數(shù)值分析-第五版-考試總結(jié)

1、第一章：數(shù)值分析與科學計算引論截斷誤差：近似解與精確解之間的誤差。?=?-?近似值的誤差？(？為準確值)近似值的誤差限？0|?-?<?近似值相對誤差？?？(？猊小時約等)d?=西分近似值相對誤差限？?:c?=囪函數(shù)值的誤差限?(?(?):?(?(?)|?(?夕)|?(?夕)近似值?=±(?,?x10?有n位有效數(shù)字:1?=1x10?-?+12?=?v1畫.2?X10-?+1第二章：插值法1 .多項式插值其中：2 .拉格朗日插值?次插值基函數(shù):?=?+?+?+?=?0,1,?,?+?+?+?=?+?+?+?=?+?+?+?=?4x)=E?闕？=匯？?而?=0?=0('&g

2、t;?電+1(?)?)?+1(?豺?(?=,?=0,1,?,?(?-?)?(?-?-1)(?-?+1)?(?-?3(?丁?)?(?%-?-)(?)?-?+1)?(?-?>引入記號:?3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?冽余項:3 .牛頓插值多項式:?=?-?%？=?+1)(?(?+1)!?%+1(?,?至(?)?(?=?)+?,?(?)+?+?,?,?,?田(？0?)?(?-?-1)?階均差（把中間去掉，分別填在左邊和右邊）?,?,?,?-1,?|=?,?,?2-1,?q-?,?,?,?-1?-?余項:?(?=?,?,?,?m?+1(?4 .牛頓前插公式（令？?=?+?計算點值，

3、不是多項式）?(?1)2?，？+?=?+?2!?2?+?(?1)?(?1)+?!?階差分:?-1?-?-1?余項:?？二?1)?(?+1(?+1)!?+"(?,?至(?),？?)5 .泰勒插值多項式:?(?=?)+?(?)(?)+?+?(?)?!(?-?)?階重節(jié)點的均差:?,?,?,?=?(?)?,?,?(?)(?)+?)(?)(?-?)6 .埃爾米特三次插值:?=?)+?,?(?)+其中，A的標定為：?(?)=?(?)7 .分段線性插值:就？=?+1?-?-?+1?仍+?+1-?多?仍+1第三章:函數(shù)逼近與快速傅里葉變換?=匯?=02.范數(shù):ML=m強!例？?緲器?)?I?1i=

4、E|?|?(?)?=i?i1?12=(三？為2?=i?i?(?(?)?)?3 .帶權(quán)內(nèi)積和帶權(quán)正交:?(?=匯？(x?x?x?(?(?)?)?=0?(?,?)=/p(x)?=0?4 .最佳逼近的分類(范數(shù)的不同、是否離散)：最優(yōu)一致(8-范數(shù))逼近多項式？(?)：II?-?3(?)L=minI?-?(?)L?6湖''''最佳平方(2-范數(shù))逼近多項式？(?)：I?-?外?)帳=mn?-?(?)2最小二乘擬合(離散點)？人?)：?12=minI?-?/?1122?e25 .正交多項式遞推關(guān)系:6 .勒讓德多項式：正交性：奇偶性：遞推關(guān)系：?P?+i(?=(?？我？

5、-?3?-i(?(?=i,?i(?=0一?於？id?)(?)?(?,?%?)'"(?：?,?刎?)(?-i(?,?)?-i(?)i0,?%?)?(?)?？?2-i2?+i?(-?)=(-i)?既？)?w?=?7.切比雪夫多項式:遞推關(guān)系:正交性:?%?在-1(?+1)?+1(?=(2?+1)?-?2i(?)?»+1(？=2?-?-i(?1?刑?)照(?)?=-1Vl-?.1上有？升零點:?=?私+1（?在?上有？?+1個零點:?二?,/cos?5bs?2cos2?1?=2?（最優(yōu)一致逼近）2?+1?+C0S2(?+1)?+2?=,?,?1,?,?w?W0?=0?,?

6、=0,1,?,?首項？?鈉系數(shù):2?-18.最佳平方逼近:I?-?(?)112=min?(?)?息?-?(?)2=?m?vjp(x)?-?x)2?法方程:?匯(?=(?>?=0正交函數(shù)族的最佳平方逼近:9.最小二乘法:情12=?m?n)?I；?(x?S(x?)?-?帝?=0法方程:?2(?=(?=0正交多項式的最小二乘擬合第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1 .求積公式具有？欲代數(shù)精度?求積公式(多項式與函數(shù)值乘積的和)，對于次數(shù)不超過？硝多項式成立，?+1不成立?(?)?E?(?)?=02 .插值型求積公式?=?/?)?匯?倒？)？(？=匯？(？?)?=0-?=/?-?；?)?；?)?/?=0?

7、+1)(?(?+1)!?+1(?)?3 .求積公式代數(shù)精度為？?時的余項?=?-?E?因=?=01r(?+1)!?/?+1?匯？?+1?=04 .牛頓-柯特斯公式：將?我IJ分為？舞份構(gòu)造出插值型求積公式?解=(?-?)匯？?)?(?)?=05 .梯形公式：當n=1時，？?1)?-?(?212(?2?(?)?-?=2?+?(?)?(?=-6 .辛普森公式：當n=2時，？?2)=6，?=4，?2)=67 .復合求積公式:?=?!?+4?+-?+?(?)?«?=-62?-?,?=?+?+1/2=?+2復合梯形公式:T?=2?+復合辛普森公式:S?=6附？+?2?,180-()4?4)(?

8、)?-12匯？?(?？+?(?)?«?=-?-?2?(?)12?=1?-14二？?(?+1/2)+?=0?-12匯?(?+?(?)?%?=-?(-)4?4)(?)1802?=18 .高斯求積公式(求待定參數(shù)？?W?：(1)求高斯點(？?)：令？3?+1(?=(?-?)(?-?)?(?-?)與任何次數(shù)不超過？酌多項式？?(?辨?_一權(quán)？?(?*父，即則J?(?)?+1(?(?)?0,由？?+1個萬程求出局斯點？?,？?求待定參數(shù)？?？6?(?)?(?)即限?=0?史?(?)?(?也為次數(shù)不超過？的多項式。9 .高斯-勒讓德求積公式：取權(quán)函數(shù)為？?？=1的勒讓德多項式？?+1(?兩零點即

9、為求積公式的高斯點。12?+110 .高斯-切比雪夫求積公式：取權(quán)函數(shù)為?=/鈣的切比雪夫多項式的零點？?=cos去?;2?卿為求積公式的高斯點。第五章解線性方程組的直接方法1.矩陣的從屬范數(shù):?I?lloo=1max，?|?!?行元素絕對值之和中最大的)?=1?|?11=maxE|?4列元素絕對值之和中最大的)1w?w?=1I?12=V?)2.條件數(shù):?(A)I?1ILl?8?外?？/?)?|?)|?2(A)aA行I當?=?,?(A)-?)|?仰?)|第六章解線性方程組的迭代法1.迭代法:?=?(?-?=?=?-?+1)=?)+?2.迭代法收斂:lim?-8?夕?)存在。?<1,譜半徑

10、？?？=ma?J?,、？m103.迭代法收斂的充分必要條件:4 .漸進收斂速度：？=-ln?,迭代次數(shù)估計：?>?()5 .雅可比迭代法:?=?=?-(?+?)=?-?(?-?=?=?6.高斯-塞德爾迭代法:?,?+1)=?)+?=?=(?-?)-?=?-?(?-?=?=?-?夕?+D=?")+?-塞德爾迭代法均收斂。7 .嚴格對角占優(yōu)矩陣：此矩陣為非奇異矩陣，其雅可比迭代法與高斯?I?1?>.|?b?=1?w?8 .弱對角占優(yōu)矩陣：若此矩陣也為不可約矩陣，則其雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法均收斂。?I?|?I?=1?豐”其中，可約矩陣：n階矩陣A有如下型式，否則為不可

11、約矩陣。?/?!(?1?2)(?2)9 .超松弛迭代法：為高斯-塞德爾迭代法的一種修正。?=(?-?)-?=(-?-?)-(-?+?-?)?=(?-?)?=(?+?-?)(?-?=?=?-?=?=(?-?)/?+，?)?？)=(?-?1(1-?+?)?=?產(chǎn)？?=?7?-?1?+1)=?夕?)+?10 .最速下降法：？是對稱正定矩陣?=?+1)=?+?能?)使下式最小:/CC八/cc、/cc、/cc、/cc、/cc、?/cc、/CC、?(?%?+1)=?(?(?)+?")=?(?/)+?(?)-?,?)+(?(?),?)則:?(?(?-?)(?)?(?)-0?2_(”)_('

12、)?'?'-(?)一(？?)？夕?),/其中:?)=-?(?)=-(?(?-?)=?夕?)故而:?+1)=?+?初1?)11.共輾梯度法:(1)令7?0)=?計算？?=-(?*-?),取？伊)=?。)對？?=0,1,?,計算(3)?+)=?+?)(?),?)?3?=(?),?夕?+1)=?夕?)-?+)=?+1)+?(?+1)?夕?+1)?=(?),?)若？?)=0或(?夕?,？?)=0,計算停止。第七章非線性方程與方程組的數(shù)值解法1二分法：1)計算？?(?京有根區(qū)間?的端值？?(?)?(?)2計算區(qū)間中點值?+?3判斷？?:個-)=?+?),、?+?0或者？?6)？(?)&l

13、t;02 .不動點迭代法:?=0?=?7?=?+?+1=?3 .不動點迭代法收斂:lim?=?-84 .?(?平?上存在不動點2?(壓縮映射)|?-?(?尸？?？?<15 .不動點迭代法收斂性：滿足上條，則不動點迭代法收斂，誤差為：?I?-?lw?-?|6 .局部收斂：存在？?的某個鄰域內(nèi)的任意的？，迭代法產(chǎn)生的序列收斂到？。7 .不動點迭代法局部收斂：其中7?1為？?(?的不動點，？(?庇？?鄰域連續(xù)。I?(?)|<18 .P階收斂：當k-8時，迭代誤差？?=?-?,滿足繆一？W09 .牛頓(？座根)法：?+1=?-?(?),?+1=?-10 .簡化的牛頓法:?+1=?-?(銅?

14、(?)11 .牛頓下山法:?+1=?-入行"o,1'?從入=1開始試算，之后逐次減半，直到滿足下降條件：|?(?+1)|<|?(?|為止。12 .弦截法:?私+1=?-?-1)?)-5?(?-?-1).第八章矩陣特征值計算1 .格什戈林圓盤：以？?前圓心，以？效半徑的所有圓盤?=匯|?小?0?=?|?師?<解?？C?=1?大？2 .?勺每個特征值必屬于某個圓盤之中：|入-?只?3 .?有？葉圓盤組成一個連通的并集？藥和余下？?個圓盤是分離的，則？的恰包含？?個特征值。4 .哥法:設?？勺特征值滿足條件：|?|>|?|刁？?|>?|?|任取非零向量?3,

15、構(gòu)造向量序列，？=?=?,?,?+1=?聲+1?8?假設：?=?+?+?+?初？豐0則:?OO?3?=?1?+?就？+?+?粉?=?+匯?3?司？?？"？?=?1(?+i)?lim?=?-8(?初？15 .收斂速度:?=|?|6 .哥法改進:?)=?w?.?=?加-1,?2?=不，？?=?詢3?lim?=一?”?叫，?=?7 .加速方法（原點平移法）：構(gòu)造矩陣？應用哥法使在計算其主特征值的過程中得到加速。?=?-?2另1,可得：？?=?,?=?孩?，則？?=1,則可推導出:?-?=1承"5?<8 .若？?？=1,稱矩陣？?；？?）=?2?1為初等反射矩陣10 .設？為

16、兩個不等的？難向量，口？2=U?b,令？二?(?2?夕？?=?11 .豪斯霍爾德約化定理:I?2=I?12?b=sgn(?)I?2?=-(T?+(T?=-l?+b?2口？12CC?？1C?=?2?夕?=?2-=?1?西？?=-|?|2=b(+?)1?片2212 .吉文斯變換:?=v?+?,cos?=?rz,sin?=i,(?-cos?sin?sin?cos?12 .矩陣的QR分解：1）設？毒奇異，則存在正交矩陣？使？?？其中？效上三角矩陣。2）設？徘奇異，則存在正交矩陣？芍上三角矩陣？使？?=?當？寸角元素為正分解唯一。13 .豪斯霍爾德約化矩陣為上海森伯格矩陣:?7-2?7-2=?2）計算對稱三對角矩陣的全部特征值。14 .?法：1）計算上海森伯格