2010高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)亮點(diǎn)試題解析幾何部分

1、2010高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)亮點(diǎn)試題（解析幾何部分）李春龍（江蘇省揚(yáng)州市第一中學(xué)）【題目】1. 如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，三角形ABC的周長(zhǎng)為12若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過、兩點(diǎn)(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析提示】(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則由，得，即解之得，雙曲線的方程為(2) 設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使設(shè)直線的方程為，由，得即，即把代入，得把代入并整理得其中且，即且代入，得 ，化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí)，上式恒成立因此，

2、在軸上存在定點(diǎn)，使【亮點(diǎn)、新穎原因】本題是一道典型的解析幾何綜合題，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)雙曲線有關(guān)知識(shí)的理解，本題主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平面向量的概念和有關(guān)垂直性質(zhì)的應(yīng)用；雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，訓(xùn)練存在性問題的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 【題目】2. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

3、理由.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為 由橢圓第二定義得，即由，所以（）解法一：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn).在QF1F2中，所以有綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是 （）解法一：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由得，由得 所以，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不

4、存在滿足條件的點(diǎn)M.當(dāng)時(shí)，由，得解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是由得 上式代入得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M當(dāng)時(shí)，記，由知，所以【亮點(diǎn)、新穎原因】本題是一道典型的解析幾何綜合題，能夠強(qiáng)化學(xué)生對(duì)橢圓有關(guān)知識(shí)的理解，本題主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平面向量的概念，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，訓(xùn)練軌跡方程的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.【題目】3. 如圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.（）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求

5、的取值范圍.【解析提示】：（）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.過點(diǎn)P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl= -，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯(lián)立消去y并整理，得x2+xx122=0.M是PQ的中點(diǎn)x0= -， y0=x12(x0x1). 消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理

6、，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則.y=x2由 y=kx+b 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. 則 y1+y2=2(k2+b)， y1y2=b2. 方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當(dāng)b>0時(shí)，=b=+2>2；當(dāng)b<0時(shí)，=b=.又由方程有兩個(gè)相異實(shí)根，得=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>2b.所以>=2.當(dāng)b>0時(shí)，可取一切正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=KTP， 即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2. =+2.可取一切不等于1的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.【亮點(diǎn)、新穎原因】本題是一道典型的解析幾何綜合題，能夠強(qiáng)化學(xué)