初中因式分解基本方法

1、初中因式分解的基本方法因式分解(factorization )因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中， 是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與 技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的 思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公 式法、分組分解法和十字相乘法.而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法，待定系數(shù)法，雙十 字相乘法，輪換對(duì)稱法等.提公因式法公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的.提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到

2、括號(hào)外面， 將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.am + bm + cm = m (a+b+c)具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母 取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出 上”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.運(yùn)用公式法 平方差公式：.a2 b2= (a + b)(a b) 完全平方公式：a2芝ab + b2=(a 七)2X能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式) 的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.立方和公式：a3+b3= (

3、a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3- b3= (a-b)( a2+ab+ b2). 完全立方公式：a3 a2b +3a b2ib3=(a=b)3 an-bn=(a-b)a (n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1)am + bm =(a+b)a (m-1)-a(m-2) b+-b(m-2)a+b(m-1) (m 為奇數(shù))分組分解法分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后，再進(jìn)行分解因式的方法.分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運(yùn)用公式.拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))，使原式 適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組

4、分解法進(jìn)行分解；要注意，必須在與原多項(xiàng)式相 等的原則進(jìn)行變形.例：分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)十字相乘法x2+ (p q) x+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是 1;常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常 數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解： x2+ (p

5、 q) x + pq = (x+p) (x+q)這個(gè)很實(shí)用，但用起來不容易.在無法用以上的方法進(jìn)行分解時(shí)，可以用下十字相乘法.例：x2+5x+6首先觀察，有二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，可以采用十字相乘法.一次項(xiàng)系數(shù)為1.所以可以寫成1*1常數(shù)項(xiàng)為6.可以寫成1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3 (小數(shù)不提倡)然后這樣排列1 -22 -3(后面一列的位置可以調(diào)換，只要這兩個(gè)數(shù)的乘積為常數(shù)項(xiàng)即可)然后對(duì)角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘積相加.2+3=5，與一次項(xiàng)系數(shù)相同(有可能不相等，此 時(shí)應(yīng)另做嘗試),所以可一寫為(x+2)(x+3)(此時(shí)橫著來就行了)我再寫幾個(gè)式子，樓主再自己琢磨下

6、吧.x2-x-2=(x-2)(x+1)2 x2+5x-12=(2x-3)(x+4)mx2 +px+q型的式子的因式分解對(duì)于mx2 +px+q形式的多項(xiàng)式，如果 axb=m, c >d=q且ad+bc=p ,則多項(xiàng)式可因式分 解為(ax+ c)(bx+ d)例：分解因式7x2 -19x-6分析：1- - 37-21X2+ (3X7) = -19解：7 x2 -19x-6=(x-3) (7x+2)雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。用來分解形如 ax2 + bxy + c y2 + dx + ey + f的二次六項(xiàng)式在草稿紙上，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分

7、解 成jk乘積作為第三列，如果 mq+ np= b, pk+qj=e, mk+ nj =d,即第1,2列和 第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式=(mx+ py+j) (nx + qy+k)要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為0, 0乘任何數(shù)得0,例：ab+ b2 + a b 2分解因式解：原式=0X1X a2+ ab+b2 + a-b-2=(0X a + b+1) ( a + b-2)=(b+ 1) ( a + b-2)(7)應(yīng)用因式定理：如果 f (a) =0,貝U f (x)必含有因式(x-a)。如 f (x) = x2+5x+6 , f (-2) =0,則可 確定(x+2)是x2+5x+6的一

8、個(gè)因式。經(jīng)典例題：3 .分解因式(1+y)22 x2 (1 +y2) + x4(1 -y)2解：原式=(1+y)2+2(1 + y) x2 (1 -y)+ x4 (1 y)2 2(1+y) x2 (1 -y)-2 x2 (1+y2)=(1+y)+ x 2 (1 y)2 2(1+y) x2 (1 y) 2 x2 (1+ y2)=(i+y)+ x2 (1 -y)2-(2x)2=(1+y)+ x2 (1 y)+2x (1+y)+ x 2 (1 y) 2x=(x2 x2y+2x+y+1) ( x 2- x2y 2x+y+1)=(x+1)2 - y(x2 -1) (x-1)2 - y(x2 1)=(x+

9、1) (x+1 xy+y) (x 1) (x 1 xy y)4 .證明：對(duì)于任何數(shù)x, y,下式的值都不會(huì)為33x5+3x4y 5x3y2 15x2y3 + 4xy4+ 12y5解：原式=(x5+3x4y)-( 5x3 y2+15x2y3)+(4xy 4+12y5)=x4 (x+3y) 5 x2 y2 (x+3y)+4 y 4 (x+3y)=(x+3y)( x 4 5 x2 y2+4 y4)=(x+3y)( x2 4 y2)( x2 y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當(dāng)y=0時(shí)，原式=x5不等于33;當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互

10、不相同,而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立(8)、換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎(chǔ)上例：(x y)2-2(x+y)+1 分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用 a代替x+y那么原式二a2 2a 1=(a 1)2回代原式=(x y 1)2(9)、求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1 , x2 , x3 ,Xn，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x) = (x- x 1 )(x- x2 )(x- x3 )(x xn)例 8、分解因式 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6解：令 f(x)= 2x 4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=0通過

11、綜合除法可知，f(x)=0根為1, -3, -2, 1 則 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) (10)、圖象法令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與 X軸的交點(diǎn)xi , x2 , x3 ,xn ,則多項(xiàng)式可因式分解為 f(x)= (x- x 1 )(x- x 2 )(x- x 3 )(x- xn)例：因式分解x3 +2 x2 -5x-6解：令 y= x3 +2 x2 -5x-6作出其圖象，見右圖，與x軸交點(diǎn)為-3, -1, 2貝U x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)(11)、主元法先選定一個(gè)字

12、母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。(備注：這種方法要難一些，多練即可即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù)，另一個(gè)作為常數(shù))例：分解因式 a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) = a 2 (b-c)-a(b2 - c2 )+( b2 c- c2 b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)(12)、利用特殊值法將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后 的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，

13、將2或10還原成x,即得因式分解式。例 11、分解因式 x3 +9x2 +23x+15解：令 x=2 ,則 x3 +9x2 +23x+15 =8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3X5X7注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1, x+3, x+5,在x=2時(shí)的值 貝U x3 +9x2 +23x+15 = (x+1) (x+3) (x+5)(13)、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多 項(xiàng)式因式分解。將式子看成方程，將方程的解代入這時(shí)就要用到（1）中提到的知識(shí)點(diǎn)了當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分

14、解后必有一個(gè)（x-a）因式例：x2 + x- 2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做，x2+x-2=0一眼看出，該方程有一根為x=1那么必有一因式為（x-1）結(jié)合多項(xiàng)式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2 （因?yàn)槌?1要為-2）一次項(xiàng)系數(shù)必為1 （因?yàn)榕c1相乘要為1）所以另一因式為（x+2）原式分解為：x2 + x- 2 =（x-1）（x+2）（14）、列豎式法原理和小學(xué)的除法差不多要建立在待定系數(shù)法的方程法上不足的項(xiàng)要用0補(bǔ)除的時(shí)候，一定要讓第一項(xiàng)抵消例：3x3+5x2-2分解因式提示：x=-1可以使該式=0,有因式（x+1）3x2 2x 2x 1 3x3 5x2 0

15、x 2-3 - -23x3 3x22x2 0x2x2 2x2x 22x- 20解 原式=（x+1）（3 x2 +2x-2）（15）、解方程法此方法是對(duì)ax2 bx c分解的萬能方法，但在學(xué)過解方程后才會(huì)使用設(shè) ax2 bx c 0ax2 bx c a(x x1)(x x2)例：x2-x-1分解因式設(shè) x2 x 1 0解得方程得xi52,x21.52(x15、，1.5)(x 22X多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解;分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.考慮到每種方法只有一個(gè)例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)(1) (ab b)2 (a b)2(3) 3a3b2c 6a2b2c2 9ab2c3(5) (3a b)2 4(3a b)(a 3b) 4(a 3b)2(7) (x+2)(x -3) + (x+2)(x +4)(9) 4x2+4xy+ y24x 2y3(11) 2x2 7xy 22y2 5x 35y 3(13) 4n2 4n 15(14) x2+2x-8(17) 2 x2 +5x-3222(2) (a x )