以動態(tài)數(shù)學(xué)教具為平臺 傳授數(shù)學(xué)思想

1、以動態(tài)數(shù)學(xué)教具為平臺 傳授數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力兼簡介初中動態(tài)數(shù)學(xué)教具孫 志 強張 哲閆 存 哲滲透數(shù)學(xué)思想 發(fā)展抽象思維能力初中動態(tài)數(shù)學(xué)教具簡介當(dāng)小學(xué)生進(jìn)入初中后，課程突然增多。僅就數(shù)學(xué)而言就增加了學(xué)生很陌生的平面幾何課（現(xiàn)與代數(shù)合二而一為數(shù)學(xué)課）。過去平面幾何教學(xué)歷來入門難。這是因為由算術(shù)擴展到綜合的數(shù)學(xué)課后，頭緒多，內(nèi)容雜，尤其是幾何課使研究空間形式的，內(nèi)涵陰蔽，概念抽象，公式、定理較多。初次學(xué)習(xí)推理證明過程，學(xué)生一時難以掌握，所有這些問題都為初中數(shù)學(xué)教學(xué)增設(shè)了許多難點。初中數(shù)學(xué)動態(tài)教具正是為了克服上述教學(xué)難點，為了激發(fā)學(xué)生的濃厚興趣并能持久保持，從運動變化的思想觀點和方法滲透數(shù)學(xué)思想

2、，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，推動教學(xué)改革，提高教學(xué)質(zhì)量而研制的。數(shù)學(xué)思想是潛藏在數(shù)學(xué)教學(xué)中的靈魂，是貫穿在數(shù)學(xué)知識、教學(xué)內(nèi)容和方法中的邏輯生命線，是挖掘數(shù)學(xué)教材中潛藏的唯物辯證因素的強大思想武器，使唯物辯證法及邏輯學(xué)在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)和應(yīng)用。初中生是人生大腦和大腦機能迅速發(fā)展的第二個優(yōu)勢期，也是對一切事物感興趣的敏感期。而且在生理、體力、智力諸方面都處在迅速發(fā)展的優(yōu)勢期。所有這些都為學(xué)生的認(rèn)識由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識、由形象思維向抽象思維及創(chuàng)造思維的迅速發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)，也為初中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想、觀點、方法的教育奠定了可靠基礎(chǔ)。現(xiàn)分三大部分，分述如下：一、初中數(shù)學(xué)動態(tài)教具及基本性能一覽表由于大多

3、數(shù)教具是全方位運動變化的，有的變化和功能也難以預(yù)料，只能簡述它具有的基本功能名 稱教 具 基 本 功 能1.動態(tài)線段、射線、直線教具主要是應(yīng)用點的運動觀點，直觀演示舉例，描述并揭示概念的本質(zhì)屬性及三者間辯證關(guān)系。2.動態(tài)角教具主要是用運動態(tài)觀點直觀演示角的概念、分類及各種位置及數(shù)量間的關(guān)系。3.動態(tài)平行線教具主要從運動變化的思想演示三縣八角、平行線的判定及性質(zhì)、對應(yīng)的兩邊平行或垂直時的兩角間關(guān)系。4.動態(tài)三角形教具從角和邊的運動變化直觀演示三角形中的主要線段、四心、三角形的分類等。5.動態(tài)三角形的邊、角關(guān)系教具主要從動態(tài)觀點演示三角形中角與角、邊與邊及邊角關(guān)系。6.動態(tài)四邊形教具主要從運動變化

4、的思想多層次的演示四邊形的分類、判定、性質(zhì)等邏輯關(guān)系。7.動態(tài)相似三角形教具主要用運動態(tài)思想演示三角形相似的預(yù)備正逆定理，相似三角形的判定、性質(zhì)及直角三角形中重要的比例線段。8.動態(tài)三角形內(nèi)外角平分線教具主要用運動態(tài)思想演示三角形內(nèi)外角平分線重要性質(zhì)。9.勾股定理教具用于直觀的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理。10.知兩邊及一邊所對的角，求三角形解的教具主要是用運動態(tài)觀點突破教學(xué)中的難點，直觀形象發(fā)現(xiàn)解的各種情況。11.等腰三角形性質(zhì)定理教具從圖形的運動變化觀點演示底邊上的四線合一、四點公線和底邊上任意一點到兩腰的距離和高定值等。12.直角三角形的重要性質(zhì)教具主要演示角間、邊間、邊角間各種特殊數(shù)量關(guān)系及斜邊

5、中點的性質(zhì)和其中的重要比例線段等。13.圓的基本性質(zhì)教具主要從運動變化的觀點演示圓的對稱、圓心角、弧、弦、弦心距之間的各種關(guān)系。14.與圓有關(guān)角的教具主要直觀形象的演示圓心角、圓周角、園內(nèi)外角弦切角、園內(nèi)接四邊形等的一些性質(zhì)。15.弦的垂徑定理教具主要用于直觀形象的演示垂徑定理及其推論。16.圓冪定理教具主要以運動變化的觀點，形象直觀的演示圓冪定理的形成，揭示其內(nèi)在聯(lián)系等。17.在定線段兩端點張有定角的教具主要從運動變化的觀點，形象直觀的演示張有定角的弧形成的過程化描象為形象，化隱晦為直觀，化難為易。18.角的平分線教具以動態(tài)觀點演示角平分線軌跡發(fā)生的具體過程。19、線段的垂直平分線教具以運動

6、變化的觀點演示垂直平分線發(fā)生的生動直觀過程。20、圓內(nèi)接正邊形教具主要用直觀形象的教具演示各種正多邊形的構(gòu)成性質(zhì)及有關(guān)計算問題。21、圓與園的位置關(guān)系教具從運動的觀點，用于直觀演示兩園相離、相交、內(nèi)切、內(nèi)含及其內(nèi)外切線等重要性質(zhì)的關(guān)系。22、正方體染色問題教具是將一正方形染上紅色后，切成若干小正方塊，問3面、2面、1面、零面染色的小正方塊各有多少塊?主要用于培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生廣闊的空間形象能力和智力水平。23、一次函數(shù)圖像教具主要用動態(tài)觀點揭示一次函數(shù)圖像的性質(zhì)及其變化等。24、二次函數(shù)圖像教具以運動變化的觀點，主要形象直觀的揭示二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、各種變化以及用函數(shù)的觀點，統(tǒng)一一元二次方程、一元二

7、次不等式等。25、陰影面積教具從運動變化的觀點，通過用單個花瓣的面積板，來拼擺各式各樣復(fù)雜圖案的形狀，而計算其面積，對培養(yǎng)學(xué)生空間抽象思維德變通性、靈活性有獨特作用。26、七巧板可拼擺天地間萬物。27、益智圖板拼擺出萬事萬物，智力性更強。二、動態(tài)教具結(jié)構(gòu)的獨特性和功能的多樣性當(dāng)人們提到數(shù)學(xué)教具時，傳統(tǒng)的認(rèn)為它們多是一種靜態(tài)的或者是死的模型式的教學(xué)輔助工具。但這里介紹的都是能夠載知識、藏方法、寓思想、啟智慧、育思維的別開生面的一具多變多能多用的動態(tài)教具。也有人稱它為“魔術(shù)”智力教具。其基本特點如下：（1）形體結(jié)構(gòu)特點：1、全部教具新穎形象直觀，能使抽象的問題具體化、實際化，這是引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的

8、前提。2、絕大部分教具都是框架式，透明性強。能使隱含的內(nèi)在問題明顯化。3、全部教具都能多方位多層次的運動變化，是多能多用的。運動變化最易引起學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，也是興趣保持持久的源泉。4、全部教具構(gòu)思奇妙，設(shè)計獨特，制作新穎，這是激發(fā)學(xué)生奇思妙想開展小制作、小發(fā)明及科普實踐活動的活教材。5、由于全部教具是運動變化的，能夠在教學(xué)的多層次上體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、辯證唯物主義思想和邏輯思想方法。（2）教具的制作原理1、全部幼兒小學(xué)及中學(xué)的數(shù)學(xué)教具都是根據(jù)幼兒及青少年生理心理及認(rèn)知特點研制的，在外形上充分體現(xiàn)著濃郁地趣味性、新穎性，又在內(nèi)部結(jié)構(gòu)上隱含著豐富的知識性和智力性。如七巧板教具不僅設(shè)計制作靈巧，而且配有

9、磁板和圖例且能“魔術(shù)”般地拼擺出人間萬事萬物。更重要的是滲透著道生一，一生二，二生三，三生萬物的道生宇宙的演化原理，也潛藏著有關(guān)簡單地幾何知識和智力功能。同樣益智板滲透著太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦生萬物的太極造化宇宙演變原理，其中潛藏的智力性更強。2、全部玩具、學(xué)具、教具都是根據(jù)點的運動成線、線的運動成面、面的運動成體，并融合了數(shù)學(xué)及其它學(xué)科知識而形成的思維產(chǎn)品。并且多是全方位多角度可自由運動變化的。如一件動態(tài)三角形可瞬間構(gòu)造演示出任何三角形；一件動態(tài)四邊形可瞬間隨機構(gòu)造出演示任何四邊形；一、二臺與圓有關(guān)的動態(tài)教具可頓時把圓的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系、公切線性質(zhì)、與圓有關(guān)的角、與圓

10、有關(guān)的比例線段、圓內(nèi)切外切正多邊形、面積與周長瞬間構(gòu)造演示出來等等，限于篇幅不再一一贅述。三、教具操作使用舉例例1：知兩邊及一邊所對的角的動態(tài)教具的操作使用。（1）形體結(jié)構(gòu)和使用見示意圖（一）是一動態(tài)示意圖，由線段AD、AC、CD聯(lián)合組成。AC=b為定長，可繞AD自由旋轉(zhuǎn)成銳、直、鈍角，CB=a是可以伸縮的動態(tài)桿管且可繞AC自由旋轉(zhuǎn)，B尖處可按放粉筆（或鉛筆），可在AD線上畫出各種解的個數(shù)情況。見示意圖（一） C b B A D 圖（一） A為銳角圖形條件解A為直角或鈍角圖形條件解 圖（一）當(dāng)角旋轉(zhuǎn)為0<A<90°時，拉動CB=a使a<bsinA. a=bsinA.

11、bsinA<a<b.a=b.a>b時，B處筆尖會在AD上畫出解的個數(shù)，分別為無解、一解、兩解一解、一解的情況。當(dāng)0<A900時，a<b.a=b均無解。只有a>b為一解。（2）作用：這件教具演示給我們的啟示是什么呢？對此類題學(xué)生以往對任何情況下有解或無解、一解或兩解很模糊，常常搞不清，經(jīng)教具直觀演示后一目了然，能達(dá)到真正理解。至于證明心中定會胸有成竹。從矛盾的運動變化來看，A的變化是矛盾的主要方面， 在A各自確定后，隨之也確定，而各自解的個數(shù)不完全相同。因此要抓住主要矛盾，而非主要矛盾會迎刃而解的。例2：動態(tài)平行四邊形教具的操作使用。（1）教具的形體結(jié)構(gòu)和使用

12、見圖（二）1。它是將四邊都可伸縮，各邊又能繞頂點旋轉(zhuǎn)的四條桿管首尾順次動態(tài)鉚接而成。只需拉動調(diào)節(jié)某一邊或兩邊長度（角度可隨之變化），拉動邊或調(diào)節(jié)角度（邊也隨之變化），可瞬間得到任意四邊形。（2）、教具的基本作用可在多層面上體現(xiàn)著數(shù)學(xué)邏輯思想。體現(xiàn)著概念的內(nèi)涵與外延反變關(guān)系見圖（二）。從圖的箭頭由左向右看是圖形概念的內(nèi)涵不斷擴大而外延不斷減小的過程。即可用前一概念加上屬差定義一個概念。由圖左向右看是一般的任意四邊形逐漸運動轉(zhuǎn)化為特殊四邊形，最后變成一個很具體的特殊四邊形即正方形。由右向左看是特殊的正方形向一般的任意四邊形轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了前后概念外延的包含與被包含關(guān)系。而且正方形既包含在矩形又包含在菱

13、形外延中，是它兩的交集見圖（二）2隨著圖形概念的不斷特殊化，其屬性如對角線的內(nèi)涵也不斷在擴展，即由對角線平分相等垂直平分又相等且垂直。從左向右運動變化看，隨著圖形的不斷由特殊性其屬性逐漸擴大，如圖的對稱心也進(jìn)一步擴展見圖（二）3。如最后正方形的對稱關(guān)系包含了前邊一切四邊形的（主要指平行四邊形）中心對稱和軸對稱關(guān)系。在面積之間也存在著對立統(tǒng)一的辨證數(shù)學(xué)思想。首先，把各四邊形中的一條對角線連接起來，把原四邊形面積分成了兩個三角形面積和，從而把四邊形面積公式統(tǒng)一建立在以三角形這個基本面積公式的高奠基上來見圖（二）。其中菱形兩條對角線互相垂直，故面積可以以一對角線為底，另一條的1/2對角線為高求兩三角

14、形面積和，即S菱形=1/2L1L2。其次又可以將各種平行四邊形面積公式囊括在一般梯形面積公式中去，把它們的面積看成是梯形面積的特例。如當(dāng)為平行四變形時，上下底變?yōu)橄嗟龋瑸榫匦螘r上下底不僅轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗟榷肄D(zhuǎn)化為高；當(dāng)為菱形時因為兩條對角線互相垂直，可將兩對角線作為底和高，當(dāng)為正方形時，上下底和高均看成一邊長a的 特殊梯形等。上述各圖中的對角線均是用皮筋勾連在各頂點處的定環(huán)上，對成軸是用粉筆畫的（或用細(xì)鐵絲吸在磁板上），即配合磁性黑板應(yīng)用時，效果更佳。總上所述，數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)教材或教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，同一種數(shù)學(xué)內(nèi)容可以用不同的數(shù)學(xué)思想觀點去理解，不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容也可以用同一種數(shù)學(xué)思想觀點或方法統(tǒng)一起

15、來。因此，由于數(shù)學(xué)思想的貫串和體現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)知識不再是孤立的單點或離散的片斷。使得數(shù)學(xué)方法不再是刻板式的套路或個別的一招一式。從而用數(shù)學(xué)思想可把數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)統(tǒng)一起來，可以把數(shù)學(xué)中的三項任務(wù)傳授知識、培養(yǎng)能力和進(jìn)行思想教育融為一體。例3：構(gòu)造特殊三角形，并揭示它們在數(shù)形間隱含的有關(guān)矛盾的對立統(tǒng)一關(guān)系。（1）教具的結(jié)構(gòu)和使用方法見圖（三）1。AB、BC、CA為三條可以自由伸縮又可以各自繞其頂點的三條桿管將首尾順次動態(tài)鉚接而成。然后稍加拉動，可得到直角的、等腰直角的、等腰的、等邊的各個特殊三角形見圖(三)2。（2）這四個特殊三角形之間存在著下列數(shù)學(xué)思想觀點和方法。當(dāng)直

16、角三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形時，擴展了三條內(nèi)涵屬性，即矛盾的特殊性，但它們又都是直角三角形，這是共性。正因為這個共性把二者連系了起來，都適用于勾股定理，這是矛盾的共性。當(dāng)由等腰直角形轉(zhuǎn)化為一般等腰三角形時第三條屬性消失了，但前兩條屬性相同，這是共性，因而也是相互聯(lián)系的。當(dāng)由等腰三角形轉(zhuǎn)化為等邊三角形時，由量變引起了質(zhì)的突變，出現(xiàn)了兩條于等腰三角形不同的特殊屬性，但它們又都是等腰三角形，有不少微觀相同或相似之處，而且都不失一般性，適用于余弦定理。從勾股定理和余弦定理間關(guān)系講，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特殊情況，是一般與特殊之間的對立統(tǒng)一關(guān)系，統(tǒng)一在運動變化過程中的。圖中的輔助線

17、是用皮筋把定點上的定環(huán)與邊上的動環(huán)勾連起來的，若配合磁性黑板這些輔助線都可用粉筆畫上。例4：揭示在證明等腰三角形中的定值問題的數(shù)學(xué)過程中，重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維能力。問題：證明等腰三角形底邊上任一點到兩腰上的距離之和等于定值。（1）教具的操作使用：把動態(tài)任意三角形隨機拉動為等腰三角形，并用皮筋勾連頂角定環(huán)和各邊上的動環(huán)可構(gòu)造出下列圖系見圖（四）（1）、（2）、（3）、（4）。這個過程可概括為，可由（1）提出P在一般位置時的設(shè)題問題，然后把P點逐漸向特殊位置的一個邊界點頂角A逐步移動到（2）、（3）、（4）時使A與P、M重合，Q與N自然重合，學(xué)生很自然直觀發(fā)現(xiàn)PM+PN=O+PN=PN即等于一腰上的高。這當(dāng)然只是在特殊