初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理大全教程文件

1、歐拉（Euler）線:同一三角形的 垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，這條直線稱為三角 形的歐拉線;且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。歐拉塞、九點(diǎn)圓：任意三角形三邊的 中點(diǎn)，二高的垂足及三頂點(diǎn) 與 點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為三角形的九點(diǎn)圓;其圓心為三角形外心與 垂心 所連 線段的中點(diǎn)， 的T。1小心外心重心重心垂心 2.00韁米4。屋茨垂心間線段的中點(diǎn)，共九個(gè)其半徑等于三角形外接圓半徑?jīng)睴A = 1.07厘米OB = Z07厘米/0（ = 243 厘米JBD = 4.87 厘米BPC =兇 CPA = ?20= APB = 12TBE-CE+AE”5,厘出AB = 4 00題米BC - 6.09圉米

2、CA = 5.00 (AB + BC + CA) = 7.54 摩米p = 7 54厘點(diǎn)二 9鳥壁#AD = 3.27 屋/p(p-AB)(p-BC)(p-CA) =匿繁費(fèi)爾馬點(diǎn):已知P為銳角4ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)/APB= Z BPC= / CP七120 時(shí),PA+ PB+ PC的值最小，這個(gè)點(diǎn)P稱為 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。BE = 3 &5厘乘CE = 5,00座恭 AE = 3.08 厘技 BF = 493厘米 8 = 363摩米 AF = 233鼠族海倫（Heron）公式：1在AABC中，邊SC、CA. AB的長(zhǎng)分別為3b, c,若p = , (a I b I c) ,則為BC的面積S

3、Jp (p-a) (p b) (p-c)塞瓦（Cevaj）定理:在 ABC中，過 ABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直線，分別交邊 BG CA AB 與點(diǎn) D、E、F,則（BD/DC） （CE/EA） （AF/FB）= 1;其逆亦真密格爾（Miquel）點(diǎn)：若AE、AF、ED FB四條直線相交于 A、B、C、D、E、F六點(diǎn), 構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是 ABF、AAECX BCE ADCF, 則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)。葛爾岡U ( Gergonne)點(diǎn): ABC的內(nèi)切圓分別切邊 AB、BG CA于點(diǎn)D、E、F, 則AE、BF CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾麗二一西摩松（Simson）

4、 線：已知P為 ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD± BC, PUACPiaAB, D、E、F為垂足，則D、E F三點(diǎn)共線，這條直線叫做 西摩松線。把一條線段（AB講成兩條線段，使其中較大的線段（AC誕原線段（AB）與較小線段（BCH勺比例中項(xiàng)，這樣的分割稱為 黃金分割。AD = 14.。厘米c/八 CB AB = 14.0 匣米帕普斯（Pappus） 定理：已知點(diǎn)Ai、A2、A3在直線11上，已知點(diǎn)Bi、B2、B3在直線12上，且Ai B2與A2 Bi交于點(diǎn)X, A1B3與A3 Bi交于點(diǎn)Y, A B3于A3B2交于點(diǎn)Z,則X、Y、Z三點(diǎn)共線。笛沙格（DesargueS）定理：已知在

5、ABC與ABC'中，AA'、BB'、CC三線相交于點(diǎn) O,BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn) X、Y、Z,則X、Y、Z三點(diǎn)共線；其逆亦真摩萊（Morley）三角形：在已知4ABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BG CA AB相鄰的每?jī)删€相交于點(diǎn)D、E、F,則4DEF是正三角形，這個(gè)正三角形稱為 摩萊三角形。DE = 324厘米EF = 1.24 建米FD = L24厘米帕斯卡（Paskal） 定理：已知圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF勺邊AB、DE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,邊BC EF延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)H,邊CD FA延長(zhǎng)

6、線交于點(diǎn)K,則H、G、K三點(diǎn)共線。托勒密（Ptolemy） 定理：在圓內(nèi)接四邊形中，AB - CD+ AD - BC= AC- BD（任意四邊形都可！哇哈哈）斯圖爾特（Stewart） 定理：AB CD + DA-BC = 37.33 厘米AC-DB = 37.33 圉於設(shè)P為 ABC邊BC上一點(diǎn)，且BP: PC= n： m,則m (AB2)+n (AC2)=m (BP2)+n (PC2)+ (m + n) (AP2)梅內(nèi)勞斯定理:在 ABC中，若在BC CA ab或其延長(zhǎng)線上被同一條直線截于點(diǎn) X 丫、z 則(BX/XC). (CY/YA) (AZ/ZB)=1阿波羅尼斯（Apollons）圓

7、動(dòng)點(diǎn)p與兩定點(diǎn)A b的距離之比等于定比 m：n，則點(diǎn)p的軌跡，是以BX /CY ) ZAZ XC'(=BX =74 建米XC = 4.3/里水CY= 1,16 里米YA =5 72維養(yǎng)AZ = 463厘米ZB = 2 6工壁巖PC AB2 + BP AC2 = 310 87 厚於PC BP2 - BP PC2 + (BP + PQ AP2 = 310 87 厚卻BP = 3 09幅考PC = 4.35屋木AB = 4 57甌狗AP = 4.75度9定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓被稱為 皿波 I I I I I羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”0布拉美古塔(Brahm

8、agupta)定理：在圓內(nèi)接四邊形 abcd中，AC，BD，自對(duì)角線的交點(diǎn) p向一邊作垂線,其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊。廣勾股定理：在任一三角形中,(1)銳角對(duì)邊的平方,等于兩夾邊之平方和,減去某夾邊和另一夾邊在 此邊上的影射乘積的兩倍.(2)鈍角對(duì)邊的平方，等于兩夾邊的平方和，加上某夾邊與另一夾邊在 此邊延長(zhǎng)上的影射乘積的兩倍.加法原理：做一件事情，完成它有 N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有 M2種不同的方法，在第 N類辦法中有 M(N)種不同的 方法，那么完成這件事情共有M1+M2+ +M(N)種不同的方法。比如說：從 北京到上海 有3種方法可以直接到達(dá)上海，1:火車k

9、i2：飛機(jī)k23：輪船k3,那么從北京-上海的方法 n = k i+k2+k3乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一 步有ml種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，做第n步有mn不同的方法.那么完成這件事共有N=m1 m2- m3mn種不同的方法.正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個(gè)三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑)這一定理對(duì)于任意三角形 ABC都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R( R為三角形外接圓半徑)余弦定理：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們

10、夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a, b, c三角為A,B,C ,則滿足性質(zhì)：a2=b2+c2-2bc , Cos Ab2=a2+c2-2ac , Cos Bc2=a2+b2-2ab , Cos CCos C= (a 2+b2-c 2)/2abCos B= (a 2+c2-b 2)/2acCos A= (c A2+b'2-a ")/2bc解析幾何中的基本公式1、兩點(diǎn)間距離：若 A(xi,yi),B(X2,y2),則 AB 7(x2 Xi)2 (y2 yi)22、平行線間距離：若li： Ax By Ci0,I2 : Ax By C23、4、則：dCiC2A注意點(diǎn)：x,2 B2y對(duì)應(yīng)

11、項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。點(diǎn)到直線的距離：P（x ,y ）, l :貝U P至I l的距離為:直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式:消 y ： ax2 bx c 0 ,AxBy C 0Ax By C,A2 B2y kx bF(x,y) 0務(wù)必注意 0.若l與曲線交于A（x/yj B（x2，y2）則：AB J(i k2)(x2 xi)25、若 A(xi,yi), B(x2,y2), P (x,y）o P在直線AB上，且P分有向線段AB所成的比為xiiyiix2y2，特別地：=i時(shí)，P為AB中點(diǎn)且變形后:土或x2 xyyi、2yxiyix22y226、若直線li的斜率為ki,直線l2的斜率為k2,則li到l2的角為，

12、(0,適用范圍：ki, k2都存在且kik2 i ,tank2kii k1k2若li與l2的夾角為，則tankik2i k1k2注意：（i） li到l2的角，指從li按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到l2所成的角,范圍（0,）11到12的夾角：指11、12相交所成的銳角或直角11 12時(shí)，夾角、到角=2(3)當(dāng)11與12中有一條不存在斜率時(shí)，畫圖，求到角或夾角。7、(D傾斜角(0,)；(2)a,b夾角，0,；(3)直線1與平面的夾角0，2 ；(4)11與12的夾角為0,其中11/12時(shí)夾角 =0；2(5)而角,(Q(6)11到12的角,(0,2;UL.8、直線的傾斜角與斜率k的關(guān)系a)每一條直線都有傾斜角，但

13、不一定有斜率。b)若直線存在斜率k,而傾斜角為，則k=tan9、直線11與直線12的的平行與垂直(1)若11, 12均存在斜率且不重合：11/1 2k1=k2 1i 12k1k2=-1(2)若 1i： AiX By Ci 0,12 : A2X B2y C2 0若Ai、A2、Bi、B2都不為零 11/123 且CL；A2B2 C2 1112A1A2+BiB2=0；11與12相交ABiA2B2ll與l2重合A,A2BiB2注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母二0與0的情況10、直線方程的五種形式名稱斜截式：點(diǎn)斜式：y y k(x x)方程y=kx+by y k(x x)江忠點(diǎn)應(yīng)分斜率不存在

14、斜率存在(1)斜率不存在：x x(2 )斜率存在時(shí)為兩點(diǎn)式:yyix x1x2 x1截距式：x y 1ab以又式:AxBy C0yi其中l(wèi)交x軸于(a,0),交y軸于(0,b)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上，截距相等時(shí)應(yīng)分：(1)截距=0 設(shè)y=kx(2 )截距二a 0 設(shè)?x y 1 a a即 x+y=a(其中A、B不同時(shí)為零)11、直線 Ax By C 0與圓(x a)2 (y b)2r2的位置關(guān)系有三種Aa Bb Ci， d rA2 B2相離d r 相切 0相交13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)（一）橢圓定義I:若Fi, F2是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，且PFi PF2 2a F1F2 （a為常數(shù)）則P點(diǎn)的

15、軌跡是橢圓。定義H:若Fi為定點(diǎn)，l為定直線，動(dòng)點(diǎn)P到Fi的距離與到定直線l的距離 之比為常數(shù)e （0<e<1）,則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。2 a準(zhǔn)線方程：x22標(biāo)準(zhǔn)方程：_ yL i a b(a b 0)定義域：x| a x a值域：x b y b長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b2PFi| e(x/，a2PF2e(T x)，PF1 2a PF2焦距：2ca c PF1 a c等(注意涉及焦半徑用點(diǎn)P坐標(biāo)表小，第一定 義。)注意：(1)圖中線段的幾何特征：A1F1A2F2a c, A1F2A2F1a cBi Fi|BiF2B2F2B2F1Ia ,A2B2A1B2 v'a2 b2 等等。

16、頂點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離分別與a, b,c有關(guān)。(2)PF1F2中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式 將有關(guān)線段PFi、PF2、2c,有關(guān)角 F1PF2結(jié)合起來，建立 PFi + PF2I、PFi ?|PF2等關(guān)系(3)橢圓上的點(diǎn)有時(shí)常用到三角換元:x acos y bsin(4)注意題目中橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，請(qǐng)補(bǔ)充當(dāng)焦點(diǎn)在y軸 上時(shí)，其相應(yīng)的性質(zhì)。二、雙曲線(一)定義：I 若 Fi, F2 是兩定點(diǎn)，|PFi| PF2I 2a IF1F2 (a 為常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。II若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比是常數(shù)e (e>1),則 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。(二

17、)圖形:方程:1 (a0,b0)2 y -2 ab21 (a0,b 0)定義域：xx a或x a； 值域?yàn)镽;實(shí)軸長(zhǎng)=2a,虛軸長(zhǎng)=2b焦距：2c2準(zhǔn)線方程：x cPFie(x),PF2 e(x)2a；注意：(1)圖中線段的幾何特征： AF1 BF2 c a, AF2BF1 a c2頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：a a-或a c2 a 一；c焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：2ac 或cc2；兩準(zhǔn)線間的距離 c2a22(2)若雙曲線方程為三 a2 y b2漸近線方程:2 x-2 aby -xa若漸近線方程為y2 y b22222若雙曲線與。、1有公共漸近線，可設(shè)為。4 a2 b2a2 b2(0,焦點(diǎn)在x軸上， 0,焦點(diǎn)在y軸上)(3)特別地當(dāng)a b時(shí)離心率e 氏兩漸近線互相垂直，分別為y= x,此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為 x2 y2;(4)注意 PF1F2中結(jié)合定義|PFi| |PFz| 2a與余弦定理cos F1PF2,將有關(guān)線段PF1、 PF2、 F1F2和角結(jié)合起來。、拋物線(一)定義：到定點(diǎn)F與定直