(guī)律是不依人們意志為轉(zhuǎn)移的客觀存在，是教學(xué)活動(dòng)中內(nèi)在的本質(zhì)的必然的聯(lián)系。例如，復(fù)習(xí)教材就可以鞏固知識(shí)，這是一條教學(xué)規(guī)律，不管我們是否愿意遵循,它

13、都是客觀存在的。我們對(duì)教學(xué)規(guī)律只能發(fā)現(xiàn)、掌握和利用，決不能臆造和違背。然而，教學(xué)原則是由人們自己制定的，可能部分或者完全符合教學(xué)規(guī)律,也可能根本不符合教學(xué)規(guī)律。16、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)則的聯(lián)系在于：教學(xué)原則總是借助于一定的教學(xué)規(guī)則來實(shí)現(xiàn)的，沒有一定的教學(xué)規(guī)則，教學(xué)原則也就變成了a空洞的東西。17、教學(xué)原則與教學(xué)規(guī)則的區(qū)別在于：教學(xué)規(guī)則是教學(xué)原則的組成部分和具體細(xì)節(jié)，它的任務(wù)是闡明某一個(gè)教學(xué)原則的某一方面的指導(dǎo)原理。每一方面的每個(gè)教學(xué)原則都包括一系列具體的教學(xué)規(guī)則。18、數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性相結(jié)合的原則（一）嚴(yán)謹(jǐn)性，是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)之一。它要求數(shù)學(xué)概念必須嚴(yán)格地加以定義，即使

14、是那些最基本、最常用，而又不能按邏輯方法加以定義的原始概念,除了直觀地用語言描述之外，還要求用公理加以確定。它要求數(shù)學(xué)結(jié)論必須準(zhǔn)確地表述，數(shù)學(xué)推理、論證必須合乎邏輯地進(jìn)行，即使數(shù)學(xué)計(jì)算也要求無可爭(zhēng)辯。可以說，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科體系就是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。我們這里提出的“數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性要求”，是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師安排教學(xué)內(nèi)容、講授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí),應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)，使學(xué)生在理解、掌握、運(yùn)用這些知識(shí)時(shí)能滿足嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性這對(duì)矛盾的雙方都是具有相對(duì)性的。其實(shí)，它們總是在“對(duì)立一統(tǒng)一”的不同層次的循環(huán)運(yùn)動(dòng)中發(fā)展的。顯然，嚴(yán)謹(jǐn)性是矛盾的主要方面，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)教學(xué)的

15、教學(xué)目的之一。因此，嚴(yán)謹(jǐn)性可以主導(dǎo)矛盾運(yùn)動(dòng)的發(fā)展方向，只要抓住矛盾的主要方面,對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性要求加以適當(dāng)調(diào)整,做到保證數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的科學(xué)性,有利于發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力，適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)和能力的水平，是可以形成嚴(yán)謹(jǐn)性要求與可行性相統(tǒng)一的良性循環(huán)的。即嚴(yán)謹(jǐn)性不斷提高，可行性也不斷增強(qiáng)。這樣才能發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和積極性。（二）數(shù)學(xué)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)教學(xué)可行性相結(jié)合原則的貫徹（1）明確要求，謹(jǐn)慎處理?，F(xiàn)行教學(xué)大綱和教材對(duì)中學(xué)各部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容在嚴(yán)謹(jǐn)性方面的具體要求，都有一定的反映。教師必須深入鉆研大綱、教材，明確各部分內(nèi)容對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求程度,在教學(xué)中參照施行。不宜隨意提髙要求，也不宜降低要求。

16、尤其是對(duì)于那些鑒于中學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展的特征而降低了嚴(yán)謹(jǐn)性的內(nèi)容，或者說只有階段性的相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的內(nèi)容,教學(xué)處理必須謹(jǐn)慎,一定要設(shè)法向?qū)W生講清這些內(nèi)容還有欠缺，還有發(fā)展的必要，只是當(dāng)前尚未深入。比如，銳角三角函數(shù)的教學(xué)，開始是利用直角三角形的邊長(zhǎng)之間的各種比給出，但是必須指出：銳角三角函數(shù)是隨角的改變而變化的變量，而且它的變化可以由相應(yīng)的線段之比來確定，決不能使學(xué)生誤認(rèn)為銳角三角函數(shù)只是邊長(zhǎng)一定的直角三角形的兩邊之比。（2）從開始抓起，持之以恒。從初中一年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)開始，就應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性方面提出明確的要求。首先要規(guī)范數(shù)學(xué)用語。數(shù)學(xué)概念也好，數(shù)學(xué)定理也好，不僅要懂得其內(nèi)涵，了解其外延，還要用規(guī)范的數(shù)

17、學(xué)術(shù)語或數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。其次，數(shù)學(xué)命題的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)算式的推演也要嚴(yán)格地使用數(shù)學(xué)語言。這種嚴(yán)謹(jǐn)性要求，隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展，其標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)該逐步提高。因?yàn)?，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容越高深,抽象程度也越高,相應(yīng)地嚴(yán)謹(jǐn)性要求也越高。教師應(yīng)該采取適當(dāng)?shù)拇胧箤W(xué)生盡快地適應(yīng)這種發(fā)展，以形成習(xí)慣。為此，教師應(yīng)該持之以恒，并以身作則。備課、講授、批改作業(yè)、課外輔導(dǎo)都應(yīng)該注意這方面的要求。（3）要求學(xué)生周密思考、言必有據(jù)。周密思考,就是要全面地思考,不要遺漏，從而體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性。但是，要養(yǎng)成這種習(xí)慣，必須經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練。言必有據(jù)，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要標(biāo)志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以結(jié)合典型

18、例題，強(qiáng)調(diào)“言必有據(jù)”。譬如，在幾何證明題中,要求學(xué)生在練習(xí)時(shí),每一步推論都用括號(hào)注明其理由，以逐步養(yǎng)成言必有據(jù)的習(xí)慣。（4）改革中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育工作者們普遍認(rèn)為，要想很好地解決嚴(yán)謹(jǐn)性與可行性的矛盾，促成這對(duì)矛盾形成良性循環(huán)，必須從早抓起。但是，歷來的中學(xué)數(shù)學(xué)教材在低年級(jí)階段,對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性要求太低,，而到高年級(jí)階段又從嚴(yán)要求，學(xué)生一時(shí)難以適應(yīng),教師也不易把握分寸。尤其是代數(shù)、幾何兩門課在低年級(jí)對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求有很大的差異。如何改革中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，如何提出適度的嚴(yán)謹(jǐn)性要求的標(biāo)準(zhǔn)，如何處理那些不具備嚴(yán)謹(jǐn)性要求而又必須引用的數(shù)學(xué)知識(shí)，以維持教學(xué)可行性的問題等，是我們?cè)谪瀼財(cái)?shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)

19、教學(xué)可行性相結(jié)合原則時(shí)必須研究的課題。對(duì)此，必須加強(qiáng)探索和改革的力度。19、數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對(duì)象的直觀性相結(jié)合的原則（一）數(shù)學(xué)的抽象性，是數(shù)學(xué)學(xué)科理論的基本特點(diǎn)之一。本來現(xiàn)實(shí)世界的客觀對(duì)象是非常具體的。但是，數(shù)學(xué)是將客觀對(duì)象的所有其它特性拋開，而只提取其空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)的、理論的研究。因此，數(shù)學(xué)具有比其它學(xué)科更顯著的抽象性。然而任何一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，在它形成的過程中，卻往往以大量的具體對(duì)象作為基礎(chǔ)，或者以一些相對(duì)具體的抽象概念作為基礎(chǔ)。抽象程度越高的數(shù)學(xué)概念，概括性越強(qiáng)，越是能代表更廣泛的具體對(duì)象共有的屬性。數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對(duì)象的直觀性是有聯(lián)系的，而且高度的抽象不是一下

20、子達(dá)到的，它需要一個(gè)從具體到抽象，又從相對(duì)具體到比較抽象的發(fā)展過程，這就是數(shù)學(xué)概念抽象的相對(duì)性。（二）數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對(duì)象的直觀性相結(jié)合的理論基礎(chǔ)由數(shù)學(xué)抽象的相對(duì)性與中學(xué)生抽象思維的局限性所決定。數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對(duì)象的直觀性是有聯(lián)系的，而且高度的抽象不是一下子達(dá)到的，它需要一個(gè)從具體到抽象，又從相對(duì)具體到比較抽象的發(fā)展過程，這就是數(shù)學(xué)概念抽象的相對(duì)性。另一方面，中學(xué)生尤其是低年級(jí)中學(xué)生對(duì)具體對(duì)象的直觀性有很強(qiáng)的依賴性，或者說中學(xué)生抽象思維有一定的局限性。事實(shí)上，引入比較抽象的概念時(shí)，往往需要從具體實(shí)例出發(fā)；若不舉出一定數(shù)量的實(shí)例，初一學(xué)生就連“相反方向的量”也不好接受；教學(xué)要從具體

21、對(duì)象入手，適時(shí)地上升為抽象理論,然后又及時(shí)地把它概括到更豐富、更廣泛的具體對(duì)象上去,學(xué)生就會(huì)逐漸突破其抽象思維不強(qiáng)的局限性,從而適應(yīng)數(shù)學(xué)概念的抽象性，并逐步提髙抽象思維的能力。由教學(xué)過程與認(rèn)識(shí)過程的共性和特殊規(guī)律所決定。教學(xué)過程就是學(xué)生認(rèn)識(shí)與掌握知識(shí)的過程，教學(xué)過程與認(rèn)識(shí)過程基本上是一致的，教學(xué)過程不過是前人對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)過程的快速的、科學(xué)的重演。因此，教學(xué)過程必須以科學(xué)的認(rèn)識(shí)論為基礎(chǔ)。另一方面,教學(xué)過程也有與認(rèn)識(shí)過程相區(qū)別的特殊性。教學(xué)過程最主要的特點(diǎn)在于，它是傳授間接知識(shí)或書本知識(shí)的有效途徑。教學(xué)過程與認(rèn)識(shí)過程之間存在著間接知識(shí)與直接經(jīng)驗(yàn)的矛盾。為了解決這對(duì)矛盾,必須堅(jiān)持抽象與具體相結(jié)合的原則

22、，才可能使抽象的理論具體化，間接知識(shí)直接化,理論知識(shí)實(shí)際化。由人的兩種信號(hào)系統(tǒng)協(xié)同活動(dòng)的規(guī)律所決定。所謂第一信號(hào)系統(tǒng),是以外界具體的對(duì)象、現(xiàn)象為客觀刺激物，直接作用于各種感覺器官，引起反射的系統(tǒng)，這是人與一般動(dòng)物所共有的；所謂第二信號(hào)系統(tǒng)，是以語言作為剌激信號(hào)，引起神經(jīng)反射的系統(tǒng)，這是只有人類才有的。人的第一和第二信號(hào)系統(tǒng)永遠(yuǎn)是協(xié)同活動(dòng)和相互作用的：第二信號(hào)系統(tǒng)是在第一信號(hào)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上形成起來的，第一信號(hào)系統(tǒng)又經(jīng)常受第二信號(hào)系統(tǒng)支配和調(diào)節(jié)。另一方面，第二信號(hào)系統(tǒng)的言語又有直觀性要求的生理機(jī)制。言語直觀是通過教師有意識(shí)組織的言語來恢復(fù)學(xué)生大腦皮層中已建立的暫時(shí)聯(lián)系或喚起學(xué)生同時(shí)性、相似性和對(duì)比性

23、的聯(lián)想,并借此促使學(xué)生迅速地形成新的暫時(shí)聯(lián)系或開辟新的神經(jīng)通路。這便是抽象性與直觀性相結(jié)合的真諦之所在。第一、第二信號(hào)系統(tǒng)在不同年齡階段，還具有不同的發(fā)展特征和規(guī)律，這是我們正確地堅(jiān)持抽象與具體相結(jié)合原則的重要根據(jù)。（三）數(shù)學(xué)概念的抽象性與具體對(duì)象的直觀性相結(jié)合貫徹（1）直觀教學(xué)注意通過實(shí)物直觀、模型直觀、圖形直觀、言語直觀，以形成學(xué)生鮮明的表象，為他們掌握基礎(chǔ)理論提供必要的感性材料。這些感性知識(shí)越完善、越豐富，學(xué)生形成抽象的理性知識(shí)也就越順利、越牢固。直觀教學(xué)必須注意以下幾點(diǎn)：實(shí)物直觀、模型直觀、圖形直觀教學(xué)，要注意知識(shí)的系統(tǒng)性和理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，以便把直觀得到的感性認(rèn)識(shí)提高到抽象的理論的水平；

24、直觀教具亮出的時(shí)機(jī)也要適當(dāng)，拿出教具后要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、綜合、概括、抽象，不要在細(xì)節(jié)上分散了學(xué)生的注意力，要利于他們抓住本質(zhì)的數(shù)學(xué)特征。運(yùn)用言語直觀教學(xué)時(shí)，要為透徹地講授知識(shí)服務(wù)，為了讓學(xué)生更能準(zhǔn)確地理解教材的文字，不能濫用粗俗的習(xí)語，以免喧賓奪主，適得其反。言語直觀要照顧學(xué)生的年齡特征和知識(shí)水平，以他們已有的記憶表象為基礎(chǔ)，使其再現(xiàn)并重新組合，形成新的高層次的表象。要防止脫離學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，單純追求言語的形象性。言語直觀要求教師語言通俗、有趣、易懂，并配以節(jié)奏感和鼓動(dòng)性，富于啟發(fā)性和感染力,但切忌“八股調(diào)”和矯揉造作的手勢(shì)，以及各種語病。（2）數(shù)形結(jié)合可以根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方法

25、。這樣可以使較為抽象的數(shù)量關(guān)系通過直觀的幾何圖形將其性質(zhì)反映出來，使抽象的概念、關(guān)系得以直觀化、形象化,有利于分析、發(fā)現(xiàn)和理解它們。（3）注重觀察對(duì)于抽象的關(guān)系，還可以讓學(xué)生對(duì)一些具體的關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納，逐步提高他們的抽象思維的能力。（4）重視教學(xué)手段改革運(yùn)用幻燈、投影儀、電視、電子計(jì)算機(jī)等先進(jìn)教學(xué)設(shè)備，加速教學(xué)手段現(xiàn)代化,也是貫徹抽象性與直觀性相結(jié)合教學(xué)原則的重要途徑。20、數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則（一）緊密聯(lián)系實(shí)際，講授概念、公式、原理、法則，加強(qiáng)理論基礎(chǔ)的教學(xué)。為了讓學(xué)生能真正理解、掌握基本理論知識(shí)，又必須聯(lián)系實(shí)際，從具體事物和現(xiàn)象入手。例如,引入有理數(shù)概念，尤其是正

26、、負(fù)數(shù)概念，可以結(jié)合“表示零上5度和零下5度的氣溫”、“表示東行10千米和西行10千米”等實(shí)際問題。將抽象的數(shù)學(xué)概念、定理與實(shí)際問題相結(jié)合地引入講授，一方面可以逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，既體現(xiàn)了理論源于實(shí)踐，又符合認(rèn)識(shí)論的規(guī)律；另一方面可以向?qū)W生講明抽象的理論對(duì)實(shí)際問題的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論的積極性，克服盲目死記硬背的弊端。緊密聯(lián)系實(shí)際，指導(dǎo)學(xué)生參加教學(xué)實(shí)踐和社會(huì)實(shí)踐，切實(shí)搞好基礎(chǔ)理論教學(xué)和基本技能訓(xùn)練。我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是人們的主觀對(duì)客觀世界的反映，只有通過實(shí)踐這條聯(lián)系主觀與客觀的紐帶，才能使理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際技能。在課堂上，教師在講授了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之后，可以

27、讓學(xué)生進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、制作等實(shí)踐活動(dòng)，或者解答具有實(shí)際意義的問題。例如,講過平行線、異面直線等概念，可以讓學(xué)生在日常生活和周圍環(huán)境中尋找屬于這些概念的相應(yīng)的實(shí)際對(duì)象；講授了直角尺求圓直徑的方法后，可以讓學(xué)生自己動(dòng)手自制一個(gè)直角尺，并實(shí)測(cè)幾個(gè)圓的直徑。解答具有實(shí)際意義的問題，能廣泛地用來引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)論與實(shí)際問題相結(jié)合。這類問題可以學(xué)校或社會(huì)各個(gè)方面?？梢允钦鎸?shí)的、具體的，也可以是模擬的，形式也是多樣的。不斷地改進(jìn)現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容和教科書，加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系。為了適應(yīng)社會(huì)進(jìn)步和科學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容必然要不斷地更新。例如，微積分初步、概率統(tǒng)計(jì)初步等納入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，是應(yīng)該堅(jiān)持、發(fā)揚(yáng)的重要舉

28、措；又如，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注意與其它學(xué)科的教學(xué)緊密配合?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法也要結(jié)合實(shí)際問題，編入中學(xué)數(shù)學(xué)教科書?，F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中確實(shí)充實(shí)了不少現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其目的之一就是提高中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)用性。所以講授這些內(nèi)容時(shí)，還必須注意加強(qiáng)這些內(nèi)容與實(shí)際問題的聯(lián)系，才能達(dá)到目的。例如，引入集合概念之后，就應(yīng)當(dāng)引用文氏圖來示意，并隨即用于解決一定數(shù)量的涉及集合之間關(guān)系的實(shí)際問題。（二）在貫徹?cái)?shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則時(shí)，必須注意以下幾個(gè)問題。（1）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，不要為了結(jié)合實(shí)際問題而結(jié)合實(shí)際問題。比如，有些數(shù)學(xué)理論學(xué)生早已熟練地掌握,教師就沒有必要一定讓學(xué)生到

29、實(shí)際中去觀察;而有些內(nèi)容是學(xué)生根本無法接觸到又難于理解的實(shí)際問題，教師也沒有必要硬講給學(xué)生聽。（2）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合要從數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際出發(fā)。數(shù)學(xué)理論有很強(qiáng)的邏輯性，構(gòu)成了獨(dú)立的系統(tǒng)，并不是每一章每一節(jié)每一個(gè)概念都可以聯(lián)系實(shí)際問題。比如，對(duì)數(shù)理論在計(jì)算上有實(shí)用性，但其概念本身卻不易結(jié)合實(shí)際問題。所以，教學(xué)內(nèi)容暫時(shí)不便結(jié)合實(shí)際問題時(shí),不必勉強(qiáng)。（3）數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合，是為了提高教學(xué)質(zhì)量，強(qiáng)調(diào)與實(shí)際問題相結(jié)合，并不等于忽視或削弱理論知識(shí)的講授。如果為了結(jié)合實(shí)際問題占用了大量的教學(xué)時(shí)間，而少講或不講系統(tǒng)的理論，那就不妥當(dāng)了。（4）貫徹?cái)?shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的原則，要求教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及

30、其應(yīng)用都比較熟練，做到有目的、有計(jì)劃，胸中有數(shù)；教師所舉的實(shí)際問題應(yīng)該具有典型性、思想性、科學(xué)性、鮮明性和適當(dāng)性。否則，舉例不當(dāng)，講解不清，反而沖淡了理論的價(jià)值，降低了教學(xué)質(zhì)量。21、鞏固知識(shí)與發(fā)展能力相結(jié)合的原則（一）鞏固知識(shí)與發(fā)展能為相結(jié)合的意義。能力的發(fā)展,應(yīng)用是核心，應(yīng)用的熟練程度，標(biāo)志著能力的高低。顯然，這里的熟練程度又取決于知識(shí)的鞏固程度。所以，要想發(fā)展能力，必須先鞏固知識(shí)。應(yīng)用又是一個(gè)由認(rèn)識(shí)到行動(dòng)的過程。在行動(dòng)過程中，知識(shí)可以獲得確認(rèn)或檢驗(yàn),這不僅能鞏固已學(xué)的知識(shí),甚至還能獲取新的知識(shí)?？梢姡瑧?yīng)用過程本身也是知識(shí)保持的過程。所以，要想獲取鞏固的知識(shí)，必須將知識(shí)付諸于應(yīng)用。鞏固知識(shí)

31、與發(fā)展能力之間具有這種相輔相成的依賴關(guān)系，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們倡導(dǎo)貫徹鞏固知識(shí)與發(fā)展能力相結(jié)合的原則（二）鞏固知識(shí)與發(fā)展能力相結(jié)合原則的貫徹遵循記憶的規(guī)律，鞏固所學(xué)的知識(shí)。通過加深理解，增強(qiáng)識(shí)記和保持。理解就是掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征及其相互關(guān)系。加深理解，掌握了各種相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，又更容易使記憶保持。例如，四類象限角的各種三角函數(shù)值的符號(hào)，除了從定義出發(fā)進(jìn)行理解之外，還可以借助單位圓直觀地幫助學(xué)生加深理解。通過歸納、類比、聯(lián)想，促進(jìn)再認(rèn)、再現(xiàn)。經(jīng)過歸納整理過的信息，加以類比，引起聯(lián)想,這個(gè)提取的過程也就很容易實(shí)現(xiàn)了。例如，學(xué)習(xí)不等式時(shí)，可以將不等式與等式的相應(yīng)概念和性質(zhì)，進(jìn)行歸納、類比，使已

32、學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化;學(xué)習(xí)相似三角形時(shí),可以將相似三角形與全等三角形的定義、判定、性質(zhì)，進(jìn)行歸納、類比。掌握遺忘的規(guī)律，復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)。要想提高記憶效率，鞏固所學(xué)知識(shí)，就必須克服遺忘。組織科學(xué)的復(fù)習(xí)，是克服遺忘的有效手段,也是鞏固記憶的基本途徑。復(fù)習(xí)的周期和時(shí)機(jī)對(duì)遺忘先快后慢、先多后少的規(guī)律，我們應(yīng)該將復(fù)習(xí)的周期控制成先短后長(zhǎng)，復(fù)習(xí)的力度控制成先強(qiáng)后弱，或者說復(fù)習(xí)的次數(shù)先多后少。復(fù)習(xí)的時(shí)機(jī)，應(yīng)該選擇在所學(xué)知識(shí)即將遺忘、印象模糊、再認(rèn)和再現(xiàn)有一定困難時(shí)，及時(shí)復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式要多樣化，要使復(fù)習(xí)舊知識(shí)而有新鮮感，形成強(qiáng)烈的刺激、反應(yīng)。也就是說在復(fù)習(xí)時(shí)不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是每復(fù)習(xí)一次，提出一次新的要求，上升一個(gè)新

33、的知識(shí)層次。鞏固知識(shí)著眼于發(fā)展能力。鞏固知識(shí)的關(guān)鍵在于組織學(xué)生復(fù)習(xí)，鞏固知識(shí)必須著眼于發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力。能力的發(fā)展，是需要訓(xùn)練的。那么就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)、訓(xùn)練兩方面下功夫，使復(fù)習(xí)與訓(xùn)練有效地配合起來。這樣不僅達(dá)到了發(fā)展能力,同時(shí)又有利于鞏固知識(shí)?；A(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，要注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練，用以促使學(xué)生知識(shí)整體結(jié)構(gòu)向系統(tǒng)化方向發(fā)展,提高他們掌握、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力。例如，將復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)化,概括成框圖。這樣，可以將復(fù)數(shù)與復(fù)平面、平面向量、平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系、三角函數(shù)概念、參數(shù)方程、平面點(diǎn)集等知識(shí)都溝通了。綜合知識(shí)的復(fù)習(xí),要有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行題組訓(xùn)練。這樣的復(fù)習(xí)

34、題組,要具備代表性、綜合性、漸進(jìn)性,還要有一定梯度,題組間要求具有配合協(xié)調(diào)性。22、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：是指學(xué)生在教育情境中，以數(shù)學(xué)語言、符號(hào)為中介，自覺地、積極主動(dòng)地掌握數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)技能與能力的過程。23、機(jī)械學(xué)習(xí)：是指學(xué)生并未理解由符號(hào)所代表的知識(shí)，僅記住某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)概念、公式、定理等。24、有意義學(xué)習(xí)：指學(xué)生經(jīng)過思考，掌握并理解了由符號(hào)所代表的數(shù)學(xué)知識(shí)，并能融會(huì)貫通。25、接受學(xué)習(xí)：是指要學(xué)習(xí)的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容是以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者的，這種學(xué)習(xí)不涉及學(xué)習(xí)者任何獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)，只需要他將所學(xué)的新知識(shí)與舊的知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，即內(nèi)化，以便以后的再現(xiàn)和運(yùn)用。2

35、6、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)：是指一般只提出問題或提供背景材料，主要內(nèi)容要有學(xué)生自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。因此，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的主要特點(diǎn)是：不把學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容提供給學(xué)生，而是由學(xué)自己獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，然后內(nèi)化。27、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：的形成依賴于外在的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)者內(nèi)在的心理結(jié)構(gòu)，它是學(xué)習(xí)者通過教師所激發(fā)起來的心理結(jié)構(gòu)作用于外界的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)而形成的一種內(nèi)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)大體上由以下要素構(gòu)成：內(nèi)化了的數(shù)學(xué)理論；內(nèi)化了的數(shù)學(xué)技能；數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。28、同化：學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，總是以原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依據(jù)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行加工。當(dāng)新知識(shí)能與原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)相聯(lián)系，那么通過新舊知識(shí)的相互作用，新知識(shí)被納入原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知

36、結(jié)構(gòu)之中,從而擴(kuò)大了它的內(nèi)容，這一方式稱為同化。29、順應(yīng)：若新知識(shí)在原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有適當(dāng)?shù)闹R(shí)與它相聯(lián)系，則就要對(duì)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組，進(jìn)而形成新的數(shù)學(xué)。30、有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)：從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)來看，有意義學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)，就是符號(hào)所代表的新觀念（指概念、原理等)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念之間建立起實(shí)質(zhì)性的和非人為的聯(lián)系。（一）有意義接受學(xué)習(xí)的條件是：數(shù)學(xué)理論具有潛在意義。即數(shù)學(xué)理論本身具有邏輯意義，并且學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中又具有適當(dāng)?shù)闹R(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生具備有意義學(xué)習(xí)的心向。即學(xué)生有積極主動(dòng)地把新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)內(nèi)容加以聯(lián)系的傾向性。內(nèi)化過程是有意義的。即對(duì)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)理論不僅

37、在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中進(jìn)行“登記”，而且考慮它的邏輯依據(jù),使新知識(shí)與舊知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，最后還要尋求獲得這一理論的思維過程,即新理論要轉(zhuǎn)化為個(gè)人參照系，使之與本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)趨于和諧。另外,在數(shù)學(xué)理論獲得的同時(shí),形成一定的數(shù)學(xué)技能。（二）有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的條件是：?jiǎn)栴}具有潛在意義。即數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的理論知識(shí)對(duì)解決面臨的問題是充分的。學(xué)生具有有意義學(xué)習(xí)的心向。解決問題的過程是有意義的。即：解決問題的手段是通過一個(gè)積極主動(dòng)的探索過程獲得的，而不是依靠強(qiáng)化訓(xùn)練所形成的機(jī)械操作模式獲得的。內(nèi)化過程是有意義的。即：對(duì)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中所涉及的所有知識(shí)、技能、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)加以內(nèi)化；對(duì)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中得到的新的數(shù)學(xué)理論、技能和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

38、加以內(nèi)化。31、概念同化：一種以定義的形式給出，由學(xué)生主動(dòng)地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念相互聯(lián)系、相互作用以領(lǐng)會(huì)它的意義,從而獲得新概念。這種獲得概念的方式叫做概念同化。概念同化心理過程要把新概念的本質(zhì)屬性與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)概念相聯(lián)系，明確新概念是原有概念的限制，并能從原有概念中分離出來；要把新概念與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念融合在一起，納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以便于記憶和應(yīng)用。例如，學(xué)習(xí)梯形的概念：“梯形是一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行的四邊形”，這時(shí)學(xué)生要主動(dòng)積極地與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念(平行、四邊形等)聯(lián)系起來思考，認(rèn)識(shí)到梯形是原有四邊形中特殊的一類，從而明確它的內(nèi)涵和外延；接著與原有的概

39、念(如平行四邊形等）區(qū)別開來，并相互貫通組成一個(gè)整體,納入原有的概念體系(四邊形)之中；最后通過例題的學(xué)習(xí)與練習(xí)、習(xí)題的解答，加深對(duì)梯形本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，使它在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得到鞏固。32、概念形成：一種通過對(duì)概念所反映的事物的不同例子中，讓學(xué)生積極主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性，從而形成新概念，這種獲得概念的方式叫概念形成。概念形成心理過程是：辨別同類事物不同的例子，抽象出各例子的共同屬性；提出它們共同本質(zhì)屬性的各種假設(shè)并加以檢驗(yàn);把本質(zhì)屬性與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)聯(lián)系起來，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)別開來;把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，以明確它的外延;擴(kuò)大或改組原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而發(fā)展數(shù)學(xué)

40、認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，初中學(xué)生學(xué)習(xí)變量和函數(shù)這兩個(gè)概念，是處于初次接觸變量數(shù)學(xué)的內(nèi)容,所以這兩個(gè)概念都可以用概念形成的方式讓學(xué)生獲得。如函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，一般可采用如下步驟：第一步，讓學(xué)生分別指出下列例子中的變量以及變量之間的關(guān)系的表達(dá)式：以每小時(shí)40千米勻速行駛的汽車所駛過的路程和時(shí)間；用表格所給出的某水庫的存水量與水深；由-某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時(shí)間；任何整數(shù)的平方運(yùn)算中,底數(shù)與它的二次冪。第二步，找出上述各例中兩變量之間關(guān)系的共同的本質(zhì)屬性。學(xué)生經(jīng)過多次分析比較后可知：一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值,相應(yīng)地另一個(gè)變量也唯一地確定一個(gè)值，這是函數(shù)的本質(zhì)屬性；同時(shí)，前一個(gè)變量取值范圍的限制，也

41、是它們共同的本質(zhì)屬性。第三步，學(xué)生以第二步中明確的函數(shù)的本質(zhì)屬性為依據(jù)，辨別若干正反面的例子。如在任意正數(shù)開平方運(yùn)算中，被開方數(shù)與平方根y(寫成這里x與y這兩個(gè)變量就不是函數(shù)關(guān)系。第四步，在以上幾步的基礎(chǔ)上，抽象、歸納、概括出函數(shù)定義。第五步,通過練習(xí)、習(xí)題等的解答,加深對(duì)函數(shù)概念的理解,建立起新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以利于進(jìn)一步的學(xué)習(xí)。33、影響掌握概念的因素（1）經(jīng)驗(yàn)與抽象概括能力。概念的獲得依賴于學(xué)生有關(guān)的感性材料、經(jīng)驗(yàn)和抽象概括能力。如果學(xué)生缺乏這方面的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時(shí)就要采用實(shí)物、模型或舉例等方式彌補(bǔ)。值得注意的是，舉例時(shí)要區(qū)分日常用語中有一些詞的含義與數(shù)學(xué)概念不一致的地方，以免發(fā)生混淆。例如

42、，幾何中的垂線與日常用語中的“垂線”（實(shí)指鉛垂線)是不相同的，但有的學(xué)生卻誤用他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為兩者相同，只承認(rèn)自上而下方向的直線是垂線。如果學(xué)生抽象概括能力差，就不能抓住事物的本質(zhì)屬性，不能明確概念的內(nèi)涵和外延。例如會(huì)出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：|a|=a；直角三角形的直角邊上沒有高等。這就要求有計(jì)劃地發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。（2）本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性。我們知道，概念的本質(zhì)屬性越明顯，學(xué)習(xí)時(shí)就容易掌握；反之，非本質(zhì)屬性多而又明顯，則就難于學(xué)習(xí)。因此,采用適當(dāng)?shù)姆椒?，突出本質(zhì)屬性，是有利于概念學(xué)習(xí)的。如教學(xué)時(shí),常常用加重語氣等方式，突出概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生易于掌握;有時(shí)直接指出哪些與定義無關(guān)的非本質(zhì)屬性，例如三

43、角形的垂心,有的學(xué)生往往認(rèn)為只有三角形三邊上的高的交點(diǎn)在其形內(nèi)時(shí)才稱為垂心，把非本質(zhì)屬性(交點(diǎn)的位置)誤認(rèn)為本質(zhì)屬性。因此及時(shí)指出非本質(zhì)屬性，有利于突出本質(zhì)屬性和概念的正確掌握。（3）變式。要理解一類事物的共同本質(zhì)屬性，往往可以通過列舉具有該本質(zhì)屬性的事物(概念的肯定例證)或不具有該本質(zhì)屬性的事物(概念的否定例證)的分析來獲得。例如，曲線的切線這一概念,有的學(xué)生往往認(rèn)為切線是與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線，這時(shí)可舉出否定例證:“拋物線的對(duì)稱軸與這個(gè)拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但它不是切線”，說明“只有一個(gè)公共點(diǎn)”不是曲線切線的本質(zhì)屬性，學(xué)生就容易理解。理解概念常常利用肯定例證，這時(shí)“變式”具有重要意義。所

44、謂變式就是指概念的肯定例證在非本質(zhì)屬性方面的變化。如函數(shù)概念，學(xué)生往往誤認(rèn)為只有“變量y隨x的變化而變化y才是x的函數(shù)”，把非本質(zhì)屬性y隨y的變化而變化”作為本質(zhì)屬性，擴(kuò)大了概念的內(nèi)涵，這時(shí)可以舉出肯定例證(x0)。從兩者可知，“對(duì)定義域中的每一個(gè)x的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)”,這才是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。因此利用變式有利于糾正學(xué)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。34、數(shù)學(xué)定理公式的學(xué)習(xí)（1）探究發(fā)現(xiàn)式：探究發(fā)現(xiàn)式是學(xué)生通過探索，提出并論證假設(shè)，從而獲得定理公式及其意義的一種學(xué)習(xí)模式。其心理過程一般是這樣的：學(xué)生利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)信息進(jìn)行分解與組合，從而提出基本假設(shè)。運(yùn)用數(shù)學(xué)語言正確表述假設(shè)，并探索

45、證明假設(shè)的途徑，認(rèn)識(shí)命題的邏輯意義。把證明為真的假設(shè)(定理公式)納入原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,擴(kuò)大或改組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以獲得心理意義。通過定理公式的應(yīng)用、對(duì)定理公式的探索及證明的思想方法的總結(jié)以及定理公式的各種變形來進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。（2）同化式：同化式是學(xué)生把呈現(xiàn)的定理公式及其推導(dǎo)證明直接同自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系,從而掌握數(shù)學(xué)定理公式的學(xué)習(xí)模式。其心理過程為:他要對(duì)定理公式的條件、結(jié)論進(jìn)行分析，以明確它的邏輯意義和數(shù)學(xué)解釋。理解并總結(jié)定理公式證明的思維過程、邏輯推理形式及表達(dá)格式。要把新定理公式與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容融合在一起，納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。35、數(shù)學(xué)技能的學(xué)習(xí)（1）技能：是指順利完成某種任務(wù)的自動(dòng)化

46、的外部操作活動(dòng)方式或心智活動(dòng)方式。（2）動(dòng)作技能：即外部實(shí)際操作活動(dòng)的方式。例如用圓規(guī)、直尺等工具畫圖、查表、使用計(jì)算工具等都是動(dòng)作技能。分為三個(gè)階段，一是掌握局部動(dòng)作階段；二是初步掌握完整動(dòng)作階段。三是動(dòng)作協(xié)調(diào)和完善階段。（3）心智技能：即按一定的合理的、完善的方式進(jìn)行的心理活動(dòng)方式。例如,運(yùn)算、推理論證技能等都是心智技能。分為如下幾個(gè)階段：一是掌握心智活動(dòng)各環(huán)節(jié)的活動(dòng)方式。二是心智活動(dòng)的各環(huán)節(jié)逐漸聯(lián)成一個(gè)整體,且內(nèi)部語言趨于概括化和簡(jiǎn)約化，運(yùn)算或推理逐漸簡(jiǎn)縮。三是心智活動(dòng)熟練化、自動(dòng)化。數(shù)學(xué)技能的形成是學(xué)生練習(xí)的直接結(jié)果，其途徑有兩條：（1）是伴隨著數(shù)學(xué)理論的獲得而形成數(shù)學(xué)技能;（2）是在

47、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)理論過程中形成數(shù)學(xué)技能。36、數(shù)學(xué)思維：就是以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語言和符號(hào)為思維載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。37、形象思維：是指憑借事物的形象或表象進(jìn)行聯(lián)想或想象的一種思維形式。所以，形象思維的物質(zhì)基礎(chǔ)是事物的形象或表象,而它的運(yùn)動(dòng)形式則主要是聯(lián)想與想象。形象思維不但對(duì)數(shù)學(xué)研究而且對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有十分重要的意義：（1）形象思維與抽象思維一樣，同是整個(gè)思維結(jié)構(gòu)中的一個(gè)層次。數(shù)學(xué)雖以其抽象性而著稱，數(shù)學(xué)思維也突出地表現(xiàn)為抽象思維,但數(shù)學(xué)畢竟離不開形象思維，它是人們賴以建立和理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)思維上升為抽象思維所必不可少的環(huán)節(jié)。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)科學(xué)的演繹體系中，從

48、原始概念到命題、結(jié)論，無一不是從具體事物中抽象出來的理想事物。顯然，對(duì)理想事物的感知,純邏輯、純抽象不能解決全部問題，但形象思維在其中起著應(yīng)有的作用。以圖表為例，在數(shù)學(xué)中，圖不僅是研究的對(duì)象,而且也成為重要的數(shù)學(xué)語言，是對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行思維表達(dá)的一種工具。用圖形表現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容能化抽象為具體，化深?yuàn)W為淺顯,用圖作為思維材料,易懂易用。（2）形象思維對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的識(shí)記、保持和運(yùn)用也十分有意義。學(xué)生能理解數(shù)學(xué)理論抽象意義當(dāng)然重要，但若還能把抽象的知識(shí)，通過形象思維，轉(zhuǎn)移到自己熟悉的、淺顯的直觀事物中去，那么，不但使知識(shí)的保持更加容易和穩(wěn)定，而且被保持的抽象知識(shí)因具有豐富的直觀背景而變得更容易提取和運(yùn)用。（3）

49、形象思維中的聯(lián)想和想象是創(chuàng)造性思維的重要成分。聯(lián)想在性態(tài)上是發(fā)散的、多層次的、多方聞的，它除了具有創(chuàng)造性思維的發(fā)散性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性等一般特性外,還具有觸發(fā)性。聯(lián)想常常使我們能借助于明顯的形象或表象產(chǎn)生“觸景生情”、“觖類旁通”的效果。想象則更為重要，想象具有補(bǔ)充思維鏈條的功能，因?yàn)閮H僅依靠材料提供的事實(shí)，難以抅成對(duì)事物的整體認(rèn)識(shí)，而想象則可馳騁于這些事實(shí)和材料之間,發(fā)揮其特有的作用。因此，形象思維應(yīng)引起我們足夠的重視。38、抽象概括：就是在研究亂標(biāo)的指導(dǎo)下，揭示出某類部分對(duì)象的本質(zhì)屬性，并把這些對(duì)象的共同本質(zhì)屬性聯(lián)合起來，然后合理地推廣到同類對(duì)象的全體，形成關(guān)于該類對(duì)象的一般性認(rèn)識(shí)的一種思維

50、形式。39、函數(shù)思維的特點(diǎn)在于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象與其性質(zhì)之間的一般和個(gè)別的相互關(guān)系的動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)鮮明地體現(xiàn)在函數(shù)思想之中。函數(shù)思維這種思維形式應(yīng)包括變量思維與對(duì)應(yīng)思維。變量思維的特點(diǎn)是：從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去把握數(shù)學(xué)對(duì)象;運(yùn)動(dòng)變化地看待因果關(guān)系，從運(yùn)動(dòng)變化中去把握數(shù)學(xué)對(duì)象的不同側(cè)面。對(duì)應(yīng)思維有兩個(gè)層次：把握某一數(shù)學(xué)過程中變化著的各量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如把所研究的對(duì)象間的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)關(guān)系（公式、表格、圖象等）表示出來；把握不同集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是對(duì)應(yīng)思維的高級(jí)形式。40、邏輯思維：是指脫離具體形象，按照邏輯的規(guī)律,運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式所進(jìn)行的思維。41、直覺思維：是指未經(jīng)過一步步的邏輯分析

51、或無清晰的邏輯步驟,而對(duì)問題直接的、突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案的思維。42、收斂思維：又叫求同思維或集中思維。它是指由所提供的條件或事實(shí)聚合起來，朝著一個(gè)方向思考,得出確定的答案，即它的思考方向是趨于同一。43、發(fā)散思維：又叫求異思維，它是由某一條件或事實(shí)出發(fā),從各個(gè)方面思考,產(chǎn)生出多種答案,即它的思考方向是向外發(fā)散的。44、正向思維與逆向思維：是指在思考數(shù)學(xué)問題時(shí),可以按通常思維的方向進(jìn)行，也可以采用與它相反的方向探索。45、再現(xiàn)性思維：也就是一般性思維，它是運(yùn)用所獲得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，按現(xiàn)成的方法或程序去解決問題的思維，它的創(chuàng)造成分少。46、創(chuàng)造性思維：是在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)問題找出

52、新答案、發(fā)現(xiàn)新關(guān)系或創(chuàng)造新方法的思維。47、思維的特點(diǎn)（1）思維的廣闊性表現(xiàn)在能多方面、多角度地去思考問題,善于發(fā)現(xiàn)事物間的多方面的聯(lián)系，找出多種解決問題的辦法，并能將它推廣到類似的問題中去，從而形成一些有普遍意義的方法,或擴(kuò)大解題中得到的結(jié)果的適用范圍，或?qū)⑵渫茝V到類似的問題中去。因此,思維的廣闊性也稱為思維的概括性。例如，學(xué)生在求解“過拋物線的焦點(diǎn)F作一條直線,交拋物線于A、B兩點(diǎn)。設(shè)P為拋物線的焦點(diǎn)參數(shù),且AF=m,BF=n,則1/m+1/n=2/p”時(shí)，能用多種方法來證明，包括從拋物線的定義出發(fā)，利用平面幾何知識(shí)來證等，并能推廣到橢圓、雙曲線情形，且作出相應(yīng)的證明。這表明學(xué)生思路寬廣,

53、思維不停留在解析幾何中常用的各種方法上，還引用平面幾何知識(shí)證明；思維也沒有在證明了該題后止步，還思考著應(yīng)用同一思想方法試著對(duì)橢圓、雙曲線會(huì)有什么結(jié)論。（2）思維的深刻性表現(xiàn)在能深入地鉆研與思考問題,善于從復(fù)雜的事物中把握住它的本質(zhì),而不被一些表面現(xiàn)象所迷惑；能區(qū)分哪些是嚴(yán)格證明而哪些是“大概對(duì)的”，特別要在學(xué)習(xí)中克服思維的表面性、絕對(duì)化與不求甚解的毛病。例如在概念學(xué)習(xí)中，要分清一些容易混淆的概念,如正數(shù)和非負(fù)數(shù)、方根與算術(shù)根、充分條件與必要條件等；在公式、定理、法則的學(xué)習(xí)中,要完整地掌握它們(包括條件、結(jié)論和適用范圍)，領(lǐng)會(huì)其精神實(shí)質(zhì)，切忌形式主義、表面化和一知半解。（3）思維的靈活性表現(xiàn)在能

54、對(duì)具體問題作具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時(shí)地調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的概念、定理、公式、法則，并且思維不囿于固定程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。（4）思維的批判性表現(xiàn)在有主見地評(píng)價(jià)事物，能嚴(yán)格地評(píng)判自己提出的假設(shè)或解題方法的正確或優(yōu)劣與否;喜歡獨(dú)立思考，善于提出問題和發(fā)表不同的看法，既不人云亦云，也不自以為是。因此，在教學(xué)中要待別注重培養(yǎng)學(xué)生樂意進(jìn)行各種方式的檢驗(yàn)，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，重新計(jì)算和思考；找出問題所在的良好習(xí)慣（5）思維的獨(dú)創(chuàng)性表現(xiàn)在能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，主動(dòng)地提出新的見解和采用新的方法。我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的自覺性和習(xí)慣，

55、教育他們要勇于創(chuàng)新、敢于突破常規(guī)的思考方法和解題模式，大膽提出新的見解和解法,使他們逐步具有思維獨(dú)創(chuàng)性的良好品質(zhì)。48、數(shù)學(xué)思維發(fā)展的年齡特征（1）直觀行動(dòng)思維 （2）具體形象思維（3）經(jīng)驗(yàn)型抽象思維 （4）理論型抽象思維49、中學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的特點(diǎn)（1）數(shù)學(xué)思維發(fā)展的趨向。由具體形象思維占優(yōu)勢(shì)逐步發(fā)展到理論型抽象思維占優(yōu)勢(shì)。抽象性成分越多，那么思維就越具有預(yù)見性，思維活動(dòng)中的自我意識(shí)和自我控制與調(diào)節(jié)能力就越強(qiáng)，這樣，學(xué)生思維活動(dòng)的主動(dòng)性也相對(duì)加強(qiáng),思路更清晰,判斷更準(zhǔn)確，并由此發(fā)展直覺思維。(2)數(shù)學(xué)思維的最近發(fā)展區(qū)。由思維發(fā)展的趨向可知，任何一個(gè)層次的思維必有最適合于它發(fā)展的階段，這一階

56、段即稱為這一思維的“最近發(fā)展區(qū)”。最近發(fā)展區(qū)是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵,也是我們?cè)O(shè)計(jì)教材結(jié)構(gòu)和教學(xué)過程的重要依據(jù)之一。(3)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵期。思維發(fā)展并不是直線上升的，而有一個(gè)從量變到質(zhì)變的過程。與最近發(fā)展區(qū)相聯(lián)系，那么，任何一個(gè)層次的思維必有一個(gè)質(zhì)變過程，這一時(shí)期就是其發(fā)展的關(guān)鍵期。一般說來，中學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展有兩個(gè)主要的關(guān)鍵期：其一是在初中二年級(jí),表現(xiàn)為從經(jīng)驗(yàn)型思維向理論型思維的轉(zhuǎn)化。在此期間，思維的方式、方法和品質(zhì)都處于一個(gè)新的轉(zhuǎn)折點(diǎn)；抽象、概括、邏輯推理等都處于迅速發(fā)展之中，前后有著明顯的差異，因此初中二年級(jí)往往是產(chǎn)生學(xué)習(xí)分化的一個(gè)焦點(diǎn)。這時(shí)平面幾何的教學(xué)，特別是其人門教學(xué)，具有全局性的

57、意義。二是在高一到高二年級(jí),學(xué)生的思維逐步成熟，思維的方式、法和品質(zhì)等趨于穩(wěn)定，可塑性變小。而在此之前，其變動(dòng)性與可塑性較大。故在此之前是思維優(yōu)化發(fā)展的關(guān)鍵期。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓緊成熟期前的函數(shù)、三角和立體幾何的教學(xué)，及時(shí)促進(jìn)思維的優(yōu)化發(fā)展。50、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的教學(xué)途徑（1）注重非智力因素的培養(yǎng)。非智力因素對(duì)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有著強(qiáng)烈的影響、從培養(yǎng)人才來看,只有智力因素與非智力因素的協(xié)同發(fā)展,才會(huì)產(chǎn)生高的創(chuàng)造效應(yīng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一項(xiàng)艱苦的腦力勞動(dòng)，它受意識(shí)的支配。在學(xué)習(xí)中要有直接推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的一種動(dòng)力，即學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)有內(nèi)部動(dòng)機(jī)和外部動(dòng)機(jī)。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，還會(huì)遇到各種困難，因而還需要學(xué)生在

58、學(xué)習(xí)中堅(jiān)定信心，認(rèn)真對(duì)待困難,戰(zhàn)勝困難，以獲得知識(shí)、技能和能力。還要注意培養(yǎng)學(xué)生的自信心和勤奮的態(tài)度。（2）注重恰當(dāng)引導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生全面熟悉問題情境，使外部問題情境與學(xué)生內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)發(fā)生恰當(dāng)沖突。這種沖突表現(xiàn)為既使學(xué)生領(lǐng)會(huì)了整個(gè)問題情境，又使學(xué)生就處于“憤悱”狀態(tài)，自覺地產(chǎn)生一種主動(dòng)探索的意向。在學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)之后，教師就應(yīng)當(dāng)推遲判斷，而讓學(xué)生進(jìn)行積極思維。在學(xué)生的積極思維過程中，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，這種調(diào)節(jié)主要是通過教師對(duì)學(xué)生思維過程中發(fā)出的信息的恰當(dāng)反饋來進(jìn)行的。通過教師的反饋來引導(dǎo)學(xué)生不斷地進(jìn)行評(píng)價(jià)，不斷地調(diào)整著思維的方向。教師的反饋恰當(dāng)與否，主要在于教師的反饋信息是起到激發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的思維的作用，還是直接地代替學(xué)生的思維。因此，教師的反饋多