(完整版)高中數(shù)學歸納法大全數(shù)列不等式精華版_第1頁
(完整版)高中數(shù)學歸納法大全數(shù)列不等式精華版_第2頁
(完整版)高中數(shù)學歸納法大全數(shù)列不等式精華版_第3頁
(完整版)高中數(shù)學歸納法大全數(shù)列不等式精華版_第4頁
(完整版)高中數(shù)學歸納法大全數(shù)列不等式精華版_第5頁
免費預覽已結(jié)束,剩余7頁可下載查看

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)

文檔簡介

1、§ 數(shù)學歸納法1 .數(shù)學歸納法的概念及基本步驟數(shù)學歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學命題的一種方法.它的基本步驟是:(1)驗證:n= n°時,命題成立;(2)在假設(shè)當n = k(kn0)時命題成立 的前提下,推出當 n= k+ 1時,命題成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對一切正整數(shù) n都成立.2 .歸納推理與數(shù)學歸納法的關(guān)系數(shù)學上,在歸納出結(jié)論后,還需給出嚴格證明.在學習和使用數(shù)學歸納法時, 需要特別注意:(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與 正整數(shù)n有關(guān)的命題;(2)在用數(shù)學歸納法證明中,兩個基本步驟缺一不可.3 .用數(shù)學歸納法證明命題的第一步時,是驗證使命題成立的最

2、小正整數(shù)n,注意n不一定是1.4 .當證明從k到k+1時,所證明的式子不一定只增加一項;其次,在證明命 題又n = k+ 1成立時,必須運用命題對 n = k成立的歸納假設(shè).步驟二中,在 由k到k+1的遞推過程中,突出兩個“湊”:一 “湊”假設(shè),二“湊”結(jié)論.關(guān)鍵是明確n = k+ 1時證明的目標,充分考慮由 門=卜到門=卜+ 1時命題 形式之間的區(qū)別與聯(lián)系,若實在湊不出結(jié)論,特別是不等式的證明,還可以應(yīng) 用比較法、分析法、綜合法、放縮法等來證明當n=k+ 1時命題也成立,這也是證題的常用方法.5 .用數(shù)學歸納法證命題的兩個步驟相輔相成,缺一不可.盡管部分與正整數(shù) 有關(guān)的命題用其他方法也可以解

3、決,但題目若要求用數(shù)學歸納法證明,則必須 依題目的要求嚴格按照數(shù)學歸納法的步驟進行,否則不正確.6 .要注意“觀察一一歸納一一猜想一一證明”的思維模式,和由特殊到一般的 數(shù)學思想的應(yīng)用,加強合情推理與演繹推理相結(jié)合的數(shù)學應(yīng)用能力.7 .數(shù)學歸納法與歸納推理不同.(1)歸納推理是根據(jù)一類事物中部分事物具有 某種屬性,推斷該類事物中每一個都有這種屬性.結(jié)果不一定正確,需要進行 嚴格的證明.(2)數(shù)學歸納法是一種證明數(shù)學命題的方法,結(jié)果一定正確.8 .在學習和使用數(shù)學歸納法時,需要特別注意:(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題,要求這個命題對所有的正整數(shù)n都成立;(2)在用數(shù)學歸納法證

4、明中,兩個基本步驟缺一不可.數(shù)學歸納法是推理邏輯,它的第一步稱為奠基步驟,是論證的基礎(chǔ)保證,即通 過驗證落實傳遞的起點,這個基礎(chǔ)必須真實可靠;它的第二步稱為遞推步驟, 是命題具有后繼傳遞的保證,即只要命題對某個正整數(shù)成立,就能保證該命題 對后繼正整數(shù)都成立,兩步合在一起為完全歸納步驟,稱為數(shù)學歸納法,這兩 步各司其職,缺一不可.特別指出的是,第二步不是判斷命題的真?zhèn)?,而是證 明命題是否具有傳遞性.如果沒有第一步,而僅有第二步成立,命題也可能是 假命題.例題 1 證明:22+'+211 + 2n= 1 2n(其中 nW N+).一 .1, -1 1 證明(1)當n=1時,左邊=1,右邊=

5、12 = 2,等式成立.假設(shè)當n=k(k> 1時,等式成立,即2+2+ 宙+ + 2k1 + 2k= 1 一/,那么當n=k+1時,左邊=2 +/+ 抖 +211 + 尹211,11. 2-1,1=1-2卜+ 2卜+1 = 1 2卜+1 =12卜+1 =右邊.這就是說,當n = k+1時,等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何n C N +都成立.變式舟用,用數(shù)學歸納法證明:1 -1+1-1+ 0 1廠J2 3 4 2n - 12n=+而、 一 ,.1 11.證明當n=1時,左邊=12=2=k=右邊,當n=1時,等式成立.假設(shè)n=k時等式成立,即111111,1, 11-2 +

6、3-4+ " + 2k- 1 云=kT7 +k+2 +汞則當n=k+ 1時,11 11111邊二 -2 + 3- 4+ "+2k- 1-2k+2k+1-2k+ 2= (S +111k+2+ " +2k) + 2k+112k+2,1 , 1 ,=3+2k+12k+1、一1)+(k+1, 1, _JL-k+2+ +2k+2k+ 1+2k+2一右邊.;n=k+1時等式成立.由知等式對任意nCN+都成立.點評在利用歸納假設(shè)論證n = k+1等式成立時,注意分析n=k與n = k + 1的兩個等式的差別.n=k+1時,等式左邊增加兩項,右邊增加一項,而且 右式的首項由 士變

7、到士.因此在證明中,右式中的 士應(yīng)與一4y合并,才k+1k+2k+12k+2能得到所證式.因此,在論證之前,把 n=k+1時等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)先作 一下分析是有效的.證明不等式例超2用數(shù)學歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù) 門,不等式11 一 1,2n+1-、1+3 1+5 .十指2成上證明當n=2時,左=1 + 1=4,右=者,左>右, 3 32.不等式成立.假設(shè)n=k(k>2a k N )時,不等式成立,2k 1 )2那么當n=k+1時,11.11J2k+1 2k+ 21 + 3 1+5 1 + 2kT 1+2 k+1 -1 >2 布2k+ 24k2+8k+4 .4k2+

8、8k+ 32 «2k+ 1 2y2k+ 122k+ 1_N2k+3Y2k+1 _、2 k+1 +12 也k+12,n=k+ 1時,不等式也成立.對一切大于1的自然數(shù)n,不等式成立.點評(1)本題證明n=k+ 1命題成立時,利用歸納假設(shè)并對照目標式進行了 k1恰當?shù)目s小來實現(xiàn),也可以用上述歸納假設(shè)后,證明不等式丑三>2k+ 1/ k+1 + 1 +、2成立.(2)應(yīng)用數(shù)學歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時要注意兩個步驟:?第步p(no)成立是推理的基礎(chǔ);?第步由p(k)? p(k+1)是推理的依據(jù)(即no成立,則no+1成立,no + 2 成立,從而斷定命題對所有的自然數(shù)均成立

9、).?另一方面,第步中,驗證 n=n0中的n0未必是1,根據(jù)題目要求,有 時可為2,3等;第步中,證明n=k+ 1時命題也成立的過程中,要作適 當?shù)淖冃?,設(shè)法用上上述歸納假設(shè).變應(yīng)用(2013大慶實驗中學高二期中)用數(shù)學歸納法證明:,111 - 1 , 一、1 + 22+ 32+n2<2-n (nA 2)分析按照數(shù)學歸納法的步驟證明,由 n = k到n = k+ 1的推證過程可應(yīng)用放 縮技巧,使問題簡單化.1513證明1當n=2時,1+22=4<22=2,命題成立.2彳貿(mào)設(shè)n = k時命題成立,即1 + 22+ $+ $<2:1 111當 n= k+ 1 時,1 +72+ ,

10、 +;-2+;2<2 3 k k+12 1+12<2 :+1=2_Hk k+1 2 k k k+1 k k k+11 一一=2 一命題成立.k+ 1由1°、2°知原不等式在n2時均成立.證明整除問題例第3用數(shù)學歸納法證明下列問題:(1)求證:3X52n+1 + 231 是 17的倍數(shù);(2)證明:(3n+1) 7n 1能被9整除.分析(2)先考察:f(k+ 1) f(k)=18k7k+ 27 7k,因此,當 n = k+1 時,(3k+ 4)7k1 = (21k+ 28) 7k1 = (3k+1) 7k-1+ 18k 7k+27 7k.證明(1)當 n=1 時,

11、3X 53 + 24=391= 17X23是 17的倍數(shù).假設(shè) 3 x 52k+1 + 23k+1 = 17m(m 是整數(shù)),則 3X52(k+1)+1 + 23(k+1)+1 = 3X52k+1+2 + 23k+1+3=3X 52k+1X25+23k+1X8=(3X 52k+1 + 23k+1) X8+17X 3X 52k+1=8X 17m+3X 17X 52k 1= 17(8m+3X52k1), . m k都是整數(shù),17(8m+3X52k+1)能被17整除, 即n=k+ 1時,3x 52n+23m是17的倍數(shù).(2)令 f(n)=(3n+1) 7n 1f(1)=4X 71 = 27能被9整

12、除.假設(shè)f(k)能被9整除(kC N ), vf(k+1)-f(k) = (3k+4) 7k+1 (3k+ 1) 7k= 7k (18k+ 27) = 9 x 7k(2k+ 3)能 被9整除, f(k+ 1)能被9整除.由可知,對任意正整數(shù)n, f(n)都能被9整除.點評用數(shù)學歸納法證明整除問題,當 n=k+ 1時,應(yīng)先構(gòu)造出歸納假設(shè)的條 件,再進行插項、補項等變形整理,即可得證.蠻冗應(yīng)用 (2014南京一模)已知數(shù)列a滿足ai = 0, a2=1,當n 6 N+時,an+2= an+i +an.求證:數(shù)列an的第 4m+1 項(mW N+)能被 3整除.證明(1)當 m= 1 時,a4m+i

13、 = a5 = a4+a3= (a3+a2)+(a2+a1)= (a2+ai) + 2a2+ai = 3a2 + 2ai = 3+0 = 3.即當m=i時,第4m+1項能被3整除.故命題成立.(2)假設(shè)當m=k時,a4k+1能被3整除,則當m=k+1時,a4(k+ 1)+1= a4k+ 5= a4k+4+ a4k+ 3= 2a4k+3 + a4k+2二2(a4k+ 2+ a4k+1) + a4k+2= 3a4k+2+ 2a4k+1.顯然,3a4k+ 2能被3整除,又由假設(shè)知a4k+1能被3整除. - 3a4k+2 + 2a4k+1 能被 3 整除.即當m=k+1時,a4(k+1)+1也能被3整

14、除.命題也成立.由(1)和(2)知,對于nCN+,數(shù)列an中的第4m+1項能被3整除.百.函靛k幾何問題倒商4平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓 都不相交于同一點.求證:這 n個圓把平面分成n2 n + 2個部分.分析用數(shù)學歸納法證明幾何問題,主要是搞清楚當n=k+1時比n = k時,分點增加了多少,區(qū)域增加了幾塊.本題中第 k+1個圓被原來的k個圓分成 2k條弧,而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分,此時共增加了2k個部分,問題就容易得到解決.解析當n=1時,一個圓把平面分成兩部分,12-1 + 2 = 2,命題 成立.假設(shè)當n=k時命題成立(kC N*), k個圓把平面分

15、成k2k+2個部 分.當n=k+ 1時,這k+ 1個圓中的k個圓把平面分成k2-k+ 2個部分, 第k+ 1個圓被前k個圓分成2k條弧,每條弧把它所在部分分成了兩個 部分,這時共增加了 2k個部分,即k+ 1個圓把平面分成(k2-k+ 2) + 2k = (k+1)2(k+1) + 2個部分,即命題也成立.由、可知,對任意 n N命題都成立.點評利用數(shù)學歸納法證明幾何問題應(yīng)特別注意語言敘述準確清楚,一定要 講清從口=卜到口 =卜+1時,新增加量是多少.一般地,證明第二步時,常用的 方法是加一法.即在原來k的基礎(chǔ)上,再增加1個,也可以從k+ 1個中分出1 個來,剩下的k個利用假設(shè).支式應(yīng)用* I

16、平面內(nèi)有n(nCN+, nA2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數(shù) f(n)= n n2 1 .分析找到從口 =卜到n=k+ 1增加的交點的個數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.證明(1)當n = 2時,兩條直線的交點只有一個. 1又 f(2) = 2>2X21)=1,。當n = 2時,命題成立.(2)假設(shè)n = k(k>2)t命題成立,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點個1數(shù) f(k) = 'k(k 1),那么,當n = k+1時,1任取一條直線1,除l以外其他k條直線父點個數(shù)為f(k) = -k(k-1),1與其他k條直線交點個數(shù)為k.從而k+ 1條直線共有

17、f(k)+ k個交點,1111即 f(k+ 1) = f(k) + k = 2k(k1) + k=2k(k1 + 2) = 2k(k+1) = (k+1)(k+ 1)-1,當n=k+ 1時,命題成立.由(1)(2)可知,對nC N+(n領(lǐng)題都成立.點評關(guān)于幾何題的證明,應(yīng)分清 k到k+1的變化情況,建立k的遞推關(guān)系.探索延拓創(chuàng)新囪工煙犯/>歸納一猜想一證明例.5 (2014湖南常德4月,19)設(shè)a>0, f(x) = ax,令 a1=1, an+1 = f(an), n6N + . a x(1)寫出a2, a3, a4的值,并猜想數(shù)列an的通項公式;(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.

18、a - a 一解析(1)a1=1, . a2= f(a1)= f(1) = 1qa; a3 = f(a2)= 2+ a; a4 = f(a3) =3+a-猜想 an =a(n N+).n-1 +a'證明:(ii )假設(shè)即ak=(i)易知,n=1時,猜想正確.n = k時猜想正確,ak 1 +a則ak + 1 = f(ak)a aka+ akaa . k-1 + aaa+ ;'k 1 +ak- 1a+a+1 ;k+1 -1 + a這說明,n = k+ 1時猜想正確.由(i )(五)知,對于任何nCN+,都有a an=.n 1 +a變式應(yīng)用1已知數(shù)列Xn滿足XL, Xn+1 =n

19、N+.猜想數(shù)列X2n的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;1證明:|Xn+1 Xn|061-解析(1)解:由xi=2及125Xn+1 = ,彳寸 X2=1, X4 = K,1 + Xn3813刈=折由X2>X4>X6,猜想數(shù)列X2n是單調(diào)遞減數(shù)列.下面用數(shù)學歸納法證明:當n=1時,已證明X2>X4,命題成立.假設(shè)當n=k時,命題成立,即X2k>X2k+2.易知Xn>0,那么,當n = k+1時,11X2k+3 X2k+1X2k+ 2 X2k+ 4= =一""X2kX2k+21 +x2k+11+x2k+31+x2k+11 + X2k + 3=/ ,>

20、,> ,> ,>0,1 + X2k1 + X2k+11 + X2k+21 + X2k+3即X2(k+1)>X2(k+1)+2.也就是說,當n=k+1時命題也成立.綜合和知,命題成立.一. 一1(2)證明:當 n=1 時,|Xn + 1 Xn|= |X2X1|=6,結(jié)論成乂.當n12時,易知0<xn1<1.11Xn - -1> q .1+Xn-1 2(1 + Xn)(1+Xn 1)=1 + 1+Xn-1 (1 + Xn 1)=2+Xn 1411|Xn 一 Xn 11必+1*| 1+Xn1+Xn-1 -1 + Xn1+Xn-12. 22l一一妄|Xn Xn

21、 1| 專 |Xn 1 Xn 2| 2n 1,_1 25X2-X1|-6 5易錯辨誤警示判斷2+4+2n=n2 + n+1對大于0的自然數(shù)n是否都成立?若成立請給出證明.誤解假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即2+4+-+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即當n=k+1時,等式也成立.因此,對大于0的自然數(shù)n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.誤解假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即2+4+2k= k2+k+1,那2+4 + + 2k+2(k+ 1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2 + (k+1)+1.即當

22、n=k+1時,等式也成立.因此,對大于0的自然數(shù)n,2 + 4+-+2n=n2+n+1都成立.?正解不成立.當n=1時,左邊=2,右邊=12+1 +1 = 3,左邊w右 邊,所以不成立.點評用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟是缺一不可的.特別是步驟 (1),往往十分簡單,但卻是不可忽視的步驟.本題中,雖然已經(jīng)證明了: 如果n=k時等式成立,那么n=k+1時等式也成立.但是如果僅根據(jù)這 一步就得出等式對任何nC N+都成立的結(jié)論,那就錯了.事實上,當n=1時,上式左邊=2,右邊=12+1 + 1 = 3,左邊w右邊.而且等式對任 何n都不成立.這說明如果缺少步驟(1)這個基礎(chǔ),步驟(2)就沒有意義了.劭鹿7用數(shù)學歸納法證明1,1,1,.1+ + + +2X 4 4X6 6X8 丁 2n 2n+ 2n4 n+ 1(nW N ).誤解略.(2)假設(shè)當n = k(k>l k N+)時等式成立,那么當n=k+ 1時,直接使用裂 項相減法求得1111+ +2M 十 44 6>82k 2k+ 212k+2 2k+ 411,11 , 1 ,,,2 4 + 4 6 + 2k 2k+ 2 + 2k+2 2k+ 41 112 22k+4k+1=4 k+1 +1,即n = k+1時而就成立一一 1 一 .一 11,-1 正解(1)當n=1時,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論