2014初升高數(shù)學(xué)測(cè)試題(含答案)

1、綿陽(yáng)南山中學(xué)（實(shí)驗(yàn)學(xué)校）2014年自主招生考試數(shù)學(xué)試題本套試卷分試題卷和答題卷兩部份，試題卷共6頁(yè)，答題卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘. 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆填寫(xiě)在答題卷與機(jī)讀卡對(duì)應(yīng)位置上，并認(rèn)真核對(duì)姓名與考號(hào)； 2.選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆將機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用 橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效； 3.非選擇題（主觀題）用 0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對(duì) 應(yīng)的位置上，答在試題卷上無(wú)效.作圖一律用2B鉛筆或0. 5毫米黑

2、色簽字筆；4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷、答題卷與機(jī)讀卡一并上交.第一卷（選擇題，共36分）一.選擇題（本大題共 12個(gè)小題，每小題 項(xiàng)是符合題目要求的）3分，共36分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有1 .下列計(jì)算正確的是（）236(A) a a a一、,、222z 3,26, 2(B) (x y) x y (C) (a b) a b23, 一(D) aa a(a 0)|x 1| 42.方程組 2的解是(x2 2x 3(A) 1(B) 3(C) 1 或 3(D) 5 或 3,若小明想同時(shí)看到該建(B) Q區(qū)域(D) N區(qū)域3 .如右圖所示，圖表示正六棱柱形狀的高大建筑物，圖中的陰影部分表示該建筑

3、物的俯視 圖，P、Q、M、N表示小明在地面上的活動(dòng)區(qū)域（各區(qū)域均不含邊界） 筑物的三個(gè)側(cè)面，他應(yīng)在（A） P區(qū)域（C） M區(qū)域4 .小李騎車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像5 .南山中學(xué)高一年級(jí)有四名學(xué)生 A、B、C、D參加了校團(tuán)委舉辦的“南山中學(xué)百佳、百杰學(xué)生”的選舉，已知候選人D得票比B得票多，候選人A、B得票之和超過(guò) C、D得票之和，候選人A、C得票之和與B、D得票之和相等，則這四人得票數(shù)由高到低的次序排列(A) A、D、C、B(B) D、B、A、C(C) D、A、B、C，他們依次為(D) A、D、B、一，、，一、，

4、一 一 ，116 .南山中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組的同學(xué)們?cè)谘芯?5、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：一一他們就將具有這樣性質(zhì)的有序的三個(gè)數(shù)稱之為調(diào)和數(shù).若x、y、2 (x、12 15y均為正整數(shù))110日)C112 '組調(diào)和數(shù)，則x、y的值( (A)有一組)(B)有兩組(C)有三組7 .如下圖所示, 垂足分別為E、在F,RtABC 中，AC=3, BC=4, D 為斜邊 AB 上一動(dòng)點(diǎn),(D)有無(wú)數(shù)組DEXBC, DF± AC,當(dāng)線段EF最小時(shí)，cosEFD的值等于(A) 354 (B)53 (C)48 .如上圖所示,在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、形，則 AEF與梯形ABCF的面積之比

5、為(F分別在邊BC、CD上，且使得 AEF為等邊三角 )(A)點(diǎn) 1(B)22(C)一3(D) 4 2139.已知函數(shù)y1 ,一在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下圖所不，給出下列結(jié)論:x如果那么如果如果如果那么a2那么0;a時(shí)，那么aa則其中正確結(jié)論的序號(hào)為(A)(B)(C)(D)入口4么123456第10題圖10.上右圖為一個(gè)污水凈化塔內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等邊三角形的凈化材料表面，流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同，經(jīng)過(guò)五層凈化后流入底部的六個(gè)出口中的一個(gè).下列判斷：六個(gè)出口的出水量相同；2號(hào)出口的出水量與 5號(hào)出口的出水量相同；1, 2, 3號(hào)出水口的出水量之比

6、約為1 ： 5 ： 10;若凈化材料損耗的速度與流經(jīng)其表面水的數(shù)量成正比，則更換最慢的一個(gè)三角形材料使用的時(shí)間約為更換最快的一個(gè)三角形材料使用時(shí)間的16倍.其中，正確的判斷個(gè)數(shù)是（）(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)(D) 4 個(gè)11.如下圖所示，在（ ）RtABC中，/A=2/B, CD為/ C的內(nèi)角平分線，若AD=2,則CD等于(A) 2石(B) 33(C) 2娓(D)娓12.如上圖所示，點(diǎn)A、D在以BC為直徑的半圓上,D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E.若AE=3, CD=2而，則 BC 等于（(A) 6(B) 8(C)10(D) 12第二卷（非選擇題，共114分）>10

7、SOE HA: P.Q F G二.填空題（本大題共 6個(gè)小題，每小題4分，共24分.將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的橫線上）13.按下圖程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從輸入一個(gè)x”到 結(jié)果是否10”為一次操作.若操作進(jìn)行三次才彳止，則 x的取值范圍是 .14 .如下圖所示，直線11、12、13、14及m1、m2、m3、m4分別平行，且Sg邊形abcd =100, S四邊形efgh 20，貝1 S四邊形PQRS =15.如上圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為.16.小明每天下午5點(diǎn)放學(xué)回家時(shí)，爸爸總是從家開(kāi)車按時(shí)到達(dá)學(xué)校接他回家.有一天，學(xué)校提前

8、1小時(shí)放學(xué)，小明自己步行回家，在途中遇到開(kāi)車接他的爸爸， 結(jié)果比平時(shí)早了 20分鐘到家.則小明步行 分鐘遇到來(lái)接他的爸爸.,邊CD上有SMBD與SM/CL等價(jià);LDC矩形 ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,已知 DAC 60AD.線段OC上有一點(diǎn)M, OS與MB交于點(diǎn)L,聯(lián)結(jié)CL、SM.給出以下結(jié)論: AC18 .如右圖所示,DS點(diǎn)S,滿足DSSCCMMOSMCLAC ,則點(diǎn)L在AD的延長(zhǎng)線上;AO1一一一，貝U AD=DL;311 l 2l31 4*4S m3-：fm- m1B ；. R /C第14題圖17.已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 4a2a 2 x （m 1） 0對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有

9、實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是若S7M k,則方程x2 3kx 1 0無(wú)等根.S BCMBA第18題圖其中，正確的結(jié)論有（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）> -2第13題圖停止三.解答題（本大題共7個(gè)小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟）19.（本題共2個(gè)小題，每小題8分，共16分）解答下列各題：.1 ,（1）計(jì)算：（§）1 回門30i|（ 1）106 38 （2014）0 ；20142 12013 20142 2014 2（2） 計(jì) 20142 4028+1 2015201620 .（本小題滿分12分）做服裝生意的唐老板經(jīng)營(yíng)甲、乙兩個(gè)店鋪.每個(gè)店鋪在同一段時(shí)間內(nèi)都 能售

10、出A、B兩種款式的服裝合計(jì) 30件，并且每售出一件 A款式和B款式服裝，甲店鋪獲利潤(rùn) 分別為30元和40元，乙店鋪獲利潤(rùn)分別為 27元和36元.某日，唐老板進(jìn) A款式服裝35件，B款式服裝25件，怎樣分配給每個(gè)店鋪各 30件服裝，使得在保證乙店鋪獲利潤(rùn)不小于950元的前提下，唐老板獲取的總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？21 .（本小題滿分12分）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字百”、年“、經(jīng)“、典“、南”、山”的六個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.（I）若從中任取一個(gè)球，求球上的漢字剛好是南”的概率；（n）從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺?，?qǐng)用樹(shù)狀圖的方

11、法，求取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成 經(jīng)典”或 南山”的概率P1 ；（出）從中任取一球，記下漢字后再放回袋中，然后再?gòu)闹腥稳∫磺颍浫〕龅膬蓚€(gè)球上的漢字恰能組成 經(jīng)典”或南山”的概率為P2,指出P1, P2的大小，并證明你的結(jié)論.22 .（本小題滿分12分）如右圖所示，已知點(diǎn)在y軸上，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)第四象限的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn).又一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于點(diǎn) C、D兩點(diǎn).當(dāng)四邊形 ABCD的面積最 小時(shí)，求k的值及面積的最小值.23 .（本小題滿分12分）如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)分別為 O （0, 0）, A （0, 6）,6), C (4,

12、 4), D (6, 4), E 邊OA、DE相交，且將多邊形11(I )若點(diǎn)M (0, y),求直線（6, 0）.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)xOy B (4, M,分別與x 2k的圖像(4, 0),點(diǎn) Bkk(k 1)在 xxOABCDE分成面積相等的兩部分.l的函數(shù)表達(dá)式;（II）是否存在一點(diǎn) M ,使得過(guò)點(diǎn)M有無(wú)數(shù)條直線l將多邊形OABCDE 分成面積相等的兩部分？若存在，求出 M的坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由.第23題圖E x24.（本小題滿分12分）如下圖所示，e O1與3。2外切于點(diǎn)O,直線l分別與eO1、3。2外切于點(diǎn)A、B,分別與X軸、y軸交于點(diǎn)M(2j3,0)、C(0,2).(I)求eOi的半

13、徑長(zhǎng);(n)在直線l上找一點(diǎn)P,使得 MO1P與 MOB相似，并求出點(diǎn) P的坐標(biāo).25.(本小題滿分14分)如下圖所示，過(guò) y軸上一點(diǎn)M (0, 1)作直線與二次函數(shù)-x2的圖 4像交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足為 的對(duì)稱點(diǎn)N,且與y軸垂直.過(guò)點(diǎn) A作l的垂線，垂足為 E.(I)當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1時(shí)，證明AM=AE;C、D,直線l過(guò)點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O(n)當(dāng)直線ab變化時(shí)(出)當(dāng)直線 AB變化時(shí) 并證明你的結(jié)論.(點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合)，求OC OD(點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合)，試判斷直線AC BD的值；l與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系,綿陽(yáng)南山中學(xué)(實(shí)驗(yàn)學(xué)校)2014年自主招生考試數(shù)學(xué)參

14、考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)題號(hào)123456789101112答案CBBCDBADACDC符合題目的要求）1. C.顯然（a3b）2 a6b2正確，故選擇 C.x 3,故選擇B.|x 1| 4 x 1 4或 x 142. B.x2 2x 3 (x 3)(x 1) 03. B.顯然P、N區(qū)域只能給看到一面， M區(qū)域只能看到兩面，Q區(qū)域可以看到三面， 故選擇B.4. C.開(kāi)始時(shí)勻速行駛，此時(shí)對(duì)應(yīng)的圖像為直線，函數(shù)的圖像遞減.途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，此時(shí)到學(xué)校的距離為常數(shù)，最后加快速度行駛對(duì)應(yīng)的曲線為上凸曲線，故選擇C.s

15、, D.用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票,(b dc) bcd,b,一211t, B.由已知得一一一 yx2u, a b (b d a)x 2y .當(dāng) y=1 時(shí),4 yd b由條件可得abcd,于是acbdv, a d ,于是a d>b c,故選擇D.2x 一（舍去）；當(dāng)y=2時(shí)，x 2 ;當(dāng)y=33時(shí)，x 6,所以x、y的值有兩組，故選擇 B.7. A.由EF CD ,于是當(dāng)CD與AB垂直時(shí)，EF最小.此時(shí) EFD CDF BDE BAC ，于是 cos EFD cos BAC8. D .令 BE x ,則 AE AF 由 EF2 CF2 CE2 得：1 x2 .3/d

16、2、S(1 x )于是 SAEF 工4S弟形 ABCF2 x2EF 、1 x2, DF x,CF 2(1 x)2, x 2 >/3.2而，故選擇D.CE 13 ,故選擇A.5x(0 x 1).9. A.由圖像知，當(dāng)021,時(shí)，a a 一，當(dāng)a122a 1時(shí)，一 a a成立，當(dāng)a 1時(shí)，a ao 11時(shí)，a a,故選擇A.a10. C.若進(jìn)水量為 1,則從左到右的六個(gè)出水口的出水量依次為:15 10 10 5 1,32 32 32 32 3232于是正確.水流量最大與最小的三角形分別是最上面的三角形與第五排最左（或最右）的三1,16角形，流經(jīng)最上面的三角形的水量為1,而流經(jīng)第五排最左（或最

17、右）的三角形的水量為于是正確.故選擇 C.11. D.如圖，令 AB邊的高線為 CF,在CB上作一點(diǎn) E,使得 CA=CE,聯(lián)結(jié)DE ,則ACAD0 CED,所以 CED CAD 2 B, BDE B, BE DE AD 2 .過(guò) E 作 EG± BD 交 BD 于 G ,由 ABC 30 得 EG=1 ,于是 BG GD ,3, AB 2 2 . 3, CA 1 . 3 .在AACF 中可得 CF 3 ,af L/Ifd 3 8 .222在 CDF中可得CD JCF2 DF2 76 ,故選擇d .CB G D F A第11題圖12. C.如圖，延長(zhǎng)BA、CDF.由條件可得 BD是等

18、月BCFCDCECF BC2 BC2AD DE 2而.由 CDEs CAF 得CD CE 2,5:一22,CE 5, AF CF CACA 4、5 CE 3_2_2 _2_2AB CA (BF AF) CA ,、2_2(BC 4)8 , BC 10,故選擇 C.的角平分線，可得題卡相應(yīng)的橫線上)題號(hào)131415161718答案4x2 360Vi5cm503 m4.填空題(本大題共 6個(gè)小題，每小題4分，共24分.將答案填寫(xiě)在答13 .第一次運(yùn)行的結(jié)果為 3x 2,第二次運(yùn)行的結(jié)果為 3(3x 2) 2 9x 8 ,第三次運(yùn)行的結(jié)，一9x 8 104果為3(9x 8) 2 27x 26.由條件得

19、，4x2.27x 26 10314 .由圖可知：S四邊形ABCD 二S四邊形 EFGH 2(S四邊形 PQRS 20), S四邊形 PQRS 60 -15 .圓錐底面周長(zhǎng) 2等于扇形的弧長(zhǎng)，于是可得扇形的半徑等于4cm,于是圓錐的高為142 12 cm 45cm.16 .由已知得，爸爸從接到他的位置A處開(kāi)車到達(dá)學(xué)校 B,則往返A(chǔ)B段開(kāi)車用時(shí)為20分鐘，單程AB段開(kāi)車用時(shí)10分鐘，于是小明步行了 50分鐘.17 .由條件得a2 2a 2 4(m 1) 0對(duì)任意白實(shí)數(shù) a恒成立，3即(a 1)2 (4m 3) 0, 4m 3 0, m 3.418 .設(shè)OS與AD交于點(diǎn)L .由DS 幽知AS為 DA

20、C的角平分線.SC ACDAC ,知ACL為正三由 DAC 60 及 OA=OD,知DAO為正三角形,有 AD =AO .又由AS平分ASO ASD ASL角形，且S為其中心.設(shè)BM與AD的延長(zhǎng)線交于ASCASOASC.又DAC 60 ,則注意到SM/BDCML .CS ACDL ADMOSD ADAO 2CMAMACL為正三角形.故SM / BD 點(diǎn)L與點(diǎn)L重合點(diǎn)L在AD的延長(zhǎng)線上BMMLBCALS為正ACL的中心OS OMSL MC>4且4S SCM汪息到S BCMACAC AD1 一 SM 1 . SM/CL,且 ，因此正確.2 CL 3S SCMS OCDS OCBSCCMOCS

21、CS OCDSocbSbCMcdoc-cMcd則方程x2 3kx 1 0有等根1.綜上，正確的結(jié)論有.三.解答題(本大題共7個(gè)小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟)1八，19. 1)原式=3 |- 1| 1 2(2)令a 2014,貝U原式12 1 3-212a2 1 a 1a2 2a+1 a 11 1 .2 2a2 a 2a 2(a 1)(a 1) a 12(a 1) a 1(a 1)(a 2)a 21 (a 1) a 2014 .20.分配給甲店鋪 A款式服裝x件(x取整數(shù)，且5技W30, 則分配給甲B款式服裝30x件. 2分分配給乙店鋪 A款式服裝35 x件， 分配給乙

22、 B款式服裝25 (30x) =x5件. 4分甲店鋪的利潤(rùn)為y甲，則有y甲30 x 40(30 x) 1200 10x, 6分乙店鋪的利潤(rùn)為y乙，則有y乙27(35 x) 36(x 5) 9x 765, 8分于是總利潤(rùn) y總 y甲 y乙(1200 10x) (9x 765) x 1965 .5由條件得y乙9x 765 950 ,解得x 20- . 10分9對(duì)于y總x 1965隨著x的增大而減小，要使 y總最大，則x必須最小.又x 205,故取x=21 ,即分配給甲店鋪 A、B兩種款式服裝 921件與9件，分配名乙店鋪 A、B兩種款式服裝14件與16件.此時(shí)，既保證乙店鋪獲利潤(rùn)不小于950元，又

23、保證了在此前提下,唐老板獲取的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是y總21 1965 1944元.12分21. (I)任取一球，共有 6種不同結(jié)果，所以球上漢字剛好是南”的概率p 16(H)由題知樹(shù)狀圖如下:百年經(jīng)典備山典百年經(jīng)南山年百經(jīng)典南山南百年經(jīng)典山經(jīng)百年典南山山百年經(jīng)典南共有30種不同取法，能滿足要求的有4種，所以p 30 15(m)Pi>P2 各種情況列表如下:百年經(jīng)典南山百白白百年經(jīng)百典百南白山百年百年年年經(jīng)年典年南年山年:經(jīng)百經(jīng)年經(jīng)經(jīng)經(jīng)經(jīng)典南經(jīng)山經(jīng);典百典年典經(jīng)典典典南典山典南白南:年南經(jīng)南典南南南南山山百山年山經(jīng)出典出南出山山一共有36種結(jié)果，滿足要求的結(jié)果有 4種，于是P2 -,所以

24、P1>P2 . 12分36 922.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (4, 0)的直線的函數(shù)表達(dá)式令為y m(x 4)(m 0) , 1分k, y2由 x 可得：mx 4mx k 0 . 3分y m(x 4)因?yàn)橹本€與反比例函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，于是 16m2 4mk 0, k 4m. 5 分易得 C(2k,0), D(0, 2k), B(0,k),可得 AC 4 2k,BD 3k . 7 分1 _1于是 Sg邊形 abcd BD AC 2( 3k)(4 2k) 3k(k 2)3k2 6k 3(k 1)2 3(k1). 10分于是當(dāng)k 1時(shí)，Szg邊形ABCD有最小值，最小值等于9. 12分23. ( I

25、)如圖1,延長(zhǎng)BC交x軸于F,聯(lián)結(jié) OB、AF交于P,聯(lián)結(jié)DF、CE交于Q.易知P (2, 3), Q (5, 2)是兩個(gè)矩形的中心，過(guò)P的直線將矩形 OABF的面積平分，過(guò) Q的直線將矩形 CDEF的面積平分，于是直線 PQ將多邊形OABCDE的面積平分. 2分4分5分1分3分1 11直線PQ的函數(shù)表達(dá)式為 y -x 一.3 311111顯然M (0,)在y x 一上，且M不是GH的中點(diǎn)，333111故直線 l的函數(shù)表達(dá)式為 y x 3311 11.另解 如圖2,令過(guò)M (0,一)的直線的表達(dá)式為 y kx ，與DE交于點(diǎn)H, 33 11 則H的坐標(biāo)為(6,6 k y),/11 i11、C(

26、-6k ) 6則 S梯形 OMHE 18k 22. 2而S多邊形OABCDE6 4 2 4 32 1 111由題意得18k 22 16, k -,于是直線l的表達(dá)式為y -x .333111(n)如圖3,由(I)知直由線l的函數(shù)表達(dá)式為 y x 1133可得 G (0, ), H (6,)33令M為GH的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為(3,8),此即為滿足條件的點(diǎn)M.3證明如下： 另取一條過(guò)點(diǎn) M (3,8)的直線分別與 OA、DE交于G1、H1.38注意到線段 GiHi的中點(diǎn)也為 M (3,-),3則S MGG1 S MHH1金邊形OG1HlES多邊形ag1HlDCB，故G也也是滿足條件的直線.4分5分6分8分10分由GiHi的任意性，知滿足條件的直線有無(wú)數(shù)條.故存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(3,8) . 12分24. (I)如圖1,易知tan令e Oi與e O2的半徑分別是AMO222,3R與r,則MO1 2R,MO2 2r,由 2R R r 2r,得 R 3rAMO2 30 2點(diǎn),故eO