概率分布期望方差匯總

1、1.編號1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.解(1)p(x=0)=_L=1；A333八1P(x=1)=3=-；P(x=3)=；a32a36;隨機(jī)變量X的分布列為X0P131312162 2)E(X)=1X1+3X1=1.26D(X)=(1-0)21+(1-1)2-1+(3-1)2-=1.3262某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.

2、現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，用甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：(1) X的分布列；(2) X的均值.解(1)X的所有可能取值為0,10,20,P(X=0)=-1=729;101000P(X=10)=X+Xc2X>101010210P(X=20)=XC12XX_9.=8_;101010100050,甲摸一次，乙摸兩次，令X表示60.243J101000P(X=50)=X1P(X=60)=T=1031000=_9;101021000X010205060P729100024310001810009100011000(2)E(X)=0X729+10X243+20X18+50X9+60X1000100

3、0100010001=3.3（元）.10003 （本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：編R12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x>175,且y>75時,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)巴的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期

4、望）。解：（1）98=7,5父7=35,即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。14（2）易見只有編號為2,5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的2優(yōu)等品2,5故乙廠生產(chǎn)有大約35M2=14（件）優(yōu)等品，5（3）之的取值為0,1,2。C2P(=0)噌C；C23C32=5尸(=2)飛110所以J的分布列為012P361101010.3314故*的均值為EC=0父二十1M3+2M，十=4.1051054湖南理18.（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存

5、貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。（I）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（n）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。4.解（I）P（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”）=P（"當(dāng)天商品銷售量為0件"）+P一一153（“當(dāng)天商品銷售量為1件"）=+=.202010（n）由題意知，X的可能取值為2,3.小51P（X=2）=P（"當(dāng)天商品銷售量為1件"）=一;204P（X=3）=P（"當(dāng)天商品銷售量為0件"）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件"）+P（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）1953=r

6、+=.2020204故X的分布列為X2313P441311X的數(shù)學(xué)期望為EX=2父一+3區(qū)一=一.4445、江西理16.（本小題滿分12分）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項測試，以使確定工資級別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則月工資定為3500元，若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.（1）求X的分布列；（2）求此員工月工資的期望。（本小題滿分12分）解：（1）X的

7、所有可能取值為：0,1,2,3,4P(Xc4c：,(i=0,123,4)X01234P11636161-"7070707070_1WJP(Y=3500)=P(X=4)=元P(Y=2800)=P(X=3)=83553P(Y=2100)=P(X<2)=11653EY=350028002100一=2280.707070（2）令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100,2800,3500所以新錄用員工月工資的期望為2280元.6、遼寧理（19）（本小題滿分12分）某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗.地，在總共2n小塊地

8、中，隨機(jī)選種植品種乙.（I）假設(shè)n=4,在第一大塊地中,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,（II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表:品種甲403397390404388400412406品種乙419403412418408423400413分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)X1,X2,Xn的的樣本方差1S2=(Xi-X)2十(X2-X)2十十(Xn-X)2

9、,其中X為樣本平均數(shù).n6.解：(I)X可能的取值為0,1,2,3,4,且P(X=0)=170P(X=1)=c4c3835P(X=2)P(X=3)P(X=4)C4C418c835c3c4=8C8435,上C一萬即X的分布列為XD123417035】835_8_351TOX的數(shù)學(xué)期望為181881E(X)=0一1234一二2.70353535706分(II)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:1海=(403397390404388400412406)=400,8_1_2_222_22_2_2_S?=(3(-3)(-10)4(-12)0126)=57.25.88分品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣

10、本平均數(shù)和樣本方差分別為：1/CCC",CCCCCCC"、”應(yīng)=-(419403412418408423400413)=412,82122_2_2.2.22.2.8=-(7(-9)06(-4)11(-12)1)=56.10分由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙7、山東理18.(本小題滿分12分)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A,乙對B,丙對C各一盤，已知甲勝A,乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。(I)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(I

11、I)用。表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求亡的分布列和數(shù)學(xué)期望E.7.解：(I)設(shè)甲勝A的事件為D,乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,TTT則D,E,F分別表示甲不勝A、乙不勝B,丙不勝C的事件。因為P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由對立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,紅隊至少兩人獲勝的事件有:DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為7-TP=P(DEF)P(DEF)P(DEF)P(DEF)=0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.5=0.

12、55.(II)由題意知可能的取值為0,1,2,3。_,、.父父T口""一一土公又由(I)知DEF,DEF,DEF是兩兩互斥事件,且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此P(=0)=P(DEF)=0.40.50.5=0.1,P(=1)=P(DEF)P(DEF)P(DEF)=0.40.50.50.40.50.50.60.50.5=0.35P(=3)=P(DEF)=0.60.50.5=0.15.由對立事件的概率公式得P(=2)W-P(=0)-P(=1)-P(-3)=0.4,所以U的分布列為:0123P0.10.350.40.15因此E=00.110.3520.430.15=1.6.20.解

13、(I)Ai表示事件“甲選擇路徑L時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i=1,2.用頻率估計相應(yīng)的概率可得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(Ai)>P(A2),甲應(yīng)選擇LiP(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,*,P(B2)>P(Bi),二乙應(yīng)選擇L2(n)A,B分別表示針對(i)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由(I)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由題意知,A,B獨立，TT.P(X-0)-P(AB)-P

14、(A)P(B)-0.40.1=0.04T-1T-IP(X=1)=P(ABAB)-P(A)P(B)P(A)P(B)=0.40.90.60.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.60.9=0.54二X的分布列為X012P0.040.420.54.EX=00.0410.4220.54=1.5.8、四川理18.(本小題共12分)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標(biāo)準(zhǔn)為2元(不足1小時的部分按1小時計算)。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率.,1111分別為

15、1,1;兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為1,；4224兩人租車時間都不會超過四小時。(I)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；(n)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機(jī)變量之，求之的分布列與數(shù)學(xué)期望EJ,8 .解析：,一一一一，一.111(1)所付費用相同即為0,2,4兀。設(shè)付0兀為P=1=，付2428111111兀為P2'=，付4兀為P3'=2484416一5則所付費用相同的概率為P=p+P3=16(2)設(shè)甲，乙兩個所付的費用之和為自，自可為0,2,4,6,81P(=0)：8P(=2)P(：=4)P(：=6)14141115I-+-T=4221651611-11_2_

16、442416P(n8)C"分布列02468P1553181616161655917E二一一一一二一848229、天津理16.(本小題滿分13分)3個白球、2學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(I)求在1次游戲中，(i)摸出3個白球的概率；(ii)獲獎的概率；(n)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).9 .本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)

17、知識，考查運用概率知識解決簡單的所以X的分布列是X012P9214910050100實際問題的能力.滿分13分.(I)(i)解：設(shè)“在1次游戲中摸出i個白球”為事件A=(i=0,1,2,3),C；P(A)型C5c2C(ii)解：設(shè)“在1次游戲中獲獎”為事件B,則B=4口人，又P(A)=CC5C2C2c2c2c21r=C52C32117且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=_十_=一.2510(II)解：由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.7P(X=0)=(1-)P(X71072P(X=2)=(而)2_9_一100,二)二105049.100921497X的數(shù)學(xué)期望E(X)

18、=0M+1父一+2M=_10050100510重慶理17.(本小題滿分13分)(I)小問5分，(II)小問8分)某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市白任4位申請人中：(I)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；亡的分布列與期望(n)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)10 .(本題13分)解：這是等可能性事件的概率計算問題(I)解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式C4222種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為22c222_834-27解法二：設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗一1

19、記“申請A片區(qū)房源”為事件A,則P(A)=-.3從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為21222p4"(3)827127P(=2)=C；(C；C：C：C；)3414(或P=2)=27C；(24-2)341427)(II)W的所有可能值為1,2,3.又3P。=1)3七C；C：C24_d，q、C2A34P(-=3)=4=_(或P=3)=-)349349綜上知，E有分布列123P114427279從而有E=12(2008全國I理，20)已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性

20、的即沒患病.下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這34=-27279273只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.(1)求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；(2)七表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求匕的期望.解(1)設(shè)勤、占分別表示依方案甲和依方案乙需化驗的次數(shù)，p表示對應(yīng)的概率，貝U方案甲中，的分布列為1234P154u1154542_11XX54354_3/2-XX5435方案乙中號的分布列為123p0C53C35-2C2C2

21、C535若甲化驗次數(shù)不少于乙化驗次數(shù)，則P=P(11=1)Xp(2=2=1)+p(t1=2)xp(2=2=1)+p(2=2=2)+P(a1=3)XP(4=1)+P(=2)+P(0=3)+P(a=4)=0+1X(0+3)+-X(0+3+2)+2=18=0.72.55555525(2)E(七)=1X0+2X3+3X.2=22=2.4.55512.甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為1與p,且乙投2球2次均未命中的概率為.16(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為求它的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命

22、中”為事件B.由題意得(1-P(B)2=(1-p)2=,16解彳導(dǎo)p=3或p=5(舍去)，所以乙投球的命中率為3.444(2)由題設(shè)和(1)知P(A)=1,P(A)=1,P(B)=3,224P(P)=L4七可能的取值為0,1,2,3,故P(U=0)=P(A)P(B*B)=1X,口=,2432P(t=1)=p(A)P(B*B)+c2P(B)P(B)P(A)=1X4：+2x3X1X1=7,2444232P(t=3)=P(A)P(BB)=1Xf3=,2432P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P('=3)=32巴的分布列為0123P1715932323232亡的數(shù)學(xué)期望E(亡)=0X工+

23、1X二+2X15+3X_9_=2.3232323213.設(shè)在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進(jìn)行檢驗，每次抽取一個，并且取出不再放回，若以和“分別表示取出次品和正品的個數(shù).(1)求E的分布列、期望值及方差；(2)求”的分布列、期望值及方差.解(1)的可能值為0,1,2.若巴=0,表示沒有取出次品，其概率為：c2c306p(U=0)=2J0=；C?211同理，有P(t=1)=以。20=_9；P(t=2)MCICk='.C；222C；222:匕的分布列為:012691PT1"22"2211;E(占)=0X_6_+1X_9_+2X122D(與=(0-1)2X211

24、+22222122=巨+2+3=e.22888844(2)刈的可能值為1,2,3,顯然+=3.P(=1)=P(=2)=1,P(=2)=P('=1)=92222P(=3)=P(=0)=6_11:“的分布列為:n123p196_222211E(")=E(3-)=3-E(-)=3-=”=-t+3,D(n)=(-1)2d/.、15(二)=4414.某地區(qū)的一個季節(jié)下雨天的概率是0.3,氣象臺預(yù)報天氣的準(zhǔn)確率為0.8.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)天怕雨，若下雨而不做處理，每天會損失處理，可使產(chǎn)品不受損失，費用是每天500元.(1)若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失3000元，若對當(dāng)天產(chǎn)品作防

25、雨之的分布列，并求其平均值;(2)若該廠完全按氣象預(yù)報作防雨處理，以“表示每天的損失，寫出”的分布列.計算”的平均值，并說明按氣象預(yù)報作防雨處理是否是正確的選擇？解(1)設(shè)'為損失數(shù)，分布列為：丁03000P0.70.3.E(之)=3000X0.3=900(元).(2)設(shè)“為損失數(shù)，則P(11=0)=0.7X0.8=0.56.P(=500)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.P(州=3000)=0.3X0.2=0.06.22分布列為:n05003000p0.560.380.06E(。)=0+500X0.38+3000X0.06=370平均每天損失為370元.:370<900,：按天氣預(yù)報作防雨處理是正確的選擇.15.(2008湖北理，17)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，。表示所取球的標(biāo)號.(1)求E的分布列、期望和方差；(2)若“nat+b,E(n)=1,D(n)=11,試求a,b的值.解(1)3的分布列為01234P111312201020