專題06“三招”妙解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題(第一篇)-2019年高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破(解析版)

1、比19高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第一篇函數(shù)與導(dǎo)致專題。6“三招妙解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題一.方法綜述導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)或研究不等式問題時(shí)，繞不開研究f x的單調(diào)性，往往需要解方程f x =0.若該方程不易求解時(shí)，如何繼續(xù)解題呢？在前面專題中介紹的分離參數(shù)法”、構(gòu)造函數(shù)法”等常見方法的基礎(chǔ)上，本專題舉例說明三招妙解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題.二.解題策略類型一察言“觀色“，猜”出零點(diǎn)【例1】【河北省武邑中學(xué) 2019屆高三上第三次調(diào)研】已知函數(shù) /=(-2幻+仆。2 .(1)當(dāng)白=-1時(shí)，求汽力在(仃處的切線方程;(2)設(shè)函數(shù)(

2、i)若函數(shù)O)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求 口的值；(ii)在(i )的條件下，若 &2x2e2-【解析】 0,當(dāng) 1U4時(shí)，h (a) 0,所以Mx)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L + e)上單調(diào)遞減，二人(無)由E=坂1) =1所以當(dāng)函數(shù)(工)有且今有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，口二19分(11 )當(dāng) ci = 1； gG) =(X2 - 2x)lnx + a 2 若 x e, g 加只需證明 g。 111ax 三 nt57) = (x-1)(3+21m)令廣=值我=1或工=二又；e-2 x ef,班期7(不在()gW)上單調(diào)遞增，在(十1)上單調(diào)遞減，在10上單調(diào)遞噌又p(pT)=+ 交-1, p(e)= 2

3、” 一葡3t53一gG?=)=-：f?T 4 2-i 2(? 2e2 3e【指點(diǎn)迷津】1 .由于導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)，無法利用解方程的方法，可以在觀察方程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上大膽猜測(cè).一般地，當(dāng)所求的導(dǎo)函數(shù)解析式中出現(xiàn) lnx時(shí)，常猜x= 1;當(dāng)函數(shù)解析式中出現(xiàn)ex時(shí)，常猜x= 0或乂= ln x.2 .例題解析中靈活應(yīng)用了分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法【舉一反三】設(shè) f x=3 x(1)若函數(shù)f(x)在(a, a+1)上有極值，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程f(x) = x22x+k有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) k的取值范圍.【答案】(1) (0,1)； (2) (8, 2,ln x【解析】(1)因?yàn)閒 x =

4、-當(dāng)0x0;當(dāng)x1時(shí)，f x)0,所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞 x增，在(1, + 00止單調(diào)遞減，故函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn)為x=1,所以a1a+1,即0a吸gx0WQ因而需解方程gx)=0.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解.可得g(今。，且當(dāng)0x0,當(dāng)x1時(shí)，gx)0時(shí)，f (x)存在唯一零點(diǎn).(II)見解析當(dāng)口W 0時(shí),八方 0,4沒有零點(diǎn)；當(dāng)50時(shí)，因?yàn)榱旯握{(diào)遞增，-芻單調(diào)遞增F所以尸(力在(0,+8)草調(diào)遞增又產(chǎn)(口)0, X當(dāng)b涓足05(三目5 ML時(shí)，檢當(dāng)口;0時(shí)Jr(的存在唯一零點(diǎn)一44(II)由(I),可設(shè)fx)在(0,+ )的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)x? (0,

5、%)時(shí)，f也)0.故f(x)在(0, %)單調(diào)遞減，在(x, + )單調(diào)遞增，所以當(dāng)x = xo時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(xo).由于 2e2x0 - 2=0,所以 f(x0)=3+2ax0+aln2? 2a aln-.x02x0aa2故當(dāng) a0 時(shí)，f (x) ? 2a a In . a【指點(diǎn)迷津】本例第(2)問的解題思路是求函數(shù) f x的最小值.因此需要求 f x=0的根.但是f位)=2e2x-芻=0的 x根無法求解.故設(shè)出 f x =0的根為x0 ,通過證明f(x)在(0, x0)和(x0, + 8止的單調(diào)性知a2f x min = f x0 = + 2ax0+ aln-,進(jìn)而

6、利用基本不等式證得結(jié)論，其解法類似解析幾何中的設(shè)而mn2%a不求”.【舉一反三】設(shè)函數(shù) f(x) = ex - ax-2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a=1, k為整數(shù)，且當(dāng) x0時(shí)，(xk)fx) + x+ 10,求k的最大值.【答案】(1) f(x)在(8, in a)上單調(diào)遞減，在(ln a, + 8止單調(diào)遞增.(2) 2.【解析】6的定義域加一孫十孫/Wr-a.若吧0,則列工A3所以義工)在(一工，十簿)上里謂遞增.若亦a則當(dāng)xEl兀，：口注時(shí)，當(dāng)+矽時(shí)UAL所以/U)在Cwg上單調(diào)遞屐:在fE幻+可上更調(diào)遞增.(2)由于 a=1,所以(x k)f x)+ x+ 1 = (x-

7、 k)(ex 1) + x+ 1.故當(dāng)x0時(shí)，(x k)fx)+x+ 10等價(jià)于x 1k -4-+x x 0 .ex 1人x 1 .).xx 0 _xx xxe 1 e (e x 2)則 g x 2+1=1(ex 1)2(ex 1)2由(1)知，函數(shù)h(x) = ex-x- 2在(0, + 8止單調(diào)遞增.而 h(l)0,所以h(x)在(0, + 8)上存在唯一的零點(diǎn).故gx)在(0, +8比存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為“，則 代(1,2).當(dāng) xC (0, 4時(shí)，gx)0.所以 g(x)在(0, +8止的最小值為 g(a).又由 g 砂=0,可得 e= a+ 2 ,所以 g( a) = a+ 1

8、 C (2,3).由于式等價(jià)于k0對(duì)x1恒成立，知 a0. *網(wǎng)所以 3ax2+(3-2a)x- (a2+2)洲 對(duì) x 1 , + 8)值成立.20令g(x) = 3ax2+(32a)x (a2+2),其對(duì)稱軸為x= 1 ，因?yàn)閍0,所以1 0,解得0aL52綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,15.由已知得，用仇=Jl(1h x +1-必)=1比 a + y: i3,.令gtx)=xlnj+9金，貝U烈工)=1江工+1十% 3%6 r 金 嶺)=*),貝I相埼=-+2-151-xx1十jy當(dāng)0jc一時(shí),社工方。6，困數(shù)用心二父在池七口）上遞胤0當(dāng)Q立正時(shí)，IwL，函數(shù) h（x）=gx）在（1 ,

9、+8）上遞減.6又 g (1=)0,，存在 xo (0,當(dāng) 0xxo時(shí),gx)0,函數(shù) g(x)在(0, xo)上遞減;當(dāng) x0x0,.函數(shù) g(x)在(x0,1)上遞增；當(dāng)x1時(shí).，gx) OO .1又 g(x) =xln x+x2-x3=x(ln x + x x2) x(ln x ),4當(dāng) x-O 時(shí)，In x+ 10,則 g(x)0,故心)單調(diào)遞增(如圖)，刎r(-J =且；當(dāng) 1時(shí),CO 0x.函數(shù)r（1）在用=處取得最大值 /.3 = 4 1） = 1故要使Inx +x y -/與 = R恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需QMul.實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0J）.三.強(qiáng)化訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f滿足2k、

10、x) + X V=eA.2B.C.D.,則|xW2, + g）時(shí)，f*）的最小值為（）r解析】對(duì)于等式凸= ,因?yàn)?，巴故此等式可化為；h）= ri?i =:J力令成川= 0. 0,禮門里調(diào)速增，故；】所以E柜成立,因此，一 % 因此當(dāng)好2時(shí) g拱唯成立.因?yàn)殚T.，） =A在其+ T上單調(diào)遞增，如）的最小值為f二而本題正確答案為D. 82 .【鹽城市2019屆高三第一學(xué)期期中模擬】已知函數(shù)汽幻=（*-。）加若函數(shù)網(wǎng)刈存在三個(gè)單調(diào)區(qū) 間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】e, 、1,、at (x) = lmr + O G = Inr + I- - xH函數(shù)fW =-加必口 E fi),若函數(shù)/(0存在三

11、個(gè)單調(diào)區(qū)間即(*) =0有兩個(gè)不等實(shí)根，即。=x(ln*+1)有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為y=a與y=U】M + D的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 1 y =+ 2令舊1+ 2=0,即x=l,即y=x(liur + 1)在(。，/)上單調(diào)遞減，在(/，+川 上單調(diào)遞增。1 1Tymin=-(T,當(dāng) xC (0, /)時(shí)，y0 ,所以 a 的范圍為 01口7 j/ | 1 0,.因?yàn)楣?，所以函?shù)網(wǎng)燈在區(qū)間(0，+ 5上單調(diào)遞增，且1/所以當(dāng)血之。時(shí)，/(1)與m22n(x) = .,x + x/nx 注=m，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令(幻=加上)，即有一個(gè)解即可.,2人*h (jc) = 2x + Inx + 1

12、 .令h (r) = 0, 日，得x =- e成用 9；當(dāng)修時(shí)，所以當(dāng)* 1時(shí)，有唯一的極小值Qx0)有唯一的實(shí)數(shù)根所以1- Cx-2)lnx a =K(心0)Ihx- 21nx即直線尸a與函數(shù)Y二x(x 0)的圖象有唯一的交點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)1 -(x- 2)lrx 1=Inx2lnx + -x(XA0)r 1 - x - 21nxMn)= ,(x0)而v = o hQ) = O； 0MxM1|，Vo，hQ0AO； o Vo，h(x)0, h(x)- . 8; x-+g, h(x)- - 所以a = h(l) * l學(xué)I已知可化為 m g(x)= (J - 2x)lnx f x2 - x的最小值bi

13、*) = ix - l2lnx + 3) (e 1 x e)所以近建, 1tli上減，在口上增所以 EMg(咽11al=帆 1)= 綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是k.gr。6.12018四川成都雙流中學(xué) 9月月考文】已知函數(shù) f x lnx a x 1 ,a R.(1)當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x 1時(shí)，f x nx恒成立，求a的取值范圍.x 11【答案】(-1) f x的單調(diào)遞增區(qū)間為 0,1 ,遞減區(qū)間為1,； (2)2,【解析】|。=0 V M1 I在(0用上單調(diào)遞梯專/,二0 =上0,，(用在L。上為增函數(shù)J ，之宮11) = 1-240，客在L+)上為僧的Bb g(幻士g=

14、0,即就之0.從而，(可一*之。，不符合題意 x+11,1 ，1，時(shí)，h x 0, g x在1，上單調(diào)遞增,2a2ag x g 11 2a 0,同i),所以不符合題意一 ，.1_-(3)當(dāng)a 時(shí)，h x 0在1,上恒成立.2g x 在 1,遞減，g x g 11 2a 0.從而g x在1, 上遞減,g 10,即 f xInx - 0 .x 1結(jié)上所述，a的取值范圍是 12,7.12018廣東深圳高三入學(xué)摸底】已知函數(shù)f(x)= jx + ib(1)求函數(shù)f的極小值;(2)若函數(shù)除)有兩個(gè)零點(diǎn) 如與，求證：.a e + 1【答案】(1)極小值為ln(a-l) = (a)l-lrxa-l)-b (

15、2)見解析【解析】fo? - e1 - a + 1-當(dāng)Cl時(shí)j在心為塘函物翻向無極小值3當(dāng)IB心如&0,解得ZU 11.若,苣(8仙保-JJJJf加庫(kù)調(diào)遞現(xiàn)若x e (ln( a - IL + 則，e。加里調(diào)通增故的數(shù)f的極小值為& m a - L； = |司11 I - In a It - b*i Ai(2)證明：由題可知1a.1 = _J.y %x, * JY 六 要證 ，即證q 2 e -e , 2, e e +1v _x*2JCr - 2 I W不妨設(shè)、5只需證匚丁 J -，令六勺內(nèi)。，X2X1tttL只需證 F0, . F&)= + La 22，F(xiàn)(t)在H,+ 8)內(nèi)為增函數(shù)，故F

16、(tp所以原命題成立.網(wǎng)-X K8.12018廣東省廣州市海珠區(qū)高三測(cè)試(1)若函數(shù)f X后零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)2(2)證明：當(dāng)a 時(shí)，f X1【答案】(1),1 ； (2)見解析e e八e 同tt1 =-(上 + 3|-1 0?1 t F(0) = 0, J J , 1 成立.t_. 一. .a一(理)】已知函數(shù)f x lnx .Xa的取值范圍；X e .即證V巳要證上Y，只需證:一，令F”l =IWrl（i）函數(shù)=的定義域?yàn)椋╫功由八，色p得/,（） = ；=二X、X，注 X當(dāng)。*0時(shí)，（刈0恒成立,的數(shù)/（對(duì)在+劃上單調(diào)遞增，又/（l）=lnl + a = d +x:/（xj - -bx ,所以

17、函麴/（，）在定義域（0：4。時(shí),則xw（Qa）時(shí) / 4卜弓匕+到時(shí)，rx）0.所以因數(shù)，在（0卬）上單調(diào)遞或 在d十到上單調(diào)遞增當(dāng)工二說/31 jina十1 一當(dāng)1口口十IWOj即OcdP* 又L 一-色/（l） = lnl + d = 0,所以函數(shù)/（幻在定義城（04功上有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述實(shí)數(shù)a的取侑布圍為匚工之、 營(yíng)2(2)要證明當(dāng)a f時(shí)，e令 h x xlnx a,貝U hf x ex,即證明當(dāng)x 0,a 2時(shí), e 1, 一x Inx 1,當(dāng) 0 x 時(shí)，f xea x 一.Inx e ,即 xlnx x八，1 ,.0；當(dāng) x 時(shí)，f xxa xe ,0.所以函數(shù) 1上單調(diào)遞增

18、.當(dāng)x 1時(shí)，h x1，2 ,a .于te,當(dāng)a 時(shí), ee1 ,、，一、，, 1h x在 0,- 上單倜遞減，在 ,ee11xx x x一 a 一.令 x xe ,則 x e xe e 1 x .當(dāng) 0 x 1時(shí)，f x 0；當(dāng) eex 1時(shí)，f x0.所以函數(shù)x在0,1上單調(diào)遞增，在1,上單調(diào)遞減.當(dāng)x 1時(shí),x min1 I ,c ，.于是，當(dāng)x 0時(shí), e12 ,.顯然，不等式、中的等號(hào)不能同時(shí)成立.故當(dāng)a 時(shí),xf(x) e9.設(shè)函數(shù) f x lnx a, a 0x 1,1(1)當(dāng)a 時(shí)，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；30,1,、， a ，(2)當(dāng) a ， x 1, 時(shí)，求證： lnx 1

19、.2x 1,、56【答案】（1）增區(qū)間為：0 5,-65.減區(qū)間為5,1 ,661- .(2)見解析。(2)若證 lnx -a-1,x 11a x 1 成立，只需證:2，lnx lnx x 12 x 11,即:2 x 1 lnx 12 x 1當(dāng)x 1時(shí)成立學(xué)-【解析】1處敷f的定義域?yàn)?J3L+陰、為”?時(shí)?令；尸0:得；工或不工：,所以圖數(shù)卑隨區(qū)間為；:ro4 56!636f R 、 f 6、尸（竹父01得二3父”父工所以國(guó)數(shù)單調(diào)新區(qū)間為；二，I、；656 J I 5 J設(shè) gx 2 x 1 lnx 2 x 11x1.1 . g x 2 lnx -,顯然g x在1,內(nèi)是增函數(shù),x1且 g120, g 2