電磁場與電磁波例題詳解

1、第 1 章矢量分析例 1.1 求標(biāo)量場e=(x+y)2z通過點(diǎn) M(1,0,1)的等值面方程。解：點(diǎn) M 的坐標(biāo)是xo=1,y0=0,z=1,則該點(diǎn)的標(biāo)量場值為*=(x0+y。)2-zo=00其等值面方程為：e=(x+y)2z=0或z=(x+y)2例 1.2 求矢量場 A=axxy2+ayx2y+azzy2的矢量線方程。2xydxdy-2xydz-2-yz解之即得矢量方程產(chǎn)；：，C1 和 c2 是積分常數(shù)X-y=c例 1.3 求函數(shù)中=xy2+z2-xyz在點(diǎn)(1,1,2)處沿方向角?二，二丁二的方向?qū)?shù)。=2xy-xzM=(1,1,2)=0,-M41,1,2)=2zxyM41,1,2)=3,

2、tz1：21cos-二一，cos-=,cos=一222所以從而有dxdy2 -2jxyxyddzI一2xyyz解：由于_2M=1,1,2)=yyzM=41,1,2)=-1,解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為講M41,1,2)cyflM=-cos1-cos-：cos=1x.:y:z例 1.4 求函數(shù)中=xyz 在點(diǎn)（5,1,2）處沿著點(diǎn)（5,1,2）到點(diǎn)（9,4,19）的方向?qū)?shù)。解：點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向矢量為l-ax(9-5)ay(4-1)az(19-2)=a*4ay3az17其單位矢量一.-.一.-43l=axcos：.aycos：azcos=axayaz.3143147.3

3、14(5,1,2)=yz(5,1,2)丁(5,1,2)次I=xz(5,1,2)=10,-(5,1,2)=xy(5,1,2)=5cz所求方向?qū)?shù)cos1cos-cosV7fI=rxr二xcy二z123,314例 1.5 已知中=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求在點(diǎn)（0,0,0）和點(diǎn)（1,1,1）處的梯度。解：由于Vt=W(2x+y+3)+ay(4y+x2)+az(6z-6)所以vp(0,0,0)=ax3-ay-2-az6,V(P=a*6+ay3例 1.6 運(yùn)用散度定理計算下列積分：I=axxz2ay(x2y-z3)az(2xyy2z)dSS222S 是 z=0 和 z=ax_y所

4、圍成的半球區(qū)域的外表面2解：設(shè)：A=axxz2+ay(x2y-z3)+az(2xy+y2z)則由散度定理Ad.=；AdSs可得I=；AdS=、Ad.=(z2x2y2)d.=r2d.s2:ya4=0o2orsin?drdid：2:-a4=d:2sin而？rdr25二一二a5例 1.7 試求V，A和mA:23322A=axxyzayxzazxyA(r,z)=arr2cos:azr2sin;1 一.1A(r,F,)=arrsinra-sina2cosi解:.生；z=ax(2x2y-x3)ay(3xy(1)ex2_2_2_3z-2xy)az(3xz-2xyz)ax:xAxayyAyaz:zAzax:x

5、23xyzay:y3xzaz.z22xy(2)1FA;-lI-1fQ.：9一一(rcos)0(rsin)=3rcosarracpazarra中az1-_1r erczr療czArA中Azr2cos中02.rsin.z:rrr、A=中2=ar(rcosr=arrcos：-a2rsin:-0)ra.(0-2rsin)az(0r2sin)azrsinar%A=TWrsin65rArraursinia.arra_,-21二二廠rsindrd中，0r0W邛W2n、z=0)和圓柱側(cè)表面S3(面元矢量dS3=arrd中dz,0W9W2兀、0zr=5),故有：AdS=JSAdS1+AdS2十上AdS352n2

6、一，聞52冗一2一一，自=01(a.r+az2z)azrdrd*zy+(a.r+az2z)(azrdrd中)z田42n一2+&0(a.r+az2z)ajddz士52二2二4=o08rdrd+0，Ii125ddz二4252二1252二4二1200二:.尸 Adi=4AdS=1206,即證。.s例 1.10 現(xiàn)有三個矢量場 A、B、C,分別為：A=asincos 中+aecosecos*acpsin 中,B=arzsin*+atpzcos*+az2rzsin 中,C=ax(3y-2x)ayxaz2zr2rr:；zr；:r；:z哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量的旋

7、度表示？解：本題考查的是矢量場的場源關(guān)系，即：標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個有散無旋的場，并根據(jù)發(fā)放場旋度為零，漩渦場散度為零進(jìn)行反推。故先分別求出矢量的散度和旋度:1:一一.1:.二)一(rsin 二 cos)(sin【cosicos)r；:rrsin1：二 0rsinua；：故 B 可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，C可以由一個矢量的旋度表示。(sin二1沾rsin竺r*2sinrarra.rsin%q.:rAc0ArsinAq1sin1：:rsincos決rcos【cos一 rsin 日 sin中I1%.B=-r.:r1汨(rBr)7-.9.z=-(rz2sin:)rfr=2rsin:arazari1

8、B=r.:rBr:zBz：:rz2sin:ra:的rz2cos;azcz2rzsin中-CxC=-xFx-y:z=-202axayazaxay8azexCx-yCy:zCz.x3y2-2x-y2xzz2z=az(2x-6y)(-sin)ar第 2 章靜電場與恒定電場例 2.1 已知半徑為 a 的球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度為下式所示，求電荷分布2lla，、E=aE0F(ra)r-33、L-LLrcr,、E=arE05-3-3(ra)12a2a3,-p-解：由高斯定理的微分形式中E=一,得電荷密度為P=劭E+1*in8Ae)十1二上可得:rsin丁rsin例 2.2 一個半徑為 a 的均勻極化介質(zhì)球，極化

9、強(qiáng)度是azP0,求極化電荷分布解：建立球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。極化電荷體密度為：p-P_-azB=0極化電荷面密度為：ps=Pn=azP0-ar=P0cos例 2.3 一個半徑為 a 的導(dǎo)體球，帶電量為 Q,在導(dǎo)體球外套有外半徑為 b 的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖 2.1 所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度。圖2.1用球坐標(biāo)中的散度公式2AA2r；r(rE0F)=0rcrr13-r2Eo(5-3J)=；oE。r2；:r2a2a3152a3(ra)/22(a-r)(r；a)解：由介質(zhì)中的高斯定律可知,在 r 之 a 區(qū)域內(nèi)：qDdS=Dr，4nr2=Q,故 D=3s由本構(gòu)方

10、程 D=/E+P=名/0E=說得:介質(zhì)內(nèi)(arb):E=)D=arQ,P=D/E=ag二1Q；4二；r；r4二；r1-Q介質(zhì)外(br):E=D=arQ2,P=0；o4,：=or介質(zhì)內(nèi)表面束縛電荷面密度分別為：P1psrzb例 2.4 若真空中電荷 q 均勻分布在半徑為 a 的球體內(nèi)，計算球內(nèi)，外的電場強(qiáng)度以及電場能量。解：由電荷分布可知，電場強(qiáng)度是球?qū)ΨQ的，在距離球心為 r 的球面上，電場強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑方向。在球外(rAa),取半徑為 r 的球面作為高斯面，利用高斯定理計算:DdS=Dr4 二 r2=q故有Dr=q4二；r2對球內(nèi)(rb),球心距為c(ca-b)的兩球面之間有密度為P

11、的解：為了使用高斯定理，在半徑為 b 的空腔內(nèi)分別加上密度為+P 和-P 的體電荷，這樣，任一點(diǎn)的電場就相當(dāng)于帶正電的大球體和一個帶負(fù)電的小球體共同產(chǎn)生，正負(fù)帶電體所產(chǎn)生的場分別由高斯定理計算P1正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場為Ei=an,3；。2負(fù)電何在空腔內(nèi)廣生的電場為E2=a23；。其中單位向量ai,a2分別以大、小球體的球心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn)考慮到 ra1ran=cax,最后得到空腔內(nèi)的電場為：c3；0ax例 2.7 一個半徑為 a 的均勻帶電圓柱體（無限長）的電荷密度是 p，求圓柱體內(nèi)、外的電場強(qiáng)度。解：因?yàn)殡姾煞植际侵鶎ΨQ的，因而選取圓柱坐標(biāo)系求解。在半徑為 r 的柱面上，電場強(qiáng)度大小相等

12、，方向沿半徑方向。計算柱內(nèi)電場時，取半徑為 r,高度為 1 的圓柱面為高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有2一r：；DdS=；0Er2二rl=q,q=rl,Er=s2；。計算柱外電場時，取通過柱外待計算點(diǎn)的半徑為 r,高度為 1 的圓柱面為高斯面。對此柱面使用高斯定理，有一2：?a2DdS=OER2-rl=q,q=1 二 al,Er=s2ro例 2.8 一個半徑為a的均勻帶電圓盤，電荷面密度是 Ps。，如圖 2.4 所示。求軸線上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：由電荷的電荷強(qiáng)度計算公式及其電荷的對稱關(guān)系，可知電場僅有 z 的分量代入場點(diǎn)源點(diǎn)r二zaxraxrcos:ayrsin:dS=rdrd電場的 z

13、 向分量為求電荷密度解：從電場分布計算計算電荷分布，應(yīng)使用高斯定理的微分形式-D用球坐標(biāo)中的散度公式，并注意電場僅僅有半徑方向的分量，得出rl 處的電場為 Er=3ql4E(r)=l(r)(r-r)TdSEzzrdro(z2-r2)3/2_：S01z二|一(a2+z2)1/21上述結(jié)果適用于場點(diǎn)位于z0 時。但場點(diǎn)位于 zl 時,ll22(rl)(1-)2r(1-2-3-)22(r-l)r1l2(1-)r1一J、(12-3)將以上結(jié)果帶入電場強(qiáng)度表達(dá)式并忽略高階小量，得出 Er=3ql22 二；r4圖2.52222224(x-a)2y2z2=x2y2z2此方程可以改寫為這是球心在（絲,0,0）

14、,半徑為過的球面 33例 2.12 如圖 2.6 所示，一個圓柱形極化介質(zhì)的極化強(qiáng)度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度為L,半徑為 a,且均勻極化，求束縛體電荷分布及束縛面電荷分布。解：選取圓柱坐標(biāo)系計算，并假設(shè)極化強(qiáng)度沿其軸向方向，P=P0ax如圖示，由于均勻極化，束縛體電荷為P=4P=0。在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向 n=ar,極化強(qiáng)度在 z 方向，故:=Par=0在頂面，外法向?yàn)?n=ax,故isp二Pax二P。在底面，外法向?yàn)?n-ax,故：sp=p（-ax）=-Po0圖2.6例 2.13 假設(shè) x0 的區(qū)域?yàn)殡娊赓|(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為3無，如果空氣中的電場強(qiáng)度E=*+4輸+5(V/

15、m),求電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度 E2。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒有自由電荷，因而電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在空氣中，由電場強(qiáng)度的切向分量Eit=4ay+5ax,可以得出介質(zhì)中電場強(qiáng)度的切向分量E2t=4+51；對于法向分量，用 Din=D2n,即50Eix=2x,并注意E僅=3,8=3名。,得出 E2x=1。將所得到的切向分量相疊加，得介質(zhì)中的電場為E2=ax4ay5az(V/m)例 2.14 一個半徑為 a 的導(dǎo)體球面套一層厚度為 b-a 的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為,假設(shè)導(dǎo)體球帶電 q,求任意點(diǎn)的電位。解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部，電場強(qiáng)度為 00對于電介質(zhì)和空氣中的電場分布，

16、用高斯定理計算。在電介質(zhì)或空氣中的電場取球面為高斯面，由DdS=4 叮2Dr=q 得出Dr=s電場為：Er=q在介質(zhì)中(arb)。4二；r4二；0r電位為E=Edr=f-q-dr+f-q-dr=-q+q-(-)(arb)rr4 二；024 二；0r例 2.15 真空中有兩個導(dǎo)體球的半徑都為 a,兩球心之間距離為 d,且 da試計算兩個導(dǎo)體之間的電容。解：因?yàn)榍蛐拈g距遠(yuǎn)大于導(dǎo)體的球的半徑，球面的電荷可以看作是均勻分布。由電位系數(shù)的定義，可得讓第一個導(dǎo)體帶電 q,第二個導(dǎo)體帶電-q,則Pi2=P22=14二；P12=P21=14二；由C=9二-U12例 2.16 球形電容器內(nèi)，外極板的半徑分別為

17、a,b,其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為圻,當(dāng)外加電壓為U。時，計算功率損耗并求電阻解：設(shè)內(nèi)，外極板之間的總電流為I。，由對稱性，可以得到極板間的電流密度為Jau-a2 二 rE_aE2ari=Piq-Pi2q=4二；0a4二；0d2-p2iq-p22q-4二；0d4二；0aR=I4 二二1abJ4 二二 r 例 2.17 一個半徑為 a 的導(dǎo)體球作為作為電極深埋地下，土壤的電導(dǎo)率為仃 o 略去地面的影響，求電極的接地電阻。解：當(dāng)不考慮地面影響時，這個問題就相當(dāng)于計算位于無限大均勻點(diǎn)媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問題。設(shè)導(dǎo)體球的電流為 I,則任意點(diǎn)的電流密度為導(dǎo)體球面的電位為（去無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)）接地電阻為U0

18、a=bEdr=4二二ab從而4 二二 U0I=11,二U0-,J-arJ1、2()r單位體積內(nèi)功率損耗為J2p=二TJ-Aabj總功率耗損為U2由 P=,得Rb2P=氣p4二rdr=224；U0bdr4；U0J_LaJ2ar,4 二 rE 二2ar4 二二 ra2a4二二dr=4二二aR=U=I4二;二a例 2.18 如圖 2.7 所示，平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充，厚度分別為di和d2,介電常數(shù)分別為鳥和%,電導(dǎo)率分別為巴和。2,當(dāng)外加電壓 Uo時， 求分界面上的自由電荷面密度。解：設(shè)電容器極板之間的電流密度為 J,則JJEi=E=于是JdiJd2Uo=112二1二2即J;did2T分界面

19、上的自由面電荷密度為圖2.7例 2.19 在電場強(qiáng)度 E=a*y+ayX 的電場中把帶電量為-2q(C)的點(diǎn)電荷從點(diǎn)(2,1,-1)移到點(diǎn)(8,2,-1),試計算電場沿下列路徑移動電荷所做的功。(1)沿曲線x=2y2;(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。解：本題要求電場力移動電荷所做的功，最直接的辦法就是根據(jù)功=作用力x作用距離，由給出的電場強(qiáng)度確定電荷所受電場力，再在對應(yīng)的移動路徑 C上進(jìn)行線積分，即 W=Fd=-2qEd。但注意到題目給出的場強(qiáng)為靜電場CC的電場強(qiáng)度，則可根據(jù)靜電場為保守場，由靜電力所做的功與電荷移動路徑無關(guān)，至于電荷運(yùn)動起止點(diǎn)的電位差有關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行計算。方法一：；DmE=0,此電

20、場為靜電場，電場力所做的功與電荷移動路徑無關(guān)。由E=中=a*y+ayX 可得，電位中(x,y,z)=xy+C,其中 C 為常數(shù)。點(diǎn)(2,1,1)到點(diǎn)(8,2,-1)之間的電位差U=5(2,1,-1)邛(8,2,-1)=14故無論是沿曲線x=2y2還是沿連接該兩點(diǎn)的直線，電場力移動電荷-2q(C)所做的功W=-2qU=-28q(J)。方法二：電場力 F=-2qE=ax(-2qy)+ay(-2qx),Uo；2di1點(diǎn)（2,1,1）移到點(diǎn)（8,2,1）變化的只是 x 和 y,故有 dl=axdxaydy,Fdl=-2qydx-2qxdy(1)曲線C:x=2y2有dx=4ydy2一,一._2、2_2.

21、一1(-2qy4ydy-2qdy2y)=1-12qydy-28q(J)(2)曲線C:y1=1,即x=6y4,有dx=6dyx-2622(-2qy6dy-2qdy(6y4)=1(-24qy8q)dy=-28q(J)例 2.20 球形電容器內(nèi)外導(dǎo)體球半徑分別為 a 和 b,如果保持內(nèi)外導(dǎo)體間電位差U 不變，試證明當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系 a=b/2 時，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場最小,并求此最小電場強(qiáng)度。解：要求得內(nèi)導(dǎo)體球表面的最小電場強(qiáng)度，需先求出空間各點(diǎn)電場強(qiáng)度的分布，再根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)最小值出現(xiàn)在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的知識，求出內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場強(qiáng)度最小值，并得到此時內(nèi)外導(dǎo)體球半徑之間的關(guān)系由于內(nèi)外導(dǎo)

22、體球間存在電位差，故內(nèi)導(dǎo)體球表面存在電荷，可設(shè)在內(nèi)導(dǎo)體球面上均勻分布有總量為 Q 的電荷， 因此以導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系,內(nèi)導(dǎo)體球面為r=a,外導(dǎo)體球面為r=b。在 ar62 時，巴0;ab/2 時，三，0;故 a=b/2 時 Er有最小值。；:aja.當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系 a=b/2 時，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場最小。此最小值為 Em-ar型=ar處。ab例 2.21 電場中一半徑為 a 的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分布為：；-；03cos?1-E0rcosaE0-,r-a；,2；0r2=-0-E0rcos,r_a；2十驗(yàn)證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解：題目給

23、出的邊界面，是介于介質(zhì)和空氣之間的球面，其法向?yàn)榍虻膹较蚯邢騽t為 ae 和右中方向。要驗(yàn)證分界面上的邊界條件，可以從電場矢量方面入手，根據(jù)題目給出電位分布，求出電場強(qiáng)度的分布，得到在邊界面r=a上工=Et；也可以直接根據(jù)電位的邊界條件，在r=a的分界面上，得到巴=匕的結(jié)論。而要計算球面的束縛電荷密度，可根據(jù)Pps=P6來計算。1)驗(yàn)證邊界條件：方法一：直接利用電位的邊界條件，有：r=a時，%=E0acos9+aE0cos9=-3-0-E0rcos日=92；2；0；2；0,Q二平2,邊界條件成立。方法二：-E二Ei-.I；-032cos 二；-03sin-=ar(E0cos-aE0飛)aX-E。

24、sinaE03-),r-a；,2；0r-；-2；0ra=b/2 時有Er的最值.:a分界面r=a上，n=ar_._.;_;o_.3；o.Eit=a4-Eosin【Eosin1)=a-Eosin?-E2t；-2；o-；2；o,Eit=E2t,邊界條件成立。2）計算球表面的束縛電荷密度:由上面可得o2aPl=(-o)Ei=(-o)ar(1FKE0cos式一1P2=(；0-；)E2=o,ra例 2.22 有一半徑為 a,帶電荷量為 q 的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為小和無，分界面可視為無限大的平面，求：（1）球的電容量；（2）儲存的總靜電能。解：此導(dǎo)體球?yàn)閱螌?dǎo)體系

25、統(tǒng)，選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，球的電容量可由 C=Q求出， 其中Q為導(dǎo)體球所帶電荷量， 即 q；為導(dǎo)體球表面電位與零電位點(diǎn)的電位差。故求球的電容量，就需求導(dǎo)體球外電場強(qiáng)度的分布。同樣，靜電場的能量也可由電場強(qiáng)度求出，故本題的核心在于求電場強(qiáng)度的空間分布。E2一23；o；,2；0(arEocos二-a,Eosini),r三aEi二ar(E0cos二32cos二；一；o3a%丁)iFaEosin、3-),rarE23；o(arE0cos?-a【E0sin),D=；oEP=;E.P=(；-；o)E3；2；。*，-_/40年，圖 2.8由圖 2.8 所示，以導(dǎo)體球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，電荷和電場分

26、布具有球?qū)ΨQ特性。在raa處做同心的高斯閉合球面，有22sDdS=Dr12 二 rDr22r=q在的和與的介質(zhì)分界面上，有Eit=E2t,即Eir=E2r=E.，故有Dir=；1Eir=；1Er,D2r=；2E2r=；2Er,Dr12二r2Dr22二r2=（；1Er-工2Er）2r2=qq4 二 a（；i一）（注：也可計算為:1_2We二-E2d11E2r2sinMrdid-iii12E2r2sindrdid:0aa加20222_q2 2n/fon/foFJaFJa24：a（”；2）第 4 章恒定磁場例 4.1 半徑為 a、高為 L 的磁化介質(zhì)柱，如圖 4.1 所示，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢

27、量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流Jms。解：取圓柱坐標(biāo)系的 z 軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0 處，上底面位于 z=L 處。此時，M=azMo,磁化電流為Jm=1M=1(M0az)=0在界面z=o上，n=3z,JmS=MMn=M0azM(aj=0zIIIS0zz在界面 z=L 上，n=az,Jms=Mn=M03zxaz=0在界面 r=a 上，n=ar,JmS=M 父 n=M0az父 ar=M0atp例 4.2 內(nèi)、外半徑分別為 a、b 的無限長空心圓柱中均勻分布著軸向電流 I,求柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：使用圓柱坐標(biāo)系。電流密度沿軸線方向?yàn)?,r:二a0

28、,rbJ=azI二（b2-a2）圖4.1由電流的對稱性，可以知道磁場只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計算不同區(qū)域的磁場。當(dāng) ra 時，磁場為 0。當(dāng) arb 時，選取安培回路為半徑等于 r 且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓。該回路包圍的電流為例 4.3 半徑為 a 的長圓柱面上有密度為J,。的面電流，電流方向分別為沿圓周方向和沿軸線方向，分別求兩種情況下柱內(nèi)、外的 Bo解：(1)當(dāng)面電流沿圓周方向時，由問題的對稱性可以知道，磁感應(yīng)強(qiáng)度僅僅是半徑 r 的函數(shù)，而且只有軸向方向的分量，即B=azBz(r)由于電流僅僅分布在圓柱面上，所以在柱內(nèi)或柱外VMB=0。#B=azBz(r)代入VMB=懿嚕=0,即磁場

29、是與 r 無關(guān)的常量。在離面無窮遠(yuǎn)處的觀察點(diǎn)，由于電流可以看成是一系列流向相反而強(qiáng)度相同的電流元之和，所以磁場為零。由于 B 與 r 無關(guān)，所以，在柱外的任一點(diǎn)處，磁場包為 0。為了計算柱內(nèi)的磁場，選取安培回路為圖 4.2 所示的矩形回路。,22=J 二 r-a22Ir-ab2由Bdl=2irrB(p=N0I,得 B(p=oIr2-a2ZT22-2二rb-a當(dāng) rb 時，回路內(nèi)包圍的總電流為 I,于是 B(p=JI有寸 Bdl=hBz=hN0Js0因而柱內(nèi)任一點(diǎn)處，B=azN0Js0ZSzSc二 a 上 y2-xay2x-aolxa2n(x+aj+y2x-a(x-af+y2(2)當(dāng)面電流沿軸線

30、方向時候，由對稱性可知，空間的磁場僅僅有圓分量，且只是半徑的函數(shù)。在柱內(nèi)，選取安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓?？梢缘贸?，柱內(nèi)任一點(diǎn)的磁場為零。在柱外，選取圓形回路，cB,d=N0I,與該回路交鏈的電流為2naJs0,B.dl=2 兀田中，所以 B=5 鏟。，。9。例 4.4 如圖 4,3 所示，一對無限長平行導(dǎo)線，相距 2a,線上載有大小相等，方向相反的電流 I,求磁矢位 A,并求 Bo解：將兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位看作是單個導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位的疊加。對單個導(dǎo)線，先計算有限長度產(chǎn)生的磁矢位。 設(shè)導(dǎo)線的長度為 1,導(dǎo)線 1 的磁矢位為(場點(diǎn)選在xoy 平面)oll2dzol|l2(l2)2r

31、i212AiazIiazln4二2(r12.z2/2二ri,.Lll當(dāng) 1Tg 時，有A=azlnL2二r1由兩個導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位為A=az(A+A2)=az 翌 J_jLazqnaz 四 ng”/2nIrir2J2nr14n(x-a)+y2相應(yīng)的磁場為同理，導(dǎo)線 2 產(chǎn)生的磁矢位為0lA2-azln2二r2例 4.5 已知內(nèi)，外半徑分別為a,b的無限長鐵質(zhì)圓柱殼（磁道率為k）沿軸向有恒定的傳導(dǎo)電流 I,求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：考慮到問題的對稱性，用安培環(huán)路定律可以得出各個區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度。-0IIIa:2二r.22XMXDHXDQLrFa.,IIIrM:Jm-M=az=ar2r當(dāng)ra 時

32、，H=aqj2a22 二 r磁感應(yīng)強(qiáng)度如下：ilr2IrMa時，B=a52;ra時，B=a中2二a2二r為了計算磁化電流，要求磁化強(qiáng)度:1,、lrrEa時，M=acp(-1)2,與2二aiLIra時，Macp(1),JmM0L2二r在r=a的界面上計算磁化面電流時， 可以理解為在兩個磁介質(zhì)之間有一個很薄的真空層。這樣，其磁化面電流就是兩個磁介質(zhì)的磁化面電流之和，即Jms=MiniM2n2這里的ni和n2分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向。如果設(shè)從介質(zhì) 1 到介質(zhì) 2 的單位法向是 n,則有Jms=M1n-M2nJms=Mn=Mar=(rfla-2二b1.LI(胃,，1八Jms-az(1|1)-0

33、2”2,az(d-1)02,100代入界面兩側(cè)的磁化強(qiáng)度，并注意n=a.，得例 4.7 空氣絕緣的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為 a,外導(dǎo)體白半徑為 b,通過的電流為 Io 設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄，因而其儲蓄的能量可以忽略不計。計算同軸線單位長度的儲能，并有此求單位長度的自感。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流均勻分布，用安培環(huán)路定律可求出磁場。IrIra 時，H=a(p2;arb 時，H=a 中2 二 a2r單位長度的磁場能量為2.2a1obIo口八|八|bWm=L0H2二rdr+0H22二rdr=0+-0lne02a216二4二ab故得單位長度的自感為 L=+lnb,其中的第一項(xiàng)是內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。8 二 2 二 a

34、例 4.8 一個長直導(dǎo)線和一個圓環(huán)(半徑為 a)在同一平面內(nèi)，圓心與導(dǎo)線的距離是 d,證明它們之間互感為 M=N0(d-Vd2-a2)。IJj證明：設(shè)直導(dǎo)線位于 z 軸上，由其產(chǎn)生的磁場 B=2-：x2二(drcos?)其中各量的含義如圖 4.4 所示。a2二LI磁通重為;Bds:-rdrd-002二(d,rcos1)上式先對日積分，并用公式2二 d-_2-0dacos,d2-a2爾于所以互感為 M=(d-d2-a2)圖4.4例 4.9 一根通有電流 I 的長直導(dǎo)線埋在不導(dǎo)電的均勻磁性介質(zhì)中。(1)求出 H,B,M 及磁化電流分布；(2)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流 I 沿 z 方向流動，在

35、 z0 的半無窮空問中充滿導(dǎo)磁率為N的均勻介質(zhì)， 在ZAO的半無窮空間為真空， 求出 H,B,M 及磁化電流分布；(3)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流 I 沿 z 方向流動，在 x0 的半無窮空間為真空， 求出 H,B,M 及磁化電流分布。解：(i)由安培環(huán)路定律，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線,上-cHdl=H：2 二 r=II-I二 H 中=，即 H=a(p2 二 r2 二 r454B1-(J-1)I故：B=NH=acp,M=丁一 H=(-_1)H=acp,Jm=VMM=0,5二r002 二 r(2)如圖 4.5(a)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線 C,由安培環(huán)路定律有：,cHdl 二 H2

36、r 二 IB1，Mi=H=(7-1)H=a“0o.-(_2r-1)IJm=VxM=0,Jms=MMn=Mxar=-az;IIISIz2 二 rza0:B2=N0H=a%：，M2=0,Jm=0,Jms=。如圖 4.5(b)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線 C,由安培環(huán)路定律有:伊dl=H1：,j.rH2：；”r=I對于分界面，x=0處a中為法向,根據(jù)邊界條件Bin=B2n,B一xA0：M2=Yj-_H2=0,Jm=0,-0I2：則有:-1)I2:r有B仰=B2(p=B(p,即：Hi(p=-y,代入安培環(huán)路定律，有B：二 r0I口,0二rJ。I.0二rH1H2xacp=0;Jms=0。圖4.5(a

37、)圖4.5(b)例4.10半徑為a的無限長直圓柱形導(dǎo)線沿軸向通過電流I。如圖4.6所示，取圖中a=2n處為參考點(diǎn)，用拉普拉斯方程求導(dǎo)線外部的標(biāo)量磁位。圖4.6解：對磁標(biāo)位來講，它是和磁力線垂直的，而通電長直導(dǎo)線的磁力線是以電流為圓心的同心圓，因此磁標(biāo)位就應(yīng)該是r方向的射線，所以中m應(yīng)該與r和z無關(guān)，拉普拉斯方程應(yīng)該是:解出來m-CD代入已知條件a=中=2n為參考點(diǎn)，有中m=2nC+D再以導(dǎo)線為軸心在導(dǎo)線外做一個近似閉合的回路l,起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在邛=2n的兩側(cè)，由于H=-中m,比照靜電場中電場強(qiáng)度和電位之間的關(guān)系，,B有*mA3mB=AHdl力，中mA=0,9mB=2垢+D,則2項(xiàng)+口=-IA這

38、樣始終有兩個未知量不能確定。于是又考慮中=2n和平=0是同一點(diǎn),那么參考點(diǎn)也可以看作是邛=2n，代入中m=CP+D中，中=2n時中m=D=0,故中m=C平，這就只有一個未知量了。B-再做參考積分回路，則mA-；：mB=0-2二C=Hd=IA例 4.11 一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開有一空氣隙，長度 6=1mm,鐵心內(nèi)半徑a=8cm,橫截面邊長 b=2cm,相對磁導(dǎo)率叫=500。 鐵心上均有緊密繞有線圈 1000 匝， 如圖 4.6 所示。忽略氣隙附近的漏磁通，求此線圈的自感。圖 4.6解：由于忽略氣隙附近的漏磁通，根據(jù)磁通連續(xù)性方程，可視將磁感應(yīng)線只在磁環(huán)內(nèi)流動，且垂直磁環(huán)截面，磁感應(yīng)線穿過

39、空氣隙時仍均勻分布在截面上。設(shè)磁環(huán)上磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bk，磁場強(qiáng)度為HR；氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0,磁場強(qiáng)度為H。，由安培環(huán)路定律有：bHdl=H 即（2 町一 6）+小邛石=NI,其中 r=a+=9cmC2對于空氣與鐵心的分界面，a中為法向，根據(jù)邊界條件即=B2n,有B：一 BB1（p=B2cp=Bcp,可行H聞=H，H0（p=-JJ0故有 B（2 叫6）+器芯=NI,解得Btp=N-02二r一二,通過鐵心截面的磁通量=fBepdScp=Bep,Sep=-b2S2二r-解得 C 二一，故m=C-2 二b=0.02m,r=0.09mN=500%N=1000,得Nb2,200。=0.251(mH)2-

40、：r-：丁工線圈的自感 LNb22 二 r-、 ._7十代入數(shù)據(jù)C.=10m,第 5 章時變電磁場例 5.1 證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會有永久的自由電荷分布。解：將J=E代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有-_cP_cP、(二E)=；：E)一二0；:tft由于：D=；J、(E)=、E=：-二:-t.所以：一十,P=0,P(t)=Poe6ft；例 5.2 設(shè) z=0 的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z0 一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場強(qiáng)度為H(x,y,0,t)=axH0sinaxcos(ot-ay),試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、 電荷分布以及分界面處的電場強(qiáng)度。解：JS=nH=azaxH0s

41、inaxcos(t-ay)=ayH0sinaxcos(t-ay):S-=H0sinaxcos(t-ay)=aH0sinaxsin(t。ay).:t：:yPS=-a0sinaxcos(t-ay)c(x,y)假設(shè) t=0 時，ps=0,由邊界條件n-D=Ps 以及 n 的方向可得aH0sinaxcos(t-ay)0aH0sinaxcos(t-ay)0例 5.3 試求一段半徑為 b,電導(dǎo)率為仃， 載有直流電流 I 的長直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理D(x,y,0,t)=azE(x,y,0,t)=az解：如圖 5.1,一段長度為 l 的長直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的 z 軸重合,直流電流將均

42、勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有：在導(dǎo)線表面 H它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有例 5.4 在兩導(dǎo)體平板(2=0 和 2=)之間的空氣中傳播的電磁波，其電場強(qiáng)度矢量 E=ayE0sin(n/d)zcost-kx),其中kx為常數(shù)。試求：(1)磁場強(qiáng)度矢量 H;(2)兩導(dǎo)體表面上的面電流密度Js。解：由麥克斯韋方程組得 VME=-AxgEy/+az(8Ey/dx)=-6B/祝，對上式積分得B=ax-E0cos(z)sin(t-kxx)azEkxsin(-z)cos(t-kxx),dddEEnk.二即H=ax0-cos(z)sin(t-kxx)+az-0-sin(z)co

43、s(ot-kxx)。d0d0dE=azCT,2二b因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量S=EH-arI22。二-SSds-SSardS=圖5.12-2nbl2。nb)=I(2)導(dǎo)體表面上得電流存在于兩導(dǎo)體相向的一面,例 5.5 一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體半徑為b,長度為L,同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在aWrEbQMzEL區(qū)域內(nèi)的電磁場A.B.為 E=arsinkz,H=acoskz確定 k。故z=0面上，法線n=a*z,面電流密度Js=az=Hz=d面上，法線n=-az,面電流密度Js=-Az父Hz-0E0二-ay-dJ0E0二二ay-dJ0sin一kxx);sin(t-k

44、xx)。(D確定A,B之間的關(guān)系。(3)求r=a&r=b面上的Ps,Js。解: 由題意可知，電磁場在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。(1)A,B之間的關(guān)系。所以(2)因?yàn)?zAk=aicoskz-jJH-r,1rH.i，.rH-H=-ara-Bk一.=arsinkz=j=Er所以(3)因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為nMH=Js,nD=Ps在r=a的導(dǎo)體面上，法線n=a，所以對上式積分，得磁場強(qiáng)度瞬時值為E0Hax-sirko(z-ct)-ay0c故坡印廷矢量的瞬時值EcS=EH-azV0c(2)因?yàn)?E 的模和幅角分別為EOSIAk(z-ct)二k0(z-ct)E0cosk0(z-c

45、t)所以，E 隨時間變化的軌跡是圓Jsa=nH；-sa=nDsaBB1=azcoskz=azcoskz_r_aAAr：a=sinkzr與=sinkz_r_a在r=b的導(dǎo)體面上，法線n=_ar,所以Jsb=nxH上=-azBcoskz一=-azcoskzbPsb=nDr3=sinkzr*=sinkz一 r1-b例 5.6 已知真空中電場強(qiáng)度 E=axE0cosk0(zct)+ayE0sink0(zct),式中k0=2n/%=8/c。試求:(1)磁場強(qiáng)度和坡印廷矢量的瞬時值。(2)對于給定的 z 值(例如 z=0),試確定 E 隨時間變化的軌跡(3)磁場能量密度，電場能量密度和坡印廷矢量的時間平均

46、值。解：(1)由麥克斯韋方程可得-EyFExE=a-ayx二z二z-axE0k0cosk0(z-ct)-ayE0k0sink0(z-ct)_Li一一0.:t22+E=ExEyE05(3)磁場能量密度，電場能量密度和坡印廷矢量的時間平均值分別為1.av,eReED41jkzj(-k0z)jkz-j(-rk0z)(axEe0ayEOe2)(a*；0E0e0ay；0E0e2)412一二，0E02-12av,m-2-0E0例 5.7 試將麥克斯韋方程組寫成 8 個標(biāo)量方程。解：已知麥克斯韋方程組的積分形式為:二一STdS，sBdS=0-sDdS=q(1)直角坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為:Sav=

47、Re；EH=-azE。220cdS,Edl微分形式為:_-DH=JftE=-Ft，又因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系中A色fxt:yaxd:xAxayAyaz:zAz柱坐標(biāo)系中A1：/A、1AA=(rAr)r二rr二：z11、A=-r球坐標(biāo)系中七1f2A=-(rA)r二rarar.:rArarArsin二r2sin-C0rsinacprsin6AL,：z(aydyazdz)=SJx；:DXdydz：t(axdxazdz)工lzH(aydyaxdx)二SlE(aydyazdz)xE(axdx-azdz)Jzft.也：Bx,xft汨ydydzdxdzdxdz,dxdyEE(aydy+axdx)lz；y:t.:Bzd

48、xdyBxdydzBydxdz-Bzdxdy=0SxSySz-Dxdydz，iDydxdzSxSyDzdxdy=qSz麥克斯韋的微分方程可寫為:-Hz；：Hy.:y；z.Hx：Hz；z.:Hy：Hx.:xfycDx電z出ycBx日yczacDyyJ比x正z=d07（m/s）p.150_vp_4.241078二2二一=2二1.5108（rad/s）1.78由題可知，心苔泊令,由麥克斯韋方程嚕有:二2才:3.54（rad/m）1.51084.24107空.:tax；:xEx(z)ayy0azzz.0二一ay；:E二ayj20-ej(t-z)故有t空出二二2tayj20d07(S/m)包裹該室。若要

49、求屏蔽的頻率是10kHz100MHz,銅皮的厚度應(yīng)是多少。解：因?yàn)楣ぷ黝l率越高，趨膚深度越小，故銅皮的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽10kHz 時所對應(yīng)的厚度。因?yàn)橼吥w深度21、=0.00066(m)二：二所以，銅皮白最小厚度h=55=0.0033(m)。例 6.7 如果要求電子儀器的鋁外殼(。=3.54x107(S/m),匕=1)至少為 5 個趨膚深度，為防止 20kHz200MHz 的無線電干擾，鋁外殼應(yīng)取多厚。解：因?yàn)楣ぷ黝l率越高，趨膚深度越小，故鋁殼的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽20kHz 時所對應(yīng)的厚度因?yàn)殇X殼為 5 個趨膚深度，故鋁殼的厚度應(yīng)為h=55。=0.003(m)例 6.8 已知平面波的電場強(qiáng)度E=同(2j3)ay4az3)ej(1.8y-(V/m)試確定其傳播方向和極化狀態(tài)，并判斷它是否為橫電磁波。丁akE=0,即E的所有分量均與其傳播方向垂直，所以此波為橫電磁波。又因?yàn)樯鲜街袃蓚€分量的振幅并不相