《數(shù)學建?！愤x題

1、數(shù)學建模選題(一)1、選址問題研究在社會經濟發(fā)展過程中, 經常需要在系統(tǒng)中設置一個或多個集散物質、傳輸信息或執(zhí)行某種服務的“中心”。在設計和規(guī)劃商業(yè)中心、自來水廠、消防站、醫(yī)院、飛機場、停車場、通訊系統(tǒng)中的交換臺站等的時候,經常需要考慮將場址選在什么位置才能使得系統(tǒng)的運行效能最佳。選址問題, 是指在指定的范圍內, 根據(jù)所要求的某些指標,選擇最滿意的場址。在實際問題中,也就是關于為需要設置的“設施”選擇最優(yōu)位置的問題。選址問題是一個特殊類型的最優(yōu)化問題,它屬于非線性規(guī)劃和組合最優(yōu)化的研究范圍。由于它本身所具有的特點,存在著單獨研究的必要性和重要性。1.1 “中心”為點的情形 如圖1，有一條河，兩

2、個工廠P 和Q位于河岸L（直線）的同一側，工廠 P 和 Q 距離河岸L分別為8千米和10千米，兩個工廠的距離為14千米，現(xiàn)要在河的工廠一側選一點R，在R處建一個水泵站，向兩工廠P、Q 輸水，請你給出一個經濟合理的設計方案。 圖1 圖2（即找一點 R ，使 R 到P、Q及直線 l 的距離之和為最小。）要求和給分標準：提出合理方案，建立坐標系，分情況定出點R的位置，0分70分。將問題引申：（）、若將直線 L縮成一個點（如向水庫取水），則問題就是在三角形內求一點R，使R到三角形三頂點的距離之和為最?。ù它c即為費爾馬點）。（）、若取水的河道不是直線，是一段圓?。ㄈ鐖D2），該如何選點？對引申問題給出給出

3、模型和討論30分50分。抄襲者零分；無模型者不及格；無程序和運行結果扣20-30分；無模型優(yōu)缺點討論扣10分。1.2 “中心”為線的情形在油田管網和公路干線的設計中提出干線網絡的選址問題：問題A：在平面上給定個點，求一條直線，使得 （1）為最小，其中表示點的權，表示點到第直線的距離。問題B：平面上給定條直線, 求一點, 使 （2）為最小，其中表示直線的權，表示點到第直線的距離。問題C：在平面上給定個點，求一條直線，使得 （1）為最小，其中表示點的權，表示點到第直線的距離。問題D：平面上給定條直線, 求一點, 使 （2）為最小，其中表示直線的權，表示點到第直線的距離。參考文獻【1】林詒勛, 尚松

4、蒲. 平面上的點線選址問題J. 運籌學學報,2002,6(3):6168.【2】尚松蒲, 林詒勛. 平面上的min-max 型點線選址問題J. 運籌學學報,2003,7(3):8391.要求和給分標準：選擇問題A和B(或者C和D)進行研究：根據(jù)文獻重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，計算機仿真驗證算法的正確性（40分，含如何在平面上隨機產生n個點，對每個點隨機賦權，按照算法編程實現(xiàn)求干線的程序，并將尋得的干線和點在平面上圖示，建議用MATLAB編程）。將問題引申：如果同時確定兩條、三條干線，應該如何討論？其他情形的討論？對引申問題給出給出模型和討論20分30分。抄襲者零分；無模型者不

5、及格；無程序和運行結果扣20-30分；無模型優(yōu)缺點討論扣10分。2 Hsieh模型的參數(shù)估計方法研究(本題目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每個人的工作要寫清楚)Hsieh模型為由（1）和（2）構成的如下非線性方程組： （1） （2）其中，E=1-rc2Kei()/(2T), F=rc2Ker()/(2T), =rw(S/T)1/2A為井水位與不排水條件下含水層孔壓的潮汐響應振幅比，稱為相對振幅。為井水位與孔壓之間的相位差，取決于含水層的導水（滲透）性能；Ker和Kei分別為開爾文函數(shù)(在Matlab中用besselk( )來表示)的實部和虛部；S為儲水系數(shù)，無量綱；T為導水系數(shù)；為井水位

6、某潮汐分波頻率；rw=0.028m為揭露含水層處井孔半徑，或濾水管半徑；rc= 0.0445m為井水位波動范圍處的井孔套管半徑。A和對S不敏感，但是對T在一定取值區(qū)域內敏感。問題：已知A和反推S和T及其兩者的誤差，即求解二元非線性方程組并由A和的誤差估計S和T的誤差。振幅比A和相位差值(角度值，計算時要轉化成弧度值)是通過實際數(shù)據(jù)求算出來的，存在一定的誤差，它們的值及誤差見如下數(shù)據(jù)。相位移誤差振幅比A誤差-6.4850.2010.9646294510.014-7.7460.2 0.9730510110.014-8.7020.18 0.9692011550.013-8.240.1920.9696

7、823870.013-8.6060.2080.9788257940.015-7.0110.2190.9672762270.015-6.660.1580.9906159770.011-4.9450.1440.9865255050.01-6.0470.1580.9836381140.011-4.5030.1530.9872473530.011-5.6030.2150.9855630410.015-5.9250.1610.9689605390.011-4.7020.2060.9817131860.015-4.370.1860.981472570.013要求和給分標準：根據(jù)文獻重述模型（10分），如：

8、由于和可以實驗測得，為了便于計算機求解，將Hsieh模型進行等價變形， ，其中E1-rc2Kei()/(2T), Frc2Ker()/(2T), =rw(S/T)1/2其中rw=0.028， rc= 0.0445m，為井水位某潮汐分波頻率；提出自己的求解非線性方程組算法(30分)，如：（1）這是一個非線性方程組求根問題，可以用Newton-Raphson方法求解，求解算法如下：（2）這是一個非線性方程組求根問題，可以用推廣的多元二分法求解，求解算法如下：（3）等等這是一個非線性方程組求根問題，可以等價轉化為求最小值問題，求解算法如下：。按照算法的求解S和T及其兩者的誤差。（40分），注意：求非

9、線性方程組的根和估計根的誤差需要提出兩種算法和分別變成求出，建議用MATLAB編程。將問題引申：對如何保證算法的收斂性，如何估計誤差，給出誤差公式討論？ 20分30分。抄襲者零分；無算法者不及格；無程序和運行結果扣20-30分；無算法優(yōu)缺點討論扣10分。提示：（1）由A和的誤差理論上導出S和T的誤差界 由高等數(shù)學下冊P86-87隱函數(shù)存在定理求出S，T關于A，的偏導數(shù)，再利用P75公式(10)和(11)即可估計絕對和相對誤差界。 （2）用BootStrap方法估計誤差界。用概率論與數(shù)理統(tǒng)計中BootStrap方法估計誤差界。（3）二者進行比較。參考文獻：廖欣, 劉春平等. 響應是否滿足不排水條

10、件的檢驗J地震學報，2011，33(2):234-242. 4題:寫字樓電梯系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)城市繁華地區(qū)有一座12層的寫字樓，在高峰時間7：50-9：10，人們進入一樓大廳并乘電梯到所在的樓層，有4部電梯為大樓服務，乘客到達大樓的時間間隔在0-30秒內隨機變化，達到后每個乘客第一部可乘的電梯（1-4號），當某人進入電梯后并選擇達到樓層后，電梯在關門前等待15秒，如果另一個人在15秒內到達來，這種等待將重新開始，如果15秒內無人到達，電梯就把全體乘客送上去。假定中途沒有其他乘客要上電梯。送完最后一個乘客后，電梯回到大廳，途中也不上客人。一部電梯的最大容量為12人，當一位乘客來到大廳，沒有電梯可乘，

11、就開始大廳排隊等待。寫字樓的管理者希望提高優(yōu)質服務，但目前有些乘客抱怨在電梯回來之前，他們在大廳等待的時間太長，也有人抱怨他們在電梯呆的時間太長，還有人說高峰時間大廳太擠，實際情況如何呢？首先對該寫字樓電梯系統(tǒng)做理論分析，然后用計算機模擬電梯系統(tǒng)，回答下列問題，：（1） 在一個典型的早上高峰時間，電梯實際上為多少乘客提供服務？（2） 如果一個人的等待時間是他在隊伍中的時間，即從到達大廳到進入一部可乘電梯的時間，問一個人在隊中等待的平均時間和最長時間是多少？（3） 最長的隊長是多少？（這個問題的回答將向管理者提供大廳擁擠程度的信息。）（4） 如果運送時間是一位乘客從到達大廳到他或她到達要去的樓層

12、的時間，包括等電梯的時間平均運送時間和最長的運送時間是多少？（5） 一位乘客實際上呆在電梯中的平均時間和最長時間是多少？（6） 每部電梯停多少次？早高峰時間每部電梯實際上使用時間的百分比是多少？5、送貨路線設計問題現(xiàn)今社會網絡越來越普及，網購已成為一種常見的消費方式，隨之物流行業(yè)也漸漸興盛，每個送貨員需要以最快的速度及時將貨物送達，而且他們往往一人送多個地方，請設計方案使其耗時最少?，F(xiàn)有一快遞公司，庫房在圖1中的O點，一送貨員需將貨物送至城市內多處，請設計送貨方案，使所用時間最少。該地形圖的示意圖見圖1，各點連通信息見表3，假定送貨員只能沿這些連通線路行走，而不能走其它任何路線。各件貨物的相關

13、信息見表1，50個位置點的坐標見表2。 假定送貨員最大載重50公斤，所帶貨物最大體積1立方米。送貨員的平均速度為24公里/小時。假定每件貨物交接花費3分鐘，為簡化起見，同一地點有多件貨物也簡單按照每件3分鐘交接計算?，F(xiàn)在送貨員要將100件貨物送到50個地點。請完成以下問題。1. 若將130號貨物送到指定地點并返回。設計最快完成路線與方式。給出結果。要求標出送貨線路。2. 假定該送貨員從早上8點上班開始送貨，要將130號貨物的送達時間不能超過指定時間，請設計最快完成路線與方式。要求標出送貨線路。3. 若不需要考慮所有貨物送達時間限制(包括前30件貨物)，現(xiàn)在要將100件貨物全部送到指定地點并返回

14、。設計最快完成路線與方式。要求標出送貨線路，給出送完所有快件的時間。由于受重量和體積限制，送貨員可中途返回取貨。可不考慮中午休息時間。以上各問盡可能給出模型與算法。 圖1 快遞公司送貨地點示意圖O點為快遞公司地點，O點坐標(11000,8250),單位：米表1 各貨物號信息表貨物號送達地點重量(公斤)體積(立方米)不超過時間1132.500.03169：002180.500.03549：003311.180.02409：304261.560.035012：005212.150.030512：006141.720.010012：007171.380.010912：008231.400.04261

15、2：009320.700.048112：0010381.330.021910：1511451.100.02879：3012430.950.022810：1513392.560.059512：0014452.280.03019：3015422.850.019010：1516431.700.078210：1517320.250.041212：0018361.790.018412：0019272.450.044512：0020242.930.04209：0021310.800.01089：3022272.250.001812：0023261.570.021012：0024342.800.01039：

16、3025401.140.01559：3026450.680.03829：3027491.350.014410：1528320.520.002012：0029232.910.048712：0030161.200.042912：003111.260.02503221.150.05013331.630.04833441.230.00063551.410.03873660.540.00673770.700.01293880.760.03463992.140.008740101.070.012441111.370.051042122.390.042843130.990.004844141.660.049

17、145150.450.020946162.040.009847171.950.032448182.120.055449193.870.026250202.010.032451211.380.041952220.390.000153231.660.050254241.240.053455252.410.001256261.260.005957270.420.022458281.720.058059291.340.037260300.060.040261310.600.027462322.190.050363331.890.049464341.810.032565351.000.005566361

18、.240.017767372.510.036168382.040.011069391.070.044070400.490.032971410.510.009472421.380.045573431.310.012174441.260.000575450.980.041376461.350.024177472.120.023078480.540.054279491.010.056680501.120.028481250.790.001182462.120.049283322.770.003484232.290.005485200.210.049086251.290.008887191.120.0

19、24988410.900.003889462.380.043490371.420.002091321.010.030092332.510.013393361.170.002094381.820.030895170.330.034596110.300.017297154.430.053698120.240.005699101.380.017510071.980.0493表2 50個位置點的坐標位置點X坐標(米)Y坐標(米)1918550021445560372705704373567052620995610080143571002522808716025259138452680101193530

20、501178503545126585418513763052001413405532515212559751615365704517141657385188825807519585581652078083552112770856022220088352314765905524779093302544359525261086096352710385105002856597652925809865301565995531939510100321483510365331250109003472801106535153051137536123901141537641011510381391511610

21、399510120504083451230041493013650421326514145431418014215443030150604510915142354623301450047773514550488851488049115751516050801015325表3 相互到達信息序號位置點1位置點211321832204245386347428515952106111718127113812149141591016101817107181112191213201225211215221318231319241311251418261416271417281421291522301525

22、311623321723331831341924352022362126372136382117392230402317412431422541432519442529452731462833472922483028493041503126513134523235533223543346553328563440573538583645593627603740613836623927634034644045654144664137674146684243694249704338714448724450734550744542754648764740774844784950794942805040

23、81O1882O2183O26數(shù)學建模選題（二）第一題：水災評估問題給定某地區(qū)的水災災度標準分級的選取如下表：等級巨災（）大災（）中災（）小災（）農田受災面積/（104km2）2002001001005050受災人口/（104人）2000200010001000500500死亡人口/(人)1500150010001000500500直接經濟損失/（104元）1051055*1045*104104104現(xiàn)有此地區(qū)某3年的受災損失情況如下表：195919821994農田受災面積/（104km2）20560149受災人口/（104人）12351551726死亡人口/(人)164015180直接經濟損

24、失/（104元）12852973077493861、 給出水災災害損失評估的具體模型2、 按模型給出給定年份的災害損失的具體評估步驟和實施過程： （1）如何給定出評價因素的權重。（2）評價因素的評價程度如何定量描述（隸屬函數(shù)如何確定）。 （3）如何確定評價矩陣。3、定出年分的災害等級。第二題隨著全國各高校招生規(guī)模的擴大，學生綜合素質出現(xiàn)參差不齊的現(xiàn)象，為了確保大學生質量，更好的促進大學生教育的發(fā)展，構建一套科學合理的大學生綜合素質評價體系已成為亟待解決的現(xiàn)實課題，請你建立一個合理可行的綜合素質評價模型，并給出對某位學生的評價實例。（下面是一個參考實例）聘請20位長期從事學位與大學生培養(yǎng)工作的專

25、家對某一位學生的政治素質、文化素質、創(chuàng)造素質和身心素質這四個考核項目進行評分，如下表考核項目考核指標測評等級統(tǒng)計優(yōu)秀良好合格不合格總計政治素質學習態(tài)度854320道德品質1232320集體觀念882220遵紀守法952420創(chuàng)造素質社會活動能力1044220創(chuàng)新能力953320組織協(xié)調能力1123420身心素質心理素質1522120身體素質1252120學習意識1053220文化素質基礎課外語82數(shù)學（3門）90平均成績政治（3門）65平均成績語文（2門）75平均成績計算機84專業(yè)課專業(yè)課183專業(yè)課275專業(yè)課396選修課選修課165選修課261選修課360建立模型，給出對此學生的評價結果。

26、提示：1.如何確定政治素質、文化素質、創(chuàng)造素質、和身心素質的權重。 2.用什么方法對數(shù)據(jù)進行處理，進而得到評價矩陣 3.如何確定每種評定素質中各“考核指標”權重 4.如何將評價結果數(shù)量化，給出對考核對象的定量描述。第四題： 研究生考試已經結束，現(xiàn)將我院三年的統(tǒng)計成績統(tǒng)計給你，請你對所得到的數(shù)據(jù)進行定量分析（相應所需比較數(shù)據(jù)自己從網上搜索），根據(jù)數(shù)據(jù)信息，給出我院考研情況的整體分析，包括對學生的建議，對領導以建議等，相當于一個研究報告。第五題： 以下是四川地區(qū)的地震數(shù)據(jù)資料，請你根據(jù)數(shù)據(jù)，給出對地震烈度的預測方法，并對方法進行適當?shù)脑u價。數(shù)學建模選題（三）方程作業(yè)1、若用表示時刻某范圍內一種群的

27、數(shù)量或密度，當種群數(shù)量較大時，我們將看作的連續(xù)函數(shù)，則的變化與出生、死亡、遷入、遷出等因素有關.若用分別表示種群的出生率、死亡率、遷入率、遷出率，則種群數(shù)量或密度變化的一般模型是： (7) 其他模型都是根據(jù)這個原理建立的. 試通過數(shù)學建模的方法，建立數(shù)學模型討論不同模型對人口的影響以及各模型的優(yōu)缺點，查閱相關數(shù)據(jù)試討論中國人口未來的情況。2戰(zhàn)爭的預測與評估問題目前，在超級大國的全球戰(zhàn)略影響下，世界并不太平，國與國之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成的局部戰(zhàn)爭和地區(qū)性武裝沖突時有發(fā)生，有的長期處于敵對狀態(tài)，從而導致了地區(qū)性的緊張局勢和潛在的戰(zhàn)爭威脅。在這種情況下，

28、必然會導致敵對雙方的軍備競賽，在一定的條件下就會爆發(fā)戰(zhàn)爭。隨著高科技的發(fā)展，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭勝負重要因素。這里我們所說的軍事裝備是指軍事實力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費用等。 現(xiàn)代條件下的戰(zhàn)爭，一般都是多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，所謂的多兵種就是綜合使用陸、海、空、導彈、空降等兵力和相應的武器裝備去完成不同的戰(zhàn)爭任務。由于每一兵種和相應的武器裝備都有各自的優(yōu)勢和相應的適合攻擊的目標。因此，現(xiàn)代戰(zhàn)爭的結局在很大程度上取決于是否能夠廣泛合理地利用諸兵種地合成部隊協(xié)同作戰(zhàn)，在戰(zhàn)爭中爭取保證一定優(yōu)勢，尤其是在“制空權”和“制海權”的優(yōu)勢，這是現(xiàn)代戰(zhàn)爭的一大特點。 另一方面，現(xiàn)

29、代戰(zhàn)爭往往是根據(jù)不同兵種的特點，可以在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，即一場戰(zhàn)爭可以在不同幾個區(qū)域同時展開，都對戰(zhàn)爭的結果產生一定的影響。 現(xiàn)在要求建立數(shù)學模型討論以下問題： (1) 分析研究引起軍備競賽的因素，并就諸多因素之間的互相關系進行討論； (2) 在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢進行評估分析。l 3、（餐廳廢物的堆肥優(yōu)化問題）一家環(huán)保餐廳用微生物將剩余的食物變成肥料。餐廳每天將剩余的食物制成槳狀物并與蔬菜下腳及少量紙片混合成原料，加入真菌菌種后放入容器內。真菌消化這此混合原料，變成肥料，由于原料充足，肥料需求旺盛，餐廳希望增加肥料產量。由于無力購置新設備，餐廳希望用增加真菌活力的辦法來加速

30、肥料生產.試通過分析以前肥料生產的記錄(如表2.2所示)，建立反映肥料生成機理的數(shù)學模型，提出改善肥料生產的建議。2013年數(shù)學建模選題（四）1.有4種資源被用于生產3種產品，資源量、產品單件可變費用、單件售價、資源單耗量及組織3種商品生產的固定費用見表如下，現(xiàn)要求制定一個生產計劃，使總收益最大，建立模型用lingo求解并進求解。數(shù)據(jù)詳細表產品/單耗量/資源IIIIII資源量A248500B234300C123100D357700單件可變費用4612固定費用100150200單件售價71020. 公司在各地有4項業(yè)務，選定了4位業(yè)務員去處理。由于業(yè)務能力、經驗和其他情況不同，4業(yè)務員去處理4項業(yè)務的費用各不相同，見表如下。應當怎樣分派任務，才能使總的費用最小，建模并用lingo求解。業(yè)務費用表業(yè)務員/費用12341110080010007002600500300800340080010009004110010005007003.海龍汽車配件廠主管生產的張經理正在考慮如何培訓及合理安排工人以降低生產成本。該廠生產3類不同的汽車零配件A、B、C，有6個不同級別的工人，每人每周工作時間為40小時，由于零配件復雜程度不同，要求不同熟練技術的工人完成。如A類