數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)資料

1、數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)資料代'K弟一早數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析弟早非線性方程的數(shù)值解法第三章線性方程組的數(shù)值解法第四章插值與曲線擬討第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分第六章常微分方程的數(shù)值解法自測(cè)題課程的性質(zhì)與任務(wù)數(shù)值計(jì)算方法是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的基礎(chǔ)課，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)和算法語(yǔ)言的基礎(chǔ)上，通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)及上機(jī)實(shí)習(xí)、使學(xué)生正確理解有關(guān)的基本概念和理論，掌握常用的基本數(shù)值方法，培養(yǎng)應(yīng)用計(jì)算機(jī)從事科學(xué)與工程計(jì)算的能力，為以后的學(xué)習(xí)及應(yīng)用打下良好基礎(chǔ)。第一章數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析一考核知識(shí)點(diǎn)誤差的來(lái)源類(lèi)型；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字；絕對(duì)誤差的傳播。二復(fù)習(xí)要求1 .知道產(chǎn)生誤差

2、的主要來(lái)源。2 .了解絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限和有效數(shù)字等概念以及它們之間的關(guān)系。3 .知道四則運(yùn)算中的誤差傳播公式。三例題例1設(shè)x*=JF3.1415926近似值x=3.14=0.314X101，即m=1,它的絕對(duì)誤差是0.0015926，有1-引=0削15926£05x1產(chǎn)即n=3,故x=3.14有3位有效數(shù)字.x=3.14準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位.又近似值x=3.1416,它的絕對(duì)誤差是0.0000074有=0.0000074-<0,5XW1-5即m=1,n=5,x=3.1416有5位有效數(shù)字.而近似值x=3.1415,它的絕對(duì)誤差是0.0000926-；有

3、a-X*|=0.0000926-<0,5xW1-4即m=1,n=4,x=3.1415有4位有效數(shù)字.這就是說(shuō)某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限：2.0004-0.0020090009000.00解因?yàn)閤1=2.0004=0.20004X101,它的絕對(duì)誤差限0.00005=0.5X1065,即m=1,n=5,故x=2.0004有5位有效數(shù)字.a=2,相對(duì)誤差限1O'-2x9x2=-0.00200,絕對(duì)誤差限0.000005,因?yàn)閙=-2,n=3,x2=-0.00200有3位有效數(shù)字.a1=

4、2,相對(duì)誤差限多=103=0.00252x9x3=9000,絕對(duì)誤差限為0.5X10°,因?yàn)閙=4,n=4,x3=9000有4位有效數(shù)字，a=9,相對(duì)誤差限s=1/產(chǎn)=0.0000562x9X4=9000.00,絕對(duì)誤差限0.005,因?yàn)閙=4,n=6,X4=9000.00有6位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為專(zhuān)=!10U=0.000000562x9由X3與X4可以看到小數(shù)點(diǎn)之后的0,不是可有可無(wú)的，它是有實(shí)際意義的.例3ln2=0.69314718丁精確到10一3的近似值是多少？解精確到103=0.001,意旨兩個(gè)近似值Xi,x2滿足卜一jJWO.OOl,由于近似值都是四舍五入得到的，要求滿

5、足一/t0,001,近似值的絕對(duì)誤差限應(yīng)是8=0.0005,故至少要保留小數(shù)點(diǎn)后三位才可以。故ln2ft0.693。第二章非線性方程的數(shù)值解法一考核知識(shí)點(diǎn)二分法；迭代法；牛頓法；弦截法。二復(fù)習(xí)要求1 .知道有根區(qū)間概念，和方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)有根的充分條件。2 .掌握方程求根的二分法，知道其收斂性；掌握二分法二分次數(shù)公式，掌握迭代法，知道其收斂性。3 .熟練掌握牛頓法。掌握初始值的選擇條件。4 .掌握弦截法。三例題例1證明方程1xsinx=0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過(guò)0.5X104的根要迭代多少次？證明令f(x)=1xsinx,f(0)=1>0,f(1)=

6、-sin1<0f(x)=1xsinx=0在0,1有根.又f(x)=1cosx>0(xW0.1),故f(x)=0在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實(shí)根.、一4，.給定誤差限0.5X10，有-lnOJ+41nlO165n7n>11=1/ln2ln2只要取n=14.例2用迭代法求方程x54x2=0的最小正根.計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù).分析容易判斷1,2是方程的有根區(qū)間.若建立迭代格式工=,即租=.同卜丁>1(工,此時(shí)迭代發(fā)散4A'A建立迭代格式x=燈4在2,w(x)=地工+21|pV)|=此時(shí)迭代收斂.解建立迭代格式x=04計(jì)2,中二即4工+2產(chǎn)(初二<-(xeQ,2),取初始值

7、%=115M4#+25=加瓦+2=6總14310叼=卬4萬(wàn)+2=歷海"5051=麻+2=80204陽(yáng)15165為二加角+2二將15182七二涵海二酶西陽(yáng)L5185取1.5185例3用弦截法求方程x3-x2-1=0,在x=1.5附近的根.計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn).分析先確定有根區(qū)間.再代公式.解f(x)=x3-x2-1,f(1)=-1,f(2)=3,有根區(qū)間取1,2.取xi=1,迭代公式為/(演)/、(n=1,2,)3(H-)二2-/1fcil.251253-1253-1運(yùn)=1,25-子口Jx。25-2)總137662-1.25、125'-2'+2?x4=1.37662-1

8、.37662-137662J-11一376螃一L37663-l25?+125x(l.37662-1.25)1,48881蒞=148881-L488B1-1.488B1-11.48881s-L4888P-L376623+137662x(L4888M37662)=1.463481463481-14634E2-1%=146348J0小。1x(146348-148881)洌1465531.463483-146348'-1,48/+L488B12取/翱1.46553,f(1.46553)%0.000145例4選擇填空題1 .設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若滿足,則方程f(x)=0在區(qū)間a,b

9、一定有實(shí)根.答案：f(a)f(b)<0解答：因?yàn)閒(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c,使得f(c)=0,故f(x)=0一定有根.2 .用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程(x)=0表成x=%x),則f(x)=0的根是()(A)y=x與y=9(x)的交點(diǎn)(B)y=x與y=*x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=4x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=*x),滿足x=%x)的x是方程的解，它正是y=x與y=%x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3.為求方程x3-x2-1=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫(xiě)

10、成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是()(B)-二：.H'-1(D).:i:出+政+1答案：(A)解答：在(A)中產(chǎn)=占,力工，研劃/二1°75瞄故迭代發(fā)散.1121在(B)中x=1+=1+,=-<-=0.901<1,故迭代收斂.xx#1.3在©中，破力二7，加攵)1=即：03，;二；他因0至15<1,故Jl1TAJ3(1T1.3J迭代收斂.在(D)中，類(lèi)似證明，迭代收斂.第三章線性方程組的數(shù)值解法一、考核知識(shí)點(diǎn)高斯順序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯一一賽德?tīng)柕?，超松弛迭代法；消去法消元能進(jìn)行到底的條件，迭代解數(shù)列收斂

11、的條件。二、復(fù)習(xí)要求1 .知道高斯消去法的基本思想，熟練掌握高斯順序消去法和列主元消去法。2 .掌握線性方程組雅可比迭代法和高斯一一賽德?tīng)柕ā? .知道解線性方程組的高斯消去法消元能進(jìn)行到底的條件，知道迭代解數(shù)列收斂概念和上述兩種迭代法的收斂性的充分條件。三、例題2xx+x2+4/二T例1用順序消去法解線性方程組3乙+2/+x3=4%+2勺+4&=-1解順序消元4-T144-1214-1_00.5-5550152-0.5E-1月.,214-100.5-55.50017-17為+0.5/+2%=0.5于是有同解方程組：4-10馬=1117%=-17I-回代得解：X3=-1,X2=1,

12、Xl=1。原線性方程組的解為X=（1,1,一11。例2取初始向量X（O）=（0,0,0）T,用雅可比迭代法求解線性方程組4 +2/-2xs=14工1+K?+%=32xi+2x2+x3=5解建立迭代公式"產(chǎn)）=（-2碎）+2承）+1鏟；-婿+穹）+3（k=1,2,3,）鏟=-2（出+暇+5第1次迭代，k=0,X（O）=0,得到X=（1,3,5）t,第2次迭代，k=1,=(-2x3+2x5)+l=5q-)+3=_3，得到x=(533)tk?=2(14-3)+5=-3第3次迭代，k=2,=G2X(-3)+2x(-3)+l=l<五2=_(5+_3)+3=1,得到x=(1,1,1)T=-

13、2(5-33+5=1第4次迭代，k=3,2)=(-2xl+2xl)+l=l”二一(1+1)+3=1,得到x(4)=(1,1,1)T4)=-2(1+1)+5=1例3填空選擇題：1.用高斯列主元消去法解線性方程組+2x2+/=042%+2/+3xs=3作第1次消元后的第2,3個(gè)方程分別為1個(gè)方程變?yōu)椋?x+2x2+3x3=3,消元得到解答1.選a21=2為主元，作行互換，第z,+-0-5及=-1.5423是應(yīng)填寫(xiě)的內(nèi)容。-2%+L5為=3.5xl+2x2-2x5=12.用高斯-賽德?tīng)柕ń饩€性方程組工+j=3的迭代格式中2x1+2超+/=5=(k=0,1,2,)解答高斯一賽德?tīng)柕ň褪浅浞掷?/p>

14、已經(jīng)得到的結(jié)果，求X2的值時(shí)應(yīng)該用Xi的新值。答案是：53產(chǎn)-2淄10±-/-3/=723.當(dāng)卜卜)時(shí)，線性方程組，-再+7/+3%二&3的迭代解一定收斂。2五一4%/=9.2(A)>6(B)=6(C)<6(D)>6解答：當(dāng)a|>6時(shí)，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，由教材第3章定理知，迭代解一定收斂。應(yīng)選擇(A)。第四章插值與曲線擬合一考核知識(shí)點(diǎn)插值函數(shù)，插值多項(xiàng)式，被插值函數(shù)，節(jié)點(diǎn)；拉格朗日插值多項(xiàng)式：插值基函數(shù)；差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式；分段線性插值、線性插值基函數(shù)，最小二乘法，直線擬合。二復(fù)習(xí)要求1 .了解插值函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)等概念。

15、2 .熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式的公式，知道拉格朗日插值多項(xiàng)式余項(xiàng)。3 .掌握牛頓插值多項(xiàng)式的公式，了解差商概念和性質(zhì)，掌握差商表的計(jì)算，知道牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。4 .掌握分段線性插值的方法和線性插值基函數(shù)的構(gòu)造。5 .了解曲線擬合最小二乘法的意義和推導(dǎo)過(guò)程，以及線性擬合和二次多項(xiàng)式擬合的方法，三例題例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為Xk-2045yk51-31試構(gòu)造f(x)的拉格朗日多項(xiàng)式Pn(x),并計(jì)算f(-1)o解先構(gòu)造基函數(shù)=用0-4)(x-5)=x(x-4)(x-5)1=(x+2)(x-4)(x-5)1 (0-(-2)(0-4)(0-5)(x+2)(x4)(x-5)40j=(x

16、+2)式工-5)2 -(4+2)(4-0)(4-5)x(x+2Xx-5)24i=，+2)K工-2)("4)3(5+2)(5-0)(5-4)。+2)工(工-4)35所求三次多項(xiàng)式為3P3(X)=2MJUO=一"r"X"5)+84(i+2)x(x-4)352)("4)("5)IcT("式x+2)(x-S)241T145x42515524P3(-1)=-h1=4214217例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第2,3歹U。計(jì)算它的各階均差。解依據(jù)均差計(jì)算公式，結(jié)果列表中。kxkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差00.400

17、.4107510.550.578151.1160020.650.696751.168000.2800030.800.888111.275730.358930.1973340.901.201521.384100.433480.213000.03134計(jì)算公式為：一階均差冗Jt一五41二階均差/血，凝中。=三出土外生山心QL2)丸-無(wú)心工例3設(shè)工是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，峋值=32用是拉格朗»日插值基函數(shù)，證明：2?的巨1證明Pn(x)=y0l0(x)+yill(x)+ynln(x)=Jt-0f"團(tuán)0M二任"+e/"+凡X.料，工)當(dāng)砥時(shí),=*)+»

18、;)?.附+再”由于1，故有二二,例4滿足條件咖=加川(1)山(2"的插值多項(xiàng)式p(x)=解設(shè)所求的為p(x)=a0+aix+a2X2+a3X3由插值條件知p(O)=%=07/=R=Q廣(1)-17?(2)二0。+2叮1+4鼻二+8a3=2解之得a2=3/2a3=-1/2所求的插值多項(xiàng)式為p(x)=-1/2x3+3/2x2例5選擇填空題1 .通過(guò)四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式P(x)，只要滿足(，則P(x)是不超過(guò)一次的多項(xiàng)式。(A)初始值yo=0(B)一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0解答：因?yàn)槎A均差為0,那么牛頓插彳1多項(xiàng)式為N(x)=f(x0)+f(x0,xi)(xx

19、0)它是不超過(guò)一次的多項(xiàng)式。故選擇(C)正確。2 .拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是()/皿也)(A)二:''1-n-(B)f(x,x0,xi,x2,xn)(xxi)(xx2)僅一xni)(xxn)(盟+1j尸砌G)(C)八，工(D)f(x,x0,xi,x2,xn)(xXo)(XXi)(X&)僅一xni)(xxn)5+1)!解答：(A),(D)。第五章數(shù)值積分與數(shù)值微分一考核知識(shí)點(diǎn)數(shù)值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)，代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓一一柯特斯求積公式，柯特斯系數(shù)及其性質(zhì)，(復(fù)化)梯形求積公式，(復(fù)化)辛卜生求積公式；高斯型求積公式，高斯點(diǎn)

20、，(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯一一勒讓德求積公式；(二點(diǎn)、三點(diǎn))插值型求導(dǎo)公式。復(fù)習(xí)要求1, 了解數(shù)值積分和代數(shù)精度等基本概念。2, 了解牛頓柯特斯求積公式和柯特斯系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握并推導(dǎo)(復(fù)化)梯形求積公式和(復(fù)化)辛卜生求積公式。3, 知道高斯求積公式和高斯點(diǎn)概念。會(huì)用高斯一勒讓德求積公式求定積分的近似值。4,知道插值型求導(dǎo)公式概念，掌握兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式。例1試確定求積公式JJ&哥/(-j=)解當(dāng)f(x)取1,x,x,計(jì)算求積公式何時(shí)精確成立。取f(x)=1，有：左邊=(2)取f(x)=x,有：左邊=|xdx=0,右邊=0(3)類(lèi)似導(dǎo)出，取f(x)=x2,x3,有左邊=右邊(5)

21、取f(x)=x4，有：左邊=2/5,右邊=2/9當(dāng)k金求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見(jiàn)該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2試用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式計(jì)算定積分,4改(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)JOJ(1)用梯形公式計(jì)算/(0.5)+/0)=0.25x0.70711+1=0.4267873212327(2)用柯特斯公式系數(shù)為9090909090版人7，而1+32、阪J+12x園+加畫(huà)+7x如2_x4.94975+25.29822+1039223+2993326+7=0.43096(3)如果要求精確到10一5,用復(fù)化辛卜生公式，截?cái)嗾`差為/網(wǎng)二去叱Ma=max|/4)(z)6醛Y制=ma

22、x15-7/2A<1,5Rn二二百；只需把0.5,14等分，分點(diǎn)為0.5,0.625,0.75,0.875,1G125(盧雙超-/(0.5)+2/(075)+4(/(0碰»+/(0.875)+川)0,70711+2K0,86602分4x(0.79057+0.9354(+I-0.43096例3用三點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式計(jì)算積分sin(t+1)解做變量替換工有查表得節(jié)點(diǎn)為40.774596669和0;系數(shù)分另為0.5555555556和0.8888888889-1sin(i+1)一出sin-(-0.774S96669+1)x05555555556x_J-0.774596669+1s

23、inl(0+l)sin-(0.774596669+1)+0.888888889X2+0555555556X1=0.940831240+10774596669例4已知函數(shù)值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612,用三點(diǎn)公式計(jì)算j在x=1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值。解三點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式為K4仁北I+4九-匕2h/k白。i一4八+如*Qk=1,2,3,n-1本例取X0=1.0,x1=1.1,X2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1。于是有/q_0)冏*0,25000000+4x0.22675

24、7-0206612)=-0247嵬-Ql)(-0,25000000+0.206612)-0.2169412x01(0.25000000-4x0.226757+3x0.206612)=-0185%例5選擇填空題1.如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分e-!tdx,要求截?cái)嗾`差不超過(guò)0.5X104,試問(wèn)n-()(A)41(B)42(C)43(D)40解答；復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差為二=104感P*1212制<0,5xl0-4,n=40.8，取n241。故選擇(A)。2.已知n=3時(shí)，柯特斯系數(shù)等，以那么呢0a解答：由柯特斯系數(shù)的歸一性質(zhì),第六章常微分方程的數(shù)值解法考核知識(shí)點(diǎn)尤拉公式，梯形公式，改進(jìn)尤

25、拉法，局部截?cái)嗾`差；龍格一一庫(kù)塔法，局部截?cái)嗾`差。復(fù)習(xí)要求1 .掌握尤拉法和改進(jìn)的尤拉法（梯形公式、預(yù)報(bào)-校正公式），知道其局部截?cái)嗾`差。2 .知道龍格一庫(kù)塔法的基本思想。知道二階、三階龍格一庫(kù)塔法。掌握四階龍格一-庫(kù)塔法，知道龍格一庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差。三例題yr=-y-10工x£0.6）例1用尤拉法解初值問(wèn)題"，取步長(zhǎng)h=0.2o計(jì)算過(guò)程保7（0）=1留6位小數(shù)。解h=0.2,f(x)=-yxy2。首先建立尤拉迭代格式加二M+版("/)二兀-機(jī)-融&=02九(4-1加已=0,1,2)當(dāng)k=0,xi=0.2時(shí)，已知xo=0,yo=1,有y(0.2)；tyi=0.2X1(40X1)=0.8當(dāng)k=1涇=0.4時(shí)，已知xi=0.2,yi=0.8，有y(0.4)即=0.2X0.8X(4-0.2X0.8)=0.6144當(dāng)k=2,x3=0.6時(shí)，已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)醐3=0.2X0.6144X(40.4X0.4613)=0.8一，,y'+y+v疝>0例2用尤拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問(wèn)題V，取步長(zhǎng)h=0.2,刈=